内生清算压力下的最优交易执行：理论

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英文标题：
《Optimal Trade Execution Under Endogenous Pressure to Liquidate: Theory
  and Numerical Solutions》
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作者：
Pavol Brunovsk\\\'y, Ale\\v{s} \\v{C}ern\\\'y, J\\\'an Komadel
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study optimal liquidation of a trading position (so-called block order or meta-order) in a market with a linear temporary price impact (Kyle, 1985). We endogenize the pressure to liquidate by introducing a downward drift in the unaffected asset price while simultaneously ruling out short sales. In this setting the liquidation time horizon becomes a stopping time determined endogenously, as part of the optimal strategy. We find that the optimal liquidation strategy is consistent with the square-root law which states that the average price impact per share is proportional to the square root of the size of the meta-order (Bershova and Rakhlin, 2013; Farmer et al., 2013; Donier et al., 2015; T\\\'oth et al., 2016).   Mathematically, the Hamilton-Jacobi-Bellman equation of our optimization leads to a severely singular and numerically unstable ordinary differential equation initial value problem. We provide careful analysis of related singular mixed boundary value problems and devise a numerically stable computation strategy by re-introducing time dimension into an otherwise time-homogeneous task.
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中文摘要：
我们研究了具有线性临时价格影响的市场中交易头寸（所谓的大宗订单或元订单）的最优清算（Kyle，1985）。我们通过引入未受影响资产价格的向下漂移，同时排除卖空，将清算压力内生化。在此设置中，清算时间范围成为内生确定的停止时间，作为最优策略的一部分。我们发现，最优清算策略符合平方根定律，即每股平均价格影响与元订单规模的平方根成正比（Bershova和Rakhlin，2013；Farmer et al.，2013；Donier et al.，2015；T ttoth et al.，2016）。在数学上，我们优化的Hamilton-Jacobi-Bellman方程导致了一个严重奇异且数值不稳定的常微分方程初值问题。我们仔细分析了相关的奇异混合边值问题，并通过将时间维度重新引入其他时间齐次任务中，设计了一种数值稳定的计算策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Trade_Execution_Under_Endogenous_Pressure_to_Liquidate:_Theory_and_Numer.pdf (1.33 MB)

2022-6-1 04:23:46 上传

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关键词：Optimization Mathematical Quantitative Differential Endogenously

内生压力下的最优贸易执行：理论与数值解，*, J’an KomadelaaDepartment of applicated Mathematics and Statistics，Comenius University Bratislava，84248布拉迪斯拉发，SlovakiabCass Business School，City，University of London，106 Bunhill Row，London EC1Y 8TZ，UKAstractwe研究具有线性临时价格影响的市场中交易头寸（所谓大宗订单或元订单）的最优清算（Kyle，1985）。我们通过在未受影响的资产价格中引入向下漂移，同时排除卖空，来内生清算压力。在此设置中，清算时间范围成为内生确定的停止时间，作为优化策略的一部分。我们发现，最优清算策略符合平方根定律，即每股平均价格影响与元订单规模的平方根成正比（Bershova和Rakhlin，2013；Farmer等人，2013；Donier等人，2015；T’oth等人，2016）。在数学上，我们优化的Hamilton-Jacobi-Bellman方程导致了一个严重奇异且数值不稳定的常微分方程初值问题。我们仔细分析了相关的奇异混合边值问题，并通过将时间维度重新引入其他时间齐次任务中，设计了一种数值稳定的计算策略。关键词：最优清算、价格影响、平方根定律、奇异边值问题、随机最优控制2010 MSC:34A12、49J15、91G801。引言我们研究了当执行价格受到不利价格影响时，不可分割资产的最优清算，其与每单位时间的资产负债量成比例，符合Kyle（1985）。

最优清算策略*相应的authorEmail地址：brunovsky@fmph.uniba.sk（巴沃尔·布鲁诺夫斯克），阿莱斯。塞尔尼。1@city.ac.uk（阿尔塞尔尼），komadel4@uniba.sk（J'an Komadel）2017年7月25日前提交的预印本为应对突然出售造成的不利价格影响而进行的交易。然而，我们对清算的关注并不是根本性的；经过必要的修改，我们可以用以下的最优收购来代替最优清算。我们的方法的新颖之处在于，我们排除了在市场下跌时卖空的可能性。这一看似微小的变化对问题的经济学和数学产生了深远的影响。如何以及为什么会发生这种情况是接下来分析的主题。具有市场影响的最优执行建模在文献中相对较新，可以追溯到Almgren和Chris（2000）、Bertsimas和Lo（1998）以及Subramanian和Jarrow（2001）。经典模型Almgren和Chriss（2000）、Bertsimas和Lo（1998）设想了一个世界，在这个世界上，资产的未受影响价格是阿马丁格尔，因此没有压力快速交易一个具有线性相关性的代理人。在这些情况下，交易激励是由FIAT提供的——假设有一个固定的时间限制，在该期限内必须清算整个头寸。文献发现，最优清算会导致“执行不足”（Perold，1988），定义为库存初始市场价值与清算策略预期收入之间的差距；由于价格的影响，后者总是较低。短缺本身由两部分组成，一部分是由于“永久价格影响”，另一部分是由于“临时影响”。前者不受交易策略的影响，而后者决定最佳策略，并可通过延长清算时间范围使其任意变小。

从这个意义上讲，拥有更多的时间对贸易商无疑是有益的。第二组文献，Brown et al.（2010）、Chen et al.（2014）、Chen et al.（2015）确定了随着市场条件的变化进行清算的动机，因此，更严格的保证金要求会降低杠杆的允许金额。市场状况的变化发生在离散的时间点，而最优清算（去杠杆化）则在时间上持续实施。出于可延展性的原因，未受影响的价格在清算期间被假定为常数，尽管原则上可以使用第一组文献的结果，以使去杠杆阶段的建模更加现实。在本文中，我们主要关注清算阶段。具体而言，我们研究了未受影响的价格平均可能下降的情况，这在流动性收缩的市场中非常合理。有人预计，随着资产价格的下降，执行缺口应该比鞅情况下更严重。令人惊讶的是，目前的文献发现，最佳清算策略远远没有出现短缺，在这种情况下，可能会出现预期盈余，见Schied（2013）。仔细观察发现，盈余是由于资产卖空，随后在分配的时间期限结束时以折扣价格收购而产生的。虽然在熊市中进行战略卖空并非完全不可信，但我们认为，重要的是要研究一种排除此类卖空的情况。要做到这一点，最简单的方法是一旦全部头寸变现，就停止交易。在这样做的过程中，我们从鞅案例中恢复了经典结果，即价格影响总是导致实施不足。

然而，在没有卖空的下跌市场中，通过延长清算时间范围，可以任意缩小差额，这已不再是事实。在具有完全可分割资产的最优清算文献中，引入停止时间是一个新颖的特征。此前，最优停止出现在不可分割资产的最优清算背景下，参见Mamer（1986）和Henderson and Hobson（2013）。虽然在清算时停止自动排除卖空，但它确实为进一步的中间收购留下了可能性。事后证明，中间采集不是最优的，参见第7.1条和第7.2条定理。我们证明了停止时间的存在极大地改变了Hamilton-Jacobi-Bellman方程的数学性质，并导致了一个严重奇异且数值不稳定的初值问题。我们的部分研究贡献在于对HJB方程和相关奇异边值问题进行了全面的理论和数值分析。本文的组织结构如下。在第2节中，我们调查了相关文献并提出了我们的模型。在第3节中，我们将讨论如何将HJB偏微分方程（PDE）简化为普通微分方程（ODE）。第4节提供了这种减少的概率和控制理论解释。第5节描述了第3节ODE初值问题（IVP）的奇异性，而第6节说明了如何从相关的边值问题（BVP）中获得唯一性。在第7节中，我们利用第6节的BVP描述了最优策略及其价值函数。在第8节中，我们介绍并从理论上分析了与偏微分方程BVP相关的数值格式，并给出了数值结果。第9节结束。2.

我们的模型和相关文献我们从一个存货Z的交易者的角度出发，其初始值Z（0）>0是给定的。建模的前提是，存在一些价格过程（通常称为“未受影响的价格”），这些价格过程具有外部给定的动态，在没有我们交易的情况下控制资产价格的演变。在我们的例子中，不受影响的价格S是几何布朗运动ds（t）=λS（t）dt+σS（t）dB（t），（2.1），其中B是自然过滤中的布朗运动。库存吸引利率r，当r<0时，利率r成为存储成本。我们假设库存以（随机）比率V=连续出售-dZ/dt，因此v表示单位时间内售出的库存量。因此，库存动态读数dz（t）=（rZ（t）- v（t））dt。（2.2）假设T（Z=0）是第一次处置整个库存。对于一对初始值S=S（0），z=z（0），（2.3），资产处置的预期贴现收入由J（S，z，v）=Es，z“ZT（z=0）e给出-ρt（S（t）- ηv（t））v（t）dt#，（2.4），其中S-ηv是资产的“影响价格”。在我们的设置中，η测量销售速度v对价格的“暂时影响”的强度。贴现系数ρ表示不持有替代资产的机会成本。整个模型基于ˇCern'y（1999）。任务是找到使v（s，z）最大化的最优清算策略v：=supv∈AJ（s、z、v）。（2.5）我们说v是一个可容许控制，并写出v∈ A、 如果过程v是可预测的，则EZt | v（s）| mds< ∞ 对于所有t>0且m=1，2，（2.6）andEZT（Z=0）e-ρs | v（t）（s（t）- ηv（t））| dt！<∞. （2.7）对于特定的参数选择，我们的模型中的优化可以看作是Ankirchner和Kruse（2013）、Forsyth et al.（2012）和Schied（2013）的特例，关键的区别在于，在我们的案例中，清算时间范围是内生的。

我们长期假设，时间贴现比预期升值和资产利息加在一起强，ρ>λ+r.（2.8）。在本节结束时，我们希望提出几点意见，证明我们选择建模框架的合理性。现存文献包含了上述模型的一些变体。交易可能是离散的，而不是连续的，未受影响的价格可能有不同的规定，优化标准可能涉及效用函数。通常，现有模型假设T是固定的，并且是外源性的。最常考虑的受影响价格规格为S：=S- γ（Z（0）- Z--Z）- ηv+ηZ、 （2.9）式中γ（Z（0）- Z--Z） 当ηv和ηZ、 分别在连续时间和离散时间文献中被称为“临时”价格影响。假设有一个固定的日期{ti}Ni=1，其中Z允许跳跃（离散时间模型），或者Z以随机时间速率连续变化-v（连续时间模型）。在每种情况下，Z都被视为具有左极限过程Z的可预测半鞅-AND跳跃Z=Z- Z-. 这类模型包括Ankirchner et al.（2016）、Brown et al.（2010）、Chen et al.（2014）、Gathereal and Schied（2011）、Schied（2013）、Schied and Schoneborn（2009）Ting et al.（2007）连续时间模型和Almgren and Chriss（2000）、Bertsimas and Lo（1998）离散时间模型。其他影响规范见Chen等人（2015）、Cheridito和Sepin（2014）、Forsyth（2011）、Lorenz和Almgren（2011）、Subramanian和Jarrow（2001）以及Ting等人（2007）。固定时间范围内清算产生的收入R（T）由R（T）：=RT给出-S（t）dZ（t）。

当不受影响的资产价格过程S是鞅时，通过部分积分以及适当的Z有界性和边界条件Z（T）=0 yieldsE[R（T）]=Z（0）S（0）-γZ（0）- ηZTv（t）dt- ηNXi=1(Z（ti）。这种平等提供了几个重要的见解：1。永久影响（如此处所定义）没有战略影响，在没有临时影响（η=η=0）的情况下，任何战略Z都是最优的。预期实施不足Z（0）S（0）- E[R（T）]=γZ（0）严格为正。2、对于临时冲击，无论永久冲击的强度如何，最好以恒定速率进行清算。额外的执行差额在连续时间内分别等于ηZ（0）/T，在离散时间内分别等于ηZ（0）/N。这些观察结果表明，暂时性影响也是漂流市场中大多数战略互动的原因，我们推测，这种永久性影响的分类与Almgrenand Chriss（2000）和后续文献中使用的分类有细微的不同。在我们的分类中，当S是鞅时，永久影响对最优执行没有战略影响。因此，当包含永久影响时，最优策略不会发生显著变化。这并不是说实施不足不会受到永久影响的影响。

考虑到后续分析的复杂性，以及我们对最优交易策略存在永久性影响的理解可能获得的边际收益，我们觉得有理由在分析中忽略永久性影响。Gatheral（2010）对最近的研究进行了精辟的总结，考虑了一种中间形式的影响，其中执行价格由公式集给出-Ztf（vu）G（t- u） 杜。核G被称为市场弹性，永久冲击和暂时冲击两种极端情况分别对应于G为常数或G为Diracdelta函数。Gatheral（2010）提出了一个功率冲击函数组合的例子，f（v）=vδ，幂律弹性G（x）=x-γ, δ + γ ≥ 1，后者倾向于狄拉克δ函数，如γ&0。我们注意到，我们的设置对应于极限情况δ=1，γ=0，我们将在本文的设置中对具有一般弹性G的广义冲击函数f的分析留给未来的研究。3、HJB方程和降维（2.5）中定义的值函数形式上解决了Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程SUPV{sσVss+λsVs+（rz- v） Vz公司- ρV+V（s- ηv）}=0，s>0，z>0，形式最优控制v*=s- Vz2η，产生拟线性二阶偏微分方程σVss+λsVs+rzVz- ρV+（s- Vz）4η=0，（3.1），初始条件V（s，0）=0。（3.2）自相似性v（s，z）=su（x）/（ησ），x=ησz/s，（3.3）将（3.1，3.2）简化为普通微分方程（ODE）xu=axu+bu的初值问题（IVP）- （u）- 1） /2，x>0，（3.4）u（0）=0，（3.5），其中：=2（λ- r+σ）/σ，b：=-2(2λ - ρ + σ)/σ. （3.6）自相似性减少了具有7个独立参数ρ、λ、r、σ、η、s的问题≡S（0）和z≡ Z（0）到一个只有三个参数：a、b和x的问题：=ησZ/s.4。

自相似性的概率解释我们首先重申HJB方程（3.1）的变分形式supv（0）漂流e-ρtV（S，Z）+ v（0）（S（0）- ηv（0））= 插入值函数V（S，Z）=Su的自相似形式ησZ/S/（ησ）并重新排列以获得SUPV（0）漂流e-ρtSS（0）uησZS+ ησv（0）S（0）1.- ηv（0）S（0）= 接下来的步骤包括i）将度量值更改为给定的^P，byd^PtdPt=S（t）S（0）e-（2λ+σ）twhere^Ptand Ptare^P和P对Ft的限制；ii）定义新的状态变量x：=ησZ/S；和iii）将控制重新参数化为g：=ηv/S，这将产生Ssupg（0）nddrifte（2λ+σ-ρ） tu（X）+ σg（0）（1- g（0））o=0。（4.1）X readsdX的It'o公式=接收- σgdt+X-决策支持系统+决策支持系统,而从Girsanov定理我们得到了ddrift（L（S））=λ+2σ，这意味着dx=（r）- λ - σ） X个- σgdt+σXd^B，（4.2），其中^B：=-L（S）+（λ+2σ）t是^P下的布朗运动，L（S）表示S的随机对数，dL（S）=dS/S。在最后一步中，我们执行从t到σt的时间变化，定义^X（t）：=X（t/σ）和^W（t）：=σB（t/σ）。这让dynamicsd^X=r- λ - σσ^X- g级dt+^Xd^W，（4.3），而（4.1）更改为SUPG（0）ddrift公司经验值2λ + σ- ρσtu（^X）+ g（0）（1）- g（0））= 0。（4.4）在（4.3）中，最优性条件（4.4）显式读取s0=xu（x）+r- λ - σσxu（x）+2λ+σ- ρσu（x）+1.- u（x）,（形式）最优控制等于g=（1- u（^X））/2。更清楚的是，（4.4）本身是一个最优控制问题的HJB方程u（x）=supgbEx=^x（0）”ZT（^x=0）exp-ρ - 2λ - σσtg（t）（1- g（t））dt#，（4.5），其中^P-动力学^X由（4.3）给出。请注意，转化问题（4.5）中的时间是根据未受影响价格的对数回报的累积方差来衡量的，即“方差年”。一个变化年对应于使σt=1所需的物理时间t。σ=0.2时，一个差异年等于25个日历年。