内生清算压力下的最优交易执行：理论

因此，在命题5.2（iii）中，p是（0，L）上的严格凸，因此p>0（0，L），这意味着uK>uLand uK>uLon（0，L）。步骤5）对于L→ ∞, ul逐点收敛到BVP[0，∞). 步骤2）表示0≤ uL（x）≤ x和步骤4）uL（x）在L中增加，因此对于固定的x，极限limL→∞uL（x）=：：u（x）定义良好。同样，0≤ uL（x）≤ 1和ULI在增加，因此我们有一个明确的界限→∞uL（x）=：v（x）。拾取任意x和xin（0，∞) 我们重写（3.4）积分公式uL（x）=uL（x）+ZxxuL（ξ）dξ，（8.5）uL（x）=uL（x）+Zxxfξ、 uL（ξ），uL（ξ）dξ（8.6），其中f（x，u，v）=avx+bux-（五）- 1） x.（8.7）通过极限L→ ∞ 在（8.5，8.6）中，并使用支配收敛产生▄u（x）=▄u（x）+Zxx▄v（ξ）dξ，▄v（x）=▄v（x）+Zxxfξ、 ~u（ξ），~v（ξ）dξ，其在微分上显示▄u在（0）上求解ODE（3.4），∞). 自0起≤ u（x）≤x、 根据命题5.1和6.1，u解BVP[0，∞).8.2. BVP[0，L]作为有限水平问题的极限BVPt[0，L]此时，BVP[0，L]在零处的奇异性仍然是获得可靠数值解的主要障碍。为了绕过奇点，我们将考虑ODE（3.4）生成的aparabolic PDE，wt=xwxx- axwx- bw+（wx- 1） ，（8.8），边界条件SW（t，ε）=0，（8.9）wx（t，L）=0，（8.10），初始条件W（0，x）=0。（8.11）我们参考了[0]中的边值问题（8.8-8.11），∞) ×[ε，L]为BVPt[ε，L]。当初始条件（8.11）替换为w（0，x）=x，（8.12）时，我们谈论BVPt[ε，L]。必须掌握三个相关难题。首先，PDE（8.8）的抛物性在x=0时退化，因此半线性抛物方程的基本理论不能直接应用。

其次，对有限空间区间的截断打破了BVP与最优控制问题（2.5）之间的联系，因此我们无法求助于最优控制文献的结果。第三，标准存在定理不包括混合边界条件（Dirichlet在左边，Neumann在右边），因为该理论的大部分是在更高维度中发展的，其中边界是一个连通集。我们证明了定理8.2。对于给定的L，问题BVPt[0，L]和BVPt[0，L]在C1,2（（0，∞) ×（0，L]）∩C（[0，∞) ×[0，L]）。这些解（分别用w和w表示）满足0≤ w（t，x）≤ uL（x）≤ w（t，x）≤ x、 （8.13）w（t，x）t型≤ 0≤w（t，x）t、 （8.14）和限制→∞w（t，x）=极限→∞w（t，x）=uL（x）。我们只给出了BVPt[0，L]的证明，另一种情况是类似的。我们通过研究区间[ε，2L]上BVPt[ε，L]的空间对称版本来验证这个证明- ε] ，表示为SBVPt[ε，2L-ε]. 对称问题的两端都有Dirichlet型边界条件，这使我们可以更方便地参考文献。此外，L位于对称性问题的空间域内部，这使我们能够获得L附近空间导数的统一先验估计，从而使ε→ 0少参与。定理8.2的结论成为SBVPt[0,2L]结果的简单推论。我们必须为采取对称化路线付出的代价是系数的不连续性atx=L.defition 8.3。

函数wε∈ C1,2（（0，∞) ×（ε，2L-ε)) ∩C（[0，∞) ×[ε，2L-ε] ）被称为SBVPt的解决方案[ε，2L-ε] ，如果i）它相对于L对称，即wε（t，x）=wε（t，2L- x） ；ii）满足εt=M（x）wεxx- A（x）wεx- bwε+C（x，wεx）（8.15）（0，∞) ×（ε，2L- ε） ，（8.9）和（8.11）表示x∈ [ε，2L- ε] ，其中m（x）=（xf或0≤ x个≤ L（2L- x） 对于L≤ x个≤ 2LA（x）=（0时为ax≤ x个≤ L-a（2L- x） 对于L<x≤ 2升。C（x，p）=（符号（L- x） p- 1） 备注8.4。函数A在x=L时不连续。C（x，p）也是如此，除非p=0。在下文中，我们将采用Lieberman（1996）、Ladyzhenskaya等人（1968）的先验估计，这些估计表面上假设方程数据的连续性。然而，仔细检查这些参数后发现，人们只需要通过将数据与解组合得到的项的连续性，即M（x）wεxx、a（x）wεx和C（x，wεx）的连续性。这在我们的例子中是正确的，因为任何光滑的空间对称函数wε（t，x）的wεx（t，L）=0。建立SBVPt[ε，2L]解的存在唯一性-ε] 对于ε>0，应用解析半群理论Henry（1981）。引理8.5。对于给定的0<ε<L，SBVPt[ε，2L-ε] 具有唯一的解决方案wε满足0≤ wε（t，x）≤ 最小{x，2L- x} 在[0，∞) ×[ε，2L- ε] ，（8.16）和0<ε<ε<Lwε≥ wε在[0，∞) ×[ε，2L- ε]. （8.17）证明。表示X=L（ε，2L- ε) ∩ {y:y（x）=y（2L- x） }。此外，定义M:D（M）=X∩ H（ε，2L- ε) ∩ H（ε，2L- ε) → X乘（My）（X）=-M（x）y（x）M是一个线性无界稠密定义算子D（M）→ 十、 从二阶线性序微分方程线性边值问题的SturmLiouville理论可以看出，M的谱由一系列具有唯一累积点的实特征值组成∞.

因此，M是扇形的（Henry（1981），定义1.3.1），因此是分析半群的最小生成元（Henry（1981），定义1.3.3）。因此，它承认分数幂M1/2（Henry（1981），定义1.4.1），这是一个密集定义的线性运算符（M1/2）→ 十、 X1/2=D（M1/2）∈ X（Henry（1981），定义1.4.7）。因为我们的Mone有X1/2=H（0，2L），这是通过定义集合{0，2L}上的函数空间，其导数为L（0，2L）（Henry（1981），第1.4节示例6）。继Henry（1981）之后，我们将我们的问题写成y的抽象微分方程dy/dt+My=f（y）（8.18）∈ X和f:X1/27→ X由f（y）（X）=-A（x）y（x）- by（x）+C（x，y（x））。由于f是局部Lipschitz连续的，Henry（1981）定理3.3.3提供了问题（8.18）解的局部存在唯一性，y（0）=0。不等式（8.16）源自以下事实：0是一个子解，min{x，2L-x} 是问题SBVPt[ε，2L]的上解-ε]. 从Lieberman（1996）的理论10.17可以看出，wεxis也有界，该界仅取决于wε的界。也就是说，局部解y（t）在X1/2=H内有界。根据Henry（1981），定理3.3.4由此得出，解扩展到t∈ [0, ∞). 等式（8.17）如下所示，因为函数wε扩展了0到[0，∞) × [ε, ε] ∪[2L- ε、 2升- ε] 是SBVPt的次分辨率[ε，2L-ε].我们现在描述ε的极限过程→ 提案8.6。对于给定的L，问题SBVPt[0,2L]有一个唯一的解决方案w∈C1,2（（0，∞) ×（0，2L）∩ C（[0，∞) ×[0，2L]）。此解决方案满足0≤ w（t，x）≤ 最小{x，2L- x} ，（8.19）w（t，x）t型≥ 0.（8.20）证明。步骤1）用wε表示SBVPt的唯一解[ε，2L-ε]. 通过引理8.5，函数族wε从上开始有界，并随着ε&0的增加而增加。Henceit有一个逐点极限w，由于（8.16），该极限满足（8.19）。

简单地说，w（t，x）=w（t，2L-x） w（t，0）=0。我们将证明w实际上是SBVPt[0,2L]的解。步骤2）选择ε<x<x<2L- ε、 0<τ<T，表示G=（τ，T）×（x，x）。由于非线性项C满足二次增长的Bernstein条件，根据Lieberman（1996）的定理12.2，函数wεx在G中一致连续。因此，我们可以找到一个序列ε→ 0，使得wε和wεnx分别在G到w，wx中均匀收敛。步骤3）我们现在将证明w是G上PDE（8.8）的弱解。Takeany函数φ∈ C∞（G） 在G和n的边界处，它的所有导数都消失了，以至于[0，∞) ×[εn，L] G、 由于wεnsolves（8.8）in G，一个hasZG[wεnt- M（x）wεnxx+A（x）wεnx+bwεn- C（x，wεnx）]φdtdx=0，或等效地，ZG[（wεnt- （M（x）wεnx）x+N（x，wε，wεx）]φdtdx=0，其中N（x，w，p）=((-2+a）xp+bw-（p- 1） 对于0≤ x个≤ L（2- a） （2升- x） p+bw-(-p- 1） 对于L<x≤ 2升。将前两个术语按我们获得的部分进行整合-ZGwεnφtdxdt+ZGM（x）wεnxφxdxdt+ZGN（x，wε，wεx）φdtdx=0。由于序列{wεn}和{wεnx}的一致收敛性，我们可以通过极限来获得-ZGwφtdxdt+ZGwxM（x）φxdxdt+ZGN（x，w，wx）φdtdx=0。步骤4）由于0<x<x<2L，0<τ<T和φ都是任意的，这意味着w是弱解，因此也是任何内部子域上的经典解（Ladyzhenskaya et al.（1968），VI.1）。因此，它是C1,2（（0，∞) ×（0，2L）。步骤5）由于函数wε满足（8.11），为了证明w也满足（8.11），必须证明对于固定x∈ （0，L），w在t上等连续，与ε和x一致∈ [x，x]，t∈ [0，T]，0<x<x<x<L，T>0。然而，这是Ladyzhenskaya等人提出的。

（1968），定理V.3.1，根据该定理，kwεtkL[0，T]关于（T，x）一致有界∈ [0，T]×[x，x]和ε>0。步骤6）解的唯一性来自抛物线最大值原理Leeberman（1996），定理2.10，适用于解的差异。步骤7）以一种简单的方式，可以验证函数v=wt是问题vt=M（x）vxx的弱解决方案- bv公司- （A（x）-^C（t，x））vx（8.21）v（t，0）=0，v（t，2L）=0，v（0，x）=；（8.22）其中^C（t，x）=（wx（t，x）- 0的1≤ x个≤ Lwx（t，x）+1表示L<x≤ 2L；v的初始条件从（8.15）开始，然后将w（t，0）=0替换为（8.15）。Ladyzhenskaya等人（1968年）提出的VI.2和备注8.4 v是一个经典的解决方案。由于0是问题（8.21）、（8.22）的次解，其解v=wt为非负。最后，我们证明了t的收敛性→ ∞.提案8.7。对于t→ ∞ 问题SBVPt[0,2L]的解收敛为SBVP[0,2L]的（平稳）解，定义为无边界条件的BVPT[0,2L]的时间无关解（8.9）。证据步骤1）由于SBVPt[0,2L]的解w在t中增加，并以命题8.6为界，对于t→ ∞ 它在满足0的[0，2L]上逐点收敛到函数u≤ u（x）≤ 最小{x，2L- x} 。（8.23）我们希望证明，u解SBVP【0,2L】。步骤2）从Lieberman（1996）定理12.2可以得出，对于任何fixed0<l<l，T>0，wxis有界于（T，∞) ×[l，2L- l] 。因此，函数族w（t，·）在[l，2L]上是等连续的- l] 。因为（8.19）是统一边界，它在[l，2L]上收敛到u-l] 是统一的。因此，u是continuouson（0，2L）。

由于（8.19），其连续性扩展到[0，2L]。步骤3）Lieberman（1996），定理12.25和12.2，对于固定l，问题Wt=M（x）Wxx- A（x）Wx- 对于l，bW+C（x，Wx））≤ x个≤ 2升- l（8.24）W（0，x）=u（x），W（t，l）=W（t，2L- l） =u（l）（8.25）具有唯一的解决方案W∈ C1,2（（0，∞) ×（l，2L- l） （）∩ C（[0，∞) ×[l，2L- l] ）和，对于固定的τ>0，Wxis以[τ]为界，∞). 我们希望证明W（t，x）≡ u（x）foreach l，这立即意味着u解SBVP[0,2L]。固定τ，T>0和0≤ t型≤ τ，l≤ x个≤ 2升- l表示y（t，x）=W（t，x）- w（T+T，x）。（8.26）函数yt解决线性问题ytt=M（x）YTxx- （A（x）- Q（t，x））YTx- bYT（8.27）0≤ YT（0，x）=u（x）- w（T，x）≤ ε（T）（8.28）0≤ YT（t，l）=u（l）- w（T+T，l）≤ ε（T）（8.29）0≤ YT（t，2L- l） =u（l）- w（T+T，2L- l）≤ ε（T），（8.30），其中q（T，x）=（（Wx（T，x）+Wx（T，x）- 2） 对于0≤ x个≤ L（Wx（t，x）+Wx（t，x）+2）表示L<x≤ 2L和ε（T）→ T为0→ ∞. 对于固定τ>0，wx（T+T，x），wx（T，x）均为0的统一边界≤ t型≤ τ、 l≤ x个≤ L- l和so是M，N。设β为M的一致边界。根据抛物型偏微分方程的最大值原理（Lieberman（1996），定理2.4），得到0≤ YT（t，x）≤ eβτε（T），或等效地，W（T，x）=limT→∞w（T+T，x）=所有0的u（x）≤ t型≤ τ .定理8.2的证明。设w为在Proposition 8.6中建立的SBVPt[0,2L]的唯一解。由于对称性，其限制w |[0，L]解BVPt[0，L]。相反，由于BVPt[0，L]的任何解的对称扩张是BVPt[0，2L]的解，且后者是唯一的，因此w |[0，L]是BVPt[0，L]的唯一解。根据命题8.7，w |[0，L]收敛到BVPt[0，L]的平稳解，即定理8.1.8.3中已知唯一的BVP[0，L]的解。BVPt[0，L]的有限差分格式对于空间变量x，我们采用由xj=eξj定义的非等距分区-1.- ξj+ξ3/2j，j=0，1。

，N，其中点{ξj}Nj=0是等距的，x=0，xN=L。我们使用一个统一的时间网格，有M个点，步长h=T/M。反射器表示法显式有限差分格式readswi，1:N-1=wi-1,1：（N）-1） +小时（Awi-1、·+F（wi-1，·）），对于i=1，M、 （8.31）其中矩阵A的非零项∈ R（N-1） ×（N+1）由aj，j给出-1=2 xj（xj+1- xj公司-1） （xj- xj公司-1） +a xjxj+1- xj公司-1，Aj，j=-2 xjxj+1- xj公司-1.xj+1- xj+xj- xj公司-1.- b、 Aj，j+1=2 xj（xj+1- xj公司-1） （xj+1- xj）-a xjxj+1- xj公司-1，对于j=1，2，N- 1、非线性项F由F（wi，·）>=h给出wi，2-wi，0x-x个- 1.···wi，j+1-wi，j-1xj+1-xj公司-1.- 1.···wi，N-wi，N-2xN-xN公司-2.- 1.i、 边界值由wi给出，0=0，wi，N=wi，N-1，（8.32），初始条件为w0，·=0（对于BVPt[0，L]），或w0，·=x（对于BVPt[0，L]）。0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 x00.10.20.30.40.50.6w（t；x）t=0 t=0:5t=0:5t=1 t=1 t=2（a）0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1x00.010.030.040.050.060.070.090.11！u（<2x）=（<2x）我们的解决方案二阶幂级数BVP5c（b）图1：（a）对于L=10和t的不同值，BVPt[0，L]（虚线）和BVPt[0，L]（虚线）的解决方案。实线表示BVP[0，L]的解决方案。（b） 将BVP[0，L]解与Matlab例程bvp5c的解进行比较。显示数量1- uL（σx）/（σx）表示大约执行不足。给定L，N，时间步长h和w（0，x）的初始条件，我们可以使用（8.31）和（8.32）从当前已知的时间层w（ti，x）计算w（ti+1，x）的近似值。如前所述，BVPt[0，L]和BVPt[0，L]的解分别从下方单调收敛。从上面到uL，BVP[0，L]的解。它们的收敛性如图1的面板（a）所示，并在t=2的数值上发生。

在面板（b）中，我们将我们的解决方案与Matlabsolver bvp5c生成的解决方案进行对比，该解决方案旨在解决较少奇异的问题（8.1）。我们的目标是计算u∞在区间[0，1]上具有足够的精度。该过程有四个嵌套循环。在最里面的循环中，对于选定的时间步长h，空间间隔L的长度≥ 1，以及空间间隔的分区点数≥ 10我们通过以下方式确定时间范围T（因此也确定时间步长SM=T/h）。我们考虑两个时间层，T<T，对于i=1，2，相应的数值解ui（x）：=w（Ti，x），我们根据相对实现不足fi（x）：=1重新参数化- ui（x）/x。我们区分了x:x={x>0:f（x）的两个区域≤ 0.01}及其在[0，1]中的补码，用Xc表示。对于小x，我们考虑fi的相对差异。具体而言，我们的目标是实现SUPX∈X | 1- f（x）/f（x）|≤ 0.1. （8.33）对于区间[0，1]中x的剩余值，我们以fisupx中的绝对差异为目标∈Xc | f（x）- f（x）|≤ 10-4.（8.34）我们从T=0.1，T=0.2开始，增加Tiby 0.1，直到满足条件（8.33）和（8.34）。一级上，对于给定的L，h，我们从N=10，N=20开始，表示UAN和u在最内层回路中获得的相应溶液。我们增加NiBy 10，直到再次满足条件（8.33）和（8.34）。向上两级，对于固定h，我们从L=1和L=1.1开始。在计算u时，我们使用一个常数值扩展到区间[0，L]的u作为初始条件，从而提高了计算效率。我们不断增加Liby 0.1，直到满足条件（8.33）和（8.34）。在最外面的循环中，我们检查时间步长h是否足够小，以便不对最终解决方案产生任何影响。

我们从h=10开始-5和h=0.5×10-5并表示由UAN和u上一个循环确定的相应解。我们将时间步长减半，直到满足条件（8.33）和（8.34）。如果可能，我们使用之前计算的u值作为下一步程序的初始猜测。当从较粗的网格传递到较细的网格时，我们通过三次样条插值执行此操作。8.4. 数值结果从（3.3）中可以看出，值函数满足v（s，z）=sησu∞（ησzs）=szu∞（σx）σx，x=ηzs。（8.35）此处为u∞是BVP的解[0，∞)实际上，对于第8.3节所述的足够高的t和L，其近似解BVPt【0，L】。Breenet等人（2002年）估计了在5分钟内以未受影响价格的0.18%左右出售1000股股票的线性影响。如果我们让z=1代表1000股，T=1年，n=250×8×60交易分钟，并将初始股价设置为tos=100，η的隐含值为η=0.0018×s×n≈ 7.5 × 10-Hasbrouck（1991年，图IV）估计的0.3%价格影响略高，结果为η≈ 1.25 × 10-在所有示例中，我们将σ设置为0.2。方程式（8.35）中的变量x衡量执行价格的百分比下降，假设在一个日历年内以恒定速度完成清算（且无应计利息）。由于sz是在没有任何价格影响的情况下，立即以s价格出售整个库存z的收入，I（s，z）：=1-u∞（σx）/（σx）衡量每股平均实现价格V（s，z）/z相对于交易前价格s的百分比下降。