具有延迟信息的期权定价

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英文标题：
《Option Pricing with Delayed Information》
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作者：
Tomoyuki Ichiba, Seyyed Mostafa Mousavi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We propose a model to study the effects of delayed information on option pricing. We first talk about the absence of arbitrage in our model, and then discuss super replication with delayed information in a binomial model, notably, we present a closed form formula for the price of convex contingent claims. Also, we address the convergence problem as the time-step and delay length tend to zero and introduce analogous results in the continuous time framework. Finally, we explore how delayed information exaggerates the volatility smile.
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中文摘要：
我们提出了一个模型来研究延迟信息对期权定价的影响。我们首先讨论了模型中不存在套利，然后讨论了二项模型中具有延迟信息的超复制，特别是，我们给出了凸未定权益价格的一个闭式公式。此外，我们还解决了当时间步长和延迟长度趋于零时的收敛问题，并在连续时间框架中引入了类似的结果。最后，我们探讨延迟信息如何夸大波动性微笑。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Option_Pricing_with_Delayed_Information.pdf (356.52 KB)

2022-6-1 02:34:13 上传

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关键词：期权定价 Mathematical Quantitative information mathematica

具有延迟信息的期权定价Barbaraichiba@pstat.ucsb.eduSeyyed加利福尼亚大学圣塔分校MostafaMousaviUniversity of California，SantaBarbaramousavi@pstat.ucsb.eduWe提出一个模型来研究延迟信息对期权定价的影响。我们首先讨论了模型中没有套利的情况，然后讨论了二项式模型中具有延迟信息的超复制，值得注意的是，我们给出了凸未定权益价格的封闭式公式。此外，我们还解决了当时间步长和延迟长度趋于零时的收敛问题，并引入了连续时间框架下的模拟结果。最后，我们探讨延迟信息如何夸大波动性微笑。关键词：延迟信息、二项模型、连续时限、不完全市场、超级复制、波动微笑。1、简介金融市场的所有参与者只能获取延迟信息。延迟增加了市场的不确定性，对其进行研究具有重要意义。期权定价文献中的一个普遍假设是，交易员在做出决策时，完全可以获得资产价格（即，没有延迟信息）。然而，在实践中，在决定订单的时间与其执行时间之间存在延迟。特别是，金融市场中存在两种重要类型的延迟。首先是订单执行的延迟，也就是说，在交易者下订单后，订单将延迟执行。例如，如果订单是在上午发出的，那么它将在下午执行。其次是信息接收的延迟，也就是说，交易者在观察价格和其他重要信息时有一定的延迟，这通常是因为技术壁垒，而与交易所的物理距离很长，这又加剧了技术壁垒。交易员认为，这两种类型的延迟行为相似。

在这两种情况下，订单执行时的价格都是未知的。换句话说，延迟信息的来源不会改变交易者的决定。例如，设{0，1，…}是一个离散的交易周期。如果存在长度为1个周期的延迟，则无论延迟的来源是什么，在时间0时都不会发生交易，并且在以后的时间里，交易是基于直到前一个周期为止的可用信息发生的。原因是，如果延迟只是在接收信息时，那么在时间0时，交易者没有任何信息，所以他等到时间1时才获得时间0价格进行交易，这些交易当然会以时间1价格执行。如果延迟只是在订单执行过程中，那么在时间-0，根据时间-0价格，交易者做出订单，但该订单将以时间-1价格执行。在这项工作中，我们从Cox等人（1979年）提出的二项模型开始，考虑信息流动的固定延迟期。因此，代理的信息流比作者想要感谢Jean-Pierre Fouke、Mike Ludkovski、Yuri Saporito和Andrey Sarantsev在工作的不同阶段进行了几次有益的讨论和反馈。第一作者部分得到了NSF拨款DMS1313373和1615229的支持。交易资产的流量。我们证明了具有延迟信息的市场是不完整的，不可能完全复制大多数未定权益。不完整的市场带来了各种挑战，在回顾不同的方法时，我们参考了Staum（2007）。我们采用最坏情况下的方法，即超级复制，来定价和复制凸未定权益。El Karoui和Quenez（1995）在其开创性论文中首次提出了这种方法。

我们推导了离散时间模型中凸未定权益定价的递归和闭式公式。之后，我们研究了当时间步长和延迟长度趋于零时的连续时间限制。我们表明，在我们的定价措施下，价格过程接近于布莱克-斯科尔斯价格过程，但波动性增大。我们模型的一个非常有趣的方面是，它显示了延迟信息如何影响挥发性文件。我们的模型证实了交易员的直觉，即延迟信息会夸大波动性，但不会导致波动性。我们表明，在连续极限下，波动率是常数，并且没有任何波动，但在离散模型中，我们可以观察到波动率微笑。换言之，这表明市场上观察到的微笑可能不全是市场本身造成的，也可能因为我们与延迟信息的互动方式而被夸大了。我们的时滞信息模型与具有交易成本的模型有一些相似之处，特别是在这两个模型中，我们都遇到了相似的极限定理，并且两个风险资产价格过程都收敛于Black-Scholes价格过程，波动率有所扩大。换句话说，扩大波动性可以被视为同时考虑交易成本和延迟信息的方式。Leland（1985）首次讨论期权定价模型中的交易成本。Boyle和Vorst（1992）研究了二项模型中的交易成本，Kusuoka（1995）为此类模型提供了严格的极限定理。该领域的一些最新研究成果包括Bank和Dolinsky（2016）、Bank等人（2017）以及Dolinsky和Soner（2016）关于交易成本期权定价的取证文献，我们参考了Kabanov和Safarian（2009）。Kabanov和Stricker（2006）提供了具有延迟信息的离散时间模型中不存在套利条件。

Kardaras（2013）研究了代理商延迟或限制信息的情况下的市场可行性。此外，Bouchard和Nutz（2015）、Burzoni et al.（2016a）和Burzoni et al.（2016b）是离散时间套利理论中一些非常相关的工作。在文献中，研究了在具有延迟信息的市场中，风险最小化套期保值策略，这是不完全市场中的另一种套期保值方法。使用这种方法，Di Masi et al.（1995）通过仅在离散时间观察资产来建模信息缺失，Schweizer（1994）提出了受限信息的一般情况。Frey（2000）、Mania et al.（2008）、Kohlmann and Xiong（2007）和Ceci et al.（2017）等也在这方面进行了研究。本文的组织结构如下。在第2节中，我们建立了具有延迟信息的离散时间模型，并确定了超级复制价格。讨论了H=N的N周期二元模型中的超复制策略- 1第2.4小节中的延迟周期，我们使用动态规划和直接方法将结果推广到第2.5小节中具有H个延迟周期的N周期二项模型。第2.6小节给出了该策略的几何表示。在第3节中，我们研究了当时间步长和延迟长度趋于零时模型的渐近行为。特别是，第3.2小节专门讨论了延迟信息如何影响波动率微笑。2、离散时间模型在引入延迟之前，让我们回顾一下Cox等人（1979）的N期二叉树模型，该模型适用于具有单一风险资产和单一无风险资产（如股票）的金融市场。给定N∈ N，让我们表示为(Ohm, F、 P）正则空间的概率空间Ohm := N-周期二叉树的{0，1}Nof，其Borelσ-代数F由Ohm . 对于每个ω：=（ω。

，ωN）∈ Ohm 我们通过zk（ω）=ωkf为每个k=1，…，定义一个坐标图，N、 设P为概率测度，其中Zk，k=1，Nare独立的伯努利随机变量，P（Zk=1）=P（Zk=0）=1/2，k=1，N定义F：={Fk，k=0，…，N}，其中Fk是由k=1，…，的第一个k变量生成的σ-场σ（Z，…，Zk），N和Fis为平凡σ场，即F={, Ohm}.在N期二叉树模型中，风险资产价格Sk：Ohm → R及其折扣价格K：Ohm → R、 瞬时折现率R>0，在时间k，定义为k（ω）：=SuIk（ω）dk-Ik（ω），Ik（ω）：=kXl=1Zl（ω），eSk（ω）：=e-Rsk（ω），k=1，N，（2.1）其中，Sis是时间0时风险资产的给定初始价格，u（或d）是一个固定比率，通过该比率，价格过程在u>1+r>d>0的一个时期内上升（或下降）。价格过程适应过滤F。2.1. 延迟过滤我们将在N周期二项模型中引入信息流的延迟。为简单起见，让我们考虑这样一种情况：投资者在时间t向市场发送买入或卖出指令，但在时间t+H和H之前不会执行HERORDER∈ {0，…，N- 1} 延迟时间。投资者自己知道，她在发送订单时有H个延迟期。然后我们定义延迟过滤g：={Gk，k=0，1，…，N}，其中Gk：=F，对于k=0，H- 1，andGk：=Fk-H、 k=H，N（2.2）换句话说，gk是时间min（k）之前价格过程的信息集- H、 0），而不是timek。在下文中，我们将根据延迟信息考虑投资。设AGbe是所有G适应随机过程的集合 := {k、 k=0，N-1} 使用k≡ 0，k=0，H- 1.

这里，每个 ∈ AGrepresents为该投资者提供了基于延迟信息的策略，即积极的k> 0（负数k分别<0）对应于在给定信息Gk的情况下，投资者在k时决定拥有（分别欠下）的风险资产股份总数。换句话说，在时间k下的命令- H购买或出售(k- k-1） therisky资产的股份，在时间k执行，价格为Sk（非Sk-H） ，因为H个延迟周期。因此，投资者必须处理订单提交和执行期间价格变化的风险。对于xin的初始投资，无风险资产和策略 ∈ AG，我们将考虑组合价值过程Vk（x，)（ω） ，k=0，N，ω∈ Ohm . 第一个订单H在时间0提交，在时间H执行，直到时间H才观察到投资组合价值过程。因此，我们定义了（2.3）VH（x，)（ω） ：=x·erH+H·SH（ω），V（x，)（ω） ：=e-rH·VH（x，)（ω） =x+H·eSH（ω），通常为（2.4）Vk（x，)(ω) :=e-r（H-k） ·VH（x，) （ω） ，k=0，H- 1，erkx+k-1Pl=HSl（ω）·（l）-1)∨H- l+ Sk（ω）·（k）-1)∨H、 k=H，N对于k=H，N，（2.4）中投资组合价值过程（erkx）的第一项对应于无风险资产的初始投资。第二学期（Pk-1l=HSl（ω）·(（l）-1)∨H- l） ）是由于在时间k之前无风险资产的现金流，以及第三个期限（Sk（ω）·（k）-1)∨H） 与时间k时对therisky资产的投资有关。我们称之为Vk（x，), k=0，N战略的价值过程（x，) ∈ （R，AG）。通过构造，投资组合价值过程的变化（Vk（x，)) 在（2.4）中，从其在时间H的流化开始，仅由于资产价格的变化。

换言之，投资组合中没有增加或撤回资金。请注意，初始投资组合价值V（x，)（ω） 在（2.3）中，是一个随机变量，而不是常数。这是因为它是通过贴现time-H投资组合价值VH（x，)（ω） ，这是由于存在延迟，首次观察到Portfolio值。对于k=H，Nkis Gk可测量，但Vk（x，) Fk是否可测量。因此Vk（x，) 是Fk∨H可测量k=0，N从这个意义上讲，投资组合是基于延迟信息构建的。2.2. 没有套利我们将首先在模型中引入套利的概念。一般来说，套利意味着一个人不能免费获得任何利益，也就是说不冒任何风险。在我们的延迟信息模型中，如（2.3）所示，初始投资组合值V（x，) 是一个随机变量，因为存在时滞。因此，我们需要调整（R，AG）策略领域中套利的经典概念，以考虑到这一点。定义2.1（套利）。套利机会是策略（x，) ∈ （R，AG）使得maxω∈Ohm{V（x，) （ω） }=0，P（VN（x，) ≥ 0）=1，（2.5）P（VN（x，) > 0) > 0.与套利的经典定义的主要区别在于，时间-0组合价值的最大值必须为零（最大ω∈Ohm{V（x，) (ω)} = 0).

很明显，在完全信息的情况下（即H=0），这种定义可以归结为套利机会的经典定义。我们需要证明，在具有延迟信息的离散时间模型中不存在套利。Kabanov和Stricker（2006）证明，在具有受限信息的一般离散时间模型中，不存在经典套利，当且仅当存在一个等价于P的概率测度，使得在延迟过滤上折扣股票价格的EP下的可选预测，aeP鞅是否我们的模型设置与Kabanov和Stricker（2006）的模型设置略有不同，因为我们购买/出售风险资产的第一个订单是在时间H执行的，而不是在时间0（即。k=0，k=0，H- 1). 这使得初始投资组合价值（V（x，)) 一个随机变量，而不是一个常数。定理2.1表明，在定义2.1的意义上，我们的模型中仍然不存在套利。定理2.1。在我们的离散时间模型中，在（R，AG）策略域中不存在任何套利机会。证据根据定义2.1，无套利意味着对于任何策略（x，) ∈ （R，AG）最大ω∈Ohm{V（x，) （ω） }=0，条件P（VN（x，) ≥ 0）=1表示P（VN（x，) = 0) = 1.在（R，AG）域中，根据（2.3），条件maxω∈Ohm{V（x，) （ω） }=0等于最大ω∈Ohm{VH（x，) （ω） }=0，这意味着在所有（N- H） -从时间H开始的周期二项模型，初始值为（x，) 战略是非积极的。如果我们考虑所有这些（N-H） -周期二项模型，它们分别位于卡巴诺夫和斯特里克（2006）的一般离散时间模型框架中。

因此，在这些模型中，即使我们认为策略的初始值为零，条件P（VN（x，) ≥ 0）=1表示P（VN（x，) = 0）=1，假设我们证明存在一个概率测度~ P因此，延迟过滤上已贴现股票价格的EP可选预测为aeP鞅，即isEePeSk+1 | Gk= EeP公司eSk | Gk, k=H，N-1.（2.6）确定概率度量，使坐标图Zk，k=1，N仍然是独立的伯努利随机变量，但参数sep（Zk=1）=uer- 杜邦- d=1-eP（Zk=0），k∈ {1，…，N}，这是通常二项模型中的风险中性概率，没有任何延迟。假设贴现股价（eSk）是EP下的（Fk）-鞅，则条件（2.6）成立，这表明从H到N不存在套利机会。因此，根据（2.3），我们得出结论，在（R，AG）策略领域，模型中不存在套利。备注2.1。定理（2.1）中的（R，AG）策略域不包括所有F-适应策略，而只包括那些G-适应策略。换言之，我们排除了一种情况，即拥有完整信息的代理人在市场上利用与拥有延迟信息的投资者相比的优势。如果我们包括所有适应F的策略，很可能会有套利机会。2.3. 超级复制价格鉴于市场上没有套利，现在讨论定价是有意义的。定义2.2（超级复制价格和超级复制组合的价值过程）。