具有连续期限和交易成本的均值回归交易

是做多还是做空利差，还是不进入atall。由于存在交易成本，后者可能恰好是最优的。与前几节一样，增益函数与时间无关。我们记得，为了排除两个出口问题的危急情况，我们假设a<x*≤ x个*< b、 根据值函数的性质，我们知道V1，L（t，x）=x- c代表x≥ b1，L（0）和v2，L（t，x）=x+c表示x≤ b2，L（0）表示任何t∈ [0，T）。此外，由于V1、Land V2、Lare凸面和凹面分别为V1、Lx≤ 1和V2，Lx≤ 因此，函数V1，L（x）-x个-当x<b1、L（0）和x时，c减小-c-V2，L（x）增加x>b2，L（0）。反过来，我们可以得出结论，存在一个常数阈值m∈ （b2，L（0），b1，L（0）），使得（5.3）G0，E（x）=（V1，L（x）-x个-c） 1{x≤m} +（x-c-V2，L（x））1{x>m}+,对于x∈ 一、 重要的是符号V1，L（m）- m级- c=m- c- V2，L（m）。使用γ1，Landγ2，L的定义，然后可以将函数G0，eca重写为（5.4）G0，E（x）=（V1，L（x）-x个-c） 1{x≤m级∧γ1，L}+（x-c-V2，L（x））1{x>m∨γ2，L}，对于x∈ 一、 然后有两种可能性：（I）γ1，L<m<γ2，Lor（ii）γ2，L<m<γ1，L。此外，我们注意到函数G0，Eis是凸的。在本文中，我们通常假设m，γ1，L，γ2，L∈ 避免退化情况。通常，通过c0，E={（t，x）分别定义连续区域和入口区域∈ [0，T）×I:V0，E（T，x）>G0，E（x）}，（5.5）D0，E={（T，x）∈ [0，T）×I:V0，E（T，x）=G0，E（x）}。（5.6）那么（5.1）中的最佳进入时间由τ0，E=inf{T≤ s≤ T：（s、Xt、xs）∈ D0，E}。（5.7）我们现在提供本节的主要结果。定理5.1。存在一对边界（b0，E，eb0，E），使得τb=inf{t≤ s≤ T:Xt，xs≤ b0、E（s）或Xt、xs≥eb0，E（s）}（5.8）在（5.1）中是最优的。

这一对可以描述为耦合积分方程系统的唯一解V1，L（t，b0，E（t））-b0，E（t）-c=e-r（T-t） E[G0，E（Xt，b0，E（t）t）]（5.9）+ZTtK0，E（t，u，b0，E（t），b0，E（u），eb0，E（u））du，eb0，E（t）-c-V2，L（t，eb0，E（t））=E-r（T-t） E[G0，E（Xt，eb0，E（t）t）]（5.10）+ZTtK0，E（t，u，eb0，E（t），b0，E（u），eb0，E（u））du，用于t∈ [0，T]在连续增函数b0类中，Ewith b0，E（T）=m∧ γ1，L∧ x个*连续递减函数seb0，Ewitheb0，E（T）=m∨ γ2，L∨ x个*.图5：。与长-短策略（下虚线）和短-长策略（上虚线）相对应的最优入口边界由与选择器策略相关联的最优上下入口边界（b0、E、eb0、E）（实心）包围。边界对（b0，E，eb0，E）由OU模型下的积分方程组（5.9）-（5.10）进行数值求解。参数为：T=T′=1年，r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，σ=0.16。使用间隔为[0，T]的500步时间离散化。值函数V0，eca可以表示为V0，E（t，x）=E-r（T-t） E[G0，E（Xt，Xt）]+ZTtK0，E（t，u，x，b0，E（u），eb0，E（u））du，（5.11），用于t∈ [0，T]和x∈ 一、 其中，函数K0，定义为K0，E（t，u，x，z，ez）：=-e-r（u-t） E类H0，E（Xt，xu）1{Xt，xu≤z或Xt，xu≥ ez}(5.12)= -e-r（u-t）Zz公司-∞∨aH0，E（ex）p（ex；u，x，t）指数+Z∞∧bezH0，E（ex）p（ex；u，x，t）指数,对于u≥ t型≥ 0和x，z，ez∈ 一、 在给出定理5.1的证明之前，让我们先说明和讨论最优交易边界的性质。在OU模型下，数值求解积分方程组（5.9）-（5.10）中的最优边界对（b0，E，eb0，E）。在图5中，我们观察到与长短策略和长短策略相对应的最优入口边界被与选择器策略相关联的最优上下入口边界对（b0，E，eb0，E）包围。

换言之，有了选择第一个（多头/空头）头寸的选项，交易员最好等待更长的时间，以获得更好的进场价格。要看到这一点，让我们来看看∈ [0，T）和x′≤ m级∧ γ1，Lso，即G0，E（x′）=G1，E（x′）。自V0起，E（t′，x′）≥ V1，E（t′，x′），如果V1，E（t′，x′）- G1，E（t′，x′）大于0，即进入多头位置不是最优的，然后是v0，E（t′，x′）- G0，E（t′，x′）≥ V1，E（t′，x′）- G1，E（t′，x′）>0，表示（t′，x′）∈ C0，E.作为一个序列，我们得出结论b0，E（t）≤ b1，E（t）表示任何t∈ [0，T）。使用类似的参数，我们可以显示eb0，E（T）≥ b2，E（t）表示任何t∈ 首先，为了得到入口区域的一些性质，我们使用Ito-Tanaka公式得到-r（τ-t） G0，E（Xt，xτ）i=G0，E（x）+EZτte-r（s）-t） H0，E（Xt，xs）ds（5.13）+EZτte-r（s）-t） （1）- V1，Lx（Xt，xs））dlm级∧γ1，Ls+ EZτte-r（s）-t） （1）- V2，Lx（Xt，xs））dlm级∨γ2，Ls,对于t∈ [0，T），x∈ 一、 过程X的任何停止时间τ。此处，函数H0，Eis定义为asH0，E（X）：=（LXG0，E-rG0，E）（x）表示x∈ I和等式h0，E（x）=（（u+r）x- uθ+rc）（1{x<m∧γ1，L}-1{x>米∨γ2，L}）。（5.14）当x∈ (-∞, m级∧ γ1，L∧x个*) ∪（m）∨ γ2，L∨x个*, ∞). 当m∧ γ1，L∧ x个*< Xs<米∨γ2，L∨x个*作为H0，Eis为正值，且本地时间项始终为非负值。此外，在T附近，当Xs<m时，最好立即输入∧γ1，L∧x个*或Xs>m∨γ2，L∨x个*由于缺乏时间来补偿负的EH0，E。这为我们提供了T处运动边界的终端条件（见下文）。我们还注意到，如果a=-∞ 和b=∞, 方程式（5.13）表明，对于所有t∈ [0，T），对于较大的负x或正x，被积函数H0，Eis非常负，因此，由于存在最终期限T，因此最好立即输入。由于payoff函数G0，Eis时间同质，我们将输入区域D0，Eisright连接起来。

接下来，我们将显示D0，Eis是向下和向上连接的。我们只证明它是下连通的，对于上连通性，可以应用相同的参数。设t>0，x<y<m∧ γ1，L∧ x个*使得（t，y）∈ 然后，通过入口区域的右连通性，我们得到了（s，y）∈ D0，对于任何s>t都很好。如果我们现在运行进程（s，Xs）≥t从（t，x），我们不能达到m级∧ γ1，L∧ x个*在进入之前（x<y），因此（5.13）中的局部时间项为0，被积函数H0，Eis在τE之前为负值*. 因此，在（t，x）处输入是最优的，我们获得了输入区域D0，E的向下连通性。因此，在[0，t]上存在一对最优输入边界（b0，E，eb0，E），使得τbde finedin（5.8）在（5.1）中是最优的，并且-∞ < b0，E（t）<m∧ γ1，L∧ x个*< m级∨ γ2，L∨ x个*<eb0，E（t）<∞对于t∈ [0，T）。从上面的参数来看，我们还有b0，E（T-) = m级∧ γ1，L∧ x个*andeb0，E（T-) = m级∨γ2，L∨x个*.

此外，D0，E的右连通性使得b0，Eis在[0，T]上增加和减少。基于强马尔可夫性质的标准参数表明，值函数V0，ean和边界（b0，E，eb0，E）解决了以下自由边界问题：V0，Et+LXV0，E-rV0，E=0 in C0，E，（5.15）V0，E（t，b0，E（t））=V1，L（t，b0，E（t））-b0，E（t）-c代表t∈ [0，T），（5.16）V0，E（T，eb0，E（T））=eb0，E（T）-c-V2，L（t，eb0，E（t））用于t∈ [0，T），（5.17）V0，Ex（T，b0，E（T））=V1，Lx（T，b0，E（T））-t为1∈ [0，T），（5.18）V0，Ex（T，eb0，E（T））=1-V2，Lx（t，eb0，E（t））用于t∈ [0，T），（5.19）V0，E（T，x）>G0，E（x）在C0，E，（5.20）V0，E（T，x）=G0，E（x）在D0，E，（5.21）其中连续集C0，ean和输入区域D0，Eare由C0给出，E={（T，x）∈ [0，T）×I:b0，E（T）<x<eb0，E（T）}，（5.22）D0，E={（T，x）∈ [0，T）×I:x≤ b0、E（t）或x≥eb0，E（t）}。（5.23）V0，Eand（b0，E，eb0，E）的以下特性也适用：V0，Eis在[0，T]×I，（5.24）x 7上连续→ 对于每个t，V0，E（t，x）在I上是凸的∈ [0，T]，（5.25）T 7→ V0，E（t，x）在[0，t]上每x减小∈ 一、 （5.26）b0，Eandeb0，Eare连续开[0，T]。（5.27）我们现在将局部时空公式（Peskir（2005））应用于过程e-r（s）-t） V0、E（s、Xt、xs）以及（5.15）、H0、E的定义、平滑特性（5.18）和（5.19）以获得-r（s）-t） V0，E（s，Xt，xs）（5.28）=V0，E（t，x）+Ms+Zste-r（u-t）V0，Et+LXV0，E-rV0，E（u、Xt、xu）du+Zste-r（u-t）V0，Ex（u，Xt，xu+）- V0，Ex（u，Xt，xu-)dlb0，欧盟+Zste-r（u-t）V0，Ex（u，Xt，xu+）- V0，Ex（u，Xt，xu-)dleb0，Eu=V0，E（t，x）+Ms（5.29）+Zste-r（u-t） H0，E（Xt，xu）1{Xt，xu≤b0、E（u）或Xt、xu≥eb0，E（u）}du，其中M=（Ms）s≥这是鞅部分(lb0，Es）s≥坦德(leb0，Es）s≥分别在边界b0、Eandeb0、E处对xxx的本地时间过程进行去皮。现在让s=T，取期望值E，使用可选抽样定理，重新排列项，并注意到V0，E（T，·）=G0，E（·），我们得到（5.11）。

然后，通过将x=b0，E（t）和x=eb0，E（t）插入（5.11），并重新校正连续粘贴特性（5.16）+（5.17），我们得出耦合积分方程组（5.9）-（5.10）。图6显示了地图T 7→ 对应于选择器策略的V0，E（0，θ；T），在x=θ时计算，是截止期T的递增函数。然而，斜率似乎随着T的增加而迅速减小，这表明更长的交易周期带来的效益降低。对于长-短策略，对于每个T，V0，E（0，θ；T）支配价值函数V1，E（0，θ；T）。该值的差异在本例中非常显著，可被视为与V0，E（0，θ；T）中的选择器选项相关的前提条件。在图7中，我们比较了带有和不带有选择器选项的最优输入问题的值函数。选择器策略（实心）的值函数V0，E（0，x）支配着V形的支付函数G0，E（x）（见（5.2）），并用虚线绘制，对于足够大的x和足够小的x，这两个函数重合。相比之下，长短策略的V1，E（x）（虚线）只支配左侧小x的支付函数G0，E（x）。这意味着，对于大x，立即行使选择权并获得收益G0，E（x）比采用多空策略进入市场的最佳时机更好。此外，对于所有x，价值函数V0，E（0，x）（选择策略）都高于V1，E（x）（长-短），当直接进入市场（多头仓位）是选择策略的最佳选择时，它们会对足够小的x起作用。图6：。与选择器策略（实心）相关的值函数V0，E（0，x；T），在x=θ时进行评估，并绘制为截止日期T年的函数。对于长-短策略，对于每个T，V0，E（0，θ；T）支配价值函数V1，E（0，θ；T）（虚线）。

参数为：T′=1年，r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，ζ=0.16。图7：。值函数V0，E（0，x）（实心）作为x的函数，对应于具有选择器策略的最优进入问题，而对于长短策略，值函数V1，E（x）（虚线）。虚线表示与值函数V0、E（0、x）相关的支付函数G0、E（x）（见（5.2））。参数为：T=T′=1年，r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，ζ=0.16，γ1，L=0.5545。参考Sackerer，D.、Filipovic，D.和Pulido，S.（2016）。雅可比随机波动率模型。工作纸。Avellaneda，M.和Lee，J.-H.（2010）。美国股市的统计套利。定量金融，10（7）：761–782。Brennan，M.J.和Schwartz，E.S.（1990）。股指期货套利。《商业杂志》，63（1）：S7-S31。Cox，J.C.、Ingersoll，J.E.和Ross，S.A.（1985）。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385–408。Czichowsky，C.、Deutsch，P.、Forde，M.和Zhang，H.（2015）。具有比例交易成本的指数型Ornstein-Uhlenbeck模型的投资组合优化。工作文件。Dai，M.，Zhong，Y.，和Kwok，Y.K.（2011）。头寸限制下股票指数期货的最优套利策略。期货市场杂志，31（4）：394–406。d\'Aspremont，A.（2011年）。识别小型均值回复投资组合。定量金融，11（3）：351–364。De Angelis，T.和Kitapbayev，Y.（2016）。关于摆动推杆选项的最佳练习边界。运筹学数学。显示。Dunis，C.L.、Laws，J.、Middleton，P.W.、Karathanasopoulos，A.（2013）。金矿价差的非线性预测：相关滤波器的应用。《会计、财务和管理智能系统》，20（4）：207–231。Ekstrom，E.、Lindberg，C.和Tysk，J.（2011年）。配对交易的最优清算。G.D.努诺。

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