关于马科维茨几何

自^1起-1M（t（a，τ（M））=qa，τ（M），我们建立了以下定理：定理2.3.1让ξ=（ΦM，ДM，^γM）是由映射图ИM定义的束。（i）限制ξ|γ与纤维-1M（t（a，τ（M）））=qa，τ（M），t（a，τ（M））∈ ~γM，为Rn中的椭球体-M中心c（Mc）（τ）。（ii）约束ξ|ΓMis是实代数m维arieties与逆同构Γm的同构→ eff（Mc），t（a，τ（M））7→ c（Mc）（τ），它映射任何水平集Γa，Monto E ff（a；Mc）。推论2.3.2集合eff（a；Mc）是Qa的一个实代数子簇，考虑到备注2，它通过ξΓmt与椭球体Γa，M同构。2.3，我们立即得到以下结果：推论2.3.3族{h（τ（M））|τ（M）∈ Γa，M}由所有（n- m） Rn中的维a f ne空间，它们都与向量ej，j生成的m维向量子空间正交∈ M，与椭球体Qa相切。2.4阴影us用ζm表示第二投影pr的限制：R×RM→ RMon^γM。成分φM=ζMo νMisΦMof的限制，Rn的投影平行于x（M）=0：φM：Rn定义的子空间W→ W⊥,φM（x）=x（M），此外，φ-1M（τ（M））=h（τ（M））。自设定日期起（a；Mc）Qais通过φMonto映射到椭球体Rain RMand由于Qais的内部点映射到Ra的内部点，我们可以将推论2.3.3的结果表述为阴影问题的解：命题2.4.1 All（n- m） -RN中具有公共方向向量子空间W的维空间，也与椭球QainRn相切，与正交补W相交⊥在椭球雨点处⊥ RM。RN中与Qa内部具有非空相交且与W平行的所有空间与W相交⊥在Ra的内部点。3椭球和超平面3.1椭球及其切向空间let v（x）=txQx为正定义的二次型。

椭球体Qa的切向空间θxo的方程：v（x）=a，a>0，在点x处∈ Qaisθx（x）=a，其中θx（x）=txQx。为了所有的x∈ Qawe有x 6=0，由于矩阵qaS有秩n，我们得到Qx6=0。特别地，θxis是一个超平面，qa是Rn中的一个ooth超曲面。备注3.1.1“椭球体”Q={O}在其唯一点X=O的切空间为Rn。特别是，RNI的任何线性子空间都与Q相切。让a>0，让我们x a点x∈ 质量保证。对于任意向量u∈ 序号-1we用卢瑟线{z）表示∈ Rn | z=x+tu，t∈ R} 。引理3.1.2一个hasLu∩Q≤a={x+tu | 0≤ t型≤ -2θx（u）v（u）}，Lu∩Qa={x，x-2θx（u）v（u）u}。证明：不等式v（x+tu）≤ a等于2θx（u）t+v（u）t≤ 当且仅当t=0或t=-2θx（u）v（u）。引理3.1.3 Let x∈ 质量保证。（i） 一个有Q≤一 θx(≤).（ii）一个有Q≤一∩θx=Qa∩ θx={x}。（iii）一个有Q≤a \\{x} θx（<）。证明：（i）让y∈ Q≤a、 y 6=x，让y∈ 鲁。带引理3的交流电源线。1.2，y=x+tu，其中0≤ t型≤ -2θx（u）v（u）。我们有θx（y）=θx（x）+tθx（u）=a+tθx（u）≤ 一- 2（θx（u））v（u）≤ a、 （ii）假设存在一个点y，y 6=x，y∈ Q≤一∩ θx设u=ky-xk（y-x） 。那么θx（u）=0，y∈ Lu，引理3.1.2表示Lu∩ Q≤a={x}-与y的矛盾∈ Lu公司∩ Q≤a、 现在，因为包含{x} 质量保证∩θx Q≤一∩ θx={x}，第（ii）部分通过。第（i）和（ii）部分产生第（iii）部分。我们提醒，HRI是Rn中的超平面，由方程π（x）=r定义，其中π（x）是非零线性形式，qa，r=qa∩人力资源部。引理3.1.4设x∈ qa，r.（i）如果qa 人力资源部(≤), 如果Q<a，则hr=θx.（ii） hr（<），然后Qa 人力资源部(≤).证明：（i）当y通过Qa \\{x}时，则u=ky-xk（y- x） 变量通过Sn双目标-1.∩ θx（<）。另一方面，由于Qa 人力资源部(≤),然后是y∈ Qa \\{x}yie ldsπ（y）≤ r、 也就是π（x- 2θx（u）v（u）u）≤ r、 因此θx（u）π（u）≥ 0表示所有u∈ 序号-1.∩ θx（<）。最后一个不等式也适用于ALU∈ 序号-1.∩ θx（>）因为θx(-u） π(-u）≥ 0

因此，我们有θx（u）π（u）≥ 0对于所有u∈ 序号-1，因此对于所有向量u∈ 注册护士。如果线性形式θx和π不成比例，则在适当改变坐标后，θx和π可以作为Rn-a矛盾中的坐标函数。（ii）让y∈ qa让我们设置yn=（1-n） y表示任意正整数n。Thenyn∈ Q<A和limn→∞yn=y。自Q<a以来 hr（<），我们得到hr（yn）<r，因此得到hr（y）≤ r、 3.2一些极值性质设hr：π（x）=r是Rn中的超平面，π（x）=px+····+pnxn，设usset p=t（p，…，pn）。我们表示qa，r=qa∩ 人力资源部。引理3.2.1 Let x∈ Rn \\{0}，a>0，r>0。以下四个语句是等效的：（i）一个有x∈ qa、rand Qx∈ Rp.（ii）一个具有rQx=ap和a=r（tpQ-1p）-1.（iii）一个有x∈ qa，randθx=小时。（iv）一个有qa，r={x}。证明：（一）==> （ii）设Qx=bp，b∈ R、 我们有a=v（x）=txQx=tx（bp）=btpx=bπ（x）=br，因此rQx=ap。另一方面，我们得到a=txQx=artpQ-1arp=artpQ-1p，因此a=r（tpQ-1p）-1.（二）==> （i） 我们有Qx∈ Rp、and、mo reover、tx=artpQ-1、π（x）=tpx=txp=artpQ-1p=arra=r，因此x∈ 人力资源部。最后，v（x）=txQx=artpQ-1Qx=artpx=arπ（x）=a，因此x∈ 质量保证。第（i）和（iii）部分的等效性很简单。第（iii）部分和引理3.1.3，（ii）暗示第（iv）部分。（四）==> （iii）设L={x+tz | t∈ R} ，z 6=0，是hr中的一条线，即π（z）=0。二次方程v（x+tz）的根=a对应于线L和椭球Qa的交点。考虑到v（x+tz）=v（x）+2θx（z）t+v（z）t，我们得到了等效方程2θx（z）t+v（z）t=0。由于qa，r={x}，这个二次方程的do-ubleroot t t=0，即θx（z）=0。

因此，我们在L θx，因此θx=hr。推论3.2.2在条件（i）–（iv）下，θx（x）=arπ（x）。注3.2.3如果x=0，则引理3.2.1的（i）、（ii）和（iv）部分在a=r=0时成立。让我们设置cp=（tpQ-1p）-1，E（Q）p={（a，r）| a=cpr，r≥ 0}，x（a，r）=arQ-任何（a、r）为1p∈ r>0的E（Q）pw，x（0，0）=0，andEf（Q）p={x∈ Rn | x=x（a，r），（a，r）∈ E（Q）p}。因此，集合E f（Q）p包含所有向量x∈ Rn满足引理3.2.1中的四个等价条件。请注意，0∈ Ef（Q）和if x（a，r）∈ Ef（Q）p，那么{x（a，r）}=qa，r。换句话说，引理3.2.1意味着推论3.2.4一个hasEf（Q）p=∪r≥0，a=cprqa，r。如果M是单态，定理2.2.1得出以下两个推论：推论3.2.5 Let x，x∈ Ef（Q）p，x=x（a，r），x=x（a，r）。（i） 如果a=a，则qa，r={x}。（ii）如果a>a，则qa，ris是超平面hr中的椭球体。（iii）如果a<a，则qa，r=.推论3.2.6 Let x，x∈ Ef（Q）p，x=x（a，r），x=x（a，r）。（i） 如果r=r，那么qa，r={x}。（ii）如果r<r，则qa，ris是超平面hr中的椭球体。（iii）如果r>r，则qa，r=.推论3.2.5和3.2.6暗示了以下两个等价命题：命题3.2.7 Let x，x∈ Ef（Q）p，x=x（a，r），x=x（a，r）。一个hasr=最大QA，r6=r和a=minqa，r6=a、 命题3.2.8给定x∈ Ef（Q）p，其中π（x）=maxx∈Ef（Q）p，v（x）≤v（x）π（x）和v（x）=minx∈Ef（Q）p，π（x）≥π（x）v（x）。结果是我们可以找出约束条件x∈ 提案3.2中的Ef（Q）pf。我们有以下定理（例如，与[3，第2节]进行比较）。定理3.2.9设x∈ qa、rand r≥ 以下六条语句是等效的：（i）一条有x∈ Ef（Q）p.（ii）一个有π（x）=maxv（x）≤aπ（x）和v（x）=最小π（x）≥rv（x）。（iii）一个具有π（x）=maxv（x）≤aπ（x）。

（3.2.1）（iv）一个具有π（x）=maxv（x）=aπ（x）。（v） 一个hasv（x）=最小π（x）≥rv（x）。（vi）一个hasv（x）=最小π（x）=rv（x）。证据：下面我们只证明这些含义，这些含义并不简单。如果r=0且x=x（a，0）∈ Ef（Q）p，然后a=0，x=0，并且等价物保持不变。现在，让r>0。特别是，我们有x6=0。（一）==> （ii）根据引理3.2.1，（iii）和Coro-llary 3.2.2，我们有x∈ qa，randθx（x）=arπ（x）。让我们假设v（x）≤ A或x∈ 注册护士。引理3.1.3，（i），隐含π（x）≤ r、 现在，让π（x）≥ r、 即θx（x）≥ A前体x∈ 注册护士。在这种情况下，引理3.1.3，（iii）产生v（x）≥ a、 （三）==> （i） 让X满足条件（3.2.1）。引理3.1.4，（i），表示θx=hr。现在引理3.2.1，（iii）完成了证明。（五）==> （i） 。自Q<a hr（<），引理3.1.4产生θx=hr。在雅高dwith引理3.2.1，（iii）中，第（i）部分适用。4马科维茨几何在这一节中，我们统一了前两节的结果，并给出了Rn的一个子空间中同心椭球族和平行超平面族的切点的完整特征。4.1等式M 6=, l ∈ M，设L={l}, K=M\\L。让我们确定τ（K）的所有成分∈ RK：τ（K）=u（K），设置h（K）=h（u（K）），（K） =c（Q；Kc）（u（K）），γ（K）=γK（u（K））。我们表示r=τl,  = （K）l, r′=r- , soτ（M）=τ（L，K）（r）。最后，我们设置a=γM（τ（L，K）（r））。我们提醒大家，在平移z=x之后-（K） 坐标系的（zs）s∈Kc，其中zs=z（Kc）s，是具有原点的a ffinesubspace h（K）上的坐标函数系统（K） 。在这种情况下，h（τ（M））=h（τ（L，K）（r））是h（K）中的超平面，方程zl= r′。特别是l-TH坐标向量p∈ RKc（thel-p的th分量为1，所有其他分量为零）是h（K）中h（τ（L，K）（r））的法向量。

我们设置π（x）=xl,π（Kc）（z）=zl, 注意，线性形式π（Kc）（z）是线性形式π（x）对h（K）的限制，用z表示。它来自推论2。2.6，（i），椭圆体qac e h（K）上的轨迹qa，u（K）不是nempt，超平面h（τ（L，K）（r））在p点c（Q；Mc）（τ（L，K）（r））与椭圆体qa，u（K）相切。为了将第2节和第3节中的符号粘在一起，我们设置a′=a- γ（K），h（τ（L，K）（r））=hr′，qa′，r′=qa，u（K）∩ hr′=Q（Kc）a′∩ hr′。定理4.1.1（i）如果r′≥ 0，thenx（a′，r′）=c（Q；Mc）（τ（L，K）（r））（4.1.1）和x（0，0）=（K） 。（ii）单相OFF（Q；Mc）l+= Ef公司Q（Kc）p、 证明：（i）a ffne空间h（τ（L，K）（r））是h（K）中的超平面，它与c（Q；Mc）（τ（L，K）（r））点处的椭球qa，u（K）相切。特别是Q（Kc）a′∩ hr′={c（Q；Mc）（τ（L，K）（r））}和引理3。2.1，（ii），对于Cp=（tpQ），产生a′=cpr′-1p）-因此，当r′时≥ 0，我们有（a′，r′）∈ E（Q）和质量（4.1.1）保持不变。此外，如果r′=0，则a′=0，γM（τ（L，K）（r））=γ（K），且花冠y 2.2.6，（ii），（iii）表示γQ（Kc）L（τ（L）-c（Q；Kc）L（u（K））=0，hencecQ（Kc）；Mc公司（（τ（L））- c（Q；Kc）L（u（K）））=0。换句话说，c（Q；Mc）（τ（L，K）()) = c（Q；Kc）（u（K））。这表明x（0，0）=c（Q；Kc）（u（K））=（K） 等式（4.1.1）证明了第（i）部分，进而得出第（ii）部分。定理4.1.2设x=c（Q；Mc）（τ（L，K）（r））∈ EFF（Q；Mc）l+. 一个是r=π（x），如果a=v（x），那么π（x）=maxx∈h（K），v（x）≤aπ（x）和v（x）=minx∈h（K），π（x）≥rv（x）。（4.1.2）证明：根据定理4.1.1，我们有r′=r-  ≥ 0，因此x=x（a，r）∈ Ef公司Q（Kc）p、 设x=z+（K） 。

定理3.2.9，（i）、（ii）表示π（Kc）（z）=maxz∈h（K），v（Kc）（z）≤a′π（Kc）（z）和v（Kc）（z）=minz∈h（K），π（Kc）（z）≥r′v（Kc）（z）。因为π（Kc）（x）=π（z）+, 在h（K）上，v（x）=v（Kc）（z）+γ（K），因为r′=r-,a′=a- γ（K），我们建立了地震属性（4.1.2）。4.2解释设k、m和n为带n的整数≥ 2, 0 ≤ k<n- 1，m=k+1，且设m={n- k、 n个- k+1，n} ，K={n- k+1，n} ，L={n- k} 。Leth（j）：π（j）（y）=τj，j∈ M，是Rn中线性独立的一个超平面。我们fix h（n）：y+···+yn=1，所以τn=1，并用∏表示该超平面。由于π（j）（y）是线性独立的线性形式，我们可以改变坐标inRn:y=Ax，从而使超平面h（j）具有方程xj=τj，j∈ M，而且，xi=yi，i∈ [n] \\M。我们定义τ（K）：τ（K）=u（K）（un=1），并将h（n）=∏解释为包含所有具有n项资产的金融投资组合的超平面（此处分析了投资于第s项资产的相对金额，s=1，…，n）。a ffne子空间h（n-k+1）∩. . . ∩h（n-1） （如果m=2，则等于Rnif m=2）表示多个附加线性约束条件，其在∏上的轨迹为a ffne空间C=h（K）=h（n-k+1）∩h（n-1)∩ . . . ∩ 关于∏的线性约束条件的∏。我们表示l = n- k、 π(l)（y） =π（y），设r=τl可变。当线性形式为π（y）的ysin前面的系数是s-thasset的预期收益时，s=1，n、 超平面h=h的迹(l), h：π（y）=r，on∏可解释为所有预期收益率为r的金融投资组合的集合。此外，C上的炒作平面h的轨迹可解释为所有预期收益率为r的金融投资组合的集合，这些投资组合符合上述∏上的行ar约束条件。另一方面，如果v（x）=txQx，其中ta-1QA-1是单个资产预期收益产生的n×n协方差矩阵，我们可以将v（x）解释为投资组合x的风险。

定理m 4.1.2得出rayE=eff（Q；Mc）l+具有端点（K） 是满足线性约束条件C的所有Markowitz有效投资组合的轨迹(（K） ）是风险的绝对最小值，就x坐标而言l-的第个组件（K） 是给定约束条件下相应expec tedreturn r的绝对最小值。为了将这种方法与经典方法联系起来，我们必须研究∩, 哪里 是单位单纯形在∏上的迹，因为E的成员∩  是指没有短期销售的有效投资组合。此外，这个交叉点的属性是金融市场的特征。附录在本附录中，我们免费使用本文正文中介绍的符号。A、 1三个Lemmathe分区Mc∪ 指数集合的M=[n]生成以下分区矩阵：任何向量x=t（x，…，xn）∈ Rn可以可视化为asx=t（x（Mc），x（M）），任何n×n矩阵Q可以可视化为Q（Mc）Q（Mc×M）Q（M×Mc）Q（M）.引理A.1.1设Q为对称的n×n矩阵，设v（x）=txQx为相应的二次型。

一个hasv（x）=tx（Mc）Q（Mc）x（Mc）+2tx（Mc）Q（Mc×M）x（M）+tx（M）Q（M）x（M）。证明：我们有v（x）=txQx=（tx（Mc），tx（M））Q（Mc）Q（Mc×M）tQ（Mc×M）Q（M）t（x（Mc），x（M））=tx（Mc）Q（Mc）x（Mc）+2tx（Mc）Q（Mc×M）x（M）+tx（M）Q（M）x（M）。下面我们假设Q（Mc）是可逆矩阵。引理A.1.2 Letc（Mc）Mc（x（M））=-（Q（Mc））-1Q（Mc×M）x（M），c（Mc）（x（M））=t（c（Mc）Mc（x（M）），x（M）），并设γM（x（M））=-tc（Mc）Mc（x（M））Q（Mc）c（Mc）Mc（x（M））+tx（M）Q（M）x（M）。（i） γM（x（M））是x（M）中的二次型，γM（x（M））=tx（M）[Q（M）-tQ（Mc×M）（Q（Mc））-1Q（Mc×M）]x（M），其中一个具有γM（x（M））=v（c（Mc）（x（M））。（ii）如果v（x）是x中的正定义二次型，那么γM（x（M））是x（M）中的正定义二次型。证明：（i）我们首先注意到sincetc（Mc）Mc（x（M））Q（Mc）c（Mc）Mc（x（M））=tx（M）tQ（Mc×M）（Q（Mc））-1QMc×Mx（M），我们得到γM（x（M））的上述表达式。

另一方面，引理A.1.1impliesv（c（Mc）（x（M））=tc（Mc）Mc（x（M））Q（Mc）c（Mc）Mc（x（M））+2tc（Mc）Mc（x（M））Q（M）x（M）+tx（M）Q（M）x（M）。考虑到Q（Mc×M）x（M）=-Q（Mc）c（Mc）Mc（x（M）），我们建立了它们的一致性。（ii）In足以说明c（Mc）（x（M））=0当且仅当x（M）=0。现在，让我们用rulez（τ（M））=x来转换坐标系- c（Mc）（τ（M））。引理A.1.3如果x（M）=τ（M），那么v（x）=tz（Mc）Q（Mc）z（Mc）+γM（τ（M））。证明：根据ord和引理A.1。1，我们有v（x）=tx（Mc）Q（Mc）x（Mc）+2tx（Mc）Q（Mc×M）τ（M）+tτ（M）Q（M）τ（M）=tx（Mc）Q（Mc）x（Mc）- 2tx（Mc）Q（Mc）c（Mc）Mc（τ（M））+tτ（M）Q（M）τ（M）=t（z（Mc）+c（Mc）Mc（τ（M）））Q（Mc）（z（Mc）+c（Mc）Mc（τ（M）））-2t（z（Mc）+c（Mc）Mc（τ（M）））Q（Mc）c（Mc）Mc（τ（M））+tτ（M）Q（M）τ（M）=tz（Mc）Q（Mc）z（Mc）+tc（Mc）McQ（Mc）c（Mc）Mc+2tz（Mc）Q（Mc）c（Mc）Mc-tz（Mc）Q（Mc）c（Mc）Mc- 2tc（Mc）McQ（Mc）c（Mc）Mc+tτ（M）Q（M）τ（M）=tz（Mc）Q（Mc）z（Mc）+γM（τ（M））。AsKnowledgements我要感谢保加利亚科学院数学和信息研究所的管理机构为工作创造了完美的条件。该论文部分得到保加利亚科学基金的支持[总数字I02/18]。参考文献[1]H.Markowitz，《投资组合选择》，《金融杂志》，第7卷，第1期，（1952），77-91。[2] H.Markowitz，《投资组合选择》，第二版，Blackwell 1991年。[3] S.Stoyanov，S.Rachev，F.Fabozzi，《最佳金融投资组合》，应用数学金融杂志，第14卷（2007），401-436。