非平衡随机模拟模型中的虚假记忆

3突发周期从阈值通道到时间t的下一个阈值通道一直持续。因此，在这种情况下，突发持续时间由t=t给出- t、 显然，这与第一次返回时间相同，但有限制，返回时间是从阈值以上开始的。在图3中，突发间隔时间从时间t的阈值通过持续到时间t的下一个阈值通过。因此，在这种情况下，突发间隔时间由θ=t给出- t、 显然，这与首次回归时间相同，但有限制，即回报是从阈值以下进行的。虽然从纯理论的角度来看，这些定义可能令人费解，但从实证的角度来看，它们更有意义。当分析生成的、数字的或从经验数据中提取的数据时，在每个阈值通过事件之后获得的每个第一次返回时间的时间序列总是突发持续时间或突发间持续时间。此外，几乎可以肯定的是，在每个脉冲周期之后，会出现脉冲间周期，反之亦然。此外，如本文后面所示，如果模型相对于所选阈值对称，则突发和突发间持续时间的分布是一致的（实际上也与第一次返回时间分布一致）。由于对称性，对于一维fBm的所有实阈值，其脉冲串和脉冲串间持续时间的PDF重合，可以写成[28，29]p（T）~ 真实航向-2.（12）Hurst参数H，定义幂律PDF H的指数- 2，仅当H=[10，30，38，42]时，与其他一维马尔可夫过程的对应指数一致。当fBm有偏时，T的PDF具有指数截距p（T）~ 真实航向-2经验-TTs公司, （13） 其中，Ts由增量和Hurst参数H的平均值和标准偏差定义。请注意，对于有偏差的fBm，突发和突发间持续时间的PDF将不再一致。

在本文中，我们通过求解以下迭代方程来生成biasedfBm时间序列：xi+1=xi- γxit+ξ（H）i(t） 在上述情况下，H.（14）是阻尼系数，而ξ（H）是具有赫斯特指数H的分数高斯噪声。在这种情况下，分数高斯噪声是通过使用[22]中介绍的近似循环方法生成的。在之前的工作中，仅在分析上考虑了SDE（9）的突发持续时间【31】。也就是说，在【31】中，我们已经证明了SDE（9）可以转化为贝塞尔过程。这被用来获得脉冲持续时间PDF的近似值，因为贝塞尔过程的首次通过时间分布的一些公式是众所周知的。得到的脉冲串持续时间PDF的渐近行为由p（ν）hx（T）给出~ T-3/2，对于0<T(η - 1） h2（η-1） xjν，1，（15）p（ν）hx（T）~特克斯普-(η - 1） h2（η-1） xjν，1T！，对于T(η - 1） h2（η-1） xjν，1。（16） 这里，ν=λ-2η+12(η-1） ，jν，1是第一类贝塞尔函数的第一个零。式（15）中指数为3/2的幂律行为与一维随机过程中首次通过时间的一般理论一致【10,30】。如前几节所述，时间序列的PDF和PSD随着系统状态变量的非线性变换而显著变化。然而，在所考虑的变换下，只要适当变换阈值，第一次返回时间的分布就保持不变。这可能为美国提供一个标准，即如何从经验数据中确定哪个时间序列模型更适合描述具有观察到的长程记忆特性的实际系统，因为在极长持续时间区域内，PDF指数偏离3/2而非截断值的任何偏差都将证明存在真正的长程记忆。因此，我们在此研究由SDE（4）的非线性转换生成的时间序列的统计特性，转换率等于。

（6） ，得出SDE（8）。101103105f10-810-510-2S（f）（a）101103105f（b）10-510-310-1T10-510-2101104p（T）（c）10-410-2100T（d）图4：通过数值求解等式（8）（（a）和（c））生成的时间序列的PSD（（a）和（b））和脉冲持续时间PDF（（c）和（d））与通过求解等式（14），（（b）和（d））获得的具有松弛时间序列的fBm获得的时间序列的PSD（（a）和（b））和脉冲持续时间PDF（（c）的比较。fBm参数集：γ=2（所有情况），H=0.1（红色曲线），0.2（绿色曲线），0.3（蓝色曲线），0.4（品红曲线），0.5（青色曲线）。选择式（8）的参数，得出H=（β）的值- 1） /2与fBm相同：α=2，ε=0.6（红色曲线），1.2（绿色曲线），1.8（蓝色曲线），2.4（品红曲线），3（青色曲线），我们在图4中通过对T的signalPSD和PDF的数值比较，证明了fBm和SDE的这种明显区别。如子图（a）和（b）所示，我们选择了两个模型的参数，以获得类似的PSD（具有相同的指数β）。然而，突发持续时间的PDF对于所考虑的模型（子图（c）和（d））是不同的。虽然突发持续时间PDF在这两种情况下都是幂律，但指数不同。对于SDE（8）的情况，我们在所有情况下都有相同的指数，常数为3/2，正如等式所预测的那样。(15). 而对于fBm情况，我们有不同的指数，这与预测一致，2- H、 根据公式（12）。这两种情况下都存在指数切割效应，因为模型是均值回复模型。因此，对经验时间序列中的脉冲和脉冲间持续时间进行统计分析，可以揭示经验时间序列中是包含真正的长程记忆，还是源于非线性马尔可夫随机过程的虚假记忆。有必要更精确地定义具有模仿行为的描述代理系统中突发和突发间持续时间的统计特性，这些行为在真实社会系统中可能是可恢复的[20]。在图中。

5我们给出了具有不同阈值hx的脉冲串T和脉冲串间θ持续时间的PDF数值计算。我们的数值模拟证实了关于阈值hxon（中点hx=0.5两侧）的爆发和爆发间持续时间统计的模型对称性，其中T和θ的PDF重合。请注意，基本幂律3/2适用于所有阈值，但脉冲串和脉冲串间持续时间具有不同的幂律截断位置。更精确的分析证实，先前推导的指数形式方程式（12）很好地描述了脉冲持续时间T的PDF切割。脉冲间隔持续时间的影响具有类似的指数形式，但位置与中点的偏差成正比。这种模仿行为模型的观察到的幂律特性源自其他地方广泛研究的非线性SDEs方程（9）的幂律特性【26,40,43】。请注意，这些特性与图5有着密切的关系：对于各种阈值，hx=0.6（a）、0.7（b）、0.8（c）、0.9（d）、0.4（e）、0.3（f）、0.2（g）和0.1（h），通过用等式（6）给出的u来求解SDE（4）得到的时间序列的脉冲群（红色圆圈）和脉冲群间（蓝色方块）持续时间的PDF。数值模拟中使用的参数集：α=2，ε=ε=0。实心黑线根据幂律3/2引导眼睛。随着非广义统计力学和广义熵概念的迅速发展[44,45]。4结论普遍认为，金融市场波动性和交易活动的波动表现出缓慢的自相关性和所谓的1/f噪声【46–49】。关于这种慢衰减是否对应于长程记忆的讨论仍在进行中。一般而言，统计分析无法提供有关财务中是否存在长程记忆的确定答案【50–52】。

从我们的角度来看，必须采用异质代理动力学来解释金融时间序列的统计特性【19、20、53】。当然，像金融这样的复杂系统并不是从概念上考虑其他社会系统中的长程记忆问题的最佳起点。因此，在这篇文章中，我们考虑了对具有模仿行为的代理系统的更多抽象定义，从而导致持续的非均衡到随机波动。由维纳噪声驱动的衍生SDE描述了马尔可夫过程，不能被视为适用于具有相关随机增量的长程记忆模型。这种由随机代理系统进行的建模成为由fBm驱动的随机过程的替代。因此，在这两种可能性之间进行选择是理解许多其他复杂系统中观察到的长程记忆特性的基本问题。我们在这里研究的模型是Kirman模型的广义版本，具有代理的成对全局交互，并且与选民模型也直接相关。宏观状态在相互作用的时间尺度上引入的额外反馈使我们能够调整SDE的乘法η，定义比值y=x1的SDE属性-x、 保留了广义方程的对称性，使得这种选择在其他可能的选择中更为可取。从我们的角度来看，这种建模首先适用于金融系统，但对于具有异构代理的其他系统来说，它足够通用，并且在分析上易于处理。在这里，我们通过分析和数值证明，随机变量y的突发和突发间持续时间的PDF是一个幂律3/2，在非常长的持续时间内具有指数截止效应。

我们认为这一特性非常有价值，因为它与fBm过程非常不同，在fBm过程中，第一次通过时间的PDF取决于H，p（T）~ 真实航向-2[28, 29]. 因此，对脉冲串和脉冲串间持续时间的详细实证分析可以作为区分1/f噪声和长程记忆特性两种不同来源的关键。幂律指数3/2的经验证据应被视为虚假记忆，当偏离该指数时，应证明存在真正的长期相关性。从我们的角度来看，金融市场被视为一个具有模仿行为和虚假记忆的社会系统，这些行为和记忆源于非线性的随机动力学【19、20、54】。参考文献[1]M.Ausloos、N.Vandewalle、P.Boveroux、A.Minguet和K.Ivanova，“统计物理在经济和金融主题中的应用”，Physica A，第274卷，229-240页，1999年。[2] R.A.Blythe和A.J.McKane，“遗传学、生态学和语言学中进化的随机模型”，J.Stat.Mech。，第P07018卷，第1-58页，2007年。[3] H.Nishimori，《自旋玻璃和信息处理的统计物理：导论》。牛津大学出版社，2008年。[4] C.Castellano、S.Fortunato和V.Loreto，“社会动力学的统计物理学”，《现代物理学评论》，第81卷，第591-6462009页。[5] S.Alfarano和M.Milakovic，“基于主体的放牧模型中的网络结构和N依赖性”，《经济动力学与控制杂志》，第33卷，第78-922009页。[6] L.Onsager，“晶体统计。i.具有有序-无序转变的二维模型”，Phys。版次：。，第65卷，第3-4号，第117-149页，1944年。[7] R.J.Glauber，“伊辛模型的时间相关统计”，《数学物理杂志》，第4卷，第2期，第294-3071963页。[8] P.Clifford和A.Sudbury，“空间冲突模型”，《生物特征学》，第60卷，第581-5881973页。[9] R.A.Holley和T.M。

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