模型不确定性下的简化形式框架

该函数在ω′上关于Korokhod拓扑一致连续Ohm = D（R+，Rd）。也就是说，如果我们用d表示Skorokho d拓扑诱导的距离Ohm, 对于每个ε>0，都有一个δ>0，这样对于所有ω′，ω′∈ Ohm 当d（ω′，ω′）<δ时，它保持sd（ωtω′，ωtω′）<ε。实际上，取δ=ε是足够的。我们注意到δ=ε不取决于t的选择，因此特别是函数序列（ctn，ω）n∈Nis eq ui连续。此外，s方程（ctn，ω）n∈nConverge to ct，ωpointwise，dωtnω′，ωtω′n→∞---→ 所有ω′均为0∈ Ohm,因为D（R+，Rd）是cádlág路径的空间。因此，根据Ascoli Arzelá定理，序列（ctn，ω）n∈n在每个紧集K上一致收敛于ct，ω Ohm,i、 e.我们有SUPω′∈Kd公司ctn，ω（ω′），ct，ω（ω′）= supω′∈Kd公司ωtnω′，ωtω′n→∞---→ 特别是，给定一个紧集K∈ B类(Ohm), 组成Xt，ω=Xo ct，ω在A上有界且连续∩ K、 Xt，ω是（Xtn，ω）n的一致极限∈N、 即，对于每一ε>0，存在N∈ N使得对于所有N>N，| X（ωtnω′）- X（ω对于每个ω′，tω′）|<ε∈ A.∩ K、 因此，一方面∈ N、 fn（P）定义的函数fn：=EP【Xtn，ω】，P∈ P(Ohm), 对于P上的Lévy Prokhorov度量，在P上是连续的(Ohm), 因为它与度量值的弱收敛性所导致的度量值相一致。因此，限制fn | Pis仍然是连续的。另一方面，P的紧密性产生了一个紧密的s et K∈ B类(Ohm) 所有P的P（Kc）<ε4c∈ P、 式中，C为每ω| X（ω）| 6 C∈ A、 对于足够大的n，因为Xt，ω是P-A.s。

（Xtn，ω）n的一致极限∈非A类∩ K、 我们有| EP[Xtn，ω]- EP[Xt，ω]| 6 EP[|Xtn，ω- Xt，ω|]=EP[1A∩K | Xtn，ω- Xt，ω|]+EP[1A\\K | Xtn，ω- Xt，ω|]<ε+ε4C·2C=所有P的ε∈ P、 因此对于所有ω∈ Ohm,E（Xt，ω）=supP∈政治公众人物→∞Xtn，ω]=支持∈Plimn公司→∞EP【Xtn，ω】=limn→∞支持∈PEP[Xtn，ω]=limn→∞E（Xtn，ω）。一个类似的论点也表明了左极限的存在和完整性，从而得出结论。或局部一致收敛于Ohm = C（R+，Rd）。备注2.7。[31]的命题4.5引入了一系列次线性算子，这些算子依赖于不同于F的过滤*, i、 e。英尺+∪ NPTt型∈[0，T]，其中NPTis是所有P的（P，FT）-null集的集合∈ P、 通过这种方式，得到的次线性算子是t中的cádlág。然而，对于本文考虑的应用程序，使用F*,因为它代表了代理可用的信息。2.2空间构造我们在第2.1节中保持相同的符号。在本节中，我们遵循[10]第6.5节中的正则空间构造，引入一个随机时间|τ，它不是F-停止时间，但具有一个F-逐步可测量的强度过程u，以表示模型不确定性下完全意外的违约或死亡时间。Let^Ohm 是一个附加的具有Borelσ-代数B（^）的波兰空间Ohm). 我们现在考虑产品可测量空间（）Ohm, G） ：=(Ohm ×^Ohm, B类(Ohm)  B（^）Ohm)), 并对ω使用符号ω=（ω，^ω）∈ Ohm 和^ω∈^Ohm. 以下是产品空间的标准约定Ohm, G） 。对于启用的每个函数或进程X(Ohm, B类(Ohm)), 我们考虑其自然浸入乘积空间，即X（|ω）：=X（ω）表示所有ω∈ Ohm, 与（^）类似Ohm, B（^）Ohm)). 对于B的每一个子σ-代数a(Ohm), 我们认为它的自然延伸是 {,^Ohm} 作为乘积空间Gon的次σ-代数，类似于f或B（^）的次σ-代数Ohm).

为了避免繁琐的注释，当没有歧义时 {,^Ohm} 仍由A.On（^）表示Ohm, B（^）Ohm)) 我们确定了一个概率测度^P，使得（^）Ohm, B（^）Ohm)),^P）是无原子概率空间，即存在一个绝对连续分布的随机变量，设ξ为Borel可测满射随机变量ξ：（^Ohm, B（^）Ohm),^P）→ （[0，1]，B（[0，1]）），均匀分布，即ξ~ U（[0，1]）。在不丧失一般性的情况下，我们假设B（^Ohm) = σ(ξ).备注2.8。我们注意到空间（^Ohm, B（^）Ohm),^P）可以标准化为（[0，1]，B（[0，1]），U（[0，1]），ξ为[0，1]上的恒等函数。我们用P（℃）表示Ohm) 所有概率测度的集合Ohm, G） 考虑以下概率测度族▄P：=n▄P∈ P（yenOhm) :P=P^P，P∈ 采购订单。（2.8）打开(Ohm, B类(Ohm)) 设Γ：=（Γt）t>0为实值、F适应、连续和递增过程，使得Γ=0和Γ∞= +∞. 尤其是，Γ可以表示为Γt：=Ztusds，t>0，其中u：=（ut）t>0是一个非负F-渐进可测量过程，因此对于所有t>0和所有ω∈ Ohm,Zt |us |（ω）ds<∞.我们定义了τ：=inf{t>0:e-Γt6ξ}=inf{t>0：Γt6- lnξ}开▄Ohm = Ohm ×^Ohm, 与公约inf = ∞.备注2.9。上述假设的直接结果是，对于每个固定ω，τ（ω，·）是R+上的满射函数∈ Ohm.引理2.10。对于每t>0，我们有{τ6 t}={e-Γt6ξ}。证据我们注意到{e-Γt6ξ} {τ6 t}始终有效。另一个包含如下所示：τ=min{s>0:e-Γs6ξ}，因为Γ是连续的。每▄P下∈§P，我们定义了▄P-危险过程▄P：=（Γ▄Pt）t>0byΓ▄Pt：=- ln▄P（▄τ>t▄Ft），t>0。以下命题是上述构造的自然但重要的结果。提案2.11。流程Γ是ΓP-危险流程ΓΓPforeveryΓP的ΓP-a.s.版本∈P.证明。

通过引理2.10，{τ>t}={e-Γt>ξ}对于所有t>0。因此，对于每t>0和每P∈P，其中▄P=P^P，它保持不变-ΓИPt（ω）=P（Γτ>t | Ft）（ω）=Pe-Γt>ξ英尺（ω） （i）=Pe-x> ξx=Γt（ω）=^Pe-x> ξx=Γt（ω）（ii）=e-x个x=Γt（ω）=e-Γt（ω）表示ΓP-a.e.ω，其中等式（i）来自每个ΓP下ξ和fts之间的独立性∈§P和等式（ii）源自ξ在（^）上具有均匀分布的事实Ohm,^F，^P）。Γ的连续性产生了所有ΓP的ΓP=ΓP-a.s∈~P，这是证明的结论。在产品空间▄Ohm, 我们考虑由过程H产生的过滤H：=（Ht）t>0由Ht定义：=1{τ6t}，t>0，以及由Gt定义的放大过滤G：=（Gt）t>0=Ft∨ Ht，t>0。特别地，我们有G=F∞ σ（ξ）=H∞∨ F∞= σ(~τ ) ∨ F∞. 根据构造，τ是H停止时间和G停止时间，但不是F停止时间。过滤F可以解释为参考信息流，而过滤G代表扩展市场的最小信息流，包括违约信息。如第2.1节所述，对于每▄P∈ P（yenOhm) 我们用byG表示*, GPand GP+原始过滤G的相应放大。与（2.1）类似，我们有 G*t型 GPt GPt+，t>0，P∈~P.2.3（~P，G）-条件期望在本节中，我们给出了关于过滤G和（2.8）中引入的概率~P族的次线性条件期望的构造。这些将由（▄Et）t>0表示，并称为（▄P，G）-条件期望。此类施工是根据第2.1节中的结果进行的，应反映第2.2节中空间施工的基础结构。根据例如[41]、[13]、[42]、[43]和[30]，族（~Et）t>0应满足以下必要的一致性条件：f或每个t>0和g-可测函数XOhm,~Et（▄X）=ess sup▄P▄P′∈~P（t；~P）E▄P′[▄X▄Gt]▄P-a.s。

对于所有▄P∈~P，（2.9），其中▄P（t；▄P）：=n▄P′∈~P：~P′=~Gto上的P。我们强调，即使我们选择了^，也不能通过使用[30]中提出并在第2.1节中总结的完全相同的方法来实现这一点Ohm = D（R+，Rd）或^Ohm = C（R+，Rd）。事实上，该方法[30]基于规范过程产生的自然过滤的一些特殊性质，例如Galmarino检验，而过滤g不具备这种性质。然而，我们能够将[30]的结果推广到第2.2节的设置中，并构建一个一致的（~P，G）-条件期望。如[32]中所述，我们证明了族（~Et（~X））t>0满足时间一致性的弱形式，称为alsodynamic编程原理或塔属性，即所有0 6 s 6 t▄P的▄es（▄Et（▄X））>▄es（▄X）∈§P.（2.10）从经济角度来看，通过使用（§Et）t>0作为定价函数，weaktower属性（2.10）可以解释为：评估未来价格比直接评估价格更保守。我们提供了一些有效的条件，使经典的tower属性保持不变。这些包括所有经常使用的信贷和保险合同，如第2.4节所述。如第2.1节所述，我们使用相应的符号，并用▄E表示与▄P相关的上期望值，即▄E（▄X）：=sup▄P∈PE▄P[▄X]，▄X∈ L（~Ohm). （2.11）让GP：=G∨ NP∞, P∈ P、 和GP：=G∨ NP∞.

我们介绍以下设置Ohm) :={X |▄X：（▄Ohm, GP）→ （R，B（R））可测函数，使得∞},每￠P∈P，andL（Ohm) := {X |▄X：（▄Ohm, GP）→ （R，B（R））可测函数，使得▄E（▄X▄）<∞o、 我们强调，在上述定义中，我们只考虑(Ohm, GP）-可测量（或(Ohm, GP）-可测量响应功能，而不是(Ohm, GP）-可测量（或(Ohm , GP）可测量响应）功能，另见备注2.14。给定t>0，每个实值函数▄X在▄Ohm 可以在▄X=1{▄τ6t}▄X+1{▄τ>t}▄X中进行分解。【10】的推论5.1.2，在没有过滤的通常条件的情况下成立，以及命题2.11 s，如果▄X∈ L（~Ohm), 然后每▄P∈~P，E▄P[▄X▄Gt]=1{▄τ6t}E▄P[▄X▄σ（▄τ）∨ Ft]+1{τ>t}eΓtE▄P[1{τ>t}▄X | Ft]~P-a.s.（2.12）我们的目标是找到（2.12）的表示形式，将右侧减少到限制为Ohm. 这将在定义▄的条件期望方面发挥根本作用Ohm. 下面的引理解决了（2.12）右侧第二项的问题。为了简洁起见，我们使用了一种轻微的符号滥用，并表示^P[~X]（ω）：=Z^OhmX（ω，ω）P（dω），ω∈ Ohm. （2.13）引理2.12。设t>0且▄P=P^P。如果▄X∈ L▄P（▄Ohm), thenE▄P[▄X▄Ft]=EP[E^P[▄X]▄Ft]▄P-a.s.证明。可以看到f或任何A∈ Ft，根据Fubini-Tonelli定理wehaveZA×Ohm~X（ω，ω）~P（d（ω，ω））=ZAZ^OhmX（ω，ω）P（d^ω）P（dω）=ZAE^P[￠X]（ω）P（dω）=ZA×^OhmEP[E^P[X]| Ft]（ω）~P（d（ω，ω）），其中我们使用（2.13）中介绍的符号。现在我们关注（2.12）右侧的第一个术语。引理2.13。让t∈R+。I f▄X是实值σ（▄τ）∨ Ft可测量功能开启Ohm, 然后存在一个唯一的可测函数Д：（R+×）Ohm , B（R+） 英尺）→ （R，B（R）），使得▄X（ω，ω）=Д（▄τ（ω，ω），ω），（ω，ω）∈~Ohm. （2.14）证明。

满足（2.14）的唯一性直接来自于每个固定ω的|τ满射性∈ Ohm, 见备注2.9。事实上，如果Д和ψ是两个函数，使得对于所有（ω，ω）而言，Д（|τ（ω，ω），ω）=ψ（|τ（ω，ω），ω）∈~Ohm,然后对于每个（x，ω）∈ R+×Ohm, 每个固定ω的|τ的s曲线性∈ Ohm 表示存在^ω∈^Ohm 使得τ（ω，^ω）=x。因此，对于所有（x，ω），Д（x，ω）=ψ（x，ω）∈ R+×Ohm.现在，我们考虑以下集合={X |（）Ohm, σ(~τ ) ∨ 英尺）→ （R，B（R）），形式（2.14）}的∧X，并证明它包含一个单调类。集合E清楚地包含所有常数，并且在线性运算下是闭合的。此外，π系统的所有指示函数都会生成σ（|τ）∨ Ft属于E。现在让（▄Xn）n∈Nbe a sequencein E，使▄Xn（▄ω）↑对于所有￠ω，X（￠ω）∈~Ohm, 其中，X是有界函数。前向n∈ N、 对于所有（ω，ω），我们有▄Xn（ω，ω）=ДN（▄τ（ω，ω），ω）∈~Ohm, 式中Иnis可测函数Дn：（R+×）Ohm , B（R+） 英尺）→ （R，B（R））。通过备注2.9和▄X的有界性，我们注意到函数Д（z，ω）：=limn→∞νn（z，ω），z∈ R+，ω∈ Ohm, （2.15）定义明确。尤其是，Д也是（B（R+） Ft）-可测量。再次应用备注2.9，X可表示为X（ω，^ω）=Д（τ（ω，^ω），ω），（ω，^ω）∈~Ohm.因此X也属于E。根据单调类定理，集合E包含所有有界σ（|τ）∨ Ft可测量功能。此外，每个非负σ（|τ）∨ Ft可测函数X是简单函数的非减量s等式的逐点极限，即存在一系列简单函数（Xn）n∈确保▄Xn（▄ω）↑对于所有￠ω，X（￠ω）∈~Ohm. I nParticle，根据上述参数，如果所有（ω，ω）的▄Xn（ω，ω）=Дn（▄τ（ω，ω），ω）∈~Ohm,通过将Д定义为（Дn）n的逐点极限∈Nas在（2.15）中，我们得出结论，所有非负σ（|τ）∨Ft可测函数具有表示（2.14）。

结果可以推广到所有σ（△τ）∨ Ft可测量函数，自▄X=▄X+++▄X起-.备注2.14。如果▄X是GP可测量或GP可测量的，则可以在没有变化的情况下执行引理2.13。在这种情况下，Д为（B（R+） FP公司∞)-可测量or（B（R+） FP公司∞)-分别可测量。但是，如果▄X是G▄P可测量且G▄P：=G，则不成立∨ NP∞或GP—可测量GP=G∨ NP∞, 分别地其原因类似于经典的Doob–Dynkin引理，该引理指出，如果X，Y是两个实值可测函数，Y是σ（X）-可测的，则存在一个Borel可测函数f，使得Y=f（X）。如果σ（X）用一些measureQ的空集完成，即如果σ（X）被σ（X）替换，则此表示不适用∨ NQ。实际上，用A表示Y=1a是很有效的∈ NQA是一个反例。引理2.15。设t>0且▄P=P^P。如果▄X∈ L▄P（▄Ohm), 然后{τ6t}E▄P[▄X▄σ（▄τ）∨ Ft]=1{τ6t}EP[Д（x，·）| Ft]x=△τ∧P-a.s.，（2.16），其中φ是可测函数φ：（R+×）Ohm , B（R+） FP公司∞) → （R，B（R）），使得▄X（ω，ω）=Д（▄τ（ω，ω），ω），（ω，ω）∈~Ohm. （2.17）证明。根据引理2.13和备注2.14，存在唯一的表示（2.17），且（2.16）的右侧为σ（|τ）∨ Ft可测量。我们首先表明，关系式（2.16）适用于生成G=σ（△τ）的π-系统的指示函数∨ F∞.给定s>0和A∈ F∞, 我们显示了{τ6t}E▄P[1{τ6s}∩{A×^Ohm}|σ(~τ ) ∨ Ft]=1{τ6t}{τ6s}EP[1A | Ft]~P-a.s。实际上，让u>0，B∈ Ft，Z{τ6u}∩{B×^Ohm}{τ6t}{τ6s}A×^OhmdP=ZB×^Ohm{τ6t∧s∧u} A×^OhmdP=ZB×^OhmE▄P[1{▄τ6t∧s∧u} A×^Ohm|Ft]dP=ZB×^OhmE▄P[1{▄τ6t∧s∧u} | Ft]EP[1A×^Ohm|Ft]dP=ZB×^OhmE▄P[1{▄τ6t∧s∧u} | Ft]EP[1A | Ft]dP=ZB×^OhmE▄P[1{▄τ6t∧s∧u} EP[1A | Ft]| Ft]dP=ZB×^Ohm{τ6t∧s∧u} EP[1A | Ft]d▄P=Z{▄τ6u}∩{B×^Ohm}{τ6t}{τ6s}EP[1A | Ft]d▄P，其中在第三个等式中，我们使用HtandF之间的Ft条件独立性∞, 见【10】第166页。

引理2.13与条件单调收敛一起产生了有界可测函数集X∈ L▄P（▄Ohm), 其中满足关系（2.16）包含一个单调类。因此，通过单调类定理，关系式（2.16）适用于所有有界可测函数X∈ L▄P（▄Ohm). 结果可以扩展到每▄X∈ L▄P（▄Ohm) 条件单调收敛定理应用于▄X+▄和▄X-因为每个非负可测函数都是非负和非减量简单函数序列的逐点极限。我们注意到，上述结果也清楚地证明了f或X是GP可测量且非负的。下面的命题给出了一个总结。提案2.16。设t>0且▄P=P^P。如果▄X∈ L▄P（▄Ohm) 或▄X是gp可测量且非负的，则e▄P[▄X▄Gt]=1{▄τ6t}EP[Д（X，·）▄Ft]x=△τ+1{τ>t}eΓtEP[e^P[1{τ>t}x]| Ft]~P-a.s.，其中ν是可测函数Д：（R+×）Ohm , B（R+） FP公司∞) → （R，B（R）），使得▄X（ω，ω）=Д（▄τ（ω，ω），ω），（ω，ω）∈~Ohm. （2.18）证明。将引理2.12和引理2.15应用于分解（2.12）是有效的。在陈述主要结果之前，我们列出了我们稍后将使用的上半解析函数的一些性质。引理2.17。设X，Y为two-Polish空间。1、如果f:X→ Y是一个Borel可测函数和一个集合a X是解析的，那么f（A）是解析的。如果a集B Y是分析的，然后是f-1（B）是分析数据。2、如果fn:X→\'\'R，n∈ N、 是一系列上半解析函数和fn→ f、 那么f是上半解析的。3、如果f:X→ Y是Borel可测函数，g:Y→R是上半解析的，然后是组合go f也是上半解析的。如果f:X→ Y是一个满射Borel可测函数，有一个函数g:Y→\'\'R使gof是上半解析的，那么g是上半解析的。4、如果f，g:X→R是两个上半解析函数，f+g是上半解析函数。5.

如果f:X→R是上半解析函数，g:X→R是一个borelmeasureable函数，g>0，则乘积f·g是上半解析的。6、如果f:X×Y→R是上半解析的，κ（dy；x）是Y上的Borel可测随机核，给定x，则函数g:x→定义为g（x）=Zf（x，y）κ（dy；x），x∈ 十、 是上半解析的。证据第1、2、4、5和6点见[5]的命题7.40、引理7.30和命题7.48。对于第三点，g上半解析意味着go fupper的半解析在文献[5]的引理7.30（3）中得到了证明。对于逆蕴涵，我们注意到如果go f是上半解析的，那么对于每个c∈ R、 setA：={x∈ X:go f（x）>c}是解析的。此外，如果我们定义b：={y∈ Y:g（Y）>c}，我们有f（A） B、 因为f是满射的，所以它也适用于所有y∈ B、 存在sx∈ X使得y=f（X）和g（f（X））>c。因此f（A） B、 从第一点可以看出，集合B是解析的。这意味着g是上半解析的。在文献[5]中，只考虑了下半解析函数。然而，结果也适用于上半解析函数，没有变化。定理2.18。假设2.2适用于P，并考虑上半解析函数XOhm 使▄X∈ L（~Ohm) 或▄X为GP可测量且非负。如果t>0，则以下函数▄Et（▄X）：=1{▄τ6t}Et（Д（X，·））▄X=▄τ+1{▄τ>t}Et（eΓtE^P[1{▄τ>t}▄X]）（2.19）定义良好，其中Д是可测函数：（R+×）Ohm , B（R+） FP公司∞) → （R，B（R）），使得▄X（ω，ω）=Д（▄τ（ω，ω），ω），（ω，ω）∈~Ohm.此外，~Et（~X）满足一致性条件（2.9）。证据根据引理2.17的第5点和第6点，eΓtE^P[1{τ>t}X]是Ohm. 因此，对（2.19）右侧的第二个组件进行了明确定义。