模型不确定性下的简化形式框架

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英文标题：
《Reduced-form framework under model uncertainty》
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作者：
Francesca Biagini, Yinglin Zhang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper we introduce a sublinear conditional expectation with respect to a family of possibly nondominated probability measures on a progressively enlarged filtration. In this way, we extend the classic reduced-form setting for credit and insurance markets to the case under model uncertainty, when we consider a family of priors possibly mutually singular to each other. Furthermore, we study the superhedging approach in continuous time for payment streams under model uncertainty, and establish several equivalent versions of dynamic robust superhedging duality. These results close the gap between robust framework for financial market, which is recently studied in an intensive way, and the one for credit and insurance markets, which is limited in the present literature only to some very specific cases.
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中文摘要：
在本文中，我们在逐步扩大的过滤上引入了一类可能非支配概率测度的次线性条件期望。通过这种方式，我们将信贷和保险市场的经典简化形式设置扩展到模型不确定性情况下，当我们考虑一系列可能相互奇异的先验时。此外，我们研究了模型不确定性下支付流的连续时间超边缘方法，并建立了动态鲁棒超边缘对偶的几个等价版本。这些结果弥补了金融市场稳健框架与信贷和保险市场稳健框架之间的差距，目前的文献仅限于一些非常具体的案例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：不确定性 确定性 不确定 Mathematical Quantitative

模型不确定性下的简化形式框架Francesca Biagini*+张英林（音译）2018年3月19日摘要在本文中，我们引入了一个关于渐进扩大过滤上可能非支配概率测度族的公共条件期望。这样，我们将信贷和保险市场的经典简化形式设置扩展到模型不确定性的情况下，当我们考虑一系列彼此可能相互奇异的先验时。此外，我们还研究了模型不确定性下支付流的连续时间超边缘方法，并建立了动态鲁棒超边缘对偶的几个等价版本。这些结果弥补了金融市场的可靠框架（最近进行了深入研究）与信贷和保险市场框架（目前的文献仅限于一些非常特殊的案例）之间的差距。JEL分类：C02，G10，G19关键词：次线性期望，非支配模型，简化形式框架，支持rhedging，支付流。1引言在本文中，我们研究了关于逐步扩大过滤和一系列可能相互奇异的概率测度的次线性条件算子的定义问题。这样，我们就能够为模型不确定性下的信贷和保险市场建立一个一致的简化形式框架。众所周知，简化形式框架可用于信用风险建模、人寿保险建模和任何上下文，其中与特定利益随机事件相关的事件强度可从参考信息中推断，但事件本身并非如此。

虽然*主要负责人：德国慕尼黑理工大学数学系，Theresienstrasse，39，80333慕尼黑，电子邮箱：biagini@math.lmu.de+中学：奥斯陆大学数学系，挪威奥斯陆0316 Blindern 1053号信箱德国慕尼黑理工大学数学系，Theresienstrasse，39，80333慕尼黑，电子邮箱：zhang@math.lmu.derobust金融市场框架已被深入研究，但仍缺乏对信贷和保险市场的相应分析。因此，pap er的贡献是多方面的。作为主要结果，我们将[10]中经典的简化形式或基于强度的框架扩展到模型不确定性下的情况，并引入了一个由随机事件逐步扩大的过滤的次线性条件期望，其方式与[30]中对具有自然过滤的正则空间的构造一致。其次，我们注意到信贷和保险合同是典型的支付流，因此我们在这里首次研究了模型不确定性下连续时间内支付流的超边际问题。给出了支付流的几个等价动态鲁棒超边缘对偶。鉴于这些超边缘化结果，构造的次线性条件期望可以看作是一个pricingoperator。在信用风险和保险建模的现有文献中，有几个人处理模型的不确定性，但只处理占主导地位的概率族，例如[24]、[23]和[12]。当考虑到可能相互奇异的概率测度的一般族时，基础随机分析的主要问题是将传统上在一个先验条件下定义的随机概念（如条件期望、随机积分、半鞅分解）聚合为一个独立于基础测度的随机概念，参见[41]中的讨论。

有许多使用不同方法的独立结果，如能力理论、随机控制技术等，已应用于金融市场建模，参见[16]、[33]、[15]、[40]、[19]、[22]、[35]、[16]、[1]和[9]。例如，【28】、【30】和【27】中提供了路径解决方案。然而，上述结果仅适用于具有自然过滤的正则空间，不允许具有依赖结构的过滤。在【2】中提到了这个问题，并在最初扩大过滤时解决了这个问题。然而，通过引入具有F-AdaptedTensity的完全不可访问跳跃来扩大过滤的情况仍然是一个悬而未决的问题。本案例尤其适用于描述意外事件，但在参考过滤F下可观察到的事件强度，如金融机构违约或人员死亡。F上的次线性条件期望的现有构造依赖于正则空间的自然过滤性质，不能直接扩展到通过随机跳跃逐步扩大的过滤G。为了解决这个问题，我们按照【10】第6.5节中的标准方法构建过滤G。这种正则构造的性质允许构造G-次线性条件期望，如果限制为F，则与[30]中的条件期望一致。然而，与正则空间上的构造相比，还有一些额外的技术难题。特别是，为了更好地定义，G-次线性条件期望需要可集成性条件，这对于[30]中的路径构造是不必要的。

这也意味着，在一般情况下，这种扩展的次线性算子仅满足动态规划原理或塔式性质的弱版本，如[32]所示，并且它不保持可积性。然而，在最常见的信贷和保险合同的所有情况下，classictower性质和可积不变性均得到满足。在附录B中，我们进一步讨论了保证经典塔性能的有效条件。我们参考第2.3节附录A和B，对这些问题进行彻底讨论。此外，我们首次分析了模型不确定性和连续时间下代理支付流的超边缘化问题。近年来，人们对非支配概率族中的超边缘二元论进行了深入的研究，例如[31]、[25]、[38]、[17]、[4]、[21]、[29]和[20]。然而，这些文献中获得的对偶结果大多局限于初始时间，并且只能应用于未定权益。一般支付流（通常是信贷或保险现金流）的超边缘问题仅在没有模型不确定性的情况下进行研究，并且主要是在离散时间内进行研究，例如[18]、[36]和[37]。在这里，我们研究了连续时间内一般支付流关于非支配概率族的动态鲁棒超边缘对偶。我们仍然以动态的方式分别定义全球和本地的超边际策略和价格，我们能够根据我们的双重结果来确定这些策略和价格。这些结果首先显示在标准设置中，然后扩展到健壮的简化形式框架。考虑到超边际结果，构造的G-次线性条件期望可以作为保险和信用风险产品的定价算子。

我们想强调的是，在没有模型不确定性的情况下，我们的定义和结果保持不变，即在考虑特定先验时。本文的组织结构如下。在第2节中，我们基于[10]中的规范结构构建了一个一致的机器人化表单框架。作为主要结果，我们明确定义了渐进扩大过滤的次线性条件期望，并分析了其性质。然后将构建的运营商应用于信用和保险合同的估价。在第3节中，我们建立了连续时间支付流的鲁棒超边缘问题。我们确定了稳健超边缘价格，并证明了最优稳健超边缘策略的存在性，首先是在标准空间上的自然过滤，然后是在简化形式的框架中。在附录a中，我们提供了一个反例，表明经典的塔楼财产并不具有完全的普遍性，而在附录B中，我们陈述了第2节中所述条件之外的有效条件，这些条件保证了塔楼财产的有效性。2模型不确定性下的简化形式框架本节介绍模型不确定性下的简化形式设置。我们注意到，模型不确定性下的标准框架只考虑了具有自然过滤的正则空间，不允许处理更一般的过滤，关于这一点的讨论见【2】。在[2]中，初始扩大的情况得到解决，而逐步扩大的情况仍然存在。这一问题出现在信贷和保险市场建模中，当我们想对一个意外事件进行建模，而该事件本身在参考信息流下是不可观察的，由过滤F表示，但有一个适应的强度过程。

在这里，我们提出了一个解决方案，即使用[10]第6.5节中的标准结构引入随机时间τ，它不是F停止时间，但允许F适应强度，并扩展了次线性条件期望的概念，即通过该随机时间逐步扩大的过滤。我们首先回顾一下【30】中的设置。2.1（P，F）-条件期望letOhm = D（R+，Rd）是从零开始的cádlág函数ω=（ωt）t>0的s步。配备由Skorokho d拓扑诱导的度量，Ohm 是aPolish空间，即完全可分度量空间。我们用F表示：=B(Ohm)Borelσ-代数与P(Ohm) 上的所有概率度量集(Ohm, F） 。OnP公司(Ohm) 我们考虑弱收敛的拓扑。根据普罗霍罗夫的理论（参见[39]、[14]和[11]），P(Ohm) 从中继承Ohm 具有Lévy-Prokhorov度量的beinga-Polish空间的性质。我们考虑规范过程B：=（Bt）t>0，其中Bt（ω）：=ωt，t>0，并用F=（Ft）t>0表示其原始过滤。很容易看出F={, Ohm}和F∞:=Wt>0Ft=F。对于每个P∈ P(Ohm) 和t∈R+，我们用NPTT表示（P，Ft）-null和definef的集合*t： =英尺∨ N*t、 N个*t： =\\P∈P(Ohm)NPt。相应的普遍完成过滤用F表示*:= （F）*t） t>0。此外，对于每个P∈ P(Ohm) 通常的P增广用FP+表示，即FP+是FP的右连续版本：=（FPt）t>0，其中FPt：=Ft∨ NP∞, t>0。简单地说，上述原过滤放大按以下方式订购 F*t型 FPt公司 FPt+，t>0，P∈ P

（2.1）设P P(Ohm) 作为一般非空集，我们定义了以下σ-代数fp：=F∨ NP∞, NP∞:=\\P∈PNP公司∞,我们用L表示(Ohm) 所有实值FP可测函数的空间，并定义上期望E:L(Ohm) →与P byE（X）关联的R：=s upP∈政治公众人物【X】，X∈ L(Ohm), （2.2）其中对于每个P∈ P、 我们设置EP[X]：=EP[X+]- EP【X】-] 如果EP[X+]或EP[X-]是有限的，我们使用约定EP[X]：=-∞ 如果EP[X+]=EP[X-] = +∞,如【41】所述。备注2.1。在本文中，如果将空间D（R+，Rd）替换为C（R+，Rd），即从零开始的连续函数空间ω=（ωt）t>0in-Rd，具有局部一致收敛的拓扑结构，则所有结果都成立。由于没有歧义，我们分别为规范过程C（R+，Rd）及其自然过滤保留了旋转B和F。现在我们回顾一下[30]中关于Ohm 关于过滤F和家庭P P(Ohm) 概率测度。为了符号的简单性，我们只考虑[30]中假设2.1中的参数化家族不依赖于参数的情况。如【9】、【27】和【29】中所述，【30】中的结果在空间D（R+，Rd）和空间C（R+，Rd）上都适用。我们根据[30]介绍以下符号。设τ为停止时间和ω的限定值∈ Ohm. 对于每个ω′∈ Ohm, 级联ωτω′:=((ω τω′）t）t>0of（ω，ω′）atτ由下式得出ωτω′t： =ωt[0，τ（ω））（t）+ωτ（ω）+ω′t-τ(ω)[τ (ω),+∞)（t） ，t>0。（2.3）对于每个函数X onOhm, 我们定义了以下函数Xτ，ω（ω′）：=X（ωτω′), ω′∈ Ohm.

（2.4）类似地，对于每个概率测度P，我们设置Pτ，ω（A）：=Pωτ（ωτA），A∈ B类(Ohm),这是一个概率测度，其中ωτA：={ωτω′: ω′∈ A} Pωτ是选择为Pωτ的Fτ-条件概率测度ω′∈ Ohm : ω′=ωon[0，τ（ω）]= 此外，我们还记得，如果一个波兰空间的集合是另一个波兰空间的Borel集合在Borel可测映射下的图像，那么它被称为解析的。如果{f>c}对每一个c进行分析，则称波兰空间上的AR值函数f为上半解析函数∈ R、 特别地，我们注意到所有Borel集都是解析的，所有Borel可测函数都是上半解析的。假设2.2。对于每个有限值F-停止时间τ，族P满足以下条件：1。可测量性：集合P∈ P(Ohm) 是分析型的；2、不变性：Pτ，ω∈ P表示P-a.e.ω∈ Ohm;3、粘贴下的稳定性：f或每个fτ-可测核κ：Ohm → P(Ohm) 如κ（ω）∈ P表示P-a.e.ω∈ Ohm, 以下测量值P（A）：=ZZ（1A）τ，ω（ω′）κ（dω′；ω）P（dω），A∈ B类(Ohm),仍属于P.备注2.3。如【27】所示，当族P由具有不同特征的所有半鞅定律生成，并在Borel可测集θ中取值时，满足假设2.2 Rd×Sd+×L，其中Sd+是对称负定义（d×d）-矩阵的集合，L是所有Lévy度量的集合。特别是，这种情况包括了【33】中介绍的G预期。下面的命题是[30]中定理2.3的特例，当我们将注意力限制在满足假设2.2的一个族P上时。提案2.4。

在假设2.2下，对于所有有限值F-停止时间σ，τ，使得σ6τ和每个上半解析函数XOhm, 函数Eτ（X）定义为τ（X）（ω）：=E（Xτ，ω）=supP∈PEP[Xτ，ω]，ω∈ Ohm （2.5）为F*τ-可测，上半解析，满足以下一致性条件τ（X）=ess supPP′∈P（τ；P）EP′[X | Fτ]P-所有P的a.s∈ P、 （2.6）式中P（τ；P）：={P′∈ P:P′=Fτ}上的P。此外，对于所有ω，塔的性质为，即σ（X）（ω）=eσ（eτ（X））（ω）∈ Ohm. （2.7）定义2.5。我们称之为s公共线性条件期望（Et）t>0（P，F）-条件期望族。在[33]中介绍的G-设置的特殊情况下，G-鞅是cádláG，参见例如[44]。然而，在一般假设下，具有Xupper半解析的过程（Et（X））t>0并不总是cádlág。在下面的命题中，我们给出了一个独立的结果，该结果给出了（Et（X））t>0cádlág的充分条件。我们记得，根据Prokhorov定理，概率测度族是紧的，当且仅当其弱闭包是紧的。具体而言，生成G-期望的概率度量公式是严密的，参见[15]中的命题49。提案2.6。如果P是满足假设2.2的紧族，X是上半解析函数Ohm 它是有界连续的P-a.s.f或allP∈ P、 那么（Et（X））t>0的过程是cádlág证明的。让A∈ B类(Ohm) 是一个集合，使得X在a上有界且连续，且P（Ac）=0表示每P∈ P、 我们从正确的连续性开始。设t>0且（tn）n∈Nbe R中的一个序列，使得tn↓ t、 我们想证明，对于所有ω∈ Ohm,Et（X）（ω）=limn→∞Etn（X）（ω）。考虑ω∈ Ohm. 根据定义（2.5）和（2.4），我们haveEt（X）（ω）=E（Xt，ω）=supP∈PEP【Xt，ω】=支持∈PZX（ωtω′）P（dω′）。对于固定t和ω，我们定义了串联函数ct，ω：Ohm → Ohm 通过ct，ω（ω′）：=ωtω′，ω′∈ Ohm.