关于马科维茨几何

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英文标题：
《On Markowitz Geometry》
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作者：
Valentin Vankov Iliev
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  By Markowitz geometry we mean the intersection theory of ellipsoids and affine subspaces in a real finite-dimensional linear space. In the paper we give a meticulous and self-contained treatment of this arch-classical subject, which lays a solid mathematical groundwork of Markowitz mean-variance theory of efficient portfolios in economics.
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中文摘要：
Markowitz几何是指有限维线性空间中椭球与仿射子空间的交集理论。在本文中，我们对这一重要的经典课题进行了细致而全面的论述，为经济学中有效投资组合的马科维茨均值-方差理论奠定了坚实的数学基础。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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2022-6-1 03:12:49 上传

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关键词：马科维茨 科维茨 Optimization Quantitative Mathematical

保加利亚科学院数学和信息研究所马科维茨几何瓦伦丁·万科夫·伊利耶夫研究所，保加利亚，索菲亚1113。电子邮件地址：viliev@math.bas.bgAbstractByMarkowitz几何我们指的是实有限维线性空间中椭球体和任意子空间的交集理论。在本文中，我们对这一重要的古典学科进行了细致而全面的论述，为经济学中有效投资组合的马科维茨均值方差理论奠定了坚实的数学基础。关键词：椭球体，a ffine子空间，马科维茨均值-方差理论，高效金融投资组合。AMS代码：15A63；15A99；49K35JEL代码：G1101简介和注释1.1简介本文解决了以下极值问题：给定一个正维a ffne子空间C Rn，C上非常数的线性形式π，Rn上的正定义二次型v，找到所有点x∈ 使得π（x）=maxx∈C、 v（x）≤v（x）π（x）和v（x）=minx∈C、 π（x）≥π（x）v（x）。（1.1.1）证明（1.1.1）的解的轨迹是C中的一条射线E，其端点是垂线的底脚从坐标系的原点O到a ffine空间C（垂直度与通过极化从v获得的标量积有关）。设hr为方程π（x）=r，r的超平面∈ R、 然后让rbe从O到a ffene子空间的垂线∩ 人力资源部。如果π（x）=r，v（x）=a，则E={r | r≥ r} ，则，= r、 水平r=π（x）和a=v（x）沿E呈二次相关：a=cr。设x=t（x，…，xn）为Rn中的一般向量，设M为指数集n={1，…，n}的一个子集，设C=∩j∈Mh（j），其中h（j）是线性独立的超平面，方程π（j）（x）=τj，τj∈ R、 j∈ M

（1.1.2）在case中，超平面∏={x | x+·····+xn=1}是h（j）的一个，我们可以解释x∈ C作为一个n资产金融投资组合，受线性约束（1.1.2）。接下来，在某些条件下，见4.2，我们可以将π（x）解释为投资组合x的预期回报，将v（x）解释为其风险。最后，我们可以从纯粹的几何角度出发，将马科维茨的计量方差理论中的有效投资组合元素解释为有效投资组合。著名的开创性工作[1]就是以这种方式写的，变量s的非负性条件（由于缺乏卖空）扭曲了画面，迫使马科维茨在单纯形图中使用单纯形法的变量[2]。因此，我们必须研究紧致轨迹中包含的线性段的更复杂分段集，而不是有效投资组合的射线 对于C上的∏单元单纯形，如果x∈ EM\\E∩ , 然后π（x）<maxx∈C、 v（x）≤v（x）π（x）或v（x）>最小值∈C、 π（x）≥π（x）v（x），即预期收益的最大值π（x）减小或风险的最小值v（x）增大，这是我们的出发点。在第1节定理2.2.1中，我们证明了跟踪Qa∩ 方程v（x）=a的椭球体qa的C在r n上，空间C也是椭球体情况a≥ γM（τ），其中γM（τ）是变量τ=（τj）j中的正定义二次型∈M∈ RM。椭球体的中心Qa∩ C是垂线的底脚从O到C，并且，我们在C上的适当坐标下找到了它的方程。不等式a≥ γM（τ）确定了一个“椭圆”锥^γMin R×RM，它是定理2.3.1中描述的束ξ的基础。通过将椭球体a=γM（τ）“向上”（a在增加）拖动，我们建立了一个真正的代数变体，它是ξ的^γ和分支轨迹的前沿。

ξ在^γ马雷椭球内部的点上的纤维，这些椭球退化为ΓM以上的中心。使用该束，我们获得了Rnvia投影中平行于某个子空间的椭球的图像（阴影）再次是椭球-见命题2.4.1。在第二节中，我们证明了Rn中一类偏心椭球体和平行超平面的成员切点的一些极值性质。这两部分在第3节中结合在一起，我们证明射线E是所有有效马科维茨投资组合的蝗虫，并根据马科维茨均值方差理论解释几何结果。1.2符号对于任何正整数n，我们用n×1型矩阵标识实线ar空间rn的成员：x=t（x，…，xn），其中符号表示矩阵的传递。我们设置O=t（0，…，0）∈ Rnand表示为（ei）ni=1 Rn中的标准基。假设M={j，…，jm}，j<····<jm，是指数集[n]={1，…，n}的一个属性子集。给定向量x=t（x，…，xn），我们用x（M）表示向量（xj，…，xjm）∈ RM。此外，从线性空间RM中得到了索引Greeklettersτ（M）等，平均向量（τj，…，τjm）等。如果K是集合M的一个适当子集，我们将所有τj，j∈ K、 和vAryτj，j∈ 五十、 式中，L=M\\K，然后，由于一些符号的滥用（假定已知已执行的组件），我们写出τ（M）=τ（L，K）。给定一个对称的n×n矩阵Q，用Q（M）表示Q的主M×msubmatrix，它是通过抑制带有不在M中的指示符的行和列而得到的。对于正定二次型v（x）=rN上的txQx，矩阵Q，wedenote Qa={x∈ Rn | v（x）=a}，a≥ 0。集合Qa是一个椭球体，对于所有a>0的情况，中心位于RN中。如果n=1，“椭球体”Qa由两个（可能相交）点组成。

我们通过将a=0时的单态{O}定义为“椭球”，以及在零维线性空间的情况下，扩展了这一术语。对于任何a≥ 0我们表示Q≤a={x∈ Rn | v（x）≤ a} Q<a={x∈ Rn | v（x）<a}。请注意，Q≤a和Q是严格凸集。我们让π（x）=px+····+pnxnbe为线性形式，并让我们用hr表示Rn中的超平面，由方程π（x）=r，r定义∈ R、 让hr(≤) 表示半空间{x∈ Rn |π（x）≤ r} 。注释hr的含义(≥), hr（<）和hr（>）已清除。RN中的标准标量积（x，y）=txy生成标准normkxk，其中kxk=（x，x）。我们设置序号-1={x∈ Rn | kxk=1}（单位球体）。RN中的标量积hx，yi=txQy生成Q范数kxkq，其中kxkq=hx，xi=v（x），Q距离distQ（x，y）=kx- ykQ。因此，椭球Qa是一个具有Q半径的Q球体√a、 如果hx，yi=0，则两个向量x和y称为Q垂直。在本文的整个过程中，我们假设n是一个正整数，m是一个m<n的非负整数。此外，我们假设如果索引集[n]的属性子集m是一个列表：m={j，…，jm}，那么j<··<jm。2椭球和A ffne子空间2.1二次超曲面和A ffne子空间的交点et M [n] 是一组大小为m的指数，m={j，…，jm}，let（h（j））j∈Mbe Rn中线性独立的一类超平面。坐标系的选择方式可以使超平面h（j）具有方程xj=τj，τj∈ R、 我们用h（τ（M））表示交点∩j∈Mh（j）。族{h（τ（M））|τ（M）∈ RM}包含所有（n- m） -Rn中的维空间，与向量ej、j生成的m维向量子空间正交∈ M设Q=（qij）ni，j=1为对称矩阵。对于任何j∈ M we deno tebyρ（Q；Mc）-,j第j列（n- m） ×n通过删除m元素索引的行，从Q中获得matr ix。

因此，ρ（Q；Mc）-,jis a矢量inRn-M含c组分ρ（Q；Mc）i，j=qij，i∈ Mc。给定向量τ（M）∈ RM，τ（M）=t（τj，…，τjm），我们设置ρ（Q；Mc）-,τ（M）=Pmk=1τjkρ（Q；Mc）-,jk。由α（Q；M）（x）=nXj，k∈Mqjkxjxkwe表示与Q的主子矩阵Q（M）相对应的二次型。设Mc={i，…，in-m} 。如果子矩阵Q（Mc）是可逆的，则letx（Mc）=t（c（Q；Mc）i（τ（M）），c（Q；Mc）英寸-m（τ（m）））是矩阵e方程q（Mc）x（Mc）=-ρ（Q；Mc）-,τ（M）。（2.1.1）我们设置c（Q；Mc）（τ（M））=t（c（Q；Mc）（τ（M）），c（Q；Mc）n（τ（M）），其中c（Q；Mc）j（τ（M））=j的τjj∈ M、 特别是，c（Q；Mc）（τ（M））∈ h（τ（M））。如果是L M，L={l, . . . , lλ} ，我们设置c（Q；Mc）L（τ（M））=t（c（Q；Mc）l（τ（M）），c（Q；Mc）lλ（τ（M）））。注意，如果M=, 然后c（Q；[n]）（τ()) = 我们写c（Q；Mc）（τ（M））=c（Mc）（τ），类似地，ρ（Q；Mc）-,τ（M）=ρ（Mc）-,τ、 等等，如果上下文允许的话。因为向量ρ（Mc）-,τ∈ 注册护士-mdepe与τ（M）成线性关系，映射ψM:RM→ Rn，τ（M）7→ c（Mc）（τ（M）），（2.1.2）是线性空间的内射同态。我们设置E fff（Q；Mc）=ψM（RM），并注意到E fff（Q；Mc）是Rn的M维子空间。下面，当默认情况下给出矩阵Q时，我们使用短符号E fff（Mc）=E fff（Q；Mc）。引理2.1.1设K和M是K的指数集[n]的真子集 M、 设Q（Kc）和Q（Mc）是Q的可逆子矩阵。以下两个陈述是等价的：（i）一个有c（Kc）（τ）∈ h（τ（M））。（ii）其中c（Kc）（τ）=c（Mc）（τ）。证明：我们有h（τ（M）） h（τ（K）），假设K 6=M。这是为了证明（i）意味着（ii）。设c（Kc）（τ）∈ h（τ（M））。我们提醒超平面h（j）有方程h（j）：对于任何j，xj=τjj∈ M、 特别是r，foreach j∈ 我们得到c（Kc）j（τ）=τj。因此，c（Kc）（τ）Mc是方程（2.1.1）的解。

该解的唯一性意味着c（Kc）（τ）=c（Mc）（τ）。推论2.1.2单相OFF（Kc）∩h（τ（M）） EFF（Mc）。现在，让我们确定τ（M）的所有分量∈ RM，r=τ除外l对一些人来说l ∈ M，soτ（M）=τ({l},M级\\{l})（r） 。当我们改变r∈ R、 然后τ({l},M级\\{l})（r） 在RMand中描述一条直线，因此c（Mc）（τ({l},M级\\{l})（r） ）描述了我们用E fff（Q；Mc）表示的s直线l. 其射线{c（Mc）（τ({l},M级\\{l})（r） ）| r≥ b} ，b∈ R、 用E fff（Q；Mc）表示lb+。设γ（Q）M（τ）=α（Q；M）（τ）- α（Q；Mc）（c（Q；Mc）i（τ），c（Q；Mc）英寸-m（τ））。自α（Q；)（x） =0且c（Q；[n]）（τ）=···=c（Q；[n]）n（τ）=0，我们得到γ（Q）(τ) =0. 当矩阵Q从上下文中已知时，我们写出γ（Q）M（τ）=γM（τ）。根据引理A.1.2，（i），γM（τ）是τ（M）中的二次型。让我们通过替换x=z（τ（M））+c（Mc）（τ（M））来移动坐标系的原点。那么x（Mc）和z（Mc）（τ（M））在h（τ（M））上的分量的限制就是这个（n）中的坐标函数-m） -尺寸A ffine space。设v（x）=txQx是由对称非零n×n矩阵Q生成的二次型。T hus，Qa:v（x）=a是Rnfor generic a的二次型∈ R和实际变化量qa，τ（M）=qa∩ h（τ（M））由方程tx（Mc）Q（Mc）x（Mc）+2tρ（Mc）在h（τ（M））中定义-,τx（Mc）+αM（τ）- a=0。（2.1.3）设v（Mc）（z（τ（M））=tz（Mc）（τ（M））Q（Mc）z（Mc）（τ（M））。（2.1.4）如果主子矩阵Q（Mc）是可逆的，引理A.1.3意味着v（x）=h（M）上的v（Mc）（z（τ（M））+γM（τ（M）），并且在z坐标方面，方程式（2.1.3）的形式为v（Mc）（z（τ（M））=A- γM（τ（M））。（2.1.5）2.2椭球体和一个有效子空间的交点let v（x）=txQx是由对称（正定义）n×n矩阵Q产生的正定义二次型。因此，Qa:v（x）=A是rna中的一个椭圆体，对于A>0，Q={0}，Qa= 对于<0。特别是，Q（Mc）是一个主矩阵，因此是Q的正定义子矩阵。

因此，二次型（2.1.4）为正定义。根据（2.1.3）和（2.1.5），我们建立了下一个定理的（ii）、（iii）和（iv）部分。引理A.1.2，（ii）证明了第（i）部分。定理2.2.1设二次型v（x）=txQx为正定义。（i） 如果M 6=, 那么二次型γM（τ）是正定义的。（ii）如果a>γM（τ），则qa，τ（M）是（n）中的椭球体- m） -具有中心c（Mc）（τ）和Q（Mc）-半径Pa的维向量空间h（τ（m））- γM（τ）。（iii）如果a=γM（τ），则qa，τ（M）={c（Mc）（τ）}。（iv）如果a<γM（τ），则设置qa，τ（M）为空。备注2.2.2我们提醒大家，一维子空间中的椭球体是由两点组成的集合，其中心是中点。备注2.2.3根据引理3.1.2，在点x=c（Mc）（τ）处，a ffne子空间h（τ（M））与椭球Qa成角度，a=γM（τ）。备注2.2.4鉴于前面的备注，引理2.1.1具有透明几何意义：如果h（τ（K））的子空间h（τ（M））通过点x=c（Kc）（τ），则h（τ（M））也与Qaat x相切。我们立即得到以下推论：任何x的推论2.2.5（i）∈ h（τ（M））一个有v（x）≥ γM（τ）和等式成立的充要条件是x=c（Mc）（τ）。（ii）点c（Mc）（τ）∈ h（τ（M））是从原点O到a ffine子空间h（τ（M））的Q-垂直脚，一个hasdistQ（O，h（τ（M）））=kc（Mc）（τ）kQ=pγM（τ）。推论2.2.6设K和L是M与K的不相交子集∪L=M。

一个有（i）如果a=γM（τ（M）），则a桄内空间h（τ（K））上el lipsoid qa的迹qa，τ（K）是非空的，且a桄内子空间h（τ（M）） h（τ（K））与椭球qa相切，τ（K）在点c（Q；Mc）（τ（M））处。（ii）c（Q；Mc）（τ（M））=c（Q；Kc）（τ（K））+cQ（Kc）；Mc公司（τ（L）- c（Q；Kc）L（τ（K）））和（iii）γ（Q）M（τ（M））=γ（Q）K（τ（K））+γQ（Kc）L（τ（L）- c（Q；Kc）L（τ（K）））。证明：当M、K、o或L中的一个为空时，这两个断言都成立。（i） 等式qa，τ（M）=qa，τ（K）∩ h（τ（L））=qa，τ（K）∩ h（τ（M））=Qa∩ h（τ（M））和定理2.2.1，（ii）–（iv），得出在条件a=γM（τ（M））下，wehaveqa，τ（K）∩ h（τ（M））={c（Q；Mc）（τ（M））}。（2.2.1）尤其是≥ γK（τ（K）），在这种情况下，qa，τ（K）是向量空间h（τ（K））中的椭球体，具有坐标函数（z（Kc）s（τ（K）））s∈Kc。点{c（Q；Kc）（τ（K））}既是坐标系的原点，也是椭球体qa，τ（K）的中心，其方程tz（Kc）（τ（K））Q（Kc）z（Kc）（τ（K））=a- γK（τ（K））。因此我们有qa，τ（K）=Q（Kc）a-γK（τ（K））。由于（2.2.1），h（τ（K））上h（τ（L））的轨迹h（τ（M））与qa相切，点c（Q；Mc）（τ（M））（注意，在qa的情况下，τ（K）={c（Q；Mc）（τ（M））}我们有c（Q；Mc）（τ（M））=c（Q；Kc）（τ（K）），h（τ（M））也与qa相切，点c（Q；Mc）（τ（M））-参见备注3.1.1）。（ii）一个子空间h（τ（M））由方程sz（Kc）s（τ（K））=τs在h（τ（K））中定义-c（Q；Kc）s（τ（K）），s∈ L（我们有L Kc）。因此，差异（Q；Mc）（τ（M））-a ffne子空间h（τ（K））中点的c（Q；Kc）（τ（K）） rN与向量c重合Q（Kc）；Mc公司（τ（L）-c（Q；Kc）L（τ（K）），我们得到了第（ii）部分。

等式a- γK（τ（K））=γQ（Kc）L（τ（L）- c（Q；Kc）L（τ（K）））anda=γM（τ（M）屈服断言（iii）。备注2.2.7因为向量cQ（Kc）（τ（K））Q-垂直于a ffinesubspace h（τ（K）），sinc e向量cQ（Kc）；Mc公司（τ（L）-c（Q；Kc）L（τ（K）））位于这一步，上述定理的第（ii）部分是勾股定理。备注2.2.8根据三垂线定理，向量cQ（Kc）；Mc公司（τ（L）-c（Q；Kc）L（τ（K）））与a ffne子空间eh（τ（M））垂直。2.3我们考虑（m+1）-维空间R×rm，具有一般向量（A，τ（m）），具有标准拓扑，且设γm={t（A，τ（m））∈ R×RM | a≥ γM（τ）}。当M 6=和^γ= [0, ∞)×{0}. 在所有情况下，pra（γM）=[0，∞). 集ΓMis是R×rman中的代数变体（因此是闭集），差γM=γM\\915; Mis是一个开放集，两者都不是空的。设γM（τ）=tτ（M）Rτ（M），其中R是s对称M×M-矩阵。根据定理em 2.2.1，（i），如果M 6=, 矩阵R为正定义。IfM=, 那么R是空矩阵。给定≥ 0，我们设置Ra={τ（M）∈RM |γM（τ（M））=a}，注意在RM中Rais是一个椭球体。任意水平集Γa，M={t（a，τ（M））∈ R×RM | a=γM（τ）}，a>0，与椭球雨RM同构，且Γ0，M={（0，0）}。给定≥ 0，表示E fff（a；Mc）={x∈ Rn | x=c（Mc）（τ），t（a，τ（M））∈ Γa，M}。我们通过规则νM:Rn定义实代数簇的态射→ R×RM，x 7→t（v（x），x（M））。定理2.2.1产生φM（Rn）=^γM，我们设置ΦM=Д-1M（^γM），用同一个字母表示φMonΦmb的限制。