内生清算压力下的最优交易执行：理论

假设库存Z在一个方差年内以恒定的比率完全清算，则newstate变量^X=ησZ/S对应于临时价格影响的大小，即当前价格的百分比。奇异初值问题Ivphere在我们将IVP（3.4，3.5）称为IVP之后。注：当且仅当我们的长期假设（2.8）ρ>r+λ成立时，a+b>0。Brunovsk\'y等人（2013）表明，IVPI在0时高度退化。对于a+b>0，由形式幂级数hn（x）=x给出的在0附近具有相同渐近性的许多解-p2（a+b）x3/2+nXi=2kix1+i/2，n∈ N、 （5.1）其中kiare从kn+1=3（N+3）k递归获得kn（（n+2）（2a）- n） +4b）-n-1Xj=1（3+j）（n- j+3）kj+1kn-j+1.级数本身对于6a+4b的收敛半径为零- 3=：K>0>K：=6a+2b- 9，见（Quittner，2015，备注2）。通过（5.1）中级数的形式微分得到的u（x）导数的渐近展开，同上定理1。当K=0或K=0时，幂级数在第三个元素处结束，构成IVP的真正解。然而，这个解只是一个连续体的解，并不代表最优值函数。IVPdoes的高度退化性质并非源于ODE中线性项的奇异性，这在Black-Scholes模型中是众所周知且无害的，而是源于非线性项的奇异性。Liang（2009）研究了u=x形式的单数IVP-1f（x，u，u），其中f是连续的。请注意，ODE的线性部分ax-1u，属于梁的范畴，但不是线性项x-2（u- 1） /2没有。Liang也观察到了解决方案的多样性，但这种多样性不如我们的情况明显。

在Liang的工作中，u（0）和u（0）唯一地确定了溶液的第一个dγe导数，其中γ：=uf（0，u（0），u（0））>0，对于非整数γ，一旦指定了xγ的系数，解就变得唯一。因此，在Liang的情况下，所有解都会渐近偏离xγ接近0的倍数。相比之下，IVPHA是一个解的连续体，其由xαexp-β/√x个,其中α：=2-b、 β：=p8（a+b），见（Quittner，2015，定理2-5）。这些解总是以x&0的任意阶共享其幂级数渐近性。与本文相关的唯一性结果可以总结如下：命题5.1。在假设a+b>0的情况下，有一个唯一的VP解，用u表示∞令人满意的u∞∈ C[0，∞) ×C（0，∞),0≤ u∞（十）≤ x表示x>0。（5.2）解决方案u∞进一步满足u∞（0）=1，u∞（x） >0，u∞（x） <0，u∞（x） 对于所有x>0以及u>0∞（x） x为0（&0）→ ∞.证据见Brunovsk\'y等人（2013）中的命题5.1。命题5.2揭示了IVP解的某些定性特征，无论何时使用不稳定的数值格式，都可以从经验上观察到这些特征。提案5.2。（3.4）在（α，β）上的任何溶液，0≤ α < β ≤ ∞ 属于且仅属于以下类别之一：i）u是常数；ii）u在（α，β）上是严格凹的；iii）u在（α，β）上是严格凸的；iv）有x个∈ （α，β），使得u在（α，x）上严格凹，在（x，β）和u（x）上严格凸≥ 所有x的u（x）>0∈ (α, β);v） 有x个∈ （α，β），使得u在（α，x）上严格凸，在（x，β）和u（x）上严格凹≤ 所有x的u（x）<0∈ (α, β).证据Brunovsk'y等人（2013）的引理4.1得出的结论适用于方程xy=（1+（a- 2） x个- y） y+（a+b）y，（5.3），y=u，通过（3.4）的微分和重新排列获得。6.

边值问题BVP[0，∞)在本文的背景下，将命题5.1视为某一边值问题（BVP）的解是有利的。我们写了(∞) := 林克斯→∞u（x）每当右侧的极限存在时，用Neumann型边界条件u补充Dirichlet型边界条件u（0）=0(∞) = 0。（6.1）下文中，我们将混合边值问题（3.4、3.5、6.1）称为BVP[0，∞).如下所示，右侧边界条件（6.1）唯一地确定了命题5.1中的解。提案6.1。假设a+b>0 BVP[0，∞)具有唯一的解决方案，可额外满足u（0）=1、u>0、u<0、u>0以及0≤ u（x）≤x、 证明。BVP[0，∞)至少有一个解决方案，即在Proposition 5.1中确定的解决方案。下面我们将通过显示bVP[0]的任何解来证明唯一性，∞)还必须满足0≤ u（x）≤ x、 Brunovsk'y等人（2013）中的引理3.1，IVPsatis fies limx的任何局部溶液→0+u（x）=u（0）=1。现在考虑命题5.2中α=0和β=∞. 由于bVP[0]的任何解，∞)还解决了IVPit不能落入恒定备选方案i）中的问题。同样，由于u（0）=1意味着u，因此它不能属于u>0的iii类(∞) ≥ 1、备选方案iv）和v）也意味着(∞) 6= 0. 因此，只有ii类）仍然是可能的替代方案。因此，在全局范围内获得u<0，因此uis递减，u(∞) = 0表示u≥ 我们这样证明了≤ u≤ 1，积分时，1得到0≤ u≤ x、 这表明了命题5.1的唯一性。Brunovsk\'y等人（2013年）的论文留下了两个悬而未决的问题。

第一个问题是由解决方案u生成的值函数V是否∞BVP的[0，∞)从命题5.1到方程（3.3）实际上是优化问题（2.5）的值函数。第二个问题涉及BVP解的数值计算[0，∞).我们依次讨论这两个问题，前者在第5节，后者在第6.7节。优化在本节中，我们建立了边值问题BVP[0，∞)以及清算问题的最优控制和价值函数（2.5）。我们首先制定一个自然有效的受理条件，并调查在什么情况下可以进一步收购待清算资产，v<0。提案7.1。在假设（2.8）下，任何可预测控制v满足s（t）/η≥ v（t）≥ 允许0。如果另外ρ>λ++r+，（7.1），其中x+：=max（x，0），则满足S（t）/η的任何可预测控制v≥ v（t）≥ -K对于某些K>0也是允许的。证据i） 我们有| v（t）| m≤ （S（t）/η）m+Kmand由于S是GBM，这意味着ehrt | v（S）| mdsi<∞ 对于任何有限t和任何m∈ N证明（2.6）。ii）证明（2.7）第一条注释v（t）≥ -K impliesZ（t）≤ zert+Kert- 1r。（7.2）为了显示值函数的可积性，我们首先获得被积函数| v（t）（S（t））的估计值- ηv（t））|≤v（t）++v（t）-S（t）+ηv（t）-≤K+v（t）+（S（t）+ηK），对于任何有界停止时间τyieldsEZτe-ρt | v（t）（S（t）- ηv（t））| dt≤ KZτe-ρt（E[S（t）]+ηK）dt+EZτe-ρtv（t）+（S（t）+ηK）dt≤ KZ公司∞e-ρt（seλt+ηK）dt |{z}C<∞+EZτe-ρtv（t）+（S（t）+ηK）dt.继续第二项中期望值内的积分，让W（t）=Rtv（s）+ds，并按部分积分。编制注释dZ（t）=（rZ（t）- v（t））dt与（7.2）一起表示任何有界停止时间τ≤ T0≤ W（τ）=Zτv（t）+dt=Zτv（t）-dt+ZτrZ（t）dt+Z- Z（τ）≤ Kτ+Zτrzert+Kert- 1r级dt+z=：g（τ）。

（7.3）部件集成yieldsZτe-ρtv（t）+（S（t）+ηK）dt=e-ρτW（τ）（S（τ）+ηK）+ρZτe-ρtW（t）（S（t）+ηK）dt-Zτe-ρtW（t）dS（t）。我们继续在右手边的第二个任期。设dM（t）=e-ρtW（t）S（t）dB（t）然后E[[M，M]t]=EhRte-2ρlW（l）S（l）dli≤ sRtg（l）e2（λ+σ-ρ） ldt<∞ 使用gfrom（7.3），这意味着M是一个（平方可积）鞅。因此对于任何有界停止时间τEZτe-ρtW（t）dS（t）= EZτe-ρtλW（t）S（t）dt.把一切都集中起来Zτe-ρt | v（t）（S（t）- ηv（t））| dt≤ C+EZτe-ρtv（t）+（S（t）+ηK）dt.在站立假设（2.8）下，右侧为K=0的边界。如果另外ρ>0、ρ>λ和ρ>r，则K>0也是如此。最后三个不等式和持续假设（2.8）相当于（7.1）。通过单调收敛使τ增加到T中兴通讯-ρt | v（t）（S（t）- ηv（t））| dt< ∞.下一个定理描述了最优清算策略和相应的值函数。不等式V（s，z）≤ sz确认了在没有卖空的情况下实现短缺sz的初步直觉-V（s，z）必须为正。我们注意到，由于0≤ u∞（十）≤ 1我们有v*（t）≥ 0，也就是说，即使（对于ρ>λ++r+）涉及进一步购买的策略是允许的，购买更多的清算资产也不是最佳选择。定理7.2。假设（2.8）。让u∞是BVP的唯一解决方案[0，∞), 其中a，b由（3.6）给出。那么函数V（s，z）：=sησu∞ησzs≤ sz是优化（2.5）的值函数，v*（t） ：=2η（S（t）- Vz（S（t），Z*（t） ））=S（t）2η1.- u∞ησZ*（t） S（t）≥ 0（7.4）是方程（2.6,2.7）中定义的所有容许控制中的最佳控制。证据为了证明该定理，我们应用Flemingand Soner（2006）的“验证”定理IV.5.1。

为此，我们必须检查以下内容：（i）V（s，z）是C（（0，∞) × (0, ∞)) ∩ C（[0，∞) × [0, ∞)) 和满意度| V（s，z）|≤ K（1+|（s，z）| m）对于某些m>0，K>0；（ii）lim支持→∞E（s，z）它≤T（Z=0）e-ρtV（S（t），Z（t））≥ 0表示所有容许控制，其中s：=s（0）和z：=z（0）；（iii）对于任何有限时间tlimt→∞e-ρtE（s，z）它≤T（Z*=0）V（S（t），Z*（t） （）= 0，（S（t），Z*（t） ）为ds（t）的解=λS（t）dt+σS（t）dB（t），dZ*（t）=rZ公司*（t）-S（t）2η1.- uησZ*（t） S（t）dt。正则性性质以及（i）和（ii）的估计是u的性质的直接序列∞, 这尤其意味着0≤ V（s，z）≤ 深圳。（7.5）估算（7.2）给出Z*（t）≤ zertwhich与不等式（7.5）和长期假设（2.8）相结合的产量0≤ e-ρtE（s，z）它≤T（Z*=0）V（S（t），Z*（t） （）≤ e-ρtzertE（s，z）[s（t）]=sze（r+λ-ρ） &0。这证明了第（iii）项。观察最优控制偏离了目标函数vmyopic（t）：=S（t）/（2η）被积函数最大化的短视策略。除了对执行价格的直接影响外，当前清算率还影响库存Z的未来水平。在（7.4）中，时间t的最佳策略与vmyopic（t）的差异为-Vz（S（t），Z*（t） ），这是相对于剩余库存规模的最佳收入的边际值。因此，适当考虑未来库存水平的作用可以降低销售率。根据提案5.1，u∞是正的，并且减小到零，因此对于较大的z值，zand中的Vz（s，z）也是正的*（t） 销售率非常接近短视战略。

对于较小的Z值*（t） 最优交易率是非线性的，大致与√Z从渐近展开式（5.1）和最优交易率公式（7.4）中可以看出。我们注意到，ρ=λ=r=0且固定时间范围T的经典鞅情形产生恒定的最优清算速度v*= Z（0）/T。固定T的每股价格影响与Z（0）成正比，这与广泛的经验证据不一致，后者表明权力依赖大致成比例的ltopz（0）。在根据经验估计价格影响时，必须对交易率进行假设。在Almgren等人（2005年）中，假设该比率是恒定的，单个交易的临时影响与v0.6成正比，而每股临时价格影响与Z（0）0.6成正比。相比之下，这里的暂时影响是线性的，与v成正比，但最佳交易率是非线性的，大致与v成正比√Z表示小值。”“小”必须在上下文中理解；我们发现√Z渐近与元顺序完全兼容，最优执行持续数天，见第8.4节。我们还可以通过研究渐近展开（5.1）得出关于优化实施不足的定性结论，由此我们发现，对于smallZ（0），每股价格影响等式i（S（0），Z（0））=S（0）Z（0）- V（S（0），Z（0））S（0）Z（0）=pη（ρ- λ - r） Z（0）/S（0）+O（Z（0）3/2，这意味着价格影响与总贸易规模的平方根成正比。有强有力的经验证据支持ETA订单的平方根定律，见Bershova和Rakhlin（2013）、Farmer et al.（2013）、Donier et al.（2015）和T’oth et al.（2016）以及其中的参考文献。8.

解的计算使BVP[0，∞)根据数值处理，我们首先将空间间隔截断为x∈ [ε，L]带ε≥ 0，L<∞ 用混合边界条件u（ε）=0和u（L）=0求解ODE（3.4）。我们将截断边值问题称为BVP[ε，L]。在第8.1节中，我们证明了BVP[0，L]的解uLof是唯一的，并且它向上逐点收敛到所需的解u∞asL%∞.具有奇异系数的普通微分方程的BVP数值解有着成熟的文献，例如Jamet（1969）、Weinmuller（1984）、Weinmuller（1986）和Auzinger等人（1999），他们认为BVP的形式为ODEof=x-1A（x）u+x-2B（x）u+F（x，u，u），（8.1），其中A，B和F在x=0时连续，其中一个边界为x=0。（8.1）的数值解可通过变换y（x）=[u（x）xu（x）]后的Matlab函数BVP5Cafer计算，见Weinmuller（1986），方程（2.1a）。然而，正如我们在与IVP的联系中已经提到的，我们的问题BVP[0，L]实质上更为单一。这并不是因为ODE（3.4）的线性形式中的奇异性，事实上可以在ansatz（8.1）中进行调整，而是因为非线性部分F（x，u，u）=x-2（u- 1） 在零度时x不连续。试图通过某种射击失败来计算BVP[0，L]的解–都是在x→ 0和x→ ∞ 轨迹爆炸了。算法bvp5c能够在仔细调整输入参数的情况下，生成ε不太接近零的BVP[ε，L]的稳定解。然而，这种接近于零的溶液质量很差，如图1的面板（b）所示。为了绕过麻烦的零奇点，我们在BVP[0，L]中引入了一个时间维度，其策略类似于金融经济学中的价值函数迭代法。

这种方法在线性二次型最优控制问题中也很常见，然而，这种方法并非由奇点的存在所驱动，见Anderson和Moore（1989年，第3.1节）。我们考虑一个抛物线型偏微分方程，它对应于时间齐次优化（2.5）的有限水平版本。我们在一个有限的空间区间x上制定了合适的边界条件∈ [0，L]得到一个抛物型问题BVPt[0，L]，并证明其解单调收敛于BVP[0，L]的解→ ∞. 这在第8.2节中完成。不幸的是，由于边界条件的选择，BVPt[0，L]并不对应于最优控制问题。在第8.3节中，我们制定了一个有限差分格式，用于数值求解BVPt[0，L]。该方案在x=0的奇异性方面表现良好，并产生了对uL的可靠近似，对于足够大的L，它与所需解u任意循环∞.8.1. 问题BVP[0，L]定理8.1。让a+b>0。对于给定的L>0，BVP[0，L]有唯一的解决方案uL∈C（（0，L））∩ C（[0，L]），使得0≤ uL（x）≤ x代表所有x∈ [0，L]。解决方案ulistrictly递增、凹化和满足uL（x）≤ uL（x）表示L≤ 五十、 0个≤ x个≤ 五十、 和limL→∞uL（x）=u∞（x） 对于0≤ x<∞, 其中u∞是BPP[0]的唯一解决方案，∞).证据步骤1）对于任何ε>0，使得ε<L函数α（x）：=0，分别。β（x）：=xis定义II意义上的BVP[ε，L]的下（分别为上）解。1.1 inDe-Coster和Habets（2006），其中关键考虑了L的Neumann边界条件。因此，通过定理II。1.3同上，混合边值问题的解uεBVP[ε，L]满足0≤ uε（x）≤ 每ε>0取x。（8.2）根据Brunovsk'y等人（2013）的主张2.2，证明由此开始。

从Bernstein条件Bernstein（1904）（有关Nagumo条件，另请参见De Coster and Habets（2006）第I.4.3节）中的|Με>0，我们获得了|Με，L上导数uε的统一（ε）先验界。与（8.2）一起，这通过（3.4）得到了【】ε，L】上uε的先验界，这意味着{uε}ε>0（以及{uε}ε>0）在【】ε，L】上是等连续的，这反过来意味着{uε}ε>0通过（3.4）是等连续的。因此，我们可以提取一个u1/K的收敛子序列，该子序列通过其前两个导数收敛到（0，L）上的某个函数u，u（0）=0，从而使usolves（3.4）。步骤2）Brunovsk\'y等人（2013），引理3.1，uL（0）=1。这与条件0一起≤ uL（x）≤ x和uL（L）=0不包括命题5.2的所有备选方案，ii除外）。因此，BVP[0，L]的任何解都必须是凹的且在[0，L]上递增。步骤3）为了证明解的唯一性，假设u和v是BVP[0.1]的两个解。那么p：=v- u solvesxp=axp+bp- p（u- （1）-p, （8.3）在（0，L）上，其在差异产量Sxp上=（a）- 2） x+1- u- pp+（a+b- u） p.（8.4）将Brunovsk\'y等人（2013）的引理4.1应用到（8.4），其中y=p，g（x，y）=（a+b- u（x））y和y*= 0时，可以得出p服从与u在位置5.2中相同的选择。通过构造，我们得到了p（0）=p（0）=p（L）=0，因此排除了命题5.2的备选方案（ii）-（v），并且p必须是常数，因此必然等于零。因此，BVP[0，L]有一个唯一的解，我们用uL表示。步骤4）现在我们证明了解uLgrow和L。取0<L<K，并且让u：=uL，v：=uK。考虑p：=v- （0，L）上的u满足（8.3），（8.4），因此服从命题5.2的备选方案。。和前面一样，p（0）=0。因为v（L）>0，而u（L）=0，所以p（L）>0。