多项式过程的马尔可夫容积规则

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英文标题：
《Markov cubature rules for polynomial processes》
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作者：
Damir Filipovi\\\'c, Martin Larsson, Sergio Pulido
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We study discretizations of polynomial processes using finite state Markov processes satisfying suitable moment matching conditions. The states of these Markov processes together with their transition probabilities can be interpreted as Markov cubature rules. The polynomial property allows us to study such rules using algebraic techniques. Markov cubature rules aid the tractability of path-dependent tasks such as American option pricing in models where the underlying factors are polynomial processes.
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中文摘要：
我们利用满足适当矩匹配条件的有限状态马尔可夫过程来研究多项式过程的离散化。这些马尔可夫过程的状态及其转移概率可以解释为马尔可夫容积规则。多项式性质允许我们使用代数技术研究此类规则。马尔可夫容积规则有助于路径相关任务的可处理性，例如在潜在因素为多项式过程的模型中的美式期权定价。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Markov_cubature_rules_for_polynomial_processes.pdf (336.91 KB)

2022-6-1 04:17:40 上传

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关键词：马尔可夫 多项式 Mathematical Quantitative Differential

多项式过程的马尔可夫容积规则*Damir Filipovi\'c+Martin LarssonSergio Pulido§2019年6月10日即将出版的《随机过程及其应用》摘要我们使用有限状态马尔可夫过程研究多项式过程的离散化，以满足适当的矩匹配条件。这些马尔可夫过程的状态及其转移概率可以解释为马尔可夫容积规则。多项式性质允许我们使用代数技术研究此类规则。Markovcubature规则有助于路径相关任务的可处理性，例如在基本因素为多项式过程的模型中的美式期权定价。关键词：多项式过程；容积法则；渐近矩；转移率矩阵；转移概率；美式选项。MSC2010主题分类：60G07、60J25、60J27、60J28、60J1 0、91G60、6 5C20、65C30、60H35、60F99、60J60、60 J75、60H10、60H20、60H30.1简介多项式过程由于其易处理性和灵活性最近得到了普及。例如，它们已应用于利率的金融市场模型（Delbaenand Shirakawa，2002；Zhou，2003；Filipovi\'c等人，2017）、信用风险（Ackerer和Filipovi\'c，2016）、方差掉期（Filipovi\'c等人，2016）、随机波动性（Ackerer等人，2018）、随机投资组合理论（Cuchiero，2019）、人寿保险负债（Biagini和Zhang，2016），能源价格（Filipovi\'c等人，2018年）和外汇汇率（DeJong等人，2001年；Larsen和Sorensen，2007年）。C uchiero等人（2012）考虑的多项式过程*作者要感谢匿名审稿人仔细阅读了手稿和建议。Martin Larsson感谢SNF赠款205121163425的支持。

Sergio Pulido的研究得益于转型期椅子市场（F'ed'Operation Bancaire Fran'caise）和ANR 11-LABX-0019项目的支持。根据欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC赠款协议（编号307465-POLYTE+EPFL和瑞士金融研究所，瑞士洛桑1015），导致这些结果的研究获得了欧洲研究理事会的资助。电子邮件：damir。filipovic@epfl.瑞士苏黎世ch-8092，R–amistrasse 101，苏黎世理工大学数学系。电子邮件：martin。larsson@math.ethz.ch§法国巴黎萨克雷大学恩西分校埃弗里-瓦尔-德松大学数学研究所（LaMME），巴黎萨克雷大学，UMR CNRS 8071，IBGBI 23 Boulevard de France，91037，法国埃弗里塞德斯。电子邮件：sergio。pulidonino@ensiie.frandFilipovi\'c和Larss on（2016，2017）是一个随机过程，其性质是多项式的条件期望是一个相同或更低阶的多项式。这意味着可以高效准确地计算条件矩，并将其用于构建可跟踪模型。尽管有这些优点，但当人们面临路径依赖的任务时，多项式过程的可处理性会恶化，如美式期权定价或路径依赖泛函的计算。在本文中，我们开发了一种解决此类问题的方法。我们用一个有限状态马尔可夫过程来逼近一个给定的多项式过程，该过程将u p的矩与给定值相匹配。我们将有限状态过程称为马尔可夫容积规则，因为过程的状态及其转移概率可以解释为不同时间原始过程定律的容积规则。

马尔可夫容积规则通过简化昂贵的计算任务，如蒙特卡罗模拟和路径相关期权和美式期权的定价，促进了多项式模型的实现。多项式性质允许我们使用代数技术研究马尔可夫容积规则的存在性。与经典的容积问题相反，我们寻找始终使用相同容积点集的容积规则，因为这对于计算美式期权价格等数字应用是可取的。此外，要匹配的时机取决于所选的容积点。在连续时间内，正如我们在第2.1节中所解释的，精确力矩匹配条件变得过于严格。相反，我们通过解决二次规划问题找到近似马尔可夫容积规则。这个二次规划问题自然产生于我们的第一个主要结果Theorem3.2，它给出了连续时间马尔可夫容积规则的代数和几何特征。虽然对计算成本、精度和收敛性的系统分析超出了本文的范围，但我们提供了数值示例，表明近似马尔可夫容积规则在实践中效果良好。在离散时间中，我们的第二个主要结果，定理5.2，在适当的假设下，包括给定多项式过程的渐近动量，在适当选择的时间网格上得出了马尔可夫容积规则的存在性。渐近矩的存在性是一个重要的假设，也是该定理证明的核心。使用有限状态马尔可夫过程对随机模型进行离散化的近似在数值方法文献中经常出现。在金融方面，这些技术已被用于通过有限状态马尔可夫链和二叉树近似法对异国和美国期权进行定价和对冲；参见示例。

Gruber和Schweizer（2006）；基弗（2006）；Bayraktar等人（2018年）。正如Kushner（1984）和Kushner and Dupuis（2013）所解释的，这些近似值与数值分析技术有关，如有限差分法。提到量化方法也是相关的，量化方法解决了有限时域和高维状态空间中近似网格的最佳选择。Bally et al.（2005）和C allegaro et al.（2017）分别采用量化方法对美式期权定价和多项式过程定价。在所有这些情况下，离散化发生在两个层次：模拟算法中形成的时域离散化和空域离散化。我们通过开发基于容积的随机模型离散化来补充这篇文献。容积法在许多数值算法中起着至关重要的作用。例如，Arasaratnamd Haykin（2009年）在过滤方面应用了经典的容积法。此外，Lyonsand Victoir（2004）开发的维纳空间上的容积公式已被用于多种应用：Lee和Lyons（2015）的过滤问题，Teichman（2006）的金融期权计算公式，以及Bayer和Teichman（2008）和Doersek等人（2013）的随机微分方程数值近似解，Crisan和Manolarakis（2012、2014）的倒向S-tochastic微分方程（BSDE），Chaudru de Raynal和Garcia Trillos（2015）的倒向随机微分方程（FBSDE）。容积法简化了条件期望的计算，这是上述数值问题的核心。

与上一段中提到的在时间和空间域中执行离散化的技术相反，维纳空间上的容积直接离散路径空间d。这些立方法则将Putinar（1997）和Bayer and Teichmann（2006）研究的Tchakaloff的立方定理扩展到连续路径的维纳空间。我们的多项式过程马尔可夫容积提供了随机过程容积的一种切实可行的变体，因为它基于初等矩阵指数计算器。我们的论文组织如下。在第2节中，我们定义了马尔可夫容积规则，并提供了有关多项式过程的一些基本事实。特别是，在第2.1节中，我们解释了为什么马尔可夫容积规则的概念在连续时间中过于严格。在第三节中，我们给出了多项式过程连续时间马尔可夫容积规则的代数和几何特征；见定理3.2。基于这个结果，我们在第4节中引入了近似连续时间马尔可夫容积规则的概念，并描述了获得它的二次规划问题。通过数值例子说明了这些近似马尔可夫容积规则的性能。具体而言，在第4.1节和第4.2节中，我们使用它们为Black-Scholes模型和J Acobim汇率模型中的美式期权定价。在第五节中，我们研究了离散时间马尔可夫立方体的存在性；参见定理5.2。在第6节中，我们讨论了通过允许负权重来放松马尔可夫容积问题的另一种可能。然而，正如我们随后所说明的，这些负权重不适用于数值计算。第7节总结了我们的研究结论。

附录A给出了整篇论文所需的多项式过程的渐近矩的结果，附录B包含了正文中所有结果的证明。我们采用以下表示法：我们为非负实数集写R+，为正实数集写R+，为正自然数集写N。对于N，M∈ N、 RN×M表示N×M矩阵的向量空间，按惯例，RN=RN×1表示列向量。给定d∈ N和a集合E Rd，我们说q是E上的多项式，如果R上存在一个多项式p，使得q=p | E。它的度由{deg p:q=p | E}中的deg q=m定义。我们让Pol（E）和Poln（E）分别表示E上的多项式代数和E上的多项式向量空间，次数小于或等于ton。对于N∈ N和a集合a RNwe为A.2设置的凸包编写conv（A），并概述修复状态空间E Rd.我们考虑在一个过滤的可测量空间上定义一个c\'adl\'ag适应的过程X(Ohm, F、 Ft），以及一系列概率度量Px，x∈ E、 因此，X是每个Px下的E值马尔可夫过程，从X=X开始。我们假设X允许一个扩展生成器G，其域包含所有多项式。即weassumep（Xt）-ZtGp（Xs）ds是每x的Px局部鞅∈ E和每个p∈ Pol（Rd）。这特别意味着X是每个Px下的半鞅。此外，正最大值原理在某种意义上适用于anyp∈ Pol（Rd），如果p（x）=某些x的最大EP∈ E、 然后总成（x）≤ 0。（2.1）特别是，当E上的p=0时，E上的Gp=0，这意味着G被定义为Pol（E）上的操作员。2.1马尔可夫容积规则我们的目标是构造一个具有有限状态空间的时间齐次马尔可夫过程，该过程近似于过程X。我们的近似基于初始状态和时间的矩条件。

基于这一目标，我们做出以下定义。定义2.1。我们说，具有有限状态空间的时间齐次马尔可夫过程Y={x，…，xM} 定义T上X的n-Markov立方规则 [0, ∞) 如果Exi[p（Xt）]=Exi[p（Yt）]（2.2）对于所有i=1，M，t∈ T、 和p∈ Poln（E）。备注2.2。在条件（2.2）中，Exi[p（Xt）]表示对概率测度pxi的期望，而Exi[p（Yt）]表示对与有限状态马尔可夫过程Y相关的概率测度pyxia的期望。我们在文件中通过了这项公约。假设Y是T上的n-马尔可夫立方f或X。对于所有i=1，…，矩匹配条件（2.2）可以写成xi[p（Xt）]=MXj=1p（xj）PYxi（Yt=xj）（2.3），M、 t型∈ T、 和p∈ Poln（E）。因此，对于任何i=1，M和t∈ T、 点x，Xm加上跃迁概率PYxi（Yt=x），PYxi（Yt=xM）定义了关于Pxi的x定律的n-立方律。我们强调，对于MarkovIndeed，假设p（x）=maxEp，对于矛盾Gp（x）=δ>0。定义Mt=p（Xt）-p（x）-RtGp（Xs）ds和τ=inf{t:Gp（Xt）≤ δ/2}. 然后，在Px下，Mτ是一个非正局部鞅，Mτ=0，因此Mτ=0。另一方面，Mt∧τ≤ -Rt公司∧τGp（Xs）ds≤ -（δ/2）（t∧ τ），对于t>0，这是严格负的。这一矛盾导致Gp（x）≤ 确实，如果p∈ Pol（Rd）是q=p | E的代表∈ Pol（E），我们定义了Gq=Gp | E，它独立于代表性的p.立方规则的选择，与经典的立方规则相反，匹配的力矩取决于管点，并且在t的所有时间都使用相同的点∈ T、 此外，如下文第2.7节所述，权重的性质由Y的马尔可夫性质所决定，以保证多项式过程的这些容积规则的时间一致性特征。

这一时间一致性适用于进行路径相关计算，如第4节中的数值示例所示。我们还将考虑n-Markov容积规则的放松版本。事实上，事实证明，一般来说，n-Markov容积规则的概念过于严格。为了了解原因，假设x是dxt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt形式的SDE的解。在系数的线性增长条件下，有一个估计值[kXt- xk]≤ κ（1+kxk）t，0≤ t型≤ 1，对于所有x∈ E、 Eκ是一个仅依赖于u和σ的常数；见Karatzas和Shreve（1991）中的问题5.3.15。如果Y是[0]上X的4-马尔可夫容积规则，∞), 该估计值与时间齐次马尔可夫性质yieldsEx【kYt】一起传递到Y- Ysk]=ExEYs[基特-s- Yk]≤ κ1+最大值=1，。。。，Mkxik公司（t- s） 对于任何x∈ EY和任何s≤ 带t的t- s≤ 根据Kolmogorov的连续引理，Y有一个具有连续路径的版本，这迫使它保持不变。因此，在egeneric情况下，微分X不会接受[0，∞),除非n<4。此外，通过一个类似的论证，如果没有X显示跳跃，则不可能在平凡的马尔可夫过程Y上构造一个具有可数状态空间的n，例如（2.2），n≥ 4，适用于所有初始条件。这是一个相当严格的限制。避免这种障碍的一种方法是放宽精确的力矩匹配条件（2.2），并允许过程Y的力矩近似于原始过程X的力矩。第4节介绍了这种方法。另一种可能性是替换[0，∞) 使用混凝土时间集T，在这种情况下，仍在定义2.1的框架内。第5节介绍了这种方法。如果允许管道规则中的负权重，则会获得不同的松弛。

第6节介绍了这种方法。我们将研究多项式过程马尔可夫容积问题的这些松弛。这将允许我们在研究中使用代数考虑。我们在下一小节中给出多项式过程的基本性质。2.2多项式过程定义2.3。如果GPoln（E），则称算子G为多项式 Poln（E）f或全部n∈ N、 在这种情况下，X被称为多项式过程。备注2.4。在本论文中，假设G是某些给定马尔科夫过程X的扩展生成器。我们不关心给定候选算子G的此类过程的存在性问题。这一问题在Filipovi\'c和Larsson（2016）的多项式微分中进行了讨论。如果X是多项式过程，那么X的所有混合矩都是初始状态的多项式函数。更准确地说，fix n并用nn表示Poln（E）的维数。Leth，hNnbe Poln（E）和definehn（x）=（h（x），hNn（x））. （2.4）如果G是多项式，则一个hasGHn（x）=G某些矩阵Gn的nHn（x）（2.5）∈ RNn×Nn，wher e G按分量作用于Hn。由此得到以下引理。引理2.5。假设X是一个多项式过程。然后对于任意多项式p∈ Poln（E），坐标表示~p∈ RNn，即p（x）=Hn（x）~p、 一个搭扣[p（Xt）]=Hn（x）etGn~p.（2.6）因此，左侧的si de i是Poln（E）中的多项式，坐标表示为etGn~p。备注2.6。作为引理2.5的结果，当T包含一个大约为零的区间时，多项式过程的马尔可夫容积规则也是多项式过程。我们说，如果T- s∈ T代表所有s，T∈ T s uch那s≤ t、 这个属性对于涉及多项式过程的路径相关计算非常有用，如第4节中的数值说明。