剩余不变量、定律不变量和二次曲线接受集必须是

作为一项技术评论，存在一个剩余不变量、定律不变量、二次曲线和截断闭合接受集，使得-α（A）（Aα；见附录D中的示例2。值得注意的是，满足理论2.1中属性的验收集A不能由预期缺口诱导，除非A是微不足道的，即，是X中预期缺口定义明确（即有限）的整套资本头寸的空集。事实上，出于矛盾的原因，支持这样一个非平凡的a是由某个水平β的预期短缺引起的∈ [0, 1]; i、 e.，A={X∈ X | ESβ（X）∈ B} ，其中B R和ESβ（X）：=1-βRβV@Rlα（X）dα=1-βRβF-1.-X（α）dα表示β∈ [0，1）和ES（X）：=essup(-十） 。注意，当β∈ （0，1），对于当β=0时可积的X，对于当β=1时从下方有界的X。现在，对于任何常数c≥ 0和X∈ 十、 我们有c-= 0≤ 十、-. 回顾A是非空的，剩余不变的，我们必须有c∈ A、 意味着(-∞, 0]  B、 另一方面，如果存在X∈ 如果ESβ（X）>0，则由A的圆锥度得出（0，∞)  B、 其中B=R，因此A={X∈ X | ESβ（X）∈ R} ，一个琐碎的集合，导致了矛盾。因此，不存在X∈ A使得ESβ（X）>0，意味着B=(-∞, 0]; i、 e.，A={X∈ X | ESβ（X）≤ 0}. 然后，根据Koch-Medina et al.（2016，示例5）得出{X∈ X | ESβ（X）≤ 0}不是盈余不变性，这与A是盈余不变性的假设相矛盾。此外，即使是平凡的集A={X∈ X | ESβ（X）∈ R} 可能不满足OREM2.1中的特性。例如，如果X=L(Ohm, F、 P），则A={X∈ X | ESβ（X）∈ R} 未关闭截断。如果我们进一步要求验收集与X上的某个合适拓扑闭合，则可以简化定理2.1。

特别是空间L(Ohm, F、 P）是k-fan度量下的完整度量空间（度量定义为d（X，Y）：=E[最小值（| X-Y |，1）]，十、 Y），它度量了收敛的概率；例如，参见Dudley（2002，定理9.2.2和9.2.3，第289-290页）。因此，L的子集(Ohm, F、 P）在Ky-Fan度量拓扑下是闭合的当且仅当它在转换下是闭合的。这个例子说明，对于剩余不变接受集，如果集上没有任何拓扑假设，圆锥度不等价于num'eraire不变性。有关比较，请参见Kochmedina等人（2016年，提案5）。概率上的机智。因此，我们对接受集A的拓扑性质考虑如下：（vi）收敛-概率极限：如果Xn→ 十、∈ 概率X为n→∞ 和Xn∈ A代表所有n，然后是X∈ A、 自最小值（最大值(-d、 X），d）→ X a.s.作为d→ ∞, 由此可知，收敛不概率闭性意味着截断n-闭性。如果我们要求验收集相对于L的度量拓扑是闭合的，则定理2.1可以简化为以下定理2.2(Ohm, F、 P），或者，等效地，就概率收敛性而言是闭合的。定理2.2。假设(Ohm, F、 P）是原子。那么，A是一个非空、盈余不变量、定律不变量、二次曲线（或num'eraire不变量），并且当且仅当存在α∈ [0，1]使得A=A+α。定理2.2的证明是通过应用定理2.1并验证α∈ [0，1），A+α是A的闭包-l的度量拓扑下X中的α(Ohm, F、 P）。

如果考虑X，可以得到类似的结果 有限合伙人(Ohm, F、 P）对于某些P∈ [1, +∞) 和关于Lp范数的贴近度，但不适用于X=L的情况∞(Ohm, F、 P）a和相对于L的封闭性∞-范数或弱星型拓扑；见附录B。3结论监管机构有兴趣提出一项资本充足率测试，具体规定一段时期结束时企业资本头寸的接受度。这种测试旨在保护公司的责任持有人，因此，公司是否通过测试不应取决于公司股东的盈余，这一属性称为盈余不变性。我们证明了盈余不变量、定律不变量和二次曲线接受集必须是由VaR导出的集合，即必须是在给定水平上VaR小于或等于零的资本头寸集。我们还证明了盈余不变性、法律不变性和数量不变性接受集必须是由VaR诱导的集。我们的结果有助于显示资本充足率测试的竞争属性之间的潜在冲突。Koch-Medina等人（2015）表明，具有凸性和num'eraire不变性（或等效相干和剩余不变性）的接受集类别仅限于情景测试；此外，定律不变性进一步将域缩小到正锥。我们表明，如果放弃凸性，只有通过VaR诱导的接受集才能扩大选择。另一方面，如果onedrops圆锥度或num'eraire不变性，则存在丰富的剩余不变性、定律不变性和凸接受集；参见instanceCont et al.（2013）、KochMedina et al.（2015）和Koch Medina et al.（2016）。

因此，如果一个人发现接受集的选择范围太过严格，那么他需要牺牲一个被调查的属性，因此被迫建立标准来优先考虑竞争性属性，如凸性、一致性、剩余不变性、数量不变性和法律不变性。如果只考虑这些特性，那么它们可能是可取的，但如果将它们放在一起，则会导致选择范围很窄。命题2.1的证明。（i） 对于α=1，根据（3）、（4）和（5）中的定义，A-= A= 和A+={X∈ X | X≥ 0 a.s.}，与v@Ru（X）=-F-1X（0）=+∞ 和V@Rl（X）=-F-1X（0+）=-essinf X表示（6）、（7）和（8）对α=1保持不变。然后我们证明α的（6）、（7）和（8）∈ [0，1）。回想一下，对于任何随机变量x，x∈ R、 和t∈ [0，1]，FX（x）<t<=> F-1X（t）>x和FX（x-) ≤ t型<=> F-1X（t+）≥ x、 我们将显示F-1X（1- α - δ) ≥ 某些δ为0∈ (0, 1 - α）<=> F-1X（（1- α -δ′)+) ≥ 某些δ′为0∈ (0, 1 - α). “The”=>” 方向从F开始-1X（（1- α -δ)+ ) ≥ F-1X（1- α - δ). 显示“<=” 方向，假设F-1X（（1- α - δ′)+) ≥某些δ′为0∈ (0, 1 - α). 设δ=δ′/2。然后，F的单调性-1X（·）表示F-1X（1- α - δ) ≥ F-1X（（1- α - δ′)+) ≥ 0 .然后，通过（2），V@Ruα+δ（X）≤ 某些δ为0∈ ( 0, 1 - α）<=> F-1X（1- (α + δ)) ≥某些δ为0∈ (0, 1 - α）<=> F-1X（（1- (α + δ′))+) ≥ 某些δ′为0∈ (0, 1 - α）<=>1.-(α + δ′) ≥ 外汇（0-) 对于某些δ′∈ (0, 1 -α）<=> P（X<0）=FX（0-) < 1.-α. 因此，（6）成立。类似地，by（2），V@Ruα（X）≤ 0<=> F-1X（1- α）≥ 0<=> -<F-1X（1-α） 对于任何>0<=> P（X≤ -）=外汇(-) < 1 - α表示任何>0。

因此，（7）成立。最后，通过（1），V@Rlα（X）≤ 0<=> F-1X（（1-α)+) ≥ 0<=> P（X<0）=FX（0-) ≤ 1.-α.因此，（8）成立。我们感谢一位匿名裁判在我们论文的裁判报告中对本段的大部分句子进行了措辞。（ii）根据定义，A-α、 Aα和A+α是定律不变的二次曲线。此外，从（3）可以看出，对于任何X∈ A.-α和任意Y∈ X满足Y-≤ 十、-a、 s.，P（Y<0）=P(-Y-< 0）≤ P(-十、-< 0）=P（X<0）<1- α、 这意味着∈ A.-α. 因此-α是剩余不变的。应用（4）和（5）的类似论证得出，Aα和A+α也是剩余不变的。对于任何X∈ X和anyd>0，它保持P（min（max(-d、 X），d）<0）=P（X<0），与（3）结合表示A-α是截断闭合的。类似的论证得出Aα和A+α也是截断闭合的。请注意，对于任何X∈ X和任何严格正随机变量Z，使得zx∈ 十、 P（ZX<0）=P（X<0）。然后，从（3）和（5）得出-α和α+是num'eraire不变量。最后，从m（3）、（4）和（5）得出-α Aα A+α表示任意α∈ [0，1]和A-α 任意0的A+α≤ α< α≤ 定理证明m 2.1。第（i）部分的证明如下。如果A=, 那么A=A-=A、 所以我们假设A在下面的中是非空的。定义α：=1- supX公司∈AP（X<0）=1- supX公司∈AFX（0-). （9） 如果α=1，则通过定义α，A {X∈ X | X≥ 0 a.s.}=a+。另一方面，由于A是非空的且剩余不变的，因此A+ A、 因此，A=A+。现在，假设α∈ [0，1）。首先，我们将显示-α A.i、 e.，对于任何Z∈ A.-α 十、 我们将显示Z∈ A、 由于A是截短闭合的，我们只需要显示对于任何固定的d>0，Y：=最小值（最大值(-d、 Z），d）∈ A、 自Z起∈ A.-α、 从（3）可以看出，P（Y<0）=P（Z<0）<1- α. 因此，存在δ∈ (0, 1 - α） 例如Fy（0-) = P（Y<0）≤ 1.- α - δ. 根据α的定义，存在X∈ 这样的FX（0-) = P（X<0）>1- α - δ.

因为(Ohm, F、 P）无原子，存在一个均匀分布的r和om变量U(Ohm, F、 P）使得X=F-1X（U+）a.s.（例如，参见Lemma a.3 2 inF¨ollmer and Schied（2016））。定义Y：=F-1年（U+）。然后，根据fr om Lemma A.23 inF¨ollmer和Schied（2016）的理论，Y具有相同的分布。因为Y和▄Y都是有界的，因此包含在X和a中是定律不变的，所以我们只需要显示t▄∈ A、 因为FX（0-) > 1.-α -δ、 我们有F-1X（（1-α -δ)+) < 0. 因此，因为-1年（0岁以上）≥ -d、 存在>0，使得F-1年（0岁以上）≥ F-1X（（1- α - δ） +），其中-1年（z+）≥ F-1年（0岁以上）≥ F-1X（（1- α - δ)+) ≥ F-任意z为1X（z+）∈(0, 1-α-δ]. 此外，因为FY（0-) ≤ 1.-α-δ、 我们有F-1年（z+）≥ F-1年（（1-α-δ)+ ) ≥ 0，z∈ （1）-α -δ, 1). 因此，最小F-1 Y（z+），0≥ 最小值F-1X（z+），0对于任意z∈ （0，1）因此（挈Y）-= -最小值F-1年（U+），0≤ -最小值F-1X（U+），0= 十、-a、 美国，因为∈ L∞(Ohm, F、 P） 十、 X个∈ A、 A为剩余侵入体，Y∈ A、 那么，因为▄Y∈ L∞(Ohm, F、 P） X和A是二次曲线，我们得到Y∈ A、 另一方面，（5）和（9）中α的定义意味着 A+α。因此，我们证明了-α A. A+α。因此，只有两种情况：（1）A-α A. Aα；（2） 存在X∈ A这样X/∈ Aα。为了完成证明，我们只需要说明第二种情况导致A=A+α。事实上，在第二种情况下，让X∈ A是这样的X/∈ Aα。自X起∈ A、 从（9）开始，FX（0-) ≤ 1.- α、 这意味着-1台（1）- α）+≥ 0.自X起/∈ Aα，从（7）得出V@Ruα（X）>0，这与（2）结合意味着F-1X（1- α) < 0.因为(Ohm, F、 P）是无原子的，存在一个统一的Random变量U，使得x=F-1X（U）a.s.（参见，例如，L emma a.32 inF–ollmer和Schied（2016））。现在，对于任何Z∈ A+α 十、 我们将显示Z∈ A、 由于A是截短闭合的，我们只需要证明对于任何固定的d>0，Y：=min（d，max(-d、 Z））∈ A.

自Z起∈ A+α，Y∈ L∞(Ohm, F、 P） 十、 P（Y<0）=P（Z<0），由（5）t Y得出∈ A+α和FY（0-) ≤ 1.- α、 这意味着F-1年（（1- α)+) ≥ 0、定义Y：=F-1年（U）。然后，它遵循fr om Lemma A.23 inF¨ollmer和Schied（2016）的观点，即Y具有与Y相同的分布。因为F-1X（1-α） <0和F-1年（0岁以上）≥ -d、 存在>0这样的F-1年（0岁以上）≥ F-1X（1-α） ，这意味着F-1Y（z）≥ F-1年（0岁以上）≥ F-1X（1-α）≥F-1X（z），z∈ (0, 1-α]. 此外，因为F-1Y（z）≥ F-1年（（1-α)+) ≥ 0，z∈ （1）-α、 1），我们得出以下结论：F-1Y（z），0≥ 最小值F-1X（z），0对于任何z∈ (0, 1). 因此，（Y）-= -最小值F-1Y（U），0≤ -最小值F-1X（U），0= 十、-a、 s.因为a是盈余不变的，且∈ L∞(Ohm, F、 P） 十、 因此，Y∈ A、 因为Y和▄Y都是有界的，因此包含在X中，所以A的圆锥度意味着▄Y∈ A和A的定律不变性意味着Y∈ A、 因此，A=A+α，这就完成了第（i）部分的证明。第（ii）部分的证明如下。“如果”方向遵循命题2.1。为了显示“仅当”方向，suppo se A是盈余不变性、law不变性、num'eraire不变性和截断闭合。由于num'eraire不变性乘以圆锥度，因此从定理的（i）部分可以看出，存在α∈ [0，1]，使得-α A. Aα或A=A+α。有两种情况：α=1和α∈ [0，1）。在第一种情况下，从（3）和（4）可以看出-α=Aα=.因此，A=A-α=  或A=A+α。在第二种情况下，假设-α（A Aα。然后，存在X∈ A. Aα使得X/∈ A.-α. 固定d>0，定义Y：=最小值（d，最大值(-d、 X））。诺丁基∈ L∞(Ohm, F、 P） X和Y-≤ 十、-, 我们从Y的剩余不变性得出结论∈ A. Aα。从（3）和P（Y<0）=P（X<0）得出/∈ A.-α和P（Y<0）≥ 1.- α. 定义Z：=-1年/月{Y<0}+1{Y≥ 0}. 然后，Z>0，ZY=-1{Y<0}+Y 1{Y≥ 0}∈ L∞(Ohm, F、 P） 十、

此外，对于任何∈ （0，1），P（ZY≤ -）=P（Y<0）≥ 1.- α、 这意味着（4）ZY/∈ Aα和thusZY/∈ A、 这与A是num'era ire不变量的假设相矛盾。定理证明m 2.2。为了证明“如果”部分，通过命题2.1，我们只需要证明A+α在概率闭上收敛。假设Xk∈ A+α，k=1，2。和Xk→ 十、∈ 概率X为k→ ∞. 那么，对于任何δ>0，P（X≤ -δ） =P（X≤ -δ、 | Xk- X |≥ δ/2）+P（X≤ -δ、 | Xk- X |<δ/2）≤ P（| Xk- X |≥δ/2）+P（Xk≤ -δ/2) ≤ P（| Xk- X |≥ δ/2) + 1 - α. 让k→ ∞, 我们得到P（X≤ -δ) ≤ 1.- α. 然后，让δ↓ 0产生P（X<0）≤ 1.- α、 与（5）结合意味着X∈ A+α。接下来，我们证明“仅当”部分。回顾定理2.1的第（i）部分，以及A+α在X，α中的概率贴近度的收敛性∈ [0, 1]. 因为A被假定为非空的-= A=, 我们只需要证明对于任何α∈ [0，1），A的概率闭包的收敛性-X中的α是A+α，即对于任何X∈ A+α\\A-α、 存在一个序列Xk，k=1，2。这样Xk∈ A.-α, k和Xk→ 概率中的X等于k→ ∞. 对于任何n=1，2。，表示Yn：=最小值（n，最大值(-n、 X））∈ L∞(Ohm, F、 P）十、 因为P（Yn<0）=P（X<0），我们从（3）和（5）中得出结论，Yn∈ A+α\\A-α.在下文中，我们表明，对于每个固定的n，我们可以找到一个序列Znk，k=1，2。在一个-α，使其收敛到Ynin概率为k→ ∞. 那么，对于任何k∈ N、 存在指数mk，使得d（Zkmk，Yk）<1/k，其中d（·，·）表示Ky Fanmetric（即，d（X，Y）：=e[最小值（| X-Y |，1）]，十、 Y）。确定序列Xk：=Zkmk，k=1，2。。然后，Xk∈ A.-α和xk在概率上与X重合为k→ ∞.对于固定n，因为Yn∈ A+α\\A-α、 我们从（3）和（5）中得出结论，P（Yn<0）=1- α > 0. D enote a：=essinf Yn；然后a∈ [-n、 0）因为P（Yn<0）>0和Yn≥ -n

有两种情况：（i）P（Yn=a）=0和（ii）P（Yn=a）>0。在（i）情况下，定义Znk：=Yn{Yn≥a+k}∈ L∞(Ohm, F、 P） 十、k、 根据a的定义，P（Yn<a+k）>0，k、 因此，P（Znk<0）=P（Yn<0）- P（Yn<a+k）<P（Yn<0）=1- α, k>-a、 这意味着Znk∈ A.-α, k>-a、 此外，limk→+∞P（Yn<a+1/k）=P（Yn=a）=0，意味着Znk→ 伊娜。s、 概率为k的NDTHES→ ∞. 在案例（ii）中，根据无原子测度的中值定理（例如，见p.46 of Remlin（2010）中的命题215D），t存在一系列递减子集{Yn=a} A. A. ···, p（Ak）=k+1P（Yn=a），k、 定义Znk：=Yn{Ohm\\Ak}∈ L∞(Ohm, F、 P） 十、 那么，P（Znk<0）=P（Yn<0）- P（Ak）<1- α、 这意味着Znk∈ A.-α, k、 此外，对于任何>0，P（| Znk-Yn |≥ ) ≤ P（Ak）→ 0作为k→ ∞ , 这意味着thatZnk→ Ynin概率a s k→ ∞.在这一节中，我们首先表明，如果我们限制X，则定理2.2仍然成立 有限合伙人(Ohm, F、 P）对于某些P∈ [1, +∞) 并考虑与Lp范数的贴近度。推论B.1。假设(Ohm, F、 P）是原子l和X 有限合伙人(Ohm, F、 P）对于som e P∈[1, +∞). 那么，A是一个非空、剩余不变量、定律不变量、二次曲线（或num'eraire不变量）和Lp闭合（即，A在Lp范数下在X中闭合）接受集，当且仅当存在sα∈ [0，1]使得A=A+α。证据按照定理2.2证明中的相同步骤，我们只需要证明（i）对于任何α∈ [0，1]，A+α在Lp范数下在X中是闭合的，（ii）f或任何α∈ [0，1），关闭-Lp范数下X中的α是A+α。权利要求（i）是正确的，因为我们在定理2.2的证明中已经证明，在概率收敛的情况下，A+α在X中是闭合的，并且Lp范数诱导的拓扑比概率收敛诱导的拓扑更强。

为了显示权利要求（ii），回忆一下随机变量Znkin A的序列-α表示在定理2.2的证明中构造的足够大的k，以概率将e转化为给定的有界随机变量YninA+α。仔细检查表明，znkconverge为k→ +∞, 至Ynin Lp norm。因此，权利要求（ii）是正确的。如果我们考虑X=L，则定理2.2不成立∞(Ohm, F、 P）与L的接近度∞-因为-一般来说，这个范数下的α是a+α的严格子集。事实上，与定理2.2的证明类似，我们可以证明，在L∞-标准现在，fixα∈ [0，1）并考虑X∈ A+α使得P（X=1）=α和P（X=-1) = 1 -α. 对于任何Y∈ A.-α、 我们有P（Y<0）<1-α、 so P（Y≥ 0，X=-（1）≥ P（X=-（1）- P（Y＜0）＞0。因此，L∞-X的范数-Y必须大于或等于1，这意味着X不在A的闭包中-L下方的α∞-标准如果我们考虑X=L，则定理2.2也不成立∞(Ohm, F、 P）和关于弱星拓扑的闭合性，因为A+α在该拓扑下一般不闭合。事实上，考虑一下Ohm = [0，1]，F是Borelσ-代数，Pto是Lebesgue测度。我们证明了对于任何α∈ （0，1），在弱星型拓扑下，A+α是不闭合的。对于任何X∈ L∞(Ohm, F、 P），任意>0，以及L的任意有限子集(Ohm, F、 P），表示N（X，A，）：={Y∈ L∞(Ohm, F、 P）| | E[Y Z]- E【XZ】|<，Z∈A} 。然后，{N（X，A，）| X∈ L∞(Ohm, F、 P），A是L的有限子集(Ohm, F、 P），>0}构成弱星型拓扑的基；参见D unford和Schwartz（1988）中的定义V.3.2。现在，考虑X*≡ -（1）- α）∈ X\\A+α。在下文中，我们展示了L的任何有限子集A(Ohm, F、 P）且任何>0，都存在X′∈N（X*, A、 ）∩ A+α；因此，在弱星型拓扑下，A＋α不是闭合的。对于每个i∈ {1, . . .