准蒙特卡罗期权定价简介

（5） 根据布朗运动的定义，W（k+1）h-这是一个期望值为0且协方差矩阵为的正态随机向量√h1Rm+1。因此，（5）通常以^Sk+1=^Sk+u（kh，^Sk）h+σ（kh，^Sk）的形式表示√hZk+1，（6）其中Z，Z。是标准法向量的序列。然而，当使用拟蒙特卡罗时，我们更喜欢原始形式。在SDE系数函数u、σ的适当正则条件下（第二变量为Lipschitz，第一变量为次线性增长，充分光滑），Euler-Maruyama格式在强意义上以阶收敛，在弱意义上以阶1收敛，因此，对于充分正则f，E（f（^Snh））是E（f（ST）的一个适当近似，对于su ficientlysmall h，正则性条件和证明的讨论见【15】。我们报告了另外两种数值求解自治SDE的方案，它们在适当的条件下，系数在强意义下以1阶收敛。第一种是Milstein方案，^Sk+1=^Sk+u（^Sk）h+σ（^Sk）Wk+1+σ（^Sk）σ（^Sk）(周+1- h） ，（7）其中周+1：=W（k+1）小时-其中σ是σ的导数。第二个是龙格-库塔方案的一个例子，其优点是不需要反激励：^Sk+1=^Sk+u（^Sk）h+σ（^Sk）Wk+1+（σ（Yk）-σ（^Sk））(周+1-h） h类-, （8） 其中，支持值Yk由Yk=^Sk+σ（^Sk）h给出。实际中可能出现的问题是，模拟路径可以离开定义域，而精确解则不能。例如，近似股票价格和/或波动过程可能变为负值。有关Heston模型蒙特卡罗模拟的彻底处理，请参见[15]和[1]。2.5 L'evy模型L'evy过程是布朗运动的推广。第3.3节将给出数学定义。这些过程对于财务建模来说很有趣，因为它们允许跳跃。

与高斯模型（即基于布朗运动的模型）类似，它们有两种形式。有明确的模型，其中股票价格是指数L'evy运动：St=exp（Lt），其中L是一个L'evy过程，E（exp（Lt））<∞r、 或者，股票价格也可以由SDE给出，即dSt=f（t，St-)dLt。如果可以从L的增量中采样，那么Euler-Maruyamascheme仍然允许我们模拟解S的离散近似，^Sk+1=^Sk+f（kh，^Sk）（L（k+1）h- Lkh）。从期权定价的角度来看，重要的是市场是无风险的。也就是说，我们需要找到一个等效的概率度量，这样可交易资产的贴现价格就是鞅。这通常是通过所谓的Esscher变换来实现的，这是一种度量的变化，在这种变化下，过程L再次是一个L'evy过程，参见示例【4，第9.5章】。2.6示例我们用一些示例来总结这篇非常简短的金融数学简介。具有价格过程（St）t的股票的欧式看涨期权≥0且有罢工和到期日，T的支付效果=最大（ST- K、 0）。因此，定价方程（2）给出了Black-Scholes模型中t asC=e时的期权价格-rTE公司*（最大值（ST- K、 0））。SinceST=Sexp（r）-σ） T+σW*T,自（r-σ） T+σW*这是一个N（0，σT）随机变量，我们得到c=e-rTZ公司∞-∞最大值（性别- K、 0）e-（十）-（r）-σ） T）2σT√2πσTdx=e-rTZ公司∞日志（KS）（性别- K） e类-（十）-（r）-σ） T）2σT√2πσTdx。积分实际上可以计算，其值由著名的Black-Scholes期权定价公式C=SΦ（d）给出- e-rTKΦ（d），（9），其中Φ（x）=Rx-∞e-x个√2πdx和d=logSK+（r+σ）Tσ√Tand d=logSK+（r-σ） Tσ√T、 （10）在这种情况下，我们得到了一个封闭式公式，无需应用模拟技术。0的价格≤ t型≤ T可以从方程（9）和（10）中简单地通过替换（T）得到- t） 对于t。

另一类通常存在封闭公式的示例是障碍和回望期权，其中支付取决于给定区间内价格的最大值或最小值。我们接着看一个更难的例子：在价格过程（St）t的股票上书写的亚洲期权的支付∈[0，T]取决于某一区间的平均价格[T，T]，T<T，其中T是期权的到期日。固定行使亚洲看涨期权的收益由C fi fix=maxT给出- TZTTSτdτ- K、 0！，浮动罢工亚洲看涨期权的支付由C fl tT=maxT给出- TZTTSτdτ- ST，0！。到目前为止，还没有人找到任何一种亚式期权的明确公式，但有相当有效的方法使用偏微分方程来计算价值，参见示例【21】。然而，这个例子是simulationmethods的一个很好的基准。对于多支股票的一揽子期权，偏微分方程方法变得很难处理。在这里，我们必须使用模拟。一个可能的示例Payoff ismaxm（ST+…+SmT）- K、 0个,但在实践中可能会遇到对价格过程更复杂的依赖。特别是，支付可能取决于价格过程的时间平均值。那么这个选项也有一些亚洲的特点。3蒙特卡罗和准蒙特卡罗模拟3.1非均匀随机数生成实际模型中遇到的大多数随机变量不是均匀分布的。因此，我们对从均匀分布中生成具有给定分布的伪随机数或准随机数的方法感兴趣。最直接的方法是所谓的反演方法，将在第一小节中介绍。我们还将介绍一类接受-拒绝方法，这些方法可以伪造具有给定分布的随机数。

我们还将指出，这些方法虽然通常对蒙特卡罗最有效，但不适用于准蒙特卡罗。3.1.1反演方法从均匀伪随机数构造非均匀伪随机数最直接的方法是反演方法。我们只在特殊情况下介绍这种方法。考虑一个具有双射累积分布函数（CDF）F的实随机变量X，即F:R-→ （0，1），F（x）=P（x≤ x） 对于所有x∈ R是这样的，存在G：（0，1）-→ 对于所有x，R的G（F（x））=x∈ R和F（G（u））=所有u的u∈ (0, 1).现在假设随机变量U均匀分布在（0，1）上，并定义一个实随机变量Y：=G（U）。那么Y有相同的分布X。要看到这个，让Y∈ R、 然后（Y≤ y） =P（G（U）≤ y） =PF（G（U））≤ F（y）= P（U≤ F（y））=F（y）。所以F也是Y的分布函数。累积分布函数可逆的一个有效条件是，它在R.3.1.2接受-拒绝方法中具有正概率密度函数（PDF），对CDF进行数值反演在计算上可能会很昂贵。生成具有规定概率密度函数f的随机变量的一种非常通用且廉价的替代方法是接受-拒绝法。对于其实现，我们需要另一个便宜的分布，例如通过反演方法进行采样。设g为该分布的概率密度函数。此外，我们需要它，对于一些c>0，f（x）≤ cg（x）代表allx∈ R、 算法如下：算法3.1。1、根据密度g和均匀随机变量U.2生成样本Y。

如果U≤f（Y）cg（Y），设置X=Y，否则返回步骤1。不难证明算法确实给出了一个具有所需分布的随机变量，并且证明c应该尽可能小，这样算法只需几步就可以停止。3.1.3 Box-Muller方法和Marsaglia-Bray算法回顾了正态（或高斯）随机变量的定义：定义3.2。如果随机变量X具有概率密度函数fx（X），则其正态分布的均值u和方差σ>0=√2πσexp-（十）- u)2σ.更一般地，随机向量X=（X，…，Xd）称为正态分布，平均u∈ 如果具有联合概率密度函数fx（x）=p（2π）ddet（∑）exp，则Rd和协方差矩阵∑>0-（十）- u)>Σ-1（x- u).这里，∑>0意味着∑必须是正定义，即x>所有x的∑x>0∈ Rd \\{0}。考虑一个二维标准法向量（X，Y）。P（pX+Y≤ r） =Zr-rZ公司√r-y-√r-yexp是的(-（x+y）/2）/√2πdx dy=ZrZ2πρexp(-ρ/2）/（2π）dДdρ=1- 经验值(-r/2）。因此，（X，Y）的模量具有分布函数FR（r）=1- 经验值(-r/2）。但这意味着我们可以通过FR，F的反演来生成一个随机半径-1R（u）=p-2日志（1- u） 算法3.3。1、生成两个独立的U[0，1）随机样本U，V；2、设R=p-2日志（1- U） ；设X=R cos（2πV），Y=R sin（2πV）。备注3.4。在算法3.3中，我们可以让R=p-2个对数（U）。但许多伪随机数生成器的实现都给出了非常低但仍然为正的概率0，而从不给出1。所以有1个- Uas对数的参数稍微节省一些。Box-Muller方法有一种接受-拒绝类型的变体，称为Marsaglia-Bray算法：算法3.5（Marsaglia-Bray）。1、生成两个独立的U[0，1）随机样本U，V；2、设U=2U- 1和V=2V- 1.3、如果U+V≥ 1拒绝（U、V）并从头开始；4.

否则S=U+V；5、如果S=0，则设置（X，Y）=（0，0）；6、else设置X=向上-2个对数/秒，Y=Vp-2个日志。我们把（X，Y）是独立标准正态变量的证明留给读者。3.1.4重要性采样对于某些密度，很难（如果不是不可能的话）精确反转CDF，而且通常在数字上这样做非常昂贵。另一方面，并不总是需要从给定的分布中精确地生成样本，而是从与之接近的分布中（在某种意义上仍有待精确）生成一个样本，并根据所产生的错误进行调整。这种方法被称为重要性抽样，或者在当前上下文中称为平滑拒绝。我们在一维环境中提出这个想法，一般情况很简单。考虑一个带有PDF FX的随机变量X，假设我们要计算某个函数h的E（h（X））。让FX表示相应的CDF，FX（X）=Rx-∞fX（ξ）dξ。通常，我们会计算（h（X））≈NNXn=1h（F-1X（Un））使用反演方法，其中U，UNis是均匀伪随机序列或低差异序列。假设现在我们不知道如何（廉价地）反转外汇。此外，假设还有另一个PDF g，其中g，g（x）=Rx-∞g（ξ）dξ容易倒置。ThenE（h（X））=Z∞-∞h（x）fX（x）dx=Z∞-∞h（x）fX（x）g（x）g（x）dx=Eh（Y）fX（Y）g（Y）,其中，Y是一个随机变量，具有PDF g。现在，可以通过使用反演方法从密度h中采样来计算最后的期望值。Eh（Y）fX（Y）g（Y）≈NNXn=1gH-1（联合国）fX（H-1（Un））g（H-1（Un））备注3.6。当使用蒙特卡罗法时，也可以使用拒识法从densityh中取样。重要性抽样的目标是减少被积函数的方差以加快收敛速度。参见示例【9】。备注3.7。

重要抽样对于arandom向量的抽样特别有用，因为arandom向量的分量具有复杂的相关结构。3.1.5为什么不使用准蒙特卡罗拒绝算法？Lowe已经提到，使用准蒙特卡罗拒绝算法是不合适的。这并不一定意味着这样做会导致糟糕的结果。但是，结果将比蒙特卡罗法更昂贵，并且比没有拒绝的QMC法更不准确。但首先考虑蒙特卡罗模拟。通常我们会得到一个伪随机数生成器，它会给我们一个序列（Un）n≥[0，1]中的数字，理想情况下，这些数字与[0，1]上均匀分布的独立随机变量的真正随机序列无法区分。从序列（Un）n≥1我们现在计算序列（Xn）n≥1具有给定分布的独立随机变量，例如使用拒绝算法。当原始序列遵守概率定律时，转换序列也会遵守概率定律。如果平均来说，一个接近原始序列1的分数β被拒绝了，这不会造成太大的伤害。对于准蒙特卡罗，情况截然不同。如果我们有一个低偏差序列（un）n≥1在s维单位立方体中，我们对每个组件应用一个映射算法，然后我们必须决定如果一个组件被拒绝，该怎么办。我们是否拒绝整个要点，即所有组件？我们还能做什么？无论我们做什么，我们都会放松序列的低差异结构。我们提供了一个简单的示例。设f为γ分布的概率密度函数，参数a，f（x）=xa-1exp(-x） /Γ（a）并设g为参数b的指数分布的密度，g（x）=b exp(-bx）。如果a=1.2，b=0.85，则f（x）≤ b-1g（x）。

我们将拒绝算法应用于维度4中的一些晶格规则，即前两个分量用于生成第一个Gamma变量，而后两个分量用于生成第二个Gamma变量。如果在生成任一组件时发生拒收，则整个四维样本将被拒收。结果序列（xn）n≥将具有两个独立的Γ（1.2）变量的分布，因此将相应的CDF应用于给定序列（un）的组件≥1在单位平方中是均匀的。然而，没有理由说它应该有任何额外的结构，比如低离散度是（t，4）-序列。图3比较了（un）n≥1使用原始晶格的第一个和第三个组件。当然，晶格中的点数必须大于绘制的点数，这样我们可以在两个图中显示相等的点数。可以看出，虽然左侧的点与晶格仍有一些相似之处，但它们显示了随机数的一些典型特征，即它们显示了簇和孔的存在。3.1.6当仍然不使用蒙特卡罗拒绝法时，接受-拒绝法的另一个问题是，它有时会使蒙特卡罗模拟结果对模型参数的依赖性变得不太平滑。很明显，真实蒙特卡罗模拟的结果是通过定义随机的。如果要寻找使计算的积分最小化（函数）的模型参数，那么这有一个平行缺点0.20.40.60.81.00.20.40.60.81.00.20.40.60.81.00.20.40.60.81.00.20.40.60.81.0图3：拒绝的晶格点与原始晶格点的比较，例如牛顿方法无法使用。在实践中，通常需要确定蒙特卡罗模拟的随机序列，即为每组参数重新启动随机生成器。

在这个意义上，蒙特卡罗方法变得更接近QMC，因为点集现在是确定性的。然而，如果接受-拒绝用于生成随机变量，那么作为模型参数函数的积分仍然可能有噪声。以下艺术示例摘自【6】。示例3.8。允许Xλii=1，。。。，nbe一个i.i.d.伽马（λ，1）随机变量序列，Sλ=Pni=1Xλi。进一步f（S）：=S-(R)λ·n。我们想要近似α（λ）=Ef（Sλ）对于λ，λ的不同值，通过估计器^αN（λ）=NNXj=1f（Sλj）∈ (λ - ,λ + ). 有两种情况：1。我们使用蒙特卡罗方法和以合适的指数分布为主导函数的接受-拒绝。对于λ的每一个选择，都会重新启动伪数生成器，因此实际上我们对每个积分求值都使用相同的序列。其原因是，否则^α（λ）本身将是随机的。2、我们使用低偏差准蒙特卡罗序列（此处为Sobolsequence）和逆变换方法。我们为n=5，n=1024，(R)λ=2和 = 0.2，其中λ以0.001的步长变化。在图4中可以看到相当多的噪声，而在图5中，图形非常平滑。例如，如果想要最小化α（λ），平滑度很重要。一个应用是根据市场数据校准财务模型。1.8 1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2-1.5-1.-0.500.511.5λ^αN（λ）图4：采用固定蒙特卡罗点集的验收-拒收方法1.8 1.85 1.9 1.95 2 2 2.05 2.1 2.15 2.2-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81λ^αN（λ）图5：具有准蒙特卡罗点集的逆变换方法3.2布朗路径的生成从金融和物理角度来看，许多问题都包含由布朗运动建模的现象。

在本节中，我们给出了基本定义，并描述了从布朗运动中采样的一些方法。3.2.1布朗运动——定义和性质定义3.9。RDI中的标准布朗运动B是一个连续时间的随机过程，定义在某个概率空间上(Ohm, ∑，P），具有以下性质：1。B=0几乎可以肯定；2.B具有固定增量，即对于任何s，t≥ 0随机变量Bt+s- Bt和Bs具有相同的分布；3.B具有独立增量，即对于任何n∈ N和任何t，田纳西州∈[0, ∞) t：=0<t<t<…<tn，随机变量Bt-英国电信，Btn公司- Btn公司-1独立；4.qtbt是每t的标准正态Rd值随机变量≥ 0;B有连续的路径，即对于每个ω∈ Ohm 映射t 7-→ Bt（ω）是连续的。对于应用程序，我们通常只需要计算有限多个节点t，…，的布朗路径，td。因此，我们定义了离散化为0<t<…<TDA为具有均值零和协方差矩阵的高斯向量（Bt，…，Btd）最小值（tj，tk）dj，k=1=ttt。tttt。tttt。t、 。。。。。。。。。。。。。。。ttt。td公司.3.2.2经典构造离散布朗路径有三种经典构造：o正向方法，也称为分步法或分段法o布朗桥构造或L'evy Ciesielski构造o主成分分析构造（PCA构造）正向方法也是最简单的方法：给定标准法向量X=（X，…，Xd），离散布朗路径由BT归纳计算=√tX，Btk+1=Btk+ptk+1- TXK+1。利用E（XjXk）=δjk，很容易看出（Bt，…，Btd）具有所需的相关矩阵。