剩余不变量、定律不变量和二次曲线接受集必须是

，n}，因为Zi∈ L(Ohm, F、 P）连续函数集在L中是稠密的(Ohm, F、 P），存在一个连续函数▄Zi（t），t∈ [0，1]使得E[| Zi-Zi |]</3。因为▄Zi’s是一致连续的，所以存在一个整数m≥ 1使得|Zi（t）-Zi（s）|</（6α（1- α） ）对于任何i∈ {1，…，n}和任何s，t∈ [0，1]- t |≤ 1/m.现在，定义m（t）=(-1，t∈k-1m，k-1m+1-αm,0，t∈k-1m+1-αm，km,k=1，m、 那么，P（Xm<0）=P（Xm=-1) = 1 - α、 so Xm∈ A+α。我们有| E[~ZiXm]- E【】ZiX*]| =ZZi（t）Xm（t）dt-ZZi（t）X*（t） dt公司=mXk=1“-Zk公司-1m+1-αmk-1mZi（t）dt#+（1- α） ZZi（t）dt=mXk=1“-αZk-1m+1-αmk-1mZi（t）dt+（1- α） Zkmk公司-1m+1-αmZi（t）dt#=mXk=1“-αZk-1m+1-αmk-1米Zi（t）-Zik- 1m+1- αmdt+（1- α） Zkmk公司-1m+1-αmZi（t）-Zik- 1m+1- αmdt公司#≤mXk=1“αZk-1m+1-αmk-1米Zi（t）-Zik- 1m+1- αmdt+（1- α） Zkmk公司-1m+1-αmZi（t）-Zik- 1m+1- αmdt#</3，其中最后一个不等式成立，因为|Zi（t）-Zi（s）|</（6α（1-α） ）适用于任何s、t∈[0，1]这样| s- t |<1/m。因此，| E[ZiXm]- E[ZiX*]| ≤|E【~ ZiXm】- E【】ZiX*]| + |E【~ ZiXm】- E[ZiXm]|+| E[~ZiX*] - E[ZiX*]|</3+2E[| | Zi- Zi |]<其中第二个不等式成立，因为| Xm |≤ 1和| X*| ≤ 第三个不等式是这样的，因为-Zi |]</3。因此，Xm∈ N（X*, A、 ） N（X，A，）。另一方面，Xm∈ A+α。因此，在弱星型拓扑下，A＋α不是闭合的。上述例子是由于马塞尔·努茨（MarcelNutz）在海姆和本论文第一作者之间的私人通信中提到的。C等概率空间的情况Theorem C.1。假设(Ohm, F、 P）是一个等概率空间。然后，isa盈余不变量、v变数定律和二次曲线（或num'eraire不变量）接受集当且仅当它是空集或某个α的A+α∈ [0, 1].理论证明mC。1、假设Ohm = {ω，…，ωn}。

然后，通过定义，P（{ωi}）=1/n，i=1，n、 首先，我们证明了对于任意随机变量X(Ohm, F、 P），在（Ohm, F、 P）使得（i）X=F-1X（U+）=F-1X（~U）和（ii）任意随机变量Y开启(Ohm, F、 P）具有与F相同的分布-1Y（U+）和F-1Y（~U）。事实上，在不丧失一般性的情况下（如有必要，通过重新标记状态），假设X（ωi）=xk，nk-1<i≤ nk，k=1，m、 其中，n=0<n<···<nm=n，x<x<···<xm。然后，我们将两个随机变量▄U和U定义如下：▄U（ωi）：=i/n，U（ωi）：=（i- 1）/n，i=1，n、 那么，我们有-1X（~U（ωi））=F-1X（i/n）=xk=X（ωi），对于任何nk-1<i≤ nk；因此，F-1X（~U）=X。此外，F-1X（U（ωi）+）=F-1X（（（i-1） /n）+）=xk=X（ωi），对于任何nk-1<i≤ nk；因此，F-1X（U+）=X。对于任何随机变量Y，on(Ohm, F、 P），假设{Y（ω）|ω∈ Ohm} = {y，…，y'm}，其中y<···<y'm和P（y≤ yk）=？nk/n，k=1，m，其中n=0<n<···<n··············································-1<i≤ (R)nk。那么，我们有F-1Y（~U（ωi））=F-1Y（i/n）=yk=\'Y（ωi），对于任何\'nk-1<i≤ (R)nk；因此，F-1Y（yenU）=Y。此外，F-1Y（U（ωi）+）=F-1年（（（i-1） /n）+）=yk=\'Y（ωi），对于任何\'nk-1<i≤ (R)nk；因此，F-1年（U+）＝年。由于“Y”与“Y”具有相同的分布，因此（ii）成立。因为Ohm 是一个有限集，所有随机变量(Ohm, F、 P）有界，构成资本头寸X的空间；因此，任何验收集都将关闭。然后，使用上面构造的U和U，可以很容易地改变定理2.1第（i）部分的证明也可以适用于等概率空间的情况；因此，如果A是剩余不变量、定律不变量、二次曲线接受集，则t存在α∈ [0，1]这样-α A. Aα或A=A+α。当α=1时，我们有-= A=, so A= 在这种情况下，或A=A+。

Whensuchα∈ [0，1），我们声称-对于某些α′，α=Aα=A+α′∈ （α，1）.实际上，对于anyX∈ Aα，有两种情况：（i）X≥ 0.在这种情况下，通过定义-α、 X个∈ A.-α.（ii）存在ω，使得X（ω）<0。让x*:= 最大{X（ω）| X（ω）<0，ω∈ Ohm}.请注意Ohm 是一个有限集，所以x*< 那么，从（4）可以得出P（X≤ x个*) <1.- α、 这意味着P（X<0）=P（X≤ x个*) < 1.- α. 通过（3），我们得出∈ A.-α. 因此-α=α。现在注意到(Ohm, F、 P）是1/n的倍数，P（a）<1- α当且仅当P（A）≤ 1.- α′，其中α′：=1-n（1- α) - 1./n和x个 代表x的上限（即，控制x的小整数）；此外，因为n（1- α) - 1<n（1- α） α<1，我们得出结论α′∈ （α，1）。因此，通过（3）和（5），X∈ A.-αif和onlyX∈ A+α′；i、 e.，A-α=A+α′。最后，对于α=1的情况和α的情况，结合上述讨论f∈[0，1），我们得出结论：A是盈余不变量、定律不变量和二次曲线接受集当且仅当A是空集或某个α的A+α∈ [0, 1]. 当圆锥度被num'eraire不变性代替时，上述论点仍然成立。D两个示例示例D.1。假设(Ohm, F、 P）无原子且X=L∞(Ohm, F、 P）。考虑带支撑的均匀分布随机变量Y(-1 + α, α). 从（3）和（4）中可以看出∈ Aα和Y/∈ A.-α. 定义Z：=-1/Y）1{Y<0}+1{Y≥ 0}.然后，Z>0且ZY=-1{Y<0}+Y 1{Y≥ 0}∈ 十、 此外，对于任何∈ （0，1），P（ZY≤ -）=P（Y<0）=1- α、 与（4）结合表示thatZY/∈ Aα。因此，α不是num'eraire不变量。示例D.2。假设(Ohm, F、 P）无原子且X=L∞(Ohm, F、 P）。固定α∈（0，1）并考虑Y∈ X使得Y在(-1 + α, α).然后，F-1Y（z）=z- （1）- α） ，z∈ (0, 1). 定义X：=十、∈ X |δ>0，使得δminF-1X（z），0≥ 最小值F-1Y（z），0, z∈ (0, 1)和X：=X\\X。

可以看出，XI的是定律不变性和二次曲线；因此，A也是：=十、∩ Aα∪十、∩ A.-α.首先，对于任意随机变量X，min（F-1X（z），0）=F-1.-十、-（z） ，z∈ （0，1）因为-1Д（X）（z）=ДF-1X（z）, z∈ （0，1）对于任何连续和递增函数（见注释4）。其次，很明显-α A. Aα。第三，我们将证明Ais盈余-i是可变的。考虑任意X∈ A和X∈ X使得X-≤ 十、-a、 有两种情况：（1）如果X∈ 十、 然后是X∈ Aα。因为X-≤ 十、-a、 s.andAα是剩余不变的，我们得出X∈ Aα。此外，最小值（F-1X（z），0）=F-1.-十、-（z）≤ F-1.-十、-（z） =最小值（F-1X（z），0），z∈ （0，1）因为X-≤ 十、-a、 因此，X∈ X因此X∈ A、 （2）如果X∈ 十、 然后是X∈ A.-α. 因为-≤ 十、-a、 美国和a-α是剩余不变的，我们假设X∈ A.-α A.第四，X=L∞(Ohm, F、 P），访问集A是截断闭合的。最后，你可以看到Y/∈ A.-α和Y∈ 十、∩ Aα A、 此外，具有全平铺功能的▄Y-1▄Y（z）=z-（1）-α） ，z≥ 1.-α和F-1▄Y（z）=-√1.- α - z、 z<1-α既不在X中也不在A中-α、 so▄Y/∈ A.但▄Y∈ Aα。总之，A是一个盈余不变量、定律不变量、二次曲线和凸出闭合接受集，A是一个-α（Aα。参考文献：Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.-M.和Heath，D.（1999）。风险的一致度量，数学。财务9（3）：203–228。Artzner，P.、Delbaen，F.和Koch Medina，P.（2009）。风险度量和资本效率，Astin公告39（1）：101–116。巴塞尔银行监管委员会（2006年）。资本计量和资本标准的国际趋同：修订框架，文件，国际清算银行，瑞士巴塞尔。巴塞尔银行监管委员会（2009年）。《巴塞尔II市场风险框架修订》，文件，国际清算银行，巴塞尔，瑞士。巴塞尔银行监管委员会（2016年）。

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