模型不确定性下的简化形式框架

对于第一个组件，有足够的证据证明∈ R+，函数Дx（ω）：=Д（x，ω），ω∈ Ohm, 是上半解析的。首先，作为（x，ω）的函数∈ R+×Ohm 根据备注2.9和引理2.17第3点的第二个蕴涵，是上半解析的，因为X（ω，^ω）=Дo （τ，id|Ohm)(ω, ^ω),(ω, ^ω) ∈ Ohm ×^Ohm 是上半解析的。其次，对于每个固定的x∈ R+，根据引理2.17第3点的第一个含义，我们得到ω的Дxas函数∈ Ohm isalso上半解析，因为Дx=Дo ψx其中ψx（ω）：=（x，ω），ω∈ Ohm, 函数ψxis Borel可测。现在我们证明了一致性条件（2.9）成立。根据命题2.4，在每个▄P下∈P我们有{τ6t}Et（Д（x，·））| x={τ=1{τ6t}ess supPP′∈P（t；P）EP′[Д（x，·）| Ft]x=△τ－P－a.s.，{△τ＞t}Et（eΓtE^P[1{△τ＞t}x]）=1{△τ＞t}ess supPP′∈P（t；P）EP′[eΓtE^P[1{τ>t} X]| Ft]~P-a.s.此外，对于每▄P=P^P，~P（t；~P）={P′∈~P:P′^P=PGt}上的^P={P′∈~P:P′=P在Ft上}。因此，~P-a.s.我们有一个∈P（t；P）EP′[Д（x，·）| Ft]x=△τ=ess supPP′∈~P（t；~P）EP′[Д（x，·）| Ft]x=△τ，ess supPP′∈P（t；P）EP′[eΓtE^P[1{τ>t} X]| Ft]=ess sup▄P▄∈~P（t；~P）EP′[eΓtE^P[1{τ>t}~X]| Ft]。我们注意到{τ6 t}和{τ>t}是不相交的事件，因此▄P-a.s.{▄τ6t}ess sup▄P▄P′∈~P（t；~P）EP′[Д（x，·）| Ft]x=△τ+1{△τ>t}ess sup▄P▄P′∈~P（t；~P）eΓtEP′[eΓtE^P[1{τ>t}~X]| Ft]=ess sup▄P▄∈~P（t；~P）{τ6t}EP′[Д（x，·）| Ft]x=＠τ+1{＠τ>t}EP′[eΓtE^P[1{＠τ>t}x]|Ft].最后，由于▄X上的可积条件保证了我们可以应用富比尼-托内利定理，因此命题2.16产生了▄Et（▄X）=ess sup▄P▄∈~P（t；~P）E▄P′[▄X▄Gt]▄P-所有▄P的a.s∈§P.备注2。19。设置t>0，并使▄X满足定理2.18中的条件。以下内容适用：1。如果X（ω，ω）=X（ω）表示所有ω∈^Ohm, 然后（2.19）中定义的Et（X）与（2.5）中定义的Et（X）一致。2、（2.19）中定义的函数▄Et（▄X）在▄X.3中是次线性的。

如果▄Y是▄上的上半解析函数Ohm, 使▄Y∈ L（~Ohm) andess sup▄P▄P′∈~P（t；~P）E▄P′[▄X▄Gt]=ess sup▄P▄P′∈~P（t；~P）E▄P′[▄Y▄Gt]▄P-所有▄P的a.s.▄∈~P，然后▄Et（▄X）=▄Et（▄Y）▄P-所有▄P的a.s∈第4页。如果A∈ Gt，则▄Et（1A▄X）=1A▄Et（▄X）。这遵循了[10]中的引理5.1.1和上述观点。5、下列路径等式成立：▄Et（1{▄τ6t}▄X）=1{▄τ6t}▄Et（▄X），▄Et（1{▄τ>t}▄X）=1{▄τ>t}▄Et（▄X），▄Et（▄X）=Et（1{▄τ6t}▄X）+▄Et（1{▄τ>t}▄X）。备注2.20。我们注意到，在定理2.18中，要求上半解析函数X具有可积性条件，以便定义s公共线性算子Et。这些条件对于在证明中应用Fubini-Tonelli定理是必要的。这与[30]中的构造产生了根本差异，其中仅可测量性条件就足以定义（2.5）中的次线性算子。为了简单起见，我们使用以下符号sep[X | Ft]（ω，ω）：=EP[X（·，ω）| Ft]（ω），（ω，ω）∈~Ohm, t>0，（2.20）Et（￠X）（ω，ω）：=Et（￠X（·，ω））（ω），（ω，ω）∈~Ohm, t>0。（2.21）我们注意到，由于串联函数是Borel可测量的，因此（2.21）的右侧由引理2.17的（2.5）和第3点和第6点定义。提案2.21。设假设2.2适用于P，设▄X是▄上的上半解析函数Ohm 使▄X∈ L（~Ohm) 或▄X为GP可测量且非负。对于每t>0，在（2.19）中定义的函数▄Et（▄X）是上半解析函数，并且相对于G是可测量的*支架总成。证据让t>0。根据定义（2.19）和命题2.4，我们得出▄Et（▄X）是（F*t型∨ σ（τ））-可测量，因此也是G*t-和GP可测量。引理2.17的点3、4、5和属性2.4是上半解析的。备注2.19和命题2.21表明（~Et）t>0是一系列公共条件期望，扩展了（Et）t>0定义的函数Ohm.

我们现在证明，族（~Et）t>0满足动态编程原理或塔属性的弱形式，类似于[32]中的一种。定理2.22。设假设2.2成立，且X为上半解析函数Ohm 这样▄X是GP可测量且非负的。如果0 6 s 6 t，则所有▄P的▄Es（▄Et（▄X））>▄Es（▄X）▄P-a.s.▄∈§P.（2.22）证明。我们记得我们使用了符号（2.13）、（2.20）和（2.21）。由于假设X为GP可测且非负，根据提议2.21和算子Et的次线性，很好地定义了（2.22）的左侧。根据定义（2.19），关系式（2.22）等于以下{τ6s}Es（(R)Д（x，·））| x=~τ+1{τ>s}Es（eΓsE^P[1{τ>s}Et（~x）]）>1{τ6s}Es（Д（x，·））| x=~τ+1{τ>s}Es（x eΓsE^P[1{τ>s} x]，（2.23），其中，ν是可测函数Д：（R+×）Ohm , B（R+） FP公司∞) → （R，B（R）），使得▄X（ω，ω）=Д（▄τ（ω，ω），ω），（ω，ω）∈~Ohm,对于所有（x，ω），和||（x，ω）=1{x6t}Et（ν（x，·））（ω）+1{x>t}Et（eΓtE^P[1{τ>t}∧x]（ω）∈ R+×Ohm. 我们首先通过使用（2.19）和（P，F）条件期望的塔式性质（2.7）来证明（2.23）两侧的第一项之间的相等性：{τ6s}Es（(R)（x，·））| x=τ=1{τ6s}Es{x6t}Et（Д（x，·））+1{x>t}Et（eΓtE^P[1{τ>t}x]）x=△τ=1{△τ6s}{x6t}Es（Et（Д（x，·）））+1{x>t}EsEt（eΓtE^P[1{τ>t}X]）x=△τ=1{△τ6s}Es（Et（Д（x，·）））| x=△τ=1{△τ6s}Es（Д（x，·））| x=△τ。对于第二项，我们首先注意到∈^Ohm, §τ（·，^ω）是一个Fstopping时间。

因此，通过Galmarino的检验，在{τ6 t}事件上，我们得到了{τ（ωtω′，^ω）=对于所有ω′而言，τ（ω，^ω）∈ Ohm.因此在事件{τ6 t}上，对于每个固定的ω∈^Ohm, 通过使用定义（2.4），（2.5）和表示（2.14），我们得到了haveEt（￠X）（ω，^ω）=支持∈PZ公司OhmX（ωtω′，^ω）P（dω′）=supP∈PZ公司Ohmφ(~τ (ω tω′，^ω），ωtω′）P（dω′）=支持∈PZ公司Ohmφ(~τ (ω, ^ω), ω tω′）P（dω′）=支持∈PZ公司OhmД（x，ωtω′）P（dω′）对于所有ω，x=￠τ（ω，^ω）=Et（Д（x，·））（ω）| x=￠τ（ω，^ω）∈ Ohm,即{τ6t}Et（Д（x，·））| x=τ=1{τ6t}Et（x），对于每个固定ω∈^Ohm. （2.24）此外，我们注意到，通过（2.6），对于每个P∈ PEt（eΓtE^P[1{τ>t}X]）=eΓtEt（eP[1{τ>t}X]）P-a.s.（2.25）现在由[30]的（2.19），（2.24），（2.25）和备注2.4（iii），我们有（eΓsEP[1{τ>s}Et（￠X）]=eΓsEsE^Ph{τ>s}（1{τ6t}Et（Д（x，·））| x=τ+1{τ>t}Et（EΓtE^P[1{τ>t}x]）i=eΓsEs公司E^Ph{s<τ6t}Et（~X）+1{τ>t}EΓtEt（E^P[1{τ>t}}X]）i=eΓsEs公司E^P[1{s<τ6t}Et（~X）]+E^P[1{τ>t}EΓtEt（E^P[1{τ>t}X]）]P-所有P的a.s∈ P、 由于eΓtEt（eP[1{τ>t}X]）仅取决于第一个分量ω，使用Γ和（2.13）的定义，因此从引理2.10得出ePh{τ>t}eΓtEt（e^P[1{τ>t}X]）i=eP[1{τ>t}]eΓtEt e^P[1{τ>t} X]=e-ΓteΓtEt（E^P[1{τ>t}X]）=Et（E^P[1{τ>t}X]）。（2.26）它遵循（eΓsE^P[1{τ>s}Et（￠X）]）=eΓsEsE^P[1{s<τ6t}Et（~X）]+Et（E^P[1{τ>t}X]）=eΓsEs公司E^P[Et（1{s<τ6t}X）]+Et（E^P[1{τ>t}X]）>eΓsEs公司Et（E^P[1{s<τ6t} X]）+Et（E^P[1{τ>t}X]）（2.27）>eΓsEsEt（E^P[1{s<τ6t}X]+E^P[1{τ>t}X]）（2.28）=eΓsEs（Et（eP[1{τ>s}X]））=eΓsEs（eP[1{τ>s}X]）=Es（eΓsEP[1{τ>s}X]）P-a.s.对于所有P∈ P、 在第二个等式中，我们使用每个固定ω的性质∈^Ohm, {s<τ（·，ω）6 t}∈ F和Et（1AX）=1AEt（X），如果A∈ Ftand X为上半解析式，见【30】备注2.4（iv）。不等式（2.27）遵循fr om（2.6）和条件Fubini-Tonelli定理。

事实上，用符号（2.13）我们得到了E^P[Et（1{s<τ6t}X）]=E^P“ess supPP”∈P（t；P）EP′[1{s<τ6t}X | Ft]#>E^P[1{s<τ6t}X | Ft]=所有P∈ P、 因此，E^P[Et（1{s<τ6t}▄X）]>ess supPP′∈P（t；P）EP′[E^P[1{s<τ6t} X]| Ft]=所有P∈ P、 不等式（2.28）源自（P，F）-条件期望的次线性。在倒数第二个等式中，我们使用tower属性（2.7）。这就是证明。推论2.23。设假设2.2成立，且X为上半解析函数Ohm 使▄X∈ L（~Ohm). 对于t>0，I f，~Et（~X）∈ L（~Ohm), 然后▄Es（▄Et（▄X））>▄Es（▄X）▄P-所有▄P的a.s∈~P，对于0 6 s 6 t。在附录A中，一个明确的反例表明，在完全通用性方面，无法改善族（~Et）t>0的上述弱towerproperty。然而，在第2.4节中，我们表明，在所有信贷或保险产品的实际利益的情况下，经典的tower财产都适用。附录B中提供了塔楼物业的其他有效条件。备注2.24。由于逐步扩大的过滤G的性质，经典动态规划属性在简化形式设置中失败。事实上，虽然规范过滤F与[30]中所示的“路径粘贴”结构一致，动态规划属性遵循自然顺序，但对于扩大的过滤G，情况并非如此。此外，请注意▄Et并不总是映射L（▄Ohm) 进入L（yenOhm), 原因与导致动态规划属性失败的原因相同。有关这些技术难题的详细讨论，请参阅[46]。鉴于上述结果，我们给出以下定义，将命题2.4中的一个扩展到模型不确定性下的简化形式设置。定义2.25。

我们称s公共线性条件期望（~Et）t>0（~P，G）-条件期望族。2.4模型不确定性下信贷和保险产品的估值我们现在考虑模型不确定性下信贷和保险产品的估值。我们在命题2.31中表明，在这些情况下，经典的塔属性holds和次线性算子▄Etmaps L（▄Ohm) 进入L（yenOhm). 正如我们将在第3.4节中看到的，以下估值公式因此可以解释为给定现金流的超高价格。让T<∞ 是到期时间。我们定义过滤FP：=（FPt）t∈[0，T]byFPt：=F*t型∨ NPT，t∈ [0，T]，其中NPTis是所有P的（P，FT）-null的s集的集合∈ P、 对于信贷和保险市场而言，与▄τ所代表的特定违约事件相关的主要产品可以通过三种类型的合同进行建模，并具有以下收益：1。1{τ>T}Y，其中Y是上的FPT可测非负上半解析函数Ohm 使得E（Y）<∞; i、 e.只有在到期日之前未发生违约事件的情况下，才在合同到期日付款；2.1{0<τ6T}Zτ，其中Z：=（Zt）t∈[0，T]是FP可预测的非负进程Ohm, 使得函数Z（t，ω）：=Zt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 是上半解析和上半解析∈[0，T]E（Zt）<∞ ; i、 e.只有在违约事件发生在合同到期之前或到期时，才在|τ支付款项；3、RT（1- Hu）dCu=1{τ>T}CT+1{0<τ6T}C-, 式中C：=（Ct）t∈[0，T]上的isa非负FP自适应非减损过程Ohm, C（t，ω）：=Ct（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 上半解析和支持∈[0，T]E（Ct）<∞, 表示累计付款；i、 e.只要未发生违约事件或合同有效，就进行支付。我们给出了模型不确定性下这三类合同的第一个估值公式。引理2.26。

设Y=Y（ω），ω∈ Ohm, 是一个FPT可测的上半解析函数，使得E（| Y |）<∞. 然后每t∈ [0，T]，{τ>T}Y和Y e-RTtuuduare上半解析，属于L（~Ohm). 此外，如果P满足假设2.2，则以下情况适用于每个t∈ [0，T]，~Et{τ>T}Y= 1{τ>t}Et是的，是的-RTtuudu. （2.29）证明。我们注意到1{τ>T}和e-RTtuuduare非负Borel可测函数。到引理2.17的第5点，我们得到{τ>T}Y和Y e-RTtuuduare上半解析，明显属于L（~Ohm). 等式（2.29）来自（2.19），并且Y不依赖于ω∈^Ohm,~Et（1{τ>T}Y）=1{τ>T}Et（eΓtE^P[1{τ>T}Y]）=1{τ>T}Et（Y eΓT-ΓT）=1{τ>T}Et（Y e-RTtuudu）。引理2.27。设Z：=（Zt）t∈[0，T]是上的FP可预测进程Ohm. 然后在每个▄P下∈P，其中▄P=P^P，我们有{s<τ6t}ZτGs公司= 1{τ>s}EPZtsZue公司-RusuvdvuuduFs公司对于s、t，P-a.s.，（2.30）∈ [0，T]和s 6 T。该积分是一个经过路径定义的Lebesgue-Stieltjes积分。证据让▄P∈P和0 6 s 6 t 6 t。根据[10]中的命题2.11、命题5.1.1和推论5.1.3，在没有过滤的通常条件的情况下，我们得到了{s<τ6t}ZτGs公司= 1{τ>s}E▄PZtsZue公司-RusuvdvuuduFs公司P-a.s.然后▄P-a.s.等式（2.30）从P开始^P|(Ohm,F） =P。推论2.28。设Z：=（Zt）t∈[0，T]是上的FP可预测进程Ohm 使得函数Z（t，ω）：=Zt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 是上半解析和支持∈[0，T]E（| Zt |）<∞.然后，{s<τ6t}Zτ和ztszue-Rusuvdvuuduare上半解析，属于L（~Ohm), 对于所有s，t∈ [0，T]和s 6 T。此外，如果假设2.2适用于P，我们有Es{s<τ6t}Zτ= 1{τ>s}EsZtsZue公司-RusuvdvuuduP-a.s。

对于所有▄P∈所有s、t的P（2.31）∈ [0，T]与s 6 T。如果加上Z是一个逐步F-可预测过程，则为zt=nXi=0Zti{ti<t6ti+1}，T∈ [0，T]，其中T=s<···<tn+1=T，Ztiis Fti可测量所有i=0。。。，n、 然后，等式（2.31）顺理成章地成立，即{s<τ6t}Zτ= 1{τ>s}EsZtsZue公司-Rusuvdvuudu. （2.32）证明。我们注意到引理2.17的第6点也适用于Y=[0，T]，κ（dy；x）≡ dy.这与引理2.17的第3点和第5点一起表明{s<τ6t}Z▄τ和ztszue-Rusuvdvuuduare上半解析，属于L（~Ohm). 等式（2.31）来自引理2.27和备注2.19的第3点。如果Z是一个逐步F-可预测的过程，那么由（2.19）我们得到Es{s<τ6t}Zτ= 1{τ>s}EseΓsE^P“nXi=0Zti{ti<τ6ti+1}#！=1{τ>s}EseΓsnXi=0ZtiE^P{ti<τ6ti+1}!= 1{τ>s}EseΓsnXi=0Zti（e-Γti- e-Γti+1）！=1{τ>s}EsZtsZueΓs-ΓudΓu= 1{τ>s}EsZtsZue公司-Rusuvdvuudu,其中，上面的积分是路径Lebesgue–Stieltjes积分。引理2.29。设C：=（Ct）t∈[0，T]是一个非负的FP自适应非减量连续过程Ohm. 然后在每个▄P下∈P，其中▄P=P^P，我们有Zts（1- Hu）dCuGs公司=1{τ>s}EP中兴通讯-Rusuvdvuudu+Cte-RtsuuduFs公司所有s、t的P-a.s.（2.33）∈ [0，T]带s 6 T证明。让▄P∈P和0 6 s 6 t 6 t。我们使用了与[10]第5.1.2条提案第一部分相同的证明，该证明与第2.11条提案和第Zts（1- Hu）dCuGs公司=1{τ>s}E▄P中兴通讯-Rusuvdvuudu+Cte-RtsuuduFs公司P-a.s.然后▄P-a.s.等式（2.33）从P开始^P|(Ohm,F） =P。推论2.30。设C：=（Ct）t∈[0，T]是上的非负FP自适应非减损过程Ohm, C（t，ω）：=Ct（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和上半解析andsupt∈[0，T]E（Ct）<∞ . 然后是ZTS（1- Hu）dCuandZtsCue-Rusuvdvuudu+Cte-Rtsuuduare上半解析c，属于L（~Ohm) 对于所有s，t∈ [0，T]和s 6 T。

此外，如果P的假设2.2成立，我们有EsZts（1- Hu）dCu=1{τ>s}Es中兴通讯-Rusuvdvuudu+Cte-RtsuuduP-所有▄P的a.s.▄∈所有s、t的P（2.34）∈ [0，T]带s 6 T证明。自ZTS（1- Hu）dCu=1{s<τ6t}Cτ+1{τ>t}Ct，引理2.17的第2、4、5和6点显示ZTS（1- Hu）dCuandZtsCue-Rusuvdvuudu+Cte-Rtsuuduare上半解析，属于L（~Ohm). 等式（2.34）来自引理2.29和备注2.19的第3点。现在我们证明，在所有这些实际感兴趣的情况下，经典的towerproperty成立，而次线性算子▄Etmaps L（▄Ohm) 进入L（yenOhm). 下面的命题更一般一些。提案2.31。设Z：=（Zt）t∈[0，T]是上的FP可预测进程Ohm 这样的支持∈[0，T]E（| Zt |）<∞ 函数Z（t，ω）：=Zt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm,是上半解析函数，Y是上半解析函数Ohm使得E（| Y |）<∞. 让2.2上的Ass umpti保持P。如果▄X=1{0<τ6T}Z▄τ+1{▄τ>T}Y，那么我们有▄Et（▄X）∈ L（~Ohm),对于所有t∈ [0，T]和tower属性保持不变，即▄Es（▄Et（▄X））=▄Es（▄X）▄P-所有▄P∈§P，适用于所有s、t∈ [0，T]带s 6 T证明。让t∈ [0，T]。类似于引理2.26和推论2.28的论点表明▄Et（▄X）定义良好，且▄E（▄X▄）<∞.

我们首先证明了▄E（▄Et（▄X）▄）<∞.通过类似于定理2.22和推论2.28中的计算，我们得到了supP∈PEPh§Et（§X）i6辅助电源∈PE▄P{τ6t}Et（Д（x，·））| x=τ+ sup▄P∈PEPh{τ>t}EteΓtE^P[1{τ>t}▄X]i（2.35）=supP∈PE▄P{s<τ6t}Zτ+ 支持∈PEPhE^Ph{τ>t}EteΓtE^P[1{τ>T}Y]ii=支持∈PEPhE^P{s<τ6t}Zτi+支持∈佩普Et（E^P[1{τ>T}Y]）i6支持∈政治公众人物Zts | Zu | e-ΓudΓu+ 支持∈佩普E^P[1{τ>T}Y]i（2.36）ZtssupP∈政治公众人物-ΓudΓu+支持∈政治公众人物[| Y |]<∞,其中（2.35）是定义（2.19）的结果，而（2.36）来自于【25】中定理2.3的证明步骤1，适用于第二部分。这表明，对于每一个t>0，~Et（~X）仍然属于L（~Ohm). 我们现在证明towerproperty。让▄P∈~P，通过定理2.22的证明，ic类塔的性质当且仅当（2.27）和（2.28）相等。那就是E^P[Et（1{s<τ6t}X）]+Et（E^P[1{τ>t}X]）= eΓsEs（Et（e^P[1{τ>s}}X]））~P-a.s。我们有指数e^P[Et（1{s<τ6t}X）]+Et（e^P[1{τ>t}X]）=e^P[Et（1{s<τ6t}Z}τ）]+Et（e^P[1{t<τ6t~Z▄τ+1{τ>t}Y]=e^P[1{s<τ6t}Z▄τ]+Et（e^P[1{t<τ6t}Z▄τ+1{τ>t}Y]=ZtsZue-ΓudΓu+Et（E^P[1{t<τ6T}Z▄τ+1{τ>t}Y]）=EtZtsZue公司-ΓudΓu+E^P[1{t<τ6T}Z▄τ+1{τ>t}Y]=Et公司E^P[1{s<τ6t}Z]+E^P[1{t<τ6t}Zτ+1{ττ>t}Y]=Et（E^P[1{τ>s}X]）~P-a.s.，其中我们强调，对于固定的ω，1{s<τ6t}Z▄τ是FPt可测量的，并且rtszue-ΓudΓuis FPt也可测量。3支付流的超边缘我们现在研究模型不确定性下的超边缘支付流问题。我们强调，连续时间预测流中的动态超边缘问题在文献中尚未定义。即使在只有一个先验知识的情况下，问题也只能在离散时间内解决，例如参见[18]、[36]和[37]。