准蒙特卡罗期权定价简介

forwardmethod除了简单之外，主要的吸引力在于它非常有效：假设√tk+1- tkare预先计算，生成路径只需生成法向量加上d乘和d- 1新增内容。另一种结构是布朗桥结构，它允许值Bt，BTD按任意给定顺序计算。使这成为可能的主要观察结果是下面的引理，其证明留给读者。引理3.10。设B为布朗运动，r<s<t。则B的条件分布给定Br，Btis N（u，σ），u=t- st公司- 苏格兰皇家银行+苏格兰皇家银行- rt公司- rBtandσ=（t- s） （s）- r） t型- r、 假设（Bt，…，Btd）的元素应按Btπ（1），Btπ（2），…，的顺序计算，Btπ（d）表示d元素的某些置换π。在计算btπ（j）时，我们需要考虑之前计算的元素，其中两个元素是相关的，左边π（j）旁边的元素和右边π（j）旁边的元素：定义每个j∈ {1，…，n}两组，L（j）：={k:k<π（j）和π-1（k）<j}R（j）：={k:k>π（j）和π-1（k）<j}。因此，L包含所有小于π（j）的指数k，并且已经为其构造了btkha，R包含所有大于π（j）的指数k，并且已经为其构造了btkha。现在定义（j）：=如果Lj=最大Ljif Lj6=r（j）：=∞ 如果Rj=最小Rjif Rj6=设置Bt=0，Btπ（j）：=Btl（j）+ptπ（j）- tl（j）Xjif r（j）=∞tr（j）-tπ（j）tr（j）-tl（j）Btl（j）+tπ（j）-tl（j）tr（j）-tl（j）Btr（j）+q（tπ（j）-tl（j））（tr（j）-tπ（j））tr（j）-tl（j）Xjif r（j）<∞,其中X=（X，…，Xd）是标准正态随机向量。很容易检查以这种方式构造的向量（Bt，…，Btd）是否再次具有协方差矩阵（min（tj，tk））j，k。

函数l和r以及Btl（j）、Btr（j）、Zj的因子不依赖于随机向量X，因此可以预先计算它们。在某些特殊情况下，可以显式计算函数l和r，例如，如果π（tj）是vander-Corput序列或α=1的{kα}序列的前n个元素+√, 见【16】。因此，布朗桥构造也非常有效：除了向量X的生成，一个样本的计算最多使用2d加法和3D乘法。此外，我们还看到，正构式是布朗桥构式的一个特例，其中π是相同的置换。PCA构造利用了（Bt，…，Btd）的相关矩阵为正定义的事实，因此可以以V DV的形式写入-1对于具有正项的对角矩阵D和正交矩阵V。D可以写成D=DD，其中Dis是D的元素正平方根。现在，标准正态随机向量X的PCA构造由（Bt，…，Btd）>=V DX给出。对于高维问题，主成分分析的缺点是矩阵向量乘法的计算复杂度为O（d），成本相对较高。Keiner和Waterhouse【14】描述了一种近似的PCA，其矩阵向量乘法的代价为O（d log d）。3.2.3远期建设有什么问题？我们已经提供了三种不同的布朗路径构造，其中一种是独立的，因为它显然是最简单的一种。那么，为什么不在每个应用程序中使用forward结构呢？答案是，理论预测，如果维度很大，并且集成节点的数量是现实的顺序，那么QMC的集成误差很大，就像几百万个节点一样。

但人们可能希望，如果只有有限数量的输入参数对结果具有重要意义，那么qmcm的行为可能与低维积分问题非常相似。图6显示了输入参数对整个离散路径的影响。我们比较了左侧的正向结构和右侧的布朗桥结构。在上两个图中，除第一个输入变量外，其余所有变量均保持不变。我们发现，对于布朗桥结构，第一个变量对路径总体行为（非正式意义上）的影响更大。在两个较低的图中，除第7个输入变量外，其余所有变量均保持不变。我们发现，在正向构造中，只有第七个节点后的路径值受到影响，但总体影响仅略小于第一个变量的影响。相比之下，第七个变量对Brownianbridge结构的影响仅限于第三季度，远远小于第一个变量。上述“行为像一个低维问题”的概念在[3]中用有效维的概念进行了精确表述。但必须补充的是，尽管效果维度的概念很受欢迎，但它并不能完全解释替代结构的成功。有大量的作者研究了这个问题，目前这一问题在很大程度上仍未解决-15-10-5-15-10-5-15-10-5-15-10-5图6：用正向结构（左）和布朗桥结构（右）构造的布朗运动路径。除一个参数外，所有参数均已固定。回答标题中提出的问题：正向构造没有错，但对于某些类别的问题，其他构造的错误更低，至少在经验上是如此。

对于其他问题，正向构造可能很明确，例如，由于【19】的原因，这也是第3.5.3.2.4节等间距离散化节点中的一个示例。在这种情况下，等间距的tjare具有特殊意义，很快就会变得明显。在这种情况下，协方差矩阵等于dmin（j，k）dj，k=1=d1 1 1 . . . 11 2 2 . . . 21 2 3 . . . 3.1 2 3 . . . d.我们将用∑（d）表示该矩阵，如果没有混淆的危险，则用∑表示该矩阵。注意，我们可以很容易地计算∑的Cholesky分解：∑（d）=SS>，其中S=S（d）：=√d1 0 0 . . . 01 1 0 . . . 01 1 1 . . . 0...............1 1 1 . . . 1..请注意，如果y=（y，…，yd）是Rd中的向量，则Sy是累计总和y除以√d、 Sy=√d（y，y+y，…，y+…+yd）。我们有以下两个简单的引理：引理3.11。设A为AA>=的任意d×d矩阵，X为标准法向量。那么B=AX是一条离散布朗路径，具有离散化d，d，d-1d，1。证据因为每个独立正态随机变量的线性组合仍然是正态的，所以AX是正态的。我们计算协方差矩阵：E（（AX）j（AX）k）=EdXl=1AjlXldXm=1AkmXm=dXl=1dXm=1AjlAkmE（XlXm）=dXl=1AjlAkl=（AA>）jk=∑jk。引理3.12。设A为AA>=的任意d×d矩阵。然后是A=SV的直角d×d矩阵V。相反，对于每个正交d×d矩阵V，SV（SV）>=∑。证据假设AA>=∑，这样AA>=SS>。请注意，S是可逆的，定义V=S-1A。ThenV V>=S-1AA>（S-1） >=S-1SS>（S-1） >=idRd，表示V正交。反之，对于正交V，我们有V>=V-对于等距离散化节点，通常可以显式给出与经典矩阵对应的正交矩阵。

与正向方法相对应的正交变换是Rd上的相同映射。对于d=2k，与布朗桥结构相对应的正交变换，其中B按顺序B、B、B、B、B、B、B、。，Is由Haar逆变换给出，参见[18]。对于PCA，Scheicher给出了正交变换，并且证明了计算复杂度为O（d log（d）），参见【22】。引理3.12中表示A的优点是，有许多正交矩阵允许快速矩阵向量乘法，也就是说，可以使用O（d log（d））运算计算长度为d的路径。示例包括沃尔什变换、离散正弦/余弦变换、希尔伯特变换等。再次参见[18]。回到非均匀空间离散化节点的一般情况，请注意以下几点：假设节点0<t<…<td。我们可以使用我们最喜欢的正交变换计算等距路径（Bd，…，Bd），然后计算▄B=√d√待定，√t型- t（Bd- Bd），ptd公司- td公司-1（Bdd- Bd公司-1d）.那么▄B是离散化为0<t<…<的离散布朗路径td。3.3生成列维路径定义3.13。RDI中的L'evy过程L是一个连续时间的随机过程，定义在某个概率空间上(Ohm, F、 P）具有以下特性：1。L=0几乎可以肯定；2、L具有固定增量，即对于任何s，t≥ 0，随机变量Ls+t- Lt和Ls具有相同的分布；3、L有独立的增量，即对于任何n∈ N和任何t，田纳西州∈[0, ∞) t：=0<t<t<…<tn，随机变量Lt-Lt，Ltn公司- Ltn公司-1独立；4、L在概率上是连续的，即对于所有t≥ 0和c>0，limh→0P（| Lt+h- Lt |>c）=0。在不丧失一般性的情况下，也可以要求（见[20，第I.4章，理论30]）5。

L有c\'adl\'ag路径，也就是说，对于每个ω∈ Ohm 映射t 7-→ Lt（ω）是右连续的，从左边开始有限制。我们将集中讨论离散路径，因此讨论属性4。和5。对我们的目的来说，这些都不重要。从上面得出的一个性质是，L'evy过程已经完全以L的分布为特征。Poisson过程提供了例子，其中Lhas Poisson分布和Brownian运动，其中L~ N（0，1）。L'evy-Kintchineformula（见[20，第I.4章，定理43]）指出，对于任何L'evy过程，都有数字b，σ∈ R和R{0}上的度量ν，R | x |<1xν（dx）<∞使得由φLt（u）=E（exp（iuLt））=exp（tψ（u））和ψ（u）=ibu给出的Ltis的特征函数-σu+Z | x|≥1（exp（iux）-1） ν（dx）+Z | x |<1（exp（iux））-1.-iux）ν（dx）。因此，Lt的分布（以及增量Lt+s- Lt）可通过傅立叶反演计算。对于某些分布，如正态分布、泊松分布和伽马分布，可以明确给出增量的密度。实际上，在给定的节点集0<t<…<td：让F-1t表示Lt的分布函数的倒数。设U，Udbe独立U（0，1）随机变量。定义：=F-1t（U）Ltk：=Ltk-1+F-1千吨-tk公司-1（英国）。也就是说，forward方法立即起作用。

除特殊情况外，其他结构对L'evy过程没有直接的推广，对于L<m<r，可以计算给定L，L的条件分布。其中一个例子是Gamma过程，即L'evy过程，其中L的Gamma分布具有参数（tγ，λ），γ，λ∈ （0，∞), 即P（Lt≤ z） =Zxxγ-1λγΓ（γ）exp(-x/λ）dx，其中在[2]中显示，对于该过程以及方差伽马过程，可以进行桥梁施工，方差伽马过程是形式7的L'evy过程→ WLt，其中L是伽马过程，W是布朗运动。然而，有一个简单的技巧，首先在[17]中用于布朗桥，然后在[11]中单独用于一般正交变换，它恢复了这些变换的一些定性特征：我们可以重写离散L'evy路径的正向构造asLt：=F-1t（Φ（Y））Ltk：=Ltk-1+F-1千吨-tk公司-1（Φ（Yk）），其中Y，Y是独立的标准正态变量，Φ是标准正态CDF。现在使用正交变换的原因很简单，Ydare由输入变量X、…、，Xdby与正交矩阵相乘，即Y=V X。图7说明了该方法对离散正态逆高斯（NIG）L'evy路径构造的影响。右侧的图显示了第7个输入变量的影响。与图6中相应的布朗运动示例相比，我们发现这种影响的局部化程度较低，但它仍然是第七个变量，主要影响区间上路径的行为[，]。请注意，这些图有点误导，因为它们在离散化点之间线性插值，因此看起来像连续函数。实际上，NIG过程的路径（概率为1）在每个非空开放区间内的若干跳跃内不连续。

例如，如果要计算某个集合中路径的首次进入时间的某些特征，请务必记住这一点，例如障碍选项-0.4-0.20.20.4-0.15-0.10-0.050.050.100.15图7：用布朗桥正交变换构造的NIG过程路径。左图：除第一个变量外，所有变量都保持不变。右图：除第7个变量外，其余变量均保持不变。为了简单起见，这里从NIG分布中对增量进行了采样。一般来说，对于t 6=1，从LTT中采样需要傅立叶逆变换。3.4多层（准）蒙特卡罗多层蒙特卡罗是一种加速蒙特卡罗模拟的技术，尤其是SDE模型。从贾尔斯（8）和海因里希（10）的开创性工作开始，它在过去几年中获得了很多认可。我们简要介绍一下这种方法。假设我们想要近似E（Y），对于某个具有有限期望的随机变量Y。进一步假设我们有一系列有效的正则函数f`:Rd`→ R使Lim`→∞E（f`（X`）=E（Y），（11），其中每个`≥ 0，X`表示d`-维标准法向量。在大多数情况下，f`将是在具有d`离散化节点的布朗路径上定义的函数的离散版本，通常d`=2`。固定行使亚洲期权提供了一个标准示例，其payofff（B）：=maxTZTSexpσ√T Bt/T+（r-σ） t型dt，K！，其中，B是标准布朗运动，Sis是时间0时的股价，K是期权的行使，σ是波动率，r是利率。B将由形式为SV\'X\'的离散路径近似，其中，例如，V\'是对应于d`=2 `-维PCA的正交变换。等式。（11） 指出存在一系列以更高精度逼近E（Y）的算法。

例如，如果f`（X`）有有限的方差，我们可以通过NPN近似E（Y）-1k=0f`（X`k），使用足够大的`和N，其中（X`k）k≥0是独立标准法向量的序列。通常，f`（X`k）的计算成本随着`的增加而增加。多层次方法有时可以帮助我们通过计算更多的样本来获得更粗糙的近似值，从而节省大量的计算时间，这些近似值不需要计算时间，但具有更高的方差。我们有，对于大L，E（Y）≈ EfL（XL）= Ef（X）+LX`=1Ef`（X`）- Ef级`-1（X`-1)= Ef（X）+LX`=1Ef`（X`）- Ef级`-1c（X`）= Ef（X）+LX`=1Ef`（X`）- f级`-1c（X`）,（12） 式中（f\'c）`≥0是函数的任意序列f`c:Rd`+1→ R带E（f`-1c（X`）=E（f`（X`））。f`c中的“c”表示“粗略级别”。f`c=f为d`=m`给出的f`cis的最基本示例`oCm，`，其中Cm，`是由矩阵（Cm，`）i，j定义的线性映射：=√mif（i- 1） m+1≤ j≤ 我是，1≤ 我≤ m\'0其他。例如，C2，`：=√√0 0 0 . . . 0 00 0√√0 . . . 0 0.....................0 0 0 0 0 . . .√√.通常，选择f` CI的方式是为了获得f`（X`）的小方差-f级`-1c（X`）。公式（12）变得有用，如果期望值Ef`（X`）- f级`-1（厘米，`X`）可以使用较少的功能评估N“for bigger”接近所需的精度水平，而每个功能评估的成本增加。假设E的近似误差f`（X`）- f级`-1c（X`）使用N个点就是e（N）。我们选择N，NLsothate（N）+…+eL（NL）≤ ε，同时最小化总成本C=cN+…+cLNL。这样，总计算成本通常比直接计算E（fL（XL））要低得多。一种典型的情况是使用具有d `时间步长的时间离散来数值求解随机微分方程，f `是解路径集上的某个函数。

有关如何利用此表示进行MonteCarlo模拟的信息，请参见[8]。关于多级技术与QMC的结合，另见【7】。3.5示例考虑在赫斯顿模型中评估亚洲期权的问题。我们使用简单的Euler-Maruyama方法方程求解SDE。(5). 模型参数为s=100，v=0.3，r=0.03，ρ=0.2，κ=2，θ=0.3，ξ=0.5，选项参数为K=100，T=1。SDE使用具有32个等距时间步的二维布朗运动求解。因此，每个QMC评估需要64个独立的标准正态变量。由于问题的维数相对较高，我们希望对输入变量应用正交变换。即将对两条布朗路径中的每一条应用一个变换，但至少在本例中，使用一个64维变换似乎更好。我们使用经典的Sobol序列进行积分。我们将64维随机移位添加到序列中，并使用序列中的2个点（m=2，…）绘制64个积分评估的标准偏差的LOGO，10、左图图8显示了4种不同变换的标准偏差和logo：恒等式、“正向”、对应于布朗桥的正交变换（即Haar逆变换）、“BB”、对应于PCA的变换和分别应用于两条布朗路径“BB2”输入的布朗桥。