多项式过程的马尔可夫容积规则

假设我们可以找到一个形式为S=eSH的矩阵∈ RR×Mof秩M。那么也存在∈ RM×Rsuch，AeS=idm维单位矩阵，我们可以重写（6.2）asHG=eLH，（6.3）whereeL=ALeS∈ RM×M。矩阵素不一定是转移率矩阵。然而，由于L emma 2.5和（6.3），我们有exi[p（Xt）]=MXj=1（eteL）i，jp（xj），对于i=1，M和p∈ Poln（E）。（6.4）因此，伪转移率矩阵素定义了一个伪马尔可夫容积规则，其权重可能为负。这些可能的负权重可以解释为伪转移概率矩阵eteL中出现的负“概率”。因此，Kolmogorov连续引理所造成的限制消失在一个具有负“概率”的框架中。然而，正如我们将在下文中说明的那样，负权重与基本结果不相容，如美式期权定价的动态规划原则。出于这个原因，我们不追求马尔可夫容积问题的这种放松。示例6.1。为了说明为什么负权重与动态规划原理不兼容，我们考虑了第4.1节的设置和相同的Black-Scholes模型参数。特别是，我们采用M=40个立方点、n=4个矩和Ntime=1000来近似美国看跌期权价格。我们将图6中使用第4节中描述的二次规划方法的解L获得的结果与使用解方程（6.3）的矩阵素获得的结果进行比较。该图清楚地表明，对于概率应用，使用负“概率s”进行松弛是没有用的。7结论本文利用有限状态马尔可夫过程，通过矩条件研究多项式过程的离散化。我们称这些离散化为马尔可夫容积规则。

多项式性质允许我们使用代数技术进行分析；参见理论3.2和5.2。由于Kolmogorov连续引理，多项式差分连续时间中的矩匹配条件过于严格。我们研究的是马尔可夫容积规则的relaxedversions。允许负跃迁“概率”的可能弛豫对概率应用不有用；参见第6节。相反，我们保留了马尔可夫容积问题的另外两种更有用的松弛。在第4节中，我们将介绍如何通过二次规划问题找到近似马尔可夫容积规则。然后，我们举例说明如何利用这种近似来解决与时间相关的问题，如美式期权的估值。在这些示例中，该方法表现良好。然后，在第5节中，我们讨论了离散时间马尔可夫容积规则构造的渐近矩的条件；参见定理5.2。我们还通过一个数值例子说明了这些离散规则在较长时间网格上的使用。计算成本、精度和收敛性的非系统分析超出了本文的范围，但却是未来研究的一个有趣课题。多项式过程的渐近矩证明X是一个具有扩展生成元G和状态空间E的多项式过程∈ 设G是G的矩阵，限制于Poln（E），关于Poln（E）的基β=（h，…，hNn）。下面的定理表明，假设（H1）等价于n阶渐近矩的存在性。定理A.1。以下是等效的：（i）假设（H1）成立。（ii）矩阵序列（exp（tG））t≥0接近t→ ∞.（iii）Ex[hj（Xt）]收敛为t→ ∞ 对于所有x∈ E和j=1，Nn。（iv）Ex[p（Xt）]收敛为t→ ∞ 对于所有x∈ E和p∈ Poln（E）。证据

（一）<=>（ii）假设G=V JV-1，其中J是G的（复）Jordan范式。我们有（exp（tG））t≥0接近t→ ∞ 当且仅当（exp（tJ））t≥0 Converges ast→ ∞. 此外，（exp（tJ））t≥0接近t→ ∞ 当且仅当exp（tJi）收敛于所有i时，这里的Ji是矩阵J的Jordan块。每个Ji的形式为Ji=λiId+ni，其中λiis是G的特征值，Id是单位矩阵，ni是幂零矩阵。因此，exp（tJi）=exp（tλi）pi（tNi），带有pia多项式。我们注意到pi≡ 1当且仅当Ni=0，且pi（tNi）不是t ifNi6=0中的常数多项式。假设（H1）成立的当且仅当所有i的Re（λi）<0，使得λi6=0，如果λi=0，Ni=0。这些观察结果暗示了（i）和（ii）之间的等效性。（二）=>（iii）假设矩阵（exp（tG））t≥0接近矩阵P∈ RNn×Nnast→ ∞. 到（2.6）时，我们有了这一限制→∞Ex[hj（Xt）]=NnXi=1ePijhi（x），对于所有j=1，N和x∈ E、 因此（iii）成立。（三）<=>（iv）这源于以下事实：，hNnis a b asis of Poln（E）。（三）=>（ii）现在假设Ex[hj（Xt）]收敛于所有x∈ E和j=1，Nn，如tgo所示。我们声称存在nn点，x，xNn型∈ E、 这样对于所有p∈ Poln（E）p（xi）=0表示所有i=> p≡ 0.（A.1）为了相互矛盾，假设没有点x，xNn型∈ （A.1）中所包含的内容。设p（x）6=0是E和x上的多项式∈ 使得p（x）6=0。根据假设，我们可以找到p∈ Poln（E）和x∈ 使得p（x）=0，p（x）6=0。递归地，我们可以构造点x，xNn，和d多项式p，Pnsuch thattpi（xi）6=0，pi（xj）=0，对于j<i.（A.2），这些多项式将是线性独立的，因此是Poln（E）的基础。假设p∈ Poln（E）满意度p（xi）=0表示所有i。

由于p是多项式Pi的线性组合，我们可以通过（a.2）得出结论，线性组合的所有系数都等于零，而p处处为零，这是一个矛盾。因此，我们总能找到x，xNn型∈ E使（A.1）保持不变。这些点允许我们通过kpk=supi | p（xi）|定义空间Poln（E）的范数。另一个范数由kpk=supi |λi |给出，其中p=Pjλjhj。因为这些范数是等价的，所以多项式序列在x上的收敛性，xn简化了系数的收敛。形式为Ex[hj（Xt）]的多项式的系数是m矩阵exp（tG）的项。因此（ii）成立。一般来说，这些渐近矩可能依赖于x。事实上，我们有以下命题。提案A.2。假设假设（H1）成立。设G=V JV-1b是G的正则Jordan分解，V是广义特征向量矩阵。Thenlimt公司→∞etG=lXi=1viri，（A.3），其中向量v，vlare G的特征向量，对应于特征值0和r，RL是V的行-此外，渐近矩（5.1）由（u（x），…）给出，uNn（x））=lXi=1Hn（x）维里。（A.4）证明。定理A.1中（i）和（ii）之间等价性的证明表明，假设（H1）imp位于atlimt→∞etG=VId 00 0五、-1，其中单位矩阵Id来自对应于特征值0的块。这意味着（A.3）。此外，（A.3）、（3.3）和（5.1）暗示（A.4）。这些结果的一个中间推论刻画了渐近矩与x无关的情况。推论A.3。假设（H2）成立当且仅当渐近矩u（x），（5.1）中定义的uNn（x）存在，并且它们独立于x，即e.Proof上的常数。我们已经有了假设（H1）和定理中交感矩的存在之间的等价性。1.

此外，注意到前面命题中的（A.4）意味着对于所有j=1，Nnuj（x）=lXi=1ri（j）ehi（x），其中特征多项式eh，ehl（对应于G的特征值0）由EHI（x）=Hn（x）给出vi，对于所有i=1，l、 这些多项式是线性独立的，就像Poln（E）中的多项式一样。这种线性独立性意味着，当且仅当l=1时，对于所有j，uj（x）在E上是常数。示例A.4。假设X是多项式鞅。当G=0时，这将保持不变，其中，生成器的矩阵限制为空间Pol（E）。一个特别的例子是几何布朗运动。在这种情况下，对于所有t，Ex[Xt]=x≥ 0和x∈ E、 因此，limt→∞Ex[Xt]=x。在这个例子中，0作为G的特征值，具有代数重数2。示例A.5。假设d=1，Gf（x）=-x f′（x）+xf′（x）。Thenlimt公司→∞Ex[Xt]=0；限制→∞Ex[Xt]=x。在本例中，0的重数1是G的特征值（generatorG的矩阵限制为Pol（E））然而，0具有代数重数2作为G的特征值（生成器G的矩阵限制为Pol（E））。运算符G是过程Xt=Xe的整数生成器-2吨+√2Bt，其中B是布朗运动。在这种情况下，当Xt=Xe时，Xt是一个期望收敛到零的超鞅-4t+2√2Btis amartingale从X开始。以下命题给出了极限力矩uj（X）为正Borel测度的力矩的充分条件。提案A.6。Le t Gn+1是相对于Poln+1（E）的扩展基β=（h，…，hNn，…，hR）限制在Poln+1（E）空间的生成器矩阵。假设（H1）适用于Gn+1。那么对于所有x∈ E对于所有j=1，…，存在正的Borel测度πxsuch，即zehj（y）πx（dy）=uj（x）（a.5），Nn。证据让x∈ E和j=1，Nnbe固定。

理论上我们有。第1个at Ex[f（Xt）]收敛为t→ ∞ 对于任意多项式f∈ Poln+1（E）。定义Yt=hj（Xt）。De La Vall'eePoussin的theorem暗示（Yt）t≥如果0可积，则0为un。此外，我们得到E上的Borel概率测度序列由（Px）给出o 十、-1吨）吨≥0太紧了。设πxb为该序列的累积Borel概率测度。我们得出结论（A.5）成立。实际上，在不丧失一般性的情况下，假设Pxo 十、-1t收敛到πx的不分布。由Fatou的lemmaZE | hj（y）|π（dy）=Z∞π（| hj（y）|>z）dz≤ lim信息→∞Z∞Px（| Yt |>z）dz=直线输入→∞E[| Yt |]<∞.因此，给定j=1。Nnand>0，存在常数C，T>0，使得Ex[| Yt | 1 | Yt |>C]<所有T≥ 0，R | hj（y）|>C | hj（y）|π（dy）<且对于t≥ TEx[年初至今|≤C]-Z | hj（y）|≤Chj（y）π（dy）< .因此，对于t≥ TEx[年初至今]-ZEHj（y）πx（dy）≤Ex[年初至今|≤C]-Z | hj（y）|≤Chj（y）π（dy）+ Ex[| Yt | 1 | Yt |>C]+ZE | hj（y）| 1 | ht（y）|>Cπ（dy）≤ 3.由于>0是任意的，我们得到（A.5）；另见比林斯利（1995）中的定理3.5。备注A.7。在命题A.6的证明中，为了应用德拉瓦利-普桑定理和推导一致可积性，简单地使用了n+1阶渐近矩的存在性。在某些情况下，上述命题的测度πxo不一定是不变测度。下面的示例说明了这一点。示例A.8。假设X是指数布朗运动。特别地，对于所有的t，X是阿马丁格尔，Ex[Xt]=X≥ 因此，u（x）=x，其中u是渐近平均值。在这种情况下，πx=δx，这不是x>0的不变度量。B引理2.5的证明。根据（2.5），我们得到了向量方程Hn（Xt）=Hn（x）+ZtGnHn（Xs）ds+Mt，t≥ 0，（B.1）对于某些具有nn分量的局部鞅M。我们认为期望E[kHn（Xt）k]在t中是局部有界的。

这源于不等式1+kXtk2k≤1+kxk2keCt，t≥ 0，这适用于某些常数C>0，该常数依赖于G而不是t或x。该不等式是使用Cuchiero等人（2012）定理2.10证明中的参数得到验证的。此外，结合LemmaB。这也意味着M是真鞅。将（B.1）两边的期望值取下来，从而得到积分方程[Hn（Xt）]=Hn（x）+ZtGnE[Hn（Xs）]ds，t≥ 0，其解为E[Hn（Xt）]=etGnHn（x）。这将产生（2.6）。引理B.1。让p∈ Pol（E）。局部鞅Mt=p（Xt）-RtGp（Xs）ds允许一个可预测的二次变化过程，由hM给出，M it=Rt（Gp-2pGp）（Xs）ds。证据求Mt的表达式并重新排列yieldsp（Xt）-Mt=2p（Xt）ZtGp（Xs）ds-ZtGp（Xs）ds= 2.Mt+ZtGp（Xs）dsZtGp（Xs）ds-ZtGp（Xs）ds= 2MtZtGp（Xs）ds+ZtGp（Xs）ds= 2ZtMsGp（Xs）ds+ZtGp（Xs）ds+ （局部鞅）=2Ztp（Xs）-ZsGp（徐）杜Gp（Xs）ds+ZtGp（Xs）ds+ （局部鞅）=2Ztp（Xs）Gp（Xs）ds+（局部鞅），其中最后一个等式来自等式（Rtg（s）ds）=2Rtg（s）Rsg（u）du ds，其中g（t）=Gp（Xt）。因此，由于pis也是一个多项式，因此在G的域中，weobtainMt-Zt公司Gp（Xs）- 2p（Xs）总成（Xs）ds=（局部鞅）。这意味着引理的断言。定理2.7的证明。显然，如果（2.7）成立，那么Y是X onT的n-Markov容积规则。相反，假设Y是T上X的一个n-Markov立方规则。通过一个引理，它足以显示l=2的（2.7）。为此，fix p，q∈ Poln（E）带PQ∈ Poln（E）和let s，t∈ 不能使0≤ s≤ t、 定义函数ep（x）=Ex[p（Xt-s） 】。由于X是一个多项式过程，根据引理2.5，函数ep是一个多项式，而epq∈Poln（E）。另一方面，根据马尔可夫容积规则的定义和T的差异下的稳定性，我们得到了Ex[ep（Xs）q（Xs）]=Ex[ep（Ys）q（Ys）]，ep（x）=Ex[p（Yt-s） ]对于所有x∈ Ey。

因此，由于X和Y是马尔可夫过程，我们得出结论，Ex[p（Xt）q（Xs）]=Ex[q（Xs）EXs[p（Xt-s） ]]=Ex[ep（Xs）q（Xs）]=Ex[ep（Ys）q（Ys）]=Ex[q（Ys）EYs[p（Yt-s） ]]=所有x的Ex[p（Yt）q（Ys）]∈ EY。引理3.3的证明。用v表示∈ RNN常数多项式1相对于基h（x）的坐标，hNn（x）。我们有th atHv=1M，RM中1的向量。此外，通过（3.2），HGv=（G1（xi））Mi=1=0。HenceL1M=LHv=HGv=0。定理3.2的证明。（一）=> （ii）设L为n-马尔可夫立方式Y的转移率矩阵。方程（3.3）和（2.2）适用于所有i=1，M，j=1，N和t≥ 0（exp（tG））ij=（exp（tL）H）ij。因此，对于所有t，H exp（tG）=exp（tL）H≥ 0、关于t的差异和t=0时的评估，我们得到（ii）。（二）<=> （iii）这直接来自引理3.3。（二）=> （iv）乘以（3.2）第i行HG=GHn（xi）对于所有i=1，M、 另一方面，LH的第i行可以写成xj6=iLij（H）形式的组合n（xj）- Hn（xi）），（B.2），其中系数lij为非负。由于HG=LH，我们得出结论（iv）。（四）=> （i） 条件（iv）意味着系数Lij的存在≥ 0表示i 6=j，因此（B.2）等于所有i的第i行HG。因此，我们可以确定一个过渡速率矩阵，使得HG=LH。这意味着，通过归纳论证，对于所有l，hgl=LlH∈ N、 这又意味着H exp（tG）=exp（tL）H.（B.3），因为（exp（tL））t≥0定义一个转移半群，我们可以用状态空间EYbyPYxi（Yt=xj）=（exp（tL））ij定义一个马尔可夫过程。方程（3.3）和（B.3）意味着所有x的Ex[hj（Xt）]=Ex[hj（Yt）]∈ E和j=1，Nn，即Y定义了一个连续时间n-马尔可夫容积规则。现在假设M=nn，矩阵H是inver tib le。对于所有j=1，NN定义为多项式，其相对于基（h，…，hNn）的坐标为h的第j列-我们有β=（呃。

. . ,ehNn） Poln（E）是满足度hj（xi）=δij的基础。给定马尔可夫容积规则Y，Y是关于Poln（E）的任何基的容积规则。尤其是关于碱性β。观察在这种情况下，eh=（ehj（xi））ij=IdNn，单位矩阵。因此，（i）和（v）之间的等效性源自（i）和（iii）之间的等效性。引理5.3的证明。等式（3.3）、（5.1）和（5.2）表示→∞HetG=WH、 其中W∈ RM×Mis所有列都等于w的矩阵。由于H的秩为nn，因此setB={fW H:fW∈ RM×Mhas正项}是RM×Nn中的一个开集。然后，对于足够大的t和定义P（t）=etG，我们有hp（t）=Q（t）H∈ B、 （B.4）表明Q（t）的行加起来等于1的参数类似于引理3.3。假设v∈ R是常数多项式1相对于基h的坐标，hNn。我们有1M=Hv，其中1M∈ RMis是1的向量。因为1是G的一个奇异值，对应的特征值为0，所以v是P（t）的特征向量，特征值为1。因此，HP（t）v=1M。这一观察结果与（B.4）一起表明，Q（t）1M=Q（t）Hv=m，并且Q（t）的行加起来等于1，即Q（t）是一个概率矩阵。定理5.2的证明。引理5.3保证 如果足够大，则存在概率矩阵Q∈ RM×M如此G=QH，（B.5），H在（3.1）中定义。设Y是转移概率矩阵Q asin（B.5）和状态空间EY={x，…，xM}的时间齐次马尔可夫过程。根据（3.3），Y是X上的n-Markov容积{}. Remark2.8意味着Y也是{l上X的n-Markov立方 : l∈ N} 。参考D。Ackerer和D.Filipovi\'c.线性信用风险模型。瑞士金融研究所研究论文第16-34号。，2016年。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=2782455.D.Ackerer、D.Filipovi\'c和S.Pulido。雅可比随机波动率模型。《金融与随机》，22（3）：667–7002018。我

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