非平衡随机模拟模型中的虚假记忆

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英文标题：
《Spurious memory in non-equilibrium stochastic models of imitative
  behavior》
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作者：
Vygintas Gontis, Aleksejus Kononovicius
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The origin of the long-range memory in the non-equilibrium systems is still an open problem as the phenomenon can be reproduced using models based on Markov processes. In these cases a notion of spurious memory is introduced. A good example of Markov processes with spurious memory is stochastic process driven by a non-linear stochastic differential equation (SDE). This example is at odds with models built using fractional Brownian motion (fBm). We analyze differences between these two cases seeking to establish possible empirical tests of the origin of the observed long-range memory. We investigate probability density functions (PDFs) of burst and inter-burst duration in numerically obtained time series and compare with the results of fBm. Our analysis confirms that the characteristic feature of the processes described by a one-dimensional SDE is the power-law exponent $3/2$ of the burst or inter-burst duration PDF. This property of stochastic processes might be used to detect spurious memory in various non-equilibrium systems, where observed macroscopic behavior can be derived from the imitative interactions of agents.
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中文摘要：
非平衡系统中长程记忆的起源仍然是一个悬而未决的问题，因为这种现象可以用基于马尔可夫过程的模型再现。在这些情况下，引入了伪内存的概念。具有虚假记忆的马尔可夫过程的一个很好的例子是由非线性随机微分方程（SDE）驱动的随机过程。这个例子与使用分数布朗运动（fBm）建立的模型不一致。我们分析这两种情况之间的差异，试图建立观察到的长程记忆起源的可能的实证检验。我们研究了数值获得的时间序列中突发和突发间持续时间的概率密度函数（PDF），并与fBm的结果进行了比较。我们的分析证实，一维SDE描述的过程的特征是脉冲串或脉冲串间持续时间PDF的幂律指数3/2。随机过程的这一特性可能被用来检测各种非平衡系统中的虚假记忆，在这些系统中，观察到的宏观行为可以从主体的模拟相互作用中衍生出来。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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关键词：随机模拟 非平衡 Quantitative Differential Econophysics

维尔纽斯大学理论物理和天文学研究所（Aleksejus KononoviciusInstitute of theory Physics and Astronomics，Vilnius University）的非平衡随机模型中的虚假记忆非平衡系统中的长程记忆的起源仍然是一个悬而未决的问题，因为可以使用基于马尔可夫过程的模型再现这种现象。在这些情况下，引入了伪记忆的概念。具有虚假记忆的马尔可夫过程的一个很好的例子是由非线性随机微分方程（SDE）驱动的随机过程。这个例子与使用分数布朗运动（fBm）建立的模型不一致。我们分析这两个案例之间的差异，试图建立观察到的长程记忆起源的可能的实证检验。我们研究了数值获得的时间序列中突发和突发间持续时间的概率密度函数（PDF），并与fBm的结果进行了比较。我们的分析证实，一维SDE描述的过程的特征特征是突发或突发间持续时间PDF的幂律指数3/2。随机过程的这一性质可以用来检测各种非平衡系统中的虚假记忆，在这些系统中，观察到的宏观行为可以从主体的模拟相互作用中得到。1引言统计物理学在社会科学和经济学、生物学和人口遗传学、医学、信息技术、计算机科学等不同领域的应用使这一跨学科研究非常普遍。虽然代理人的数量通常与物理系统中粒子的数量无法相比，但对社会和生物系统宏观行为的理解自然会调用统计物理学的方法，使个体之间的相互作用非常简单。

人类和生物实体本身就是一个复杂的系统，具有未知的详细行为，任何试图再现微观主体相互作用的尝试似乎都是不现实的。因此，社会系统中agent交互的概率描述似乎是最合适和自然的。即使在非常简单的agent交互模型中，集体行为也可能导致有序或无序状态。agent的无序相互作用如何在宏观行为中创造秩序是一个非常有趣的问题，然而，非平衡波动在系统中不消失的情况也是非常重要的。许多身体系统的可解和数学上可处理的模型数量有限。Isingmodel是此类模型中最基本和最广为人知的例子之一[6,7]。作为研究有序和无序状态转变的一种非常流行的工具，具有自旋局部相互作用的一维伊辛模型可以通过Glauber动力学简化[4]，并为统计力学的许多其他应用提供动力。这样可以简化代理之间的成对交互，从而在更大的空间维度或拓扑中产生多个身体系统的可解情况。选民模型是广泛用于舆论动态和群体遗传学建模的此类社会系统的一个很好的例子【8–11】。在一维情况下，选民模型与一维Glauber动力学一致，而在其他维度和各种拓扑也可以求解。标准的选民模型会收敛到一致的意见，这与两种情况有关：互动的局部性质和模仿没有特殊决策的邻里关系[11]。

从我们的观点来看，在随机生成的网络上运行的全局代理交互系统（包括意见的特殊转换）的情况非常重要，因为它展示了集体行为中持续的随机变化【5，12】。这种系统的演化可以用福克-普朗克方程来描述，也可以用人口演化的非线性SDE来描述，可以看作是选民模型[13，14]、莫兰模型[2]或基尔曼模型[5，15]的特例。这种具有代理人模仿行为的非平衡系统中的持续波动表现出非常普遍的幂律标度特性，包括适用于社会系统、金融系统或生物系统的虚假记忆。在这里，我们研究了长程记忆特性，它可能起源于真正的长程记忆过程，一个具有相关增量的过程，如分数布朗运动（fBm）[21-24]。而长程记忆也可以从具有非平稳不相关增量的随机过程中获得【23–26】。请注意，这两个随机过程都是一维的，不同于其他已知的纯记忆情况。有一个根本问题需要找出哪些可能的替代方案，即具有非平稳增量的fBm或效应过程，是观察到的长程记忆的来源。这里我们展示了第一次通过时间PDF对fBm的赫斯特参数H的依赖性【28，29】，以及非线性扩散过程的明显不同行为【10，30，31】。

这解释了社会、金融和生物系统中存在的长期记忆可能来自非线性主体相互作用以及潜在变量的隐式非线性转换[32]。在第2节中，我们提出了模仿（放牧）行为的广义模型，在第3节中，我们分析了突发和突发间持续时间的统计数据，在第4节中，我们讨论并总结了结果。2因个体（粒子）跳跃马尔可夫过程的模仿行为而产生的非平衡随机波动已成为物理、生物和社会系统建模的有效工具【2，16，33】。agent的微观行为被具有特定转移率的连续时间马尔可夫过程所取代。在具有大量代理N和两种可能状态（代理选择）的系统中，例如{1，2}，有两种可能的一步过渡：a）状态1中代理N的数量增加（出生）或b）减少（死亡）。这种简单但足够普遍的观点或人口动态定义可以通过两个全系统的一步过渡率来具体化sp（n→ n+1）=（n- n） u（n，n）≡ P+（n，n），P（n→ n- 1） =nu（n，n）≡ P-（n，n）。（1） 在上述ui中，每个试剂向指数i给出的状态的转化率，通常可能会根据n和n采取多种不同的形式【16】。为了符号的简单性，我们将放弃这种依赖性的显式陈述，并使用速记，即在本文ui中进一步≡ ui（n，n）。我们将推迟为ui指定明确的表格，直到有必要为止。全系统速率确定了宏观状态演化p（n，t）PDF的主方程p（n，t）t=P+（n- 1，N）p（N- 1，t）+P-（n+1，n）p（n+1，t）- [磷+（n，n）+磷-（n，n）]p（n，t）。

（2） 在大N值的限制下，可以引入归一化系统状态变量x=nn，并写出以下福克-普朗克方程p（x，t）t型=x[xu- (1 - x） u]p（x，t）+2Nx[（1- x） u+xu]p（x，t），（3），对应于Ito意义上的以下SDE：dx=[（1- x） u- xu]dt+r（1- x） u+xuNdW，（4），其中W是标准维纳噪声。当每种药剂的转移率定义如下[5，12，15]u=h（ε+Nx），u=h[ε+N（1）]，则得到一个众所周知的结果，即完全或随机（鄂尔多斯-仁义）图上的Kirman模型- x） 】。（5） 在上述εidescribe中，通过模拟参数和发生波动的时间标度对状态i的特殊过渡率进行规范化，在文献中表示为h。相同的方程描述了完整图上噪声选民模型的行为，见【17】中的讨论。在本文中，我们将这个由公式（5）定义的模型及其后来的推广称为模仿行为模型，因为模型在给定状态下的每代理迁移率取决于处于该状态的代理数量。我们可以将其视为代理复制另一个状态（其他观点）中代理的状态（观点）。在其他论文中，经常使用不同但同义的术语“放牧行为”来描述这一特征【5、12、18、34】。该模型导致了观点和种群动力学中的一个非常普遍的情况，即即使在极限N内，系统状态变量x仍保持永久波动→ ∞. 这由全系统过渡率Nx（1）中相同形式的模拟项来确保- x） 以及它对N的线性依赖关系。在这种情况下，相应SDE中的漂移项不依赖于模仿项，而特质项在差异项中消失。

如果这种依赖关系是次线性的，那么该模型将收敛到某个x值【5，12】。该模型可以推广，引入时间尺度对系统状态变量x的非线性依赖，正如少数金融市场模型中提出的那样，以解释交易活动的内在可变性【35–37】。这种额外的系统非线性可能是现实世界的共同特征。从我们的观点来看，这可能被视为虚假记忆的来源，必须从真实社会、生物或物理系统的经验数据中加以识别，例如，参见[19]和其他参考文献。让我们通过引入依赖于系统状态变量x（非线性由参数α控制），u=h（ε+Nx）x的非线性代理间相互作用时间尺度可变性来概括每个代理的转移率-α（1- x）-α、 u=h[ε+N（1- x） ]x-α（1- x）-α. （6） 当然，还有其他选择如何引入这种可变性，例如[19,37]。在本文中，我们选择了这一个，因为它相对于x是对称的。这一特征允许我们考虑突发持续时间在统计上与突发间持续时间相等，并保留关于下面引入的新变量y的对称性。在本文中，我们使用α=2，因为它似乎是金融市场回报建模中最合适的值[19]，而α的其他正值也可以被视为适合于具有固有模仿行为的社会系统建模。广义模仿行为模型中x的平稳分布为β分布，参数值等于ε+α和ε+α，p（x）=Γ（ε+ε+2α）Γ（ε+α）Γ（ε+α）xε+α-1(1 - x） ε+α-1.（7）在早期的研究中【18–20，37】表明，Kirman模型适用于金融市场的回报建模，回报定义为与y=x1成比例-x。

因此，我们对y而不是x的时间序列的特性更感兴趣。虽然x的其他非线性变换会导致变换后的时间序列中出现非常大的波动，但也可能再现类似的特性。使用Ito引理[38]，我们可以推导出y的SDE，假设x时间序列由SDE（4）生成，每个代理的转移率uigiven由公式（6）计算，dy=εy-α+ (2 - ε） y1级-α（y+1）2α+1dt+p2y1-α（y+1）α+1dW，（8）注意，从关于x（x和1）对称的SDE导出- x在统计上是等价的），该SDEfor y也具有关于y的对称性。即y和y在其统计特性上是等价的。这一点很重要，因为我们试图保持突发和突发间持续时间统计以及y定义的对称性。请注意，SDE（8）不满足Lipschitz条件。为了满足Lipschitz条件，避免数值模拟中的过流问题，我们引入了非常大y值的反射边界条件。精确选择y值来放置边界并不影响本文讨论的结果，但为了完整性，我们希望注意，我们将边界放置在ymin=10-5和ymax=10。在数值上，我们使用Euler-Maruyama方法求解此SDE，但使用可变时间步长。有关更多详细信息，请参阅早期的工作，例如[19,37,39]，其中对类似的方程进行了数值求解。从前面的讨论中可以看出，具有非线性交互的基于代理的模型可以通过非线性SDE进行宏观描述，SDE表示一类马尔可夫过程。注意，如果我们在SDE（8）中只取y的最大幂，我们将得到一个已知形式的SDE（40）dy=η -λy2η-1dt+yηdW，（9），其中新参数η和λ与先前使用的参数相关，如η=3+α，λ=ε+α+1。

（10） 许多早期的论文都考虑了形式类似于SDE（9）的SDE，并表明它们生成具有幂律统计特性的时间序列，即PDF和功率谱密度（PSD），[40，41]：p（x）~ x个-λ、 S（f）~fβ，β=1+λ- 32η - 2=2H+1。（11） 0.0 0.2 0.4t0.000.250.500.751.00x（t）（a）0.0 0.5 1.0x0.00.51.01.5p（x）（b）10-2100102104106106F10-1210-910-610-3Sx（f）（c）图1：时间序列（a）摘录，通过等式（6），（b）PDF和（c）相同时间序列的PSD（红色曲线）用uigiven解SDE（4）获得。（b）和（c）中的黑色曲线表示理论结果：（b）参数值为2和2的Betadistration，（c）1/f趋势线。数值模拟中使用的参数集：α=2，ε=ε=0。在图1中，我们展示了模型时间序列x（t）（a）、其平稳PDF（b）和PSD（c）的摘录。注意，此处的扩散限制在0<x<1区域，PSD为Sx~ 1/f.仅在时间序列y=x1的非线性变换后-x、 见图2，PSD变为Sy~ 1/f和固定PDF具有幂律尾部，如等式（11）所示。0.0 0.2 0.4t0255075y（t）（a）10-2100102y10-810-510-2101p（y）（b）10-2100102104106106F10-410-2100Sy（f）（c）图2：转换后的y（t）=x（t）1摘录-x（t）时间序列（a），其中x（t）时间序列与图1中相同，（b）PDF和（c）相同变换时间序列的PSD（红色曲线）。（b）和（c）中的黑色曲线代表理论结果：（b）y-3趋势线和（c）1/f趋势线。从我们的观点来看，虚假的长程记忆可能起源于许多具有代理人模仿行为的社会系统，在这些系统中，长期的随机代理人群体或意见波动不会消失。首先，这种方法必须被视为对金融市场中观察到的长期记忆的解释【20、37、39】。

在下一节中，我们研究了第一次通过时间的PDF，试图证明这种长程记忆特性与在fBm中观察到的不同。3模拟行为随机模型中突发和突发间持续时间的PDF方程（9）定义的SDE类描述了具有非平稳增量（23，24）、幂律PSD和相关自相关（11）的多重分形随机过程[37]，因此与具有相关增量（如fBm）的过程不同，这类过程可被视为具有虚假记忆。在这里，我们将用相关（fBm）和不相关（非线性SDE）增量演示这两个不同模型之间的清晰区别。这种区分的思想基于随机过程x（t）的首次重现时间的PDF，吸收边界在某个阈值水平x=h。丁和杨在[28]中考虑了FBMA的首次重现时间问题。据我们所知，我们首次尝试区分这两个一维随机过程。其他虚假记忆模型在性质上有所不同，通常与双重随机性有关[27]。当偏离此规律是fBm的特征特征时，一维马尔可夫过程中第一次通过时间的PDF指数3/2是一个非特征特征[10、30、31]。图3：一般时间序列摘录。显示了三个阈值hx、通道事件ti。因此，爆发持续时间T可以定义为T=T- tand突发间持续时间θ可定义为θ=t- t、 在本文中，我们考虑两个不同的阈值通过事件–一个描述从上方返回阈值，另一个描述从下方返回阈值。我们将突发持续时间视为序列花费在阈值以上的时间量。在图中。