具有连续期限和交易成本的均值回归交易

（3.3）的最佳停车时间由ζ1，L给出*= inf{t≤ s≤ T′：Xt，xs≥ b1，L（s）}，（3.8），其中函数b1，L（·）是最优出口边界，可以描述为Volterra型非线性积分方程的唯一解b1，L（t）-c=e-r（T-t） m（t′）-t、 b1，L（t））+ZT′tK1，L（t，u，t，b1，L（t），b1，L（u））du，对于t∈ 连续递减函数类T 7中的[0，T′]→ b1，L（t）（3.10）b1，L（t′）=x*.值函数V1，Lin（3.3）允许表示V1，L（t，x；t′）=e-r（T′）-t） m（t′）-t、 x）+ZT′tK1，L（t，u，x，b1，L（t+u））du，（3.11）表示t∈ [0，T′]和x∈ 一、 我们还记得V1，L（t，x）和b1，L（t）在[0，t′）×I中解决了以下自由边界问题：V1，Lt+LXV1，L-rV1，对于x<b1，L=0，L（t），（3.12）图1。最优出口边界b1，L（t），t∈ [0，T′），对应于通过数值求解U模型下的积分方程（3.9）计算的长短策略问题。参数为：T′=1年，r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，σ=0.16，b1，L（T′）=x*= 0.539669. 使用间隔为[0，T′]的500步时间离散化。V1，L（t，b1，L（t））=b1，L（t）- c代表t∈ [0，T′，（3.13）V1，Lx（T，b（T））=1表示T∈ [0，T′，（3.14）V1，L（T，x）>x- 对于x<b1，L（t），（3.15）V1，L（t，x）=x- c代表x≥ b1，L（t）。（3.16）根据Kitapbayev和Leung（2017）的定理1，我们具有以下性质：V1，Lis连续于[0，T′）×I，（3.17）x 7→ V1，L（t，x）是递增的，并且对于每个t在I上是凸的∈ [0，T′，（3.18）T 7→ V1，L（t，x）每x在[0，t′]上递减∈ 一、 （3.19）t 7→ b1，L（t）在[0，t′]上递减且连续，b1，t=x*.（3.20）图1显示了最佳出口边界b1、L（t）和t∈ [0，T′），通过数值求解OU模型下的积分方程（3.9）（即σ（x））获得≡ σ). 正如（3.20）所预期的那样，边界在[0，T′]上递减且连续，极限b1，L（T′）=x*= 0.539669（见（3.6））。

有趣的是，这一限制取决于长期平均θ和平均逆转速度u，以及利率r和交易成本c，但它不取决于波动性参数σ。事实上，由于定理3.3适用于一般波动率函数σ（x），这意味着具有相同参数值（θ、u、r、c）但σ（x）不同规格的均值回归模型仍将具有（3.10）在T′处给出的相同限值。这是线性支付的结果，因此函数H1，ldo不依赖于σ（x）。3.2. 最优进入问题求解了最优退出时机问题的值函数V1，L（t，x；t′），我们得到了（3.21）V1，L（x）=V1，L（0，x；t′），x∈ 一、 使用（3.11）。反过来，V1，L（x）是最优进入问题的输入。事实上，我们回忆起（3.2），并用G1表示条目Payoff函数，E（x）=（V1，L（x）- x个- c） +，x∈ 一、 （3.22）然后，从以下最优停止问题（3.23）V1，E（t，x）=supt中找到进入市场的最佳时机≤τ≤特赫-r（τ-t） G1，E（Xt，xτ）i，其中上确界接管所有（Ft）-停止时间τ∈ [t，t]。我们定义了阈值γ1，Las方程V1，L（x）的唯一根-x个-c=0，因此使用V1的凸性，Lwe可以重写G1，E（x）=（V1，L（x）- x个- c） 1{x<γ1，L}，（3.24）对于每x∈ 我

换言之，当X>γ1时进入头寸是不合理的，预期收益为负，因此根本不交易的策略严格控制着即时进入。让我们分别定义连续区域和入口区域，C1，E={（t，x）∈ [0，T）×I:V1，E（T，x）>G1，E（x）}，（3.25）D1，E={（T，x）∈ [0，T）×I:V1，E（T，x）=G1，E（x）}。（3.26）那么（3.23）中的最佳进入时间由τ1，E给出*= inf{t≤ s≤ T：（s、Xt、xs）∈ D1，E}。（3.27）我们采用曲线上的局部时空公式（Peskir，2005））计算e-r（s）-t） G1，E（Xt，xs），可选采样定理和b1，L（0）处的平滑特性（3.14），以获得-r（τ-t） G1，E（Xt，xτ）i=G1，E（x）+EZτte-r（s）-t） H1，E（Xt，xs）ds（3.28）+EZτte-r（s）-t） （1）- V1，Lx（Xt，xs））dlγ1，Ls,对于t∈ [0，T），x∈ I和过程X的任意停止时间τ。函数H1，Eis定义为H1，E（X）：=（LXG1，E-rG1，E）（x）表示x∈ 一、 由（3.24）和（3.12）得出asH1，E（x）=（（u+r）x- uθ+rc）1{x<γ1，L}，（3.29）表示x∈ 一、 我们定义其根x*= (uθ - rc）/（u+r）≤ x个*. 在（3.28）中，我们还介绍了当地时间(lγ1，Ls）s≥t过程X花费在γ1，L，即，lγ1，Ls：=P- limε↓02εZst{γ1，L-ε<Xt，xu<γ1，L+ε}d hxu。（3.30）为了排除退化情况，我们提供以下命题。提案3.4。如果x*∧γ1，L≤ a、 然后H1，Eis在I上总是非负的，最好等到结束，然后在t=t时输入。如果x*∧ γ1，L≥ b、 那么H1，Eis总是在I上为负，并且本地时间项为零，因此最好在t=0时立即输入。从现在起，我们假设x*∧ γ1，L∈ （a、b）。在这种情况下，当x<x时，函数H1，Eis为负值*∧γ1，L。当x*∧γ1，L<Xsas H1，eisno负值，且当地时间项始终为非负值。此外，在T附近，当Xs<x时，最好立即进入*∧ γ1，l由于缺乏时间来补偿负H1，E。

这给出了T处运动边界的终端条件（见（3.42））。我们还注意到，ifa=-∞, 方程式（3.28）表明，对于所有t∈ [0，T），对于大的负x，被积函数H1，Eis是非常负的，因此最好是立即进入，因为存在有限的截止时间T。由于支付函数G1，ean和基础过程x是时间同质的，我们有入口区域D1，Eis是右连接的。接下来，我们显示D1，Eis是下连接的。让我们假设T>0，x<y<x*∧ γ1，l等于（t，y）∈ 然后，通过入口区域的右连通性，我们得到了（s，y）∈ D1，对于任何s>t都很好。如果我们现在运行进程（s，Xs）s≥t从（t，x）开始，我们不能达到x级*∧ γ1，l在进入之前（x<y），因此（3.28）中的本地时间项为0，被积函数H1，Eis在τ1，E之前严格为负*. 因此，它与（t，x）处的入口是等价的，我们得到了入口区域D1，E的下连通性。因此，存在一个最优入口边界b1，Eon[0，t]，并且相应的停止时间τ=inf{t≤ s≤ T:Xt，xs≤ b1，E（s）}，（3.31）对于进入时间问题（3.2）和≤ b1，E（t）<x*∧γ1，Lfor t∈ [0，T）。

此外，b1，Eis在[0，T]和b1，E（T）上增加-) = x个*∧ γ1，L。值函数V1，ean和边界b1，E解决以下自由边界问题：V1，Et+LXV1，E-rV1，E=0，在C1，E，（3.32）V1，E（t，b1，E（t））=V1，L（t，b1，E（t））-b1，E（t）-c代表t∈ [0，T），（3.33）V1，Ex（T，b1，E（T））=V1，Lx（T，b1，E（T））-t为1∈ [0，T），（3.34）V1，E（T，x）>C1，E中的G1，E（x），（3.35）V1，E（T，x）=G1，E（x）在D1，E中，（3.36），其中连续集C1，ean和输入区域D1，Eare由C1给出，E={（T，x）∈ [0，T）×I:x>b1，E（T）}，（3.37）D1，E={（T，x）∈ [0，T）×I:x≤ b1，E（t）}。（3.38）使用标准参数，可以得出V1，Eis在[0，T]×I，（3.39）x 7上连续→ V1，E（t，x）对于每个t在I上是凸的∈ [0，T]，（3.40）T 7→ V1，E（t，x）每x在[0，t]上递减∈ I，（3.41）t 7→ b1，E（t）在[0，t]上与b1，E（t）连续-) = x个*∧ γ1，L.（3.42）让我们定义函数K1，EasK1，E（t，u，x，z）=-e-r（u-t） E类H1，E（Xt，xu）1{Xt，xu≤z}(3.43)= -e-r（u-t） Zz公司-∞∨aH1，E（ex）p（ex；u，x，t）指数，（3.44）表示u≥ t型≥ 0和x，z∈ 一、 特别是，当X是OU过程时，可以根据标准正态累积和概率分布函数有效地重写函数K1，eca。

对于更复杂的分布，计算（3.43）中的K1，E（t，u，x，z）可能需要数值单变量积分。将局部时空公式（Peskir（2005））应用于贴现过程e-r（s）-t） V1，E（s，Xt，xs），以及（3.32），H1，E的定义和平滑特性（3.34），我们得出-r（s）-t） V1，E（s，Xt，xs）（3.45）=V1，E（t，x）+Ms+Zste-r（u-t）V1，Et+LXV1，E-rV1，E（u，Xt，xu）I（Xt，xu6=b1，E（u））du+Ztse-r（u-t）V1、Ex（u、Xt、xu+）- V1，Ex（u，Xt，xu-)我Xt，xu=b1，E（u）dlb1，Eu=V1，E（t，x）+Ms+Zste-r（u-t） H1，E（Xt，xu）I（Xt，xu≥ b1，E（u））du，用于s∈ 其中M=（Ms）s≥这是一个鞅，并且(lb1，Es）s≥这是xx的当地时间过程，在边界b1，Egiven bylb1，Es：=P- limε↓02εZst{b1，E（u）-ε<Xt，xu<b1，E（u）+ε}d hxu。（3.46）然后我们得到本节的主要结果。定理3.5。最优入口边界b1，E:[0，T]7→ R可以表示为递归积分方程v1，L（b1，E（t））的唯一解-b1，E（t）-c=e-r（T-t） E[G1，E（Xt，b1，E（t）t）]（3.47）+ZTtK1，E（t，u，b1，E（t），b1，E（u））du，用于t∈ [0，T]在具有b1，E（T）的连续增函数类中-) = γ1，L∧ x个*. 函数V1，ead的值表示V1，E（t，x）=E-r（T-t） E[G1，E（Xt，Xt）]+ZTtK1，E（t，u，x，b1，E（u））du，（3.48）表示t∈ [0，T]和x∈ 一、 证明。表示（3.48）遵循（3.45）。具体而言，我们设定s=T，对两边都取期望值，并对M应用可选抽样定理，重新排列术语和回忆（3.43），对所有x应用终端条件V1，E（T，x）=G1，E（x∈ 一、 积分方程（3.47）是通过将x=b1，E（t）插入（3.48）并使用（3.33）得到的。图2：。

OU过程的样本路径，当路径到达最佳入口边界b1，E（下虚线）时，入口时间τ=0.075，当路径到达最佳出口边界b1，L（上固体）时，随后的液化时间ζ=0.516。根据积分方程（3.47）和（3.9），分别计算出与多空策略相对应的最佳入口边界b1、EAN和出口边界b1。参数为：T=T′=1年，r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，σ=0.16，b1，E（T）=x*= 0.539656，γ1，L=0.5545。在图2中，我们显示了OUmodel下均值回复价格过程X的样本路径，参数θ=0.54，u=16，σ=0.16。正如我们所看到的，当X到达下限b1时，交易者进入市场，吃掉时间τ≤ T随后，traderwaits让过程X到达上边界b1，Lto在时间ζ清算（长）位置。通过积分方程（3.47）和（3.9）分别计算出最佳入口和出口边界b1、EAN和b1、L。如果路径X在时间T未到达下限b1，那么交易者将直接离开市场，没有空头头寸。还请注意，exitboundary仅与进入市场后的交易者相关，交易者有长度为T′的时间窗口来平仓。如果价格过程X在时间窗口结束时未能触及出口上限B1，LBA，那么交易者将被迫在时间窗口结束时清算。为了说明价值函数对交易者截止日期的依赖性，我们绘制了mapT 7→ V1，E（0，θ；T），这是在x=θ时计算的值函数，作为图3中T′=1（实线）和T′=0.5（虚线）的截止时间T的函数。如果有更多的交易时间，是否需要图3。

长短策略的值函数V1，E（0，x；T），在x=θ时进行评估，并绘制为T′=1年（实线）和T′=0.5年（虚线）的截止日期T的函数。参数为：r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，ζ=0.16。决定进入或退出市场，交易者可以从tradingX获得更高的预期价值。然而，V1，E（0，x；T）在T中逐渐变凹的事实表明，交易者决定进入市场的时间越长，其增量值越小。图4显示了值函数x 7→ V1，E（0，x）（在t=0时评估）支配支付函数G1，E（x）=（V1，L（x）- x个- c） +，当x小于b1，E（0）时，它们重合。价值函数在x中递减，但在x较大时会变得更模糊。这表明，在时间0时远离入口边界并不会显著减少交易在x中的价值。这可以用x的均值回复特性来解释。当交易成本c从0.01增加到0.02.4时，价值函数也会减少。最优短长策略短长策略的分析与前一节中的长短策略完全对称。然而，为了完整性，我们提供了主要结果，更重要的是，我们将在下一节中使用解决方案来退出问题，以选择策略。我们按顺序制定问题，首先假设利差中存在空头头寸，我们希望在T′（4.1）V2，L（x）=inf0之前进行最佳清算≤ζ≤T′Ehe公司-rζ（Xxζ+c）i，对于x∈ I和交易者的最优进入时机问题由（4.2）V2给出，E（t，x）=supt≤τ≤特赫-r（τ-t） （Xt，xτ-c-V2，L（Xt，xτ））+i，对于（t，x）∈ [0，T）×I在时间τ时，我们收到Xxτ，支付c，并获得价值v2，L（Xt，xτ）的空头头寸。首先，我们讨论一些小情况。图4。

价值函数V1，E（0，x）（实心）和支付函数G1，E（x）=（V1，L（x）-x个- c） +（虚线）对于多空策略，在x上绘制不同交易成本：c=0.01（上限），c=0.02（下限）。参数为：T=T′=1年，r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，ζ=0.16，γ1，L=0.5545。提案4.1。如果x*≤ a、 然后，最好等到结束并从t=t′的位置退出。如果x*≥ b、 然后，最好在t=0时平仓。现在在假设x下*∈ 一、 我们提供了问题的解决方案（4.1）。定理4.2。（4.1）的最佳停车时间由ζ2，L给出*= inf{0≤ s≤ T′：Xt，xs≤ b2，L（s）}。（4.3）函数b2，L：[0，T]→ IR是对应于（4.1）的最佳出口边界，它可以被描述为Volterra-typeb2，L（t）+c=e的非线性积分方程的唯一解-r（T′）-t） m（t′）-t、 b2，L（t））+ZT′tK2，L（t，u，b2，L（t），b2，L（u））du，（4.4）对于t∈ 连续增函数类T 7中的[0，T′]→ b2，L（t），带b2，L（t′）=x*其中函数k2，L（t，u，x，z）：=-e-r（u-t） E类H2，L（Xt，xu）1{Xt，xu≤z},（4.5）对于u≥ t>0和x，z∈ I带h2，L（x）：=-（u+r）x+uθ- rc，（4.6）表示x∈ 一、 值函数V2，Lin（4.1）允许表示V2，L（t，x；t′）=e-r（T′）-t） m（t′）-t、 x）+ZT′tK2，L（t，u，x，b2，L（u））du，（4.7）表示t∈ [0，T′]和x∈ 一、 现在让我们定义阈值γ2，Las是方程x的唯一根-c-V2，L（x）=0，这样我们可以将问题（4.2）的结果重写为G2，E（x）=（x-c- V2，L（x））1{x>γ2，L}。如前一节所述，为了排除退化情况，我们假设γ2，L∨ x个*∈ 一、 然后，我们得到了入口问题的以下结果。定理4.3。

（4.2）的最佳停车时间由τ2，E给出*= inf{t≤ s≤ T:Xt，xs≥ b2，E（s）}。（4.8）最佳入口边界b2，E：[0，T]→ IR可以描述为递归积分方程B2，E（t）的唯一解-c-V2，L（b2，E（t））=E-r（T-t） E[G2，E（Xt，b2，E（t）t）]（4.9）+ZTtK2，E（t，u，b2，E（t），b2，E（u））du，用于t∈ 具有b2，E（T）的连续递减函数类中的[0，T]-) = γ2，L∨ x个*, 其中，函数k2，E（t，u，x，z）：=-e-r（u-t） E类H2，E（Xt，xu）1{Xt，xu≥z},（4.10）对于u≥ t>0和x，z∈ 带H2的I，E（x）：=-（u+r）x+uθ+rc=H1，L（x）。值函数v2，eca可以表示为v2，E（t，x）=E-r（T-t） E[G2，E（Xt，Xt）]+ZTtK2，E（t，u，x，b2，E（u））du，（4.11）表示t∈ [0，T]和x∈ 一、 5。选择器策略现在，我们将多空策略和多空策略聚合为一个策略，根据该策略，交易员可以在输入时选择在截止日期T或之前在X做多还是做空。因此，这种策略被称为选择器策略。换言之，交易者在进入市场之前没有预先承诺交易类型，因此，除了嵌入在其交易问题中的计时选项之外，还有一个选择选项。显然，这种增加的灵活性应该会增加X交易的预期收益。进入后，交易者有一个单独的底线来平仓。正如第3节和第4节一样，我们按顺序处理交易问题。一旦交易者进入头寸，她/他就会解决其中一个最优清算问题，这两个问题都在定理3.3和4.2中讨论过。因此，仍需分析最优入口问题，由（5.1）V0，E（t，x）=supt给出≤τ≤特赫-r（τ-t） G0，E（Xt，xτ）i，对于t∈ [0，T）和x∈ 一、 其中，支付函数G0，Ereads（5.2）G0，E（x）=最大值V1，L（x）-x个-c、 x个-c-V2，L（x），0,对于x∈ 一、 Payoff函数G0显示交易者在进入时会最大化其价值，并选择最佳选项，即。