剩余不变量、定律不变量和二次曲线接受集必须是

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英文标题：
《Surplus-Invariant, Law-Invariant, and Conic Acceptance Sets Must be the
  Sets Induced by Value-at-Risk》
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作者：
Xue Dong He, Xianhua Peng
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The regulator is interested in proposing a capital adequacy test by specifying an acceptance set for firms\' capital positions at the end of a given period. This set needs to be surplus-invariant, i.e., not to depend on the surplus of firms\' shareholders, because the test means to protect firms\' liability holders. We prove that any surplus-invariant, law-invariant, and conic acceptance set must be the set of capital positions whose value-at-risk at a given level is less than zero. The result still holds if we replace conicity with numeraire-invariance, a property stipulating that whether a firm passes the test should not depend on the currency used to denominate its assets.
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中文摘要：
监管机构有兴趣提出一项资本充足率测试，具体规定公司在给定期限结束时的资本头寸接受集。这个集合需要是盈余不变的，即不依赖于公司股东的盈余，因为测试意味着保护公司的责任持有人。我们证明了任何盈余不变量、定律不变量和二次曲线接受集都必须是在给定水平上风险值小于零的资本头寸集。如果我们用数字不变性代替圆锥度，结果仍然成立。数字不变性规定，企业是否通过测试不应取决于其资产的计价货币。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：Quantitative Mathematical Applications Shareholders QUANTITATIV

剩余不变量、定律不变量和圆锥接受集必须是由风险值诱导的集*薛东河+彭显华2018年1月22日摘要监管机构有兴趣提出资本充足率测试，具体规定特定期限结束时企业资本头寸的接受集。该集合必须是盈余不变的，即不依赖于公司股东的盈余，因为该测试意味着保护公司的负债持有人。我们证明了任何盈余不变量、定律不变量和二次曲线接受集都必须是在给定水平上风险值小于零的资本头寸集。如果我们用num'eraire不变性代替圆锥度，结果仍然成立，该不变性规定企业是否通过测试不应取决于其资产的计价货币。关键词：资本充足性检验；风险价值；剩余不变性；锥度；正均一性；数字不变性分类：D81、G18、G28、K23*这篇论文之前的标题是“盈余不变量、定律不变量和正齐次接受集必须由风险值导出”作者对编辑和匿名评论员的深刻评论表示赞赏，这些评论有助于改进论文。他们还感谢史蒂文·寇（StevenKou）对该论文的建设性评论，感谢他主持了作者对新加坡国立大学（National University of Singapore）风险管理研究所（Risk Management Institute）的访问，该研究所是该论文的发祥地。何学东获得香港特别行政区研究资助委员会普通研究基金（项目号：。

14225916).+香港中文大学系统工程与工程管理系，电子邮箱：xdhe@se.cuhk.e杜。香港中国广东省深圳市南山区北京大学汇丰商学院，电子邮箱：xianhuapeng@phbs.pku.e杜。中国。1简介假设一家公司的初始资本为c，债务为d，因此在时间0时的资产价值为c+d。假设该公司将其资产投资于一个在[0，T]期间产生净随机回报率的投资组合。假设公司需要在t时间t向债权人支付利息rd和面值d，其中r是利率。然后，该公司在d期结束时的损益为Y=（c+d）R- rd.《巴塞尔新协议》（Basel II Accord）（Basel Committee on Banking Supervision；2006年2月，2009年）提出了一种基于损益的资本充足性测试：计算某个置信水平（例如，99%）的损益风险值（VaR），然后要求企业持有相当于VaR金额的资本L。因此，如果我们将V@Rα（Y）表示为Y的α水平VaR，那么，当且仅当V@Rα（Y）时，该公司的头寸是可接受的≤ c、 即，仅当V@Rα（X）时≤ 0，其中X：=Y+c=（c+d）（R+1）-（1+r）d是公司在期末的资本头寸，即公司资产减去负债。与《巴塞尔协议》一样，监管机构有意通过规定一个有效期结束时企业资本头寸的接受集，提出资本充足率测试。如果一家公司没有通过测试，它可以1）调整当前的投资组合，2）注入新资本并将其作为现金持有，以及3）注入新资本并将其投资于投资组合。

然后，监管机构可以通过再次进行资本充足率测试来检查更新后的资本状况是否可接受。公司资本头寸的正部分是股权持有人的盈余，负部分被定义为公司违约的选择权，代表未使用公司资产支付的负债部分。正如byStaum（2013）、Cont et al.（2013）、Koch Medina et al.（2015）和Koch Medina et al.（2016）所言，资本充足率测试的主要目的是保护负债持有人；因此，一家公司的资本头寸是否在接受集合中，只取决于该公司资本头寸的负部分，而不取决于正部分，即盈余不变性。本文证明了剩余不变量、定律不变量和圆锥接受集必须是VaR诱导的集，即必须是在给定水平上VaR小于零的资本头寸集。我们既不假设凸性也不假设一致性，因此我们研究的接受集族包括许多非凸的接受集，例如由自然风险统计pr oposedbyKou et al.（2013）以及Kou和Peng（2016）提出的扭曲风险度量所诱导的接受集族。因此，我们的结果与Koch-Medina et al.（2015）和Koch-Medina et al.（2016）的结果不同。法律不变性是一种普遍采用的属性，允许监管机构对企业是否在资本充足率测试中使用有效模型进行统计测试。一致性风险度量概念中假设了锥度，即通过任何正恒量缩放资本头寸不会影响头寸的可接受性（Artzner et a l.；1999）。锥度由num'eraire不变性暗示，Artzner et al.（2009）引入了该特性，Koch-Medina et al.（2016）进一步研究了该特性。

我们还证明了剩余不变量、定律不变量和num'eraire不变量接受集必须是由VaR导出的集。本文的剩余部分如下：第2节给出了主要结果，第3节得出结论。所有证据都放在附录中。2主要结果2.1验收设置考虑概率空间(Ohm, F、 P）并表示L(Ohm, F、 P）作为该空间上所有属性变量的集合。设X是L的子集(Ohm, F、 P）包含∞(Ohm, F、 P），有界随机变量集。这里，X可以包括无界的drandom变量；例如，X可以是L∞(Ohm, F、 P），L(Ohm, F、 P）和Lp(Ohm, F、 P）对于某些P∈ [1, +∞) 表示具有有限Lp范数的随机变量集。X中的每个元素X代表一家公司在给定期限结束时的资本状况，即该公司的资产减去其负债。因此，X的正部分表示为asX+：=max（X，0），是公司股东的盈余，X的负部分表示为X-:= -最小值（X，0）是公司的默认选项。由于有限责任，公司股东获得盈余，但不支付违约选择权，因此负债持有人不能获得盈余，但必须支付违约选择权。监管机构建议通过指定接受集a来进行资本充足率测试。我们在风险度量文献（参见Artzneret al.（1999）、Staum（20 13）和Koch Medina et al.（2015））中做出了标准假设，即一家公司是否通过资本充足率测试仅取决于该公司的资本状况。因此，A是X的子集：当且仅当其资本状况位于A时，A公司通过测试。

我们介绍了a接受集a的以下性质：（i）剩余不变性：对于任意X，Y∈ 十、 如果X∈ A和X-≥ Y-几乎可以肯定（a.s.），然后是Y∈ A、 （ii）定律不变性：对于任何X，Y∈ 十、 如果X∈ A和Y具有相同的分布X，然后是Y∈ A、 （iii）锥度：对于任何X∈ X和λ>0，使得λX∈ 十、 如果X∈ A、 然后λX∈ A、 （iv）Num'eraire不变性：对于任何X∈ X和任意严格正随机变量Z(Ohm, F、 P）使ZX∈ 十、 如果X∈ A、 然后是ZX∈ A、 （v）截断闭度：对于任意X∈ 十、 如果最小值（最大值(-d、 X），d）∈ A表示任意D>0，然后是X∈ A、 Koch-Medina等人（201 5）提出了盈余不变性属性，分别扩展了Taum（20 13）和Cont等人（2013）提出的短缺风险度量的盈余不变性属性和基于损失的风险度量的损失依赖性属性。盈余不变性属性规定，如果A公司通过测试，则违约选择权小于A公司的B公司也应通过测试。该属性由与VaR相关的接受集满足，即A={X∈ X | V@Rα（X）≤ 0}，以及与短缺风险度量相关的，即a={X∈ X | E[l（X-)] ≤ c} ，其中lis是一个非恒定的递增函数。有关更多示例和讨论，请参见Staum（2013）和Koch Medina et al.（2016）。如果n验收集a满足剩余入侵属性，则a满足任何X、Y∈ 十、 如果X≤ Y a.s.和X∈ A、 然后Y∈ A、 事实上，后者属性用于定义验收集inKoch-Medina et al.（2015）和Koch-Medina et al.（2016）。法律不变性对于监管机构使用历史数据来支持企业在进行资本充足率测试时使用的模型非常重要。圆锥度仍然认为，按正常数缩放企业的资本头寸不会改变企业的可接受性。

在一致性风险度量中假设了该属性。Koch-Medina等人（2015）使用了略有不同但等效的盈余不变性定义；s e e Eq.（1.1）和Koch Medina et al.（2016）中的命题1。如果ρ（X）=ρ（Y）对于所有X和Y，如t X，则风险度量ρ是超额不变的-= Y-对于任何X，如果ρ（X）=ρ（min（X，0）），则为损失相关（Artzner et al；1999），但凸风险度量中不需要（F¨ollmer and Schied；2002；Frittelli and Rosazza Gianin；2002）。Weber et al.（2013）表明，应用于具有价格影响的系统的一致性风险度量可能会导致非二次曲线的凸风险度量。Num'eraire不变性在Nartzner等人（2009）中介绍，在Koch-Medina等人（2016）中进一步研究。这意味着“验收集不应取决于合格（num'eraire）资产的选择”（Artzner等人；2009年，第114页）。Num'eraire不变性可以适应企业资产和负债可能以不同货币计价的情况。Koch Medina和Munari（2016年，第6节）表明，与VaR相关的验收集是num'eraire不变量，但与预期短缺相关的验收集不是。显然，num'eraire不变性意味着圆锥度。在不假设num'eraire不变性的情况下，货币风险也可以通过向量值风险度量明确纳入资本充足率测试；例如，见Jouini等人（2004年）。t runcation closedness属性仅仅意味着，如果资本头寸X的任何截断版本（可能是无界的）都是可以接受的，那么X本身也是可以接受的。该性质类似于连续性公理f或畸变风险度量ρ，该公理假设ρ满足极限→+∞ρ（min（d，X））=limd→+∞ρ（最大值(-d、 X））=ρ（X）（Wang等人，1997年）。

如果X=L，则截断闭合性属性自动适用于任何接受集∞(Ohm, F、 P）并被一些常用的验收集所满足。例如，对于任何失真风险度量ρh（X）：=R∞h（P（X>X））dx+R-∞（h（P（X>X））- 1） dx，其中h是畸变函数（h随h（0）=0和h（1）=1而递增），ρh={X∈ X |ρh（X）≤ 0}是截断关闭的，因为limd→∞ρh（最小值（最大值(-d、 X），d））=ρh（X）。2.2风险价值Ba sel II协议和SolvencyII中资本充足率测试的现行做法是使用VaR；《巴塞尔协议III》规定，自2018年1月1日起，压力情景下97.5%的预期空头将用于测试资本充足率以应对市场风险（巴塞尔银行监管委员会；2016年）。为了正式定义VaR，我们引入了一些符号。对于给定的随机变量，Koch-Medina et a l.（2016，命题5）表明闭接受集a是num'eraire不变性和单调的（即，对于任何X和Y，如果X≤ Y a.s.和X∈ A、 然后是Y∈ A） 当且仅当它是剩余不变量和二次曲线。十、 将FX表示为其（右连续）累积分布函数。表示F-1xA是X的左连续分位数函数，即F-1X（t）：=sup{x∈ R | FX（x）<t}=inf{x∈ R | FX（x）≥ t} ，t∈ [0, 1].尤其是F-1X（0）=-∞ 和F-1X（1）=esssup X：=inf{X | P（X≤ x） =1}定义。此外，F-1X（t+）=inf{x∈ R | FX（x）>t}是x的右连续分位数函数（F¨ollmer and Schied；2016，引理A.19）；特别是F-1X（0+）=limz↓0F-1X（z）=essinf X：=sup{X | P（X≤ x） =0}，andF-1X（1+）=+∞ . 众所周知，对于任何x∈ R和t∈ [0，1]，（i）FX（x）<tif且仅当F-1X（t）>x和（ii）FX（x-) ≤ t当且仅当F-1X（t+）≥ x、 其中fx（x-) := 林茨↑xFX（z）。

很容易证明，对于任何连续、递增的函数Д：R→ R、 F级-1Д（X）（z）=ДF-1X（z）, z∈ （0，1）和对于任何连续递减函数ψ：R→ R、 F级-1ψ（X）（z）=ψF-1X（（1- z） +）, z∈ ( 0, 1).α级X的VaR定义为-α级X。形式上，对于任何α∈ [0，1]，我们将X的下α-VaR和上α-VaR分别定义为Rlα（X）：=F-1.-X（α）=-F-1X（（1- α） +），（1）V@Ruα（X）：=F-1.-X（α+）=-F-1X（1- α). （2） 对于每个α∈ [0，1]，我们根据企业的默认概率定义了以下三个接受集：A-α： ={X∈ X | P（X<0）<1- α} ，（3）Aα：={X∈ X | P（X≤ -) < 1 - α对于任何>0}，（4）A+α：={X∈ X | P（X<0）≤ 1.- α}. （5） 在《巴塞尔协议II》中，如果且仅当某一水平α（例如99%）的VaR小于或等于零时，资本头寸X才是可接受的。以下命题2.1表明-α、 Aα和A+α确实是由VaR诱导的。此外，这些接受集是盈余不变性、定律不变性、二次曲线和截断闭合的；此外，A-α和A+α是数字形式的入侵。事实上，根据F¨ollmer and Schied（2016）中的引理A.27，F-1Д（X）（z）=ДF-1X（z）, 对于。ez∈ (0, 1).因为F和-1Д（X）（z）和ДF-1X（z）都是连续的，那么F-1Д（X）（z）=ДF-1X（z）, 对于任意z∈ (0, 1). 类似的参数导致F-1ψ（X）（z）=ψF-1X（（1- z） +）, z∈ (0, 1).提案2.1。（i） 对于任何α∈ [0，1]，A-α、 Aα和A+α满意度A-α={X∈ X | V@Ruα+δ（X）≤ 某些δ为0∈ (0, 1 - α） }，（6）Aα={X∈ X | V@Ruα（X）≤ 0}，（7）A+α={X∈ X | V@Rlα（X）≤ 0}. （8） 特别是-= A= 和A+={X∈ X | X≥ 上午0点}。（ii）对于yα∈ [0，1]，A-α、 Aα和A+α是剩余不变量、律不变量t、二次曲线和截断闭接受集，A-α Aα A+α；此外，A-α和α+是num'eraire不变量。

对于任何0≤ α< α≤ 1，A-α A+α。注意，inStaum（2013，示例4.1）和Koch-Medina等人（2016，示例1）已经显示了A+α的剩余不变性。还值得注意的是，验收集A+要求当且仅当企业从不违约时才可接受，因此它只是形式上的VaR诱导验收集。最后，A和B之间的差异-α、 Aα和A+α是次要的，尽管通常A-α（Aα和Aα（A+α）。此外，Aα通常不是num'eraire不变量，如附录D.2.3中的示例1所示。盈余不变量、定律不变量、二次曲线和截断闭合接受集必须是VaR诱导的集。我们证明，任何盈余不变量、定律不变量、二次曲线（或num'eraire不变量）和截断闭合接受集必须是VaR诱导的集。为此，我们遵循法律不变风险度量的文献（例如Kusuoka（2001）、Jouiniet al.（2006）和Frittelli和Rosazza Gianin（2005）），将自己限制在支持统一随机变量的atomle ssprobability空间。我们的结果也支持forequi概率空间((Ohm, F、 P）是等概率概率空间，如果Ohm = {ω，…，ωn}和P（ωi）=1/n，i） ；见附录C。定理2.1。假设(Ohm, F、 P）无原子。然后，（i）如果A是盈余不变量、定律不变量、二次曲线和截断接受集，则存在α∈ [0，1]以便-α A. Aα或A=A+α。（ii）A是盈余不变量、定律不变量、num'eraire不变量和截断闭合接受集，当且仅当存在stsα时∈ [0，1]使得ei ther A=A-αorA=A+α。定理2.1表明，盈余不变量、定律不变量、二次曲线（或num'eraire不变量）和截断闭合接受集本质上是由var导出的集。