准蒙特卡罗期权定价简介

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英文标题：
《A short introduction to quasi-Monte Carlo option pricing》
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作者：
Gunther Leobacher
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  One of the main practical applications of quasi-Monte Carlo (QMC) methods is the valuation of financial derivatives. We aim to give a short introduction into option pricing and show how it is facilitated using QMC. We give some practical examples for illustration.
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中文摘要：
准蒙特卡罗（QMC）方法的主要实际应用之一是金融衍生品的估值。我们的目的是简要介绍期权定价，并展示如何使用QMC促进期权定价。我们给出了一些实际的例子进行说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> A_short_introduction_to_quasi-Monte_Carlo_option_pricing.pdf (853.98 KB)

2022-6-1 03:18:45 上传

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关键词：期权定价 蒙特卡罗 蒙特卡 Applications introduction

准蒙特卡罗期权简介*准蒙特卡罗（QMC）方法的主要实际应用之一是金融衍生品的估值。我们的目的是简要介绍期权定价，并展示如何使用QMC促进期权定价。我们给出了一些实际的例子进行说明。1概述金融数学，尤其是期权定价，已成为准蒙特卡罗（QMC）方法的主要应用之一。QMC是指高维积分在单位cubeI=Z[0,1]df（x）dx上的数值逼近，采用确定性等权积分规则，即isI≈NN型-1Xk=0f（xk），对于适当选择的点集x，xN公司-1.∈ [0，1]d.在第二节中，我们简要介绍了期权定价理论。主要目的是解释为什么可以写期权价格（大约！）作为高维积分。我们给出了几个研究人员经常使用的例子，作为他们定价方法的基准。*作者得到了奥地利科学基金（FWF）项目F5508-N26的支持，该项目是特别研究项目“准蒙特卡罗方法：理论与应用”的一部分。在第3节中，我们首先讨论了模拟的一些一般性，如非均匀随机变量的生成。我们给出了为什么acceptancerejection算法通常不能很好地与QMC配合使用的一些理由。我们给出了布朗运动和L'evy过程的基本性质，并说明了如何从均匀或正规输入变量生成近似路径。一个特殊的相位是用于路径生成的正交变换。我们提到了多层次蒙特卡罗的重要主题，并用期权定价的一些具体例子进行了总结。本文并不试图做一个全面的调查。

这里有许多问题和解决方案没有提及，但也同样重要。仅提及一个主题：对于障碍期权，当使用离散布朗路径的最大值作为连续时间路径的近似值时，离散化偏差非常大，因此导致不切实际的高维。因此，必须找到从离散化节点或类似节点之间的最大路径进行采样的方法，从而使用比理解此处所述基本方法所需的更多涉及概率理论。这篇文章也不够全面，因为它忽略了一个重要的问题：为什么这些方法适用于金融问题？大多数QMCdoes理论不适用于期权定价中出现的各种函数。这些函数通常表现良好，因为它们是分段对数线性的，但它们是非常高维的，它们通常没有边界或有边界变化，也不位于许多加权Korobov或Sobolevspace中，对于这些加权Korobov或Sobolevspace，积分已被证明是可处理的。尽管如此，本文中描述的方法在实践中得到了广泛的应用，而且看起来效果不错。充分解释为什么他们会给出这些好的结果将是一个巨大的成就，需要积极的研究。2金融数学基础2.1债券、股票和衍生品由于金融数学（主要）是关于金融工具的估值，我们现在简要概述其中最基本的内容债券是一种金融工具，在未来的预定日期向其所有者支付固定金额的资金。债券的发行人通常是大公司或ZF。所有者实际上成为了作者的编辑。如果债务人的质量很高，债券可以建模为确定性付款。

债券通常以低于其支付价格的价格出售，从而支付利息A股是一种金融工具，保证其持有人拥有公司的股份。特别是，股东因股息支付而参与营业收入。然而，股息支付并不是a股收入的唯一可能来源。至少同样重要的是价格变化带来的收益。在不利的情况下，价格变化可能会导致亏损。如果一家公司的股票在证券交易所交易，那么买卖它们就特别简单，高频交易者可以每秒多次买卖大量股票。股票价值取决于一系列参数，如个人代理人的偏好、公司资产、未来股息支付和未来利率。所谓的有效市场假说假设，股票在特定时间的价值就是当时的市场价格。在这种假设下，在数学模型中计算股票的客观价值并将其与市场价格进行比较是没有意义的。计算出的股票价值与市场价格不同的唯一方式是，我们的偏好和/或预期与市场主体的偏好和/或预期不同，从而给出一个主观价格未定权益是一种金融工具，其在未来日期的价值可以完全用其他金融工具及其基础的价格来描述。一个典型的例子是股票期权。到期日为T的欧洲股票看涨期权是一种合同，赋予持有人权利（但不是义务）在未来某个固定时间T，按照先前约定的价格，从期权编写人处购买一股股票。

用ST表示T时的股票价格。由于期权持有人可以在证券交易所立即出售股票，T时的期权价值为ST-如果ST>K，则为K；如果ST>K，则为0≤ K、 图1左侧显示了欧洲看涨期权的支付，该支付取决于到期时的股票价格。一个重要特征是履约价格K的扭结。在图1的右侧，我们绘制了欧洲认沽期权的支付。这是一种期权，其持有人有权（但不是特权）在未来的某个固定时间T，以先前商定的价格K向期权制定人出售一股股票。如果股价满足≥ K在时间T时，则期权无效。但如果ST<K，期权持有人可以在证券交易所以固定价格购买股票，然后立即以K的价格将其出售给作者，从而实现K的收益- 在图2中，我们显示了另一个或有债权的支付，即所谓的数字资产或无认购权。如果当时标的物的价格高于重击K，则该期权在到期时支付固定金额的现金。我们还绘制了相应看跌期权的支付图。数字期权是不连续支付的未定权益的一个例子。图1：欧洲看涨期权和看跌期权的支付图2：数字现金或无任何看涨期权和看跌期权的支付图由于期权的价值与基础期权的价值密切相关，在简单模型中完全由模型的参数决定，因此可以在这些模型中使用套利参数计算期权的客观价值。2.2套利和无套利原则为您提供股票期权。你知道期权的具体情况，因此，鉴于股票在特定时间的不确定价值，你知道期权到期时的不确定收益。

人们试图使用统计方法从历史股票价格中估计时间T的股票价格分布，并更进一步估计期权的价值，作为其在估计分布下的预期价值。我们将在本节中说明，从更基本的角度来看，这种合理的计划通常会产生一个不合理的价格，因为它允许风险较小的利润。虽然一般套利理论远远超出了本文的范围，但基本原则可以很快说明。对于一般理论见[5]。假设以下简单的市场模型，其中我们只有两次0和1，以及三种工具，一种债券、一种股票和一种欧洲看涨期权，其期限K=1，到期日T=1。设B=（Bt）t∈{0,1}，S=（St）t∈{0,1}，C=（Ct）t∈{0,1}分别表示债券、股票、期权的价格过程，并假设以下参数：B>0，B=B（1+r），r≥ 0，S>0，S=Su，概率p，S=Sd，概率1- p、 其中，0<d<1+r<u。时间1的选项值为最大值（S- K、 0），因此C=最大值（Su-K、 0），概率p和C=最大值（Sd-K、 0）概率为1- p、 假设我们知道，例如，从统计研究中，p的值。那么我们很容易得出结论，在时间0时，期权的价格是^C=BBE（max（S-K、 0））=1+r（p最大值（Su-K、 0）+（1-p） 最大值（Sd-K、 0））。然而，这个公式在一般情况下不可能成立。假设r=0，u=2，d=，S=K=1，p=，上述公式给出了^C=。然后我们可以做以下事情：在时间0时，写出4份期权，以2欧元的价格出售，再借入1欧元购买3股股票。请注意，netinvestment为零。现在等到时间1。如果股价上涨，这些股票价值6英镑。我们卖掉它们可以得到6欧元的现金。

由于股价ST（2）大于罢工K（1），期权将被执行，花费我们4欧元，我们必须偿还1欧元。因此，我们的战略给我们留下了1欧元的净利润。如果股价下跌，期权就会变得一文不值，我们就会卖掉这些股票，从而在偿还1欧元后，给我们留下大约欧元。因此，无论发生什么，我们都会得到积极的回报，而不会承担任何风险。这种情况被称为套利机会，并且由于明显的原因，通常假设这种机会在viablemarket中不存在。可以很容易地证明，在这个模型中，只有一个价格不允许套利，namelyC=1+rp*最大值（Su- K、 0）+（1- p*) 最大值（Sd- K、 0）,其中p*=1+r-杜邦-d、 p的显著特征*是1+r（p*Su+（1-p*)Sd）=S，也就是说，股票价格过程是关于这个新概率的鞅。对此，我们没有给出确切的定义。直观地说，鞅是一个过程X，因此Xt+s的条件期望等于Xt。因此，鞅是一个公平博弈中参与者的收益过程的模型。2.3 Black-Scholes模型上一节中的简单模型可以扩展到n步设置。人们倾向于让n进入单位，以获得连续时间模型。事实上，这可以用严格的方式来完成，这样我们就可以得到一个形式为bt=Bexp（rt）St=Sexp（ut+σWt），（1）的模型，其中W是布朗运动，即具有特定性质的连续时间随机过程。布朗运动的精确数学定义将在第3.2.1节中给出。与一步模型一样，存在概率测度P*, 等于原始度量值P，因此t 7→ B-1stt变成鞅。

在这个新的概率度量下=Sexp（r）-σ） t+σW*t型,其中W*t=重量+r-u-σσ是P下的布朗运动*.这种新的概率度量现在被用于该模型中的衍生品定价：如果C是某个欧洲未定权益，即支付时间T是St的函数的衍生品，0≤ t型≤ T，则其在时间0的无套利价格由C=E给出*（B）-1 CT），（2）其中E*表示对P的期望*. 当Ct仅取决于若干Stj时，j=1，那么（2）中的期望可以写为一个m维积分，这就是QMC进入游戏的地方。第3.2节将对此进行详细说明。在我们的连续时间模型中，我们假设期权可以在到期之前的任何时间进行交易。为此，（2）isB的时间t模拟-1tCt=E*（B）-1 Ct），（3）或Ct=BtE*（B）-1TCT）。由于其简单性，Black-Scholes模型并没有为我们提供许多有趣的模拟示例。解决棘手问题的一个步骤是研究m维Black-Scholes模型。考虑m股，其价格过程由jt=Sjexpujt+kXl=1σjlWlt给出！其中W，wk是k独立的布朗运动，σ=（σjl）jlisa m×k矩阵。在这个模型中，概率测度的存在性和唯一性都不是-rtSjt）0≤t型≤Ta鞅被授予。事实上，每个解ν∈ 线性系统的Rmofσν=r1-u -diag（σ∑>）产生了这样一个度量（1是rm中的向量，所有条目都等于1）。如果存在这样的解决方案，那么价格过程的形式为sjt=sjep（r-（σσ>）jj）t+kXl=1σjlWlt！，式中，W，在新测度下，wk是k独立的布朗运动。备注2.1。

只有当我们限制为有限的时间间隔[0，T]，T<∞.从（最优）投资组合选择的角度来看，这些模型很有趣，但它们也通过衍生品定价为我们提供了实际的高维集成问题。重要的例子是篮子期权，这是一种衍生品，其收益取决于几只股票的价格过程。一个价格为S的股票篮子期权支付的例子，SdisCT=最大值wST+…+wrd1SdT- K、 0个,对于某些重量w，wd。2.4 SDE模型在金融数学的许多模型中，股价过程没有明确给出，而是通过随机微分方程（简称SDE）来描述。例如，与基本Black-Scholes模型相对应的SDE isdSt=uStdt+σStdWtS=s。该SDE的a.s.唯一解的初始值为sist=sexp（ut+σWt-σt），这样，对于^u=u+σ，我们可以从（1）中恢复价格过程。这是随机分析中著名的It^o公式的结果。简言之，Ite^o公式表明，对于函数f，其中Cin为第一个变量，Cin为第二个变量，我们有df（t，Wt）=ft（t，Wt）dt+fW（t，Wt）dWt+fW（t，Wt）dt。更一般地说，模型可以通过m+一维SDEdSt=u（t，St）dt+σ（t，St）dWtS=s来定义。（4）其中s=（s，…，Sm）是m+一维随机过程，s=（s，…，Sm）∈ Rm+1。假设一个坐标是可以用作数字的资产的价格，因为它从不为0。

在这个通用模型中，并非所有组件都需要对应于股价，甚至根本不需要对应于价格。例如，考虑所谓的Heston模型（已经采用了一个等效的鞅度量）：dBt=rBtdtdSt=rStdt+pVtSt（ρdWt+p1- ρdWt）dVt=κ（θ- Vt）dt+ξpVtdWt（B，S，V）=（B，S，V）。这里，r，κ，θ，ξ是正常数，u是实常数，和-1<ρ<1是相关系数。我们流程的第三个组成部分V是所谓的股价波动，它不是一种可交易资产。值得一提的是，尽管SDE没有明确的解决方案，但在使用拉普拉斯反演的赫斯顿模型中，欧式看涨期权的价格有一个半精确公式。我们不关心SDEs理论，因为这显然超出了本文的范围。从（准）蒙特卡洛的观点来看，人们最感兴趣的是知道，在SDE系数的适当正则性要求下，存在唯一的解，并且在更强的条件下，该解可以近似。设St为时间T时SDE的解，并设^sn为时间网格0=T<T<…<上计算的St的近似值tN=T，线性度δ=max1≤k≤N（tk-tk公司-1). 我们说，如果E（| ST），则^sn收敛到具有γ级的强感觉-^SN |）=O（Δγ）。有时，计算属于某类C的函数f的解（f（ST））的某些特征就足够了。这个问题与数值格式的弱收敛概念有关。例如，参见[15，第9.7章]。其好处是，近似格式的弱阶通常高于同一格式的强阶。最直接的求解方法是Euler-Maruyama方法：给定（4），我们计算时间节点0，h，…，上的近似解^S，nh=T过孔=SbSk+1=bSk+u（kh，bSk）h+σ（kh，bSk）周+1。