具有延迟信息的期权定价

N- 1，条件期望eqk（Φ（SN）| Zk，0=1）可以显式计算为eqk（Φ（SN）| Zk，0=1）=eN+HXi=0QkSN=Sk-惠登+H-i | Zk，0=1Φ（Sk-惠登+H-i） ，（2.36），其中QkSN=Sk-惠登+H-i | Zk，0=1由给出最小值（i+1，eN-我-1） Pj=1h（i，j）0≤ 我≤ H最小值（i+1，eN-我-1） Pj=1h（i，j）+min（i-H、 eN+H-i） Pj=1f（i，j）H+1≤ 我≤恩- 2.p（eN-1） uqu+最小值（eN-H-1，H+1）Pj=1f（i，j）i=eN- 1.最小值（i-H、 eN+H-i） Pj=1f（i，j）eN≤ 我≤eN+H- 1.p（eN）ui=eN+H.（2.37）类似地，引理2.2计算等式k（Φ（SN）| Zk，0=0），k=H，N-1、同样适用于H+2≤ 我≤eN+H，1≤j≤ 最小值（i- H- 1，eN+H- i+1），定义（i，j）：=我- H- 2j-1.eN+H- ij公司-1.q（j-1） uq（eN+H-我-j+1）dp（i-j-H） 上（j）d+我- H- 2j-1.\"eN+H- i+1j-eN+H- ij公司-1.#q（j）uq（eN+H-我-j） dp（i-j-H-1） 向上（j+1）d.（2.38）为1≤ 我≤恩- 1，1≤ j≤ 最小值（i，eN- i） ，定义（i，j）：=我- 1j- 1.恩- ij公司q（j）uq（eN-我-j） dp（i-j） up（j）d.（2.39）引理2.2。对于函数Φ（SN）∈ L∞(Ohmk、 Fk，Qk），k=H，N- 1，条件期望eqk（Φ（SN）| Zk，0=1）可以显式计算为eqk（Φ（SN）| Zk，0=1）=eN+HXi=0QkSN=Sk-惠登+H-i | Zk，0=1Φ（Sk-惠登+H-i） ，（2.40）SΦ（S）SdSdSSudSuSux*Φ最优LineV（S，S=Su）V（S，S=Sd）图3：具有1周期延迟的2周期二项式模型中的超级复制策略。最优线路是超级复制策略的特征。它的坡度是*它的截距是x*. 超级复制价格为‘（π）=max{V（S，S=Sd），V（S，S=Su）}。其中QkSN=Sk-惠登+H-i | Zk，0=1由给出q（eN）di=0分钟（i，eN-i） Pj=1eh（i，j）1≤ 我≤ Hq（eN-1） dpd+最小值（H+1，eN-H-1） Pj=1eh（i，j）i=H+1；最小值（i，eN-i） Pj=1eh（i，j）+min（i-H-1，eN+H-i+1）Pj=1ef（i，j）H+2≤ 我≤恩- 1.最小值（i-H-1，eN+H-i+1）Pj=1ef（i，j）eN≤ 我≤eN+H.（2.41）证明。

这个证明与引理2.1的证明非常相似，只是这个不同，因为Zk，0=0，我们寻找向上的群，而不是向下的群。2.6. 几何表示在本小节中，我们首先从几何角度讨论定理2.2，然后，为了方便起见，我们在第2.5.1小节中以几何形式表示动态规划方法，假设利率为0，且本小节中的H为1。在定理2.2中，我们讨论了H=N的N周期二项模型中- 1延迟期，对于支付函数为φ：=Φ（SN）的欧式凸未定权益∈ L∞(Ohm, F、 P），存在*手部x*使得vh（S，SH）=x*+ *HSH。（2.42）这表明存在一条带坡度的线*手动截距x*这样，超级复制值函数VH（S，SH）就位于这条线上。图3显示了具有1个延迟周期的2周期二项式模型中的最优线路、超级复制价格和超级复制价值函数。从几何角度演示第2.5.1小节中的动态规划方法更为直观。图2显示了一个具有1周期延迟的4周期二项模型。图4显示了如何通过几何方法确定Φ（S）sdsdsudsudsudsudsud Sud suussd SudSuSuSΦmknlomjhigfdV（S，S=Su）V（S，S=Sd）图4：使用动态规划方法在具有1个周期延迟的4周期二项模型中的超级复制策略的几何表示具有凸支付函数（Φ（.））的未定权益的超级复制价格。为方便起见，为了避免x轴上的点杂乱无章，假设ud=1，因此模型中的一些点相互重叠。现在，为了确定时间3的超级复制价格，有必要考虑三个具有1周期延迟T（2，0）、T（1，1）和T（0，2）的2周期二项模型。

在图4中，行（om）、（nl）和（mk）分别显示了这些模型中每个模型的最佳超级复制行。可以看出，在节点s=Sud和s=sudden中有两个支付取决于用于定价的子树（即，取决于Sis）。现在，我们再回溯一段时间，以确定时间2的支付。我们需要考虑两个2周期模型T（1，0）和T（0，1）。请注意，在这两个模型中，需要选择节点S=Sud（在两个PayoffsΦT（1,0）（2，1）和ΦT（0,1）（2，1）中）和=Sud（在两个PayoffsΦT（1,0）（1，2）和ΦT（1,0）（1，2）中）的相应Payofff。正如定理（2.3）所示，这两个模型的Payoff函数都是凸函数。线条（jh）和（ig）展示了这些模型的最佳线条。类似地，为了计算时间1的支付，需要使用2期模型T（0，0），线（fd）显示该模型的最佳线。最后，我们得到了超级复制价格'π（ν）=max{V（S，S=Sd），V（S，S=Su）}。连续时间模型在本节中，我们讨论模型的渐近行为。我们定义了概率空间(Ohmn、 Fn，Qn），n∈ N因此Ohmn={0，1}n，fn是上的Borelσ-代数Ohmn、 对于每个ωn=（ωn，…，ωnn）∈ Ohmn、 使用Zn绘制坐标图l（ωn）=ωnl对于每个l ∈ {1，…，n}。确定过滤{Fnl, l = 0, . . . , n} ，其中Fnl是σ-字段σ（Zn，…，Znl) 由第一个生成l 变量l = 1.n和Fis是平凡的σ场。Letu，σ，r∈ [0, ∞), H∈ N、 T>0（固定时间范围），并确定序列uN=uTδN，σN=σ√Tδn，un=exp（un+σn），dn=exp（un- σn），rn=rTδn，Hn=HTδn，（3.1），其中δn阶=/√n、 就像Donsker定理一样。备注3。H表示我们有延迟信息的周期数，这在渐近分析中是常数。

然而，Hn是我们延迟信息的时间量，应该在限定范围内消失。否则，超级复制价格将爆炸式增长，并收敛到未定权益支付函数的最大值。3.1. 价格过程渐近定义概率度量Qn，类似于（2.28）和（2.29），例如Znl, l = 1.初始位置为zn的n是一个马尔可夫链，对于l = 1.n- H- 1，它具有转移矩阵qn=qn、dpn、dqn、upn、u在{0，1}上。（3.2）此外，对于m=n- Hn、 Qn公司Znn=···=Znn-H=1 | Znn-H-1= 1= pn、u、QnZnn=···=Znn-H=-1 | Znn-H-1= 1= qn，u，qnZnn=···=Znn-H=1 | Znn-H-1= 0= pn、d、QnZnn=···=Znn-H=-1 | Znn-H-1= 0= qn，d，（3.3），其中pn，u，qn，u，pn，dand，qn，dare定义，类似于（2.19），j=0，H，aspn，d：=dHnern- dH+1nuH+1n- dH+1n=1- qn，d，pn，u：=uHnern- dH+1nuH+1n- dH+1n=1- qn，u.（3.4）那么，风险资产价格Snl, 与（2.1）类似，令人满意l= Sexp“lun+σnlXi=1Xni#，l = 0, . . . , n、 （3.5）其中Xni=2Zni- 下面的引理3.1提供了pn、Uan和pn的渐近解，d引理3.1。我们有Pn，u=2H+12（H+1）-u - r2（H+1）σ+2H+14（H+1）σ√Tδn+Oδn,（3.6）pn，d=2（H+1）-u - r2（H+1）σ+2H+14（H+1）σ√Tδn+Oδn.（3.7）证明。证明只需将泰勒展开式应用于un、Dn和rn，并将其插入（3.4）。通过设置tn离散时间间隔l:= Tl/n通过在间隔上插值[tnl-1，tnl) 以顺时针恒定方式与（Snl, l = 0, . . . , n） ，我们得到了风险资产价格过程S（n）=（S（n）t）0≤t型≤TS（n）t：=序号nt公司/T、 0个≤ t型≤ T、 （3.8）其中. 是FLOOR函数。过程S（n）具有与左极限右连续的轨迹。注意，在详情（n）tn中l= 序号l, l = 0, . . . , n、 这里，S（n）根据概率测度ρ分布在具有左极限的右连续函数的Skorokhod间隔[0，T]上。

定理3.1提供了序列（ρn）n的弱收敛性∈N、 定理3.1。过程序列（S（n））n∈nConverge分布到进程（St）0≤t型≤twithdynamicdst=rStdt+eσStdWt，0≤ t型≤ T、 （3.9）其中（Wt）0≤t型≤这是布朗运动，我们有放大的挥发度σ=√2H+1σ。（3.10）证明。首先，请注意qnXn公司l= 1 | Xnl-1.=pn，u+pn，d+Xnl-1（pn，u- pn，d）, l = 1.n- H- 1，根据引理3.1，我们得出结论qnXn公司l= 1 | Fnl-1.= pll, Xn公司l-1., l = 1.n- H- 1，其中在Gruber和Schweizer（2006）pn的符号中(l, x） =[1+φδn+λnx]+O（δn），φ=-2.u - r2（H+1）σ+2H+14（H+1）σ√T，λn=HH+1+O（δn）。（3.11）现在，我们将函数中心极限定理应用于Gruber和Schweizer（2006）中的广义相关随机游动，其定理1和备注3的an（t，y）：=λ和bn（t，y）：=φ。根据连续映射定理，无论Xn的初始分布如何，S（n）都会在分布上收敛到（St）0≤t型≤锡（3.9）。特别是limn→∞λn=H/（H+1），我们看到挥发度σ=s1+limn→∞an（t，Yt）1- 画→∞an（t，Yt）·σ=√2H+1σ为常数，且大于σ，其中Yt=对数标准。备注3。2、极限波动性增大是由于间隙λn=pn，u-pn、din（3.11），这是由于信息流的延迟引起的（当延迟周期数H=0时为零）。事实上，这是导致定价措施下的价格过程更加不稳定的主要原因。3.2. 夸张的波动率微笑在这一小节中，我们讨论了模型的波动率微笑，以及它是如何随周期数（n）而演化的。波动率微笑是Black-Scholes隐含波动率与执行价格的关系图。Impliedvolatility是Black-Scholes定价模型中波动率的值，该模型产生的价格等于我们模型的价格。

一些市场特征，如对粗鲁的恐惧，被认为是市场微笑的罪魁祸首。波动率微笑一直是期权定价文献中的中心话题之一，许多模型都是为了捕捉它而开发的。关于这方面的更多讨论，请参阅Gathereal（2011）。我们的延迟信息模型表明，延迟信息夸大了微笑。图5当nn=100时，在有无延迟信息的模型中，对看涨期权和看跌期权的波动率进行预测。在具有延迟信息的模型中（Hn=年≈ 2.52天），我们观察到波动率微笑，与无延迟信息的模型相反，我们得到了几乎是波动的微笑，根据备注2.9，这是预期的。请注意，在具有延迟信息的模型中，我们对看涨期权和看跌期权有不同的里程数，这是因为没有任何看跌平价，如Remark2.3所述。图5描绘了在具有延迟信息（Hn=250000年）的模型中，当周期数非常大（n=250000）时，看涨期权和看跌期权的波动率微笑≈ 30秒）。我们观察到，看涨期权和看跌期权的波动率微笑几乎相同，这也可以通过3.10中的理论结果进行计算。图5和图6中的波动性微笑证实了交易员的直觉，即延迟信息会夸大波动性微笑，但它不是罪魁祸首。这是因为在连续极限下，波动率是常数，没有微笑，但在离散模型中，我们可以观察到波动率微笑。

因此，它表明，我们与延迟信息的互动方式可能夸大了市场上观察到的微笑，而微笑可能并非完全由市场本身造成的。图5：有无延迟信息（Hn=年）二项模型中看涨期权和看跌期权的波动率微笑≈ 分别为2.52天和0天）。参数为σ=0.1、T=1、r=0、S=40和n=100图6：延迟信息二项模型中看涨期权和看跌期权的波动率微笑（Hn=250000年≈ 30秒）。参数为σ=0.1、T=1、r=0、S=40和n=250，000A。引理证明2.1Proof。请注意，QkSN=Sk-惠登+H-i | Zk，0=1, i=0，eN+H是从{pu，pd，qu，qd}中选择的几个eN元素的乘积之和，每个乘积项对应于树中从节点Sk开始的路径-H、 并在节点SN=Sk处结束-惠登+H-i、 给定方程式（2.29），最后的H+1移动需要向上或向下，并且它们仅作为一次移动起作用。根据备注（2.7），由于其以Zk为条件，0=1，因此所有产品术语中的第一个元素为qu或pu。对于H+1≤ 我≤恩- 2，最后一个（H+1）周期移动到n=Sk-惠登+H-我可以是向下的，也可以是向上的。在向上的情况下，我们需要考虑从Sk开始的所有路径-Hto序号-2=Sk-回族-2分钟+小时-i由i组成-2向上移动andeN+H-我向下看。

有eN+H-2i-2.但是，这些路径并不都是等价的，并且会根据en+H的位置，在{pu，pd，qu，qd}之外产生不同的n元素schosen乘积项- 我在路径中向下移动。请注意，所有具有相同数量的向下组的路径都会产生相同的乘积项，其中向下组是在向上移动之前（如果有）以及在向上移动之后（如果有）的任意数量的连续向下移动。例如，序列和都有两组移动。研究向下移动组的原因是，所有向下移动组中的起始元素都是qu。在这种表示法中，j对应于从1开始的组数（假设存在至少一个向下移动），并且可以达到min（i-H、 eN+H-i） 。请注意，有eN+H-我-1j-1.我-Hj公司具有精确j组的路径。因此，沿着这条路径，量子和概率密度的幂都是j，因此，量子点和概率密度的幂分别是en+H-我-j和i-j-H、 式（2.34）中的f（i，j）对应于这些路径。第二种情况是，最后一次（H+1）周期移动是向下的。然后，我们需要考虑从节点Sk开始的所有路径-Hto序号-2=Sk-惠登+H-我-2由i向上移动和N+H组成- 我- 2个向下的。这里不仅向下移动的次数很重要，而且从时间N开始移动的方向（向上或向下）也很重要- 3至N- 2也是相关的。请注意，有恩-我-2j-1.ij公司-1.具有精确j组的路径，使得最后1个周期从N开始移动- 3至N- 2是向下的，因此相应的乘积项是q（j）uq（eN-我-j） dp（i-j+1）向上（j-1） d，还有恩-我-2j-1.[i+1j-ij公司-1.] 具有精确j组的路径，以便最后1个周期从n开始移动- 3至N- 2向上。

方程（2.35）中的函数h（i，j）考虑了所有这些路径。对于H+1≤ 我≤恩- 2，有必要同时使用f（i，j）和h（i，j），以考虑最后（h+1）周期的移动可以是向上和向下的。同样的推理适用于0≤ 我≤ 汉登≤ 我≤eN+H-1，但此处最后一次（H+1）周期移动只能向下移动0≤ 我≤ H和向上Foren≤ 我≤eN+H-1、对于i=eN-1当最后一个（H+1）周期向下移动且i=eN+H时，函数f（i，j）和H（i，j）不能使用，因为在来自Sk的所有路径中-Hto序号-2=Sk-HueN+H-2，根本没有向下移动来形成向下组（即j=0）。ReferencesBank，P.和Dolinsky，Y.（2016）。具有固定交易成本的超级复制。arXiv预印本XIV:1610.09234。Bank，P.、Dolinsky，Y.和Perkki–o，A.-P.（2017）。在多变量情况下，具有小交易成本的超级复制价格的扩展限制。《金融与随机》，32:487–508。Bouchard，B.和Nutz，M.（2015年）。非支配离散时间模型中的套利和对偶。应用概率年鉴，25（2）：823–859。Boyle，P.P.和Vorst，T.（1992年）。具有事务成本的离散时间内的选项复制。《金融杂志》，47（1）：271–293。Burzoni，M.、Frittelli，M.、Hou，Z.、Maggis，M.和Ob l\'oj，J.（2016a）。不区分时间的逐点套利定价理论。arXiv预印本arXiv:1612.07618。Burzoni，M.，Frittelli，M.，和Maggis，M.（2016b）。不确定性离散时间市场中的通用套利聚合器。《金融与随机》，20（1）：1-50。Ceci，C.、Colaneri，K.和Cretarola，A.（2017年）。不完全信息下的f¨ollmer–schweizer分解。出现在《圣奥喀斯特》第1-35页。考克斯，J.C.，罗斯，S.A.，和鲁宾斯坦，M.（1979）。期权定价：一种简化的方法。《金融经济学杂志》，7（3）：229–263。Di Masi，G.，Platen，E.，和Runggaldier，W.（1995）。

随机波动资产离散观测下的期权套期保值。随机分析、随机场和应用研讨会，第359-364页。斯普林格。Dolinsky，Y.和Soner，H.M.（2016）。具有交易费用的凸对偶。运筹学数学，42（2）：448–471。El Karoui，N.和Quenez，M.-C.（1995年）。不完全市场中未定权益的动态规划与定价。暹罗控制与优化杂志，33（1）：29–66。Frey，R.（2000年）。高频数据模型中不完全信息的风险最小化。数学金融，10（2）：215–225。Gathereal，J.（2011年）。《波动表面：从业者指南》，第357卷。约翰·威利父子公司。Gruber，U.和Schweizer，M.（2006）。广义相关随机游动的扩散极限。应用概率杂志，43（01）：60–73。Kabanov，Y.和Safarian，M.（2009年）。有交易成本的市场：数学理论。SpringerScience&Business Media。Kabanov，Y.和Stricker，C.（2006年）。延迟和受限信息下的Dalang–Morton–Willinger定理。《纪念保罗·安德烈·梅耶》（Memoriam Paul Andr’e Meyer），第209–213页，S’eminaire de Probabilit’S XXXIX。斯普林格。Kardaras，C.（2013）。有限信息下的广义超鞅解。数学金融，23（1）：186–197。Kohlmann，M.和Xiong，D.（2007）。具有部分信息的可违约期权的均值-方差套期保值。S tochastic Analysis and Applications，25（4）：869–893。Kusuoka，S.（1995年）。具有交易费用的期权复制费用的极限定理。《应用概率年鉴》，第198-221页。Leland，H.E.（1985）。有交易成本的期权定价和复制。《金融杂志》，40（5）：1283–1301。Mania，M.、Tevzadze，R.和Toronjadze，T.（2008年）。部分信息下的均值-方差套期保值。《暹罗控制与优化杂志》，47（5）：2381–2409。Schweizer，M.（1994）。