多项式过程的马尔可夫容积规则

原因是，差异下的稳定性导致了以下时间一致性结果，即不仅一维边缘满足矩匹配，而且高维边缘也满足矩匹配。定理2.7。假设X是一个多项式过程，T在不同的条件下是稳定的。设Y是状态空间EY={x，…，xM}的时间齐次马尔可夫过程 E、 那么，过程Y是X在T上的n-Markov容积规则，当且仅当给定T，热释光∈ Tsuch该0≤ t型≤ ··· ≤ tland多项式p，pl公司∈ Poln（E）和Qipi∈ Poln（E），对于所有x，wehaveEx“lYi=1pi（Xti）#=Ex”lYi=1pi（Yti）#（2.7）∈ EY。备注2.8。假设Y是多项式过程X onT的n-马尔可夫连续规则。设置T={Pli=1ti:ti∈ T、 l∈ N} 。时间集T是[0]的最小子集，∞) 定理2.7证明中的论证表明，对于X onT，yi也是一个n-Markov容积规则。3多项式过程的连续时间马尔可夫体积我们在下文中假设X是一个多项式过程，而fix n∈ N、 我们将研究X的连续时间N-Markov立方规则的特征，即[0，∞). 尽管如第2.1节所述，这些容积规则通常过于严格，但本节的结果激励和促进了第4、5和6节中对马尔可夫容积松弛概念的研究。为了简单起见，我们采用了第2节bu t的表示法，我们经常省略索引n。给定点x，xM公司∈ E我们用H=H（x，…，xM）表示M×Nn矩阵，对于所有i=1，…，其元素arehij=hj（xi）（3.1），M和j=1，Nn。请注意，矩阵H的第i行∈ RM×Nnis等于Hn（xi）如（2.4）所述。根据（2.5）和（2.6），对于所有i=1，…，我们有ghj（xi）=（HG）ij，（3.2）Exi[hj（Xt）]=（H exp（tG））ij（3.3），M和j=1，Nn。

方程（3.2）-（3.3）建立了作用于多项式函数空间的生成器和半群的分析计算与涉及矩阵乘法的代数计算之间的关系。定理3.2 b以下是连续时间n-Markov规则存在性的主要特征定理。在说明定理之前，我们记得转移率矩阵是一个矩阵，它的行加起来等于零，而对角元素是非负的。我们还需要以下定义。定义3.1。我们说一个向量v∈ Rmpoints到conv（{v，…，vn}） Rmat V如果存在（Li，j）j6=i∈ Rm-1+使V=Xj6=iLi，j（vj- vi）。定理3.2。给定一组点EY={x，…，xM} E以下陈述是同等的。（i） 存在状态空间EY的连续时间n-Markov容积规则Y；请参阅定义2.1。（ii）如（3.1）所示，对于某些过渡速率矩阵L，HG=L H∈ RM×M.（iii）如（3.1）所示，对于某些矩阵L，HG=LH∈ RM×M，带有非负对角元素。（iv）对于每个x∈ Ey向量GHn（x）点i到点Hn（x）处的conv（{Hn（x），…，Hn（xM）}）；见定义3.1。如果另外M=nn且矩阵H是可逆的，则存在poln（E）的拉格朗日基，Eβ=（eh，…，ehNn），即ehj（xi）=δij的基，且上述陈述等同于：（v）Gehj（xi）≥ 0表示i 6=j。此外，当条件（ii）满足时，L可以作为马尔可夫容积规则Y的转移率矩阵。为了证明T heorem3.2，我们需要以下引理。引理3.3。假设L是HG=LH的矩阵。然后L的行加起来等于零。如证明所示，定理3.2中的条件意味着，如果Y是n-马尔可夫容积规则th en，则对于每个x∈ EY，流量（Ex[Hn（Xt）]）t≥0从不离开凸集conv（{Hn（x），…，Hn（xM）}）。

实际上，请注意（exp（tL））t≥0是一个转移半群，对于所有i=1，M we havexi[Hn（Xt）]=经验（tG)Hn（xi）=H的第i列exp（tL).点{Hn（x），…，Hn（xM）}位于矩曲线Hn（E）上，对应于H的方向。它们的凸包表示状态空间为{Hn（x），…，Hn（xM）}的马尔可夫链的所有可能初始分布。4近似马尔可夫立方根据定理3.2，为了找到多项式过程X的连续n马尔可夫立方规则，必须找到点X，xM公司∈ E和转移率矩阵L，例如Hg=LH，其中H是由（3.1）定义的矩阵，G=GNI是x的生成矩阵，相对于基H，…，限制为Poln（E），hNn；见（2.5）。如第2.1节所述，如果n≥ 考虑到这一限制，我们转而考虑优化问题min{kHG- LHk:L是一个转移率矩阵}，（4.1），其中使用了Frobenius范数，当我们固定了生成矩阵G和点x，xM，因此矩阵H。L是转移率矩阵的约束可以写为≥ 0，i 6=j，（4.2）L1M=0，（4.3）回想一下矩阵a的Frobenius范数是kAk=pTr（AA).其中1M∈ RMis是1的向量。通过矢量化，我们可以把这个优化问题写成一个定量编程问题。事实上，我们- LHk=kHGk+vec（L）（HH） IdM）vec（L）- 2vec（L）vec（HGH),其中vec（·）是矢量化运算器， ecker乘积上的Kr，以及多维单位矩阵。此外，L上的约束（4.2）-（4.3）对应于Zvec（eiej）≥ 0，i 6=j（4.4）zvec（eiM) = 0，i=1，M（4.5），其中z=vec（L）和ei是RM中的标准基向量。

因此，最小化问题（4.1）可以转化为二次规划问题min{z（HH） IdM）z- 2zvec（HGH) : z∈ Rm×msatis fies（4.4）-（4.5）}。（4.6）我们将通过数值例子说明这种类型的现场状态马尔可夫近似的性能。4.1 Black-Scholes模型中的美式期权定价我们考虑Black-Scholes模型，其中金融资产的回报过程X是一个带漂移的布朗运动。更准确地说，X应该具有r isk中立的formXt=X的动力学+r-σt+σwt，其中r是即期利率，σ是收益率的波动率，W是一维线性布朗运动。在该模型中，到期日为t、执行价格为K、初始对数价格为X+X ismax=sup{E[E]的美式看跌期权在t=0时的价格-rτmax（K- ex+Xτ，0）]：0≤ τ ≤ T停车时间}。（4.7）为近似值Pax，我们进行如下操作。We fi x等距点x，xMonth进程X的截断支持-X由i=[（r- σ/2）T- 3σ√T，（r- σ/2）T+3σ√T）]。我们进一步∈ N和h（x）=1，h（x）=x，hn+1（x）=xnPoln（R）的标准单项基。设L为二次规划问题（4.6）的解，并将Y定义为具有转移率矩阵L的EY={x，…，xM}上的有限状态过程∈ N设T={T=0，T…，tNtime=T}是时间范围[0，T]的均匀划分。我们定义PA=（ePAx，…，ePAxM）byePAxi=sup{Exi[e-rτmax（K-eX+Yτ，0）]：0≤ τ ≤ T i=1，…，值为T}的停止时间，M、 由于Y是一个有限状态马尔可夫过程，我们只考虑T中的有限运动时间，因此可以通过一个非常简单的后向引导算法来计算向量。该计算类似于Black-Scholes模型的二叉树近似下的美国期权价格计算；见Cox等人。

(1979).明确地说，我们有epa=VwhereVtNtime=max（K- E、 0）Vti-1=最大值（最大值（K- E、 0），exp(-r) 经验值(五十） Vti），i=1，n时间（4.8），E=exp（X）（exp（X），exp（xM））∈ RMAD = T/n时间。观察此计算同时给出i=1，…，的所有值Sepaxi，M、 对于任何初始值x∈ I我们可以执行插值以近似PAx。此外，我们还知道，PAx/exis是一个美国看跌期权的价格，该看跌期权具有行使Ke-X和初始参考原木价格X。因此，相同的近似容积规则可用于预测ice Americanoptions的几个原木价格初始值和不同的罢工。只要波动过程的动力学与现货价格的初始值无关，这一观察结果在任何随机波动模型框架中都是有效的。为了说明我们的方法的性能，我们考虑了参数r=0.06，σ=0.4，X=log（K）=log（100）和T=0.5。我们计算了近似的美式看跌期权价格，M=40个立方点，n=4个矩，Ntime=1000个时间步。我们将这些价格与通过Black-Scholes模型的1000时间步长二叉树近似获得的基准价格进行比较。结果见表1。我们发现，利用这些参数，我们的近似马尔可夫容积法与10阶的基准二叉树价格存在平均相对差异-选择M和n是为了在可比的时间内，以尽可能少的管点和力矩达到这一精度水平。图1中的彩色图显示了转移率矩阵L的反对角线值。我们特别注意到，当过程Y具有多项式树结构时，近似马尔可夫容积规则中的大多数非零转移率发生在对角线附近。

此外，当我们接近区间I的极限时，过渡速率降低。接近区间极限点的高过渡速率是由于X的d域截断而产生的边界效应- 十、 在2.3 GHz Intel Core i5 CPU上，通过在Matlab中解决优化问题（4.1）来查找转移率矩阵L的运行时间约为0.75秒。一旦获得了转换率矩阵，使用递归算法（4.8）计算给定到期日、给定履约时间和所有初始价格的Am er ican期权价格几乎是瞬时的，只需约0.004秒。为了说明这些时刻的影响，我们在图2中绘制了M=40的美式看跌期权价格和N的不同值。将这些价格与使用Black-S-choles模型的1000次二项近似法在对数价格网格的40个点上获得的基准值进行比较。4.2雅可比汇率模型中的美式期权定价假设St=exp（Xt）代表t时两种货币之间的汇率。受DeJong等人（2001）和Larsen和Sorensen（2007）的启发，我们用公式dxt=κ（θ）的雅可比函数建立了X模型- Xt）dt+σp（Xt- xmin）（xmax- Xt）dWt，（4.9）对于给定参数-∞ < xmin<xmax<∞, θ∈ [xmin，xmax]，κ，σ>0。我们假设国内利率r为常数，国外利率r为常数，因此（4.9）描述了对数汇率的风险中性动态（详情见DeJong et al.（2001）；Lars en和Sorensen（2007））。在这个模型中，货币之间的汇率稳定在exp（xmin）和exp（xmax）之间。与前一个示例一样，我们考虑了支付形式为max（K）的美式交换期权-S、 0）和到期日T。我们确定了距离点x。

，xMon由[xmin，xmax]给出的对X的支持，并在前面的示例中精确地继续。也就是说，我们使用向量来近似PAx，如（4.7）所示。要计算Pawe，请使用（4.8）中的递归算法。对于我们的数值说明，我们考虑以下参数：r=0，κ=1，θ=0.5，xmin=0，xmax=1，X=0，K=exp（0.5）和T=0.5。我们计算了M=40个立方点，n=4个矩，Ntime=1000个时间步的近似美国看跌期权价格。我们将这些价格与使用1000时间步长Longsta ff-Schwartz算法获得的基准价格进行比较；见Longstaff和Schwartz（2001）。结果见表2。我们的实验表明，与基于模拟的Longsta fff–Schwartz方法相比，近似马尔可夫立方方法可以显著加快速度。图3中的颜色图显示了过渡速率矩阵的对角线值。特别地，我们验证了近似马尔可夫容积的多项式性质。找到转移率矩阵L和计算美式期权价格的运行时间与第4.1节中报告的时间相当。为了说明这些时刻的影响，我们在图4中绘制了M=40的美式看跌期权价格和不同的nand值，并将其与表2.5离散时间马尔可夫立方中x值的L on gsta off–Schwartz方法获得的基准值进行比较。构建x的离散时间n-Markov立方规则（见下面的定理5.2）将使用不对称矩上的立方方法。根据TheoremA。1，当且仅当下列条件成立时，所有小于或等于n阶的渐近矩都存在。（H1）对于G的所有非零特征值λ，我们得到Re（λ）<0，并且特征值0是一个简单的特征值，即。

它的代数多重性和几何多重性是一致的。在这种情况下，我们用uj（x）=limt表示这些渐近矩→∞Ex[hj（Xt）]。（5.1）为了使用经典的容积规则，我们希望渐近矩（5.1）独立于x。根据推论a。3，这是以下假设下的情况，这是一个比（H1）更为严格的条件。（H2）对于G的所有非零特征值λ，我们得到Re（λ）<0，并且特征值0是一个简单的特征值，即其代数（因此几何）重数为1。在这种情况下，我们将渐近矩（5.1）简单地写为u，uNn。结合（H2），我们将在本节中做出以下假设。（H3）存在点x，xM公司∈ E和w∈ RM++使得uj=MXi=1wihj（xi）（5.2）对于所有j=1，Nn。备注5.1。作为条件（H3）的结果，重量加起来为1。实际上，假设常数多项式可以写成1=PNnj=1vjhj（x）。然后通过（5.1）和（5.2），我们推导出1=NnXj=1vjuj=MXi=1wiNnXj=1vjhj（xi）=MXi=1wi。因此，条件（H3）表明渐近矩（5.1）属于conv（Hn（E））。对于所有x，AsEx[hj（Xt）]属于conv（Hn（E））∈ E、 t型≥ 0且j=1，Nn（参见Putinar（1997）、Bayer和Teichmann（2006）），例如，如果conv（Hn（E））关闭，则会出现这种情况。如果渐近矩是概率分布的矩，它也成立；见提案A.6。此外，由于（H3）中的权重w是严格正的，因此不存在严格的子集C（{x，…，xM}），因此conv（Hn（C））包含所有对称矩（5.1）。下面的定理5.2是本节的主要定理。定理5.2。假设（H2）和（H3）保持不变。另外假设对于点x，xMin（H3），由（3.1）给出的矩阵H满足秩（H）=Nn。

那么，对于 largeenough，T={l上存在X的n-马尔可夫容积规则 : l∈ N} 状态空间EY={x，…，xM}。为了证明定理5.2，我们需要下面的引理。引理5.3。假设定理5.2的假设成立。然后，对于t非常大的情况，存在一个概率矩阵Q（t），其正项为H exp（tG）=Q（t）H。定理5.2和引理5.3的证明提出了一种查找离散立方规则的可能程序。在实践中，将H+表示为H的伪逆矩阵，我们搜索大量的t，以便矩阵Q（t）=H exp（tG）H+具有正条目。一个接一个 这是第一次() 都是非负的，在这种情况下Q() 具有时滞的离散容积规则的转移概率矩阵 .下面的注释表明，在更一般的假设下，离散时间马尔可夫容积规则的存在是正确的。备注5.4。（H1）保持的ssu me。另外假设存在点x，xM公司∈ EandW=（wij）Mi，j=1∈ RM×M++使得对于所有j=1，…，uj（xk）=MXi=1wkihj（xi），Nnand k=1。M、 （5.1）中含有ujas。定理5.2的证明表明，如果（3.1）中定义的矩阵H=H（x，…，xM），满足k（H）=Nn，则定理5.2的结论成立。示例5.5。D iscrete容积规则可用于在较长时间段内进行计算，例如计算欧式期权的价格。为了说明这一点，我们考虑了第4.2节中描述的汇率模型和参数。近似欧洲看跌期权的价格PEx=Ex[e-rTmax（K- ex+XT，0）]当到期日T=1，罢工K=exp（0.5），初始对数率等于x时，我们按照以下步骤进行。我们固定了一个正则分区x，X的支持度X。在这种情况下，满足定理5.2的条件。

渐近矩为u=E[1]=1，u=θ=0.5，u=0.3333，u=0.25，u=0.2。我们观察到，对于T=1，存在转移率矩阵P，使得H exp（T G）=P H。我们使用v ectorePE=exp近似分区上点的欧式看跌期权价格(-rT）P V=最大值（K- F，0）和F=exp（X）（exp（X），exp（xM））∈ RM。图5显示了这些近似价格以及使用蒙特卡罗模拟获得的价格。6负权重马尔可夫容积在本节中，我们探讨马尔可夫容积问题的另一种可能的松弛。我们首先回顾了映射Hnin（2.4）的定义。按照拜耳和泰奇曼（2006）的精神，观察过程X的n-Markov立方规则自然地对应于过程X=Hn（X）的1Markov立方规则，并且X的状态空间是Hn（e），它位于时刻cur ve Hn（Rd）上。可以看出，x是一个多项式过程Hn（E）；见菲利波维奇和拉尔森（2017，定理4.2）。因此，通过增加状态空间的复杂性，可以将多项式过程的n-Markov立方规则的研究简化为1-Markov立方规则的研究。这些观察结果表明，以下替代方法可以放松连续时间马尔可夫体积的概念。对于每个x∈ E、 考虑过程Zxt=Ex[Xt]。Du e toLemma2.5，过程zxtsolved the ODEdZxt=GZxtdt，Z=x.（6.1），其中只有在初始条件x下才能很好地定义∈ Hn（E），其几何结构通常是高度复杂的，解Zxof（6.1）允许任何点x∈ RNnas初始条件。因此，可以在RNN上为确定性过程Z而不是在Hn（e）上为X寻求连续的1立方规则。根据定理3.2，这等于发现点z，锆∈RNnand转移率矩阵L∈ RR×Rsuch thatSG=LS，（6.2），其中S∈ RR×nni是行为z的矩阵, . . . , zR