资本确定误差的稳健风险度量方法研究

事实上，我们已经在项目（iii）的证明中使用了它，并且将继续使用它，不再进一步提及。此外，FX，qi的连续性不是argmin集成为单态的必要条件。例如，对于某些k，取G：=L=0.5和X，其中Q（X=k）=0.5，Q（X>k）=Q（X<k）=0.25∈ R、 那么k=F-1X，Q（0.5）是唯一的最小值，尽管FX，Qis在k处不连续。我们现在根据分位数函数推导出一个解决方案，假设位置x与Q中任何概率度量的成本G和L无关。请注意，该结果排除了R的凸性，因为VaR不是凸风险度量。提案2。在定义1中的符号下，让X∈ L∞对于Qandα（Q）=EQ[G]EQ[G+L]中的任何概率度量，与G和L无关。然后：（i）R（X）=supQ∈Qn公司-F-1X，Q（α（Q））o.（3）（ii）RD（X）=supQ∈Q（等式【G】等式【X】-α（Q）Zα（Q）F-1X，Q（s）ds！）。（4） 证明。（i） 我们发现命题1中的一阶条件对于每个Q都变为∈ QQ（X<X）≤ α（Q）≤ Q（X）≤ x） ，这是有效的，因为等式[G+L]>0。因此，对于x∈ BQ，x是x的α（Q）-分位数。然后得到最小值x∈ 满足该条件的R为{x∈ R:FX，Q（x）≥ α（Q）}=F-1X，Q（α（Q））。将Qleads上的上确界应用于所需结果。（ii）让R=F-1X，Q（α（Q））我们看到，对于每个Q，最小值变成∈ Q： 均衡器（十）- R） +克+（X- R）-L=均衡器（十）- R） G+（X- R）-G+（X- R）-L=等式【G】等式[X]- R+EQ（R）- 十） 1{X≤R}α（Q）=等式【G】等式[X]-α（Q）α（Q）R+EQ（十）- R） 1{X≤R}=等式【G】等式[X]-R+α（Q）等式- （R）- X）+=等式【G】等式【X】-α（Q）Zα（Q）F-1X，Q（s）ds！。最后一步中的期望值和积分值之间的等价性是由于预期短缺的优化公式（也称为条件风险值或平均风险值），例如，参见F¨ollmer和Schied（2016）的命题4.51。通过将SUPREMUM应用于QQ，我们得到了所需的索赔。备注4。

当G=β且L=1时- β、 我们得到了β分位数（VaR）作为解。Werecommend Bellini et al.（2014）了解详情。当FX时，对于任意Q，Qis在α（Q）处连续∈ Q、 we getRD（X）=supQ∈Q-EQ[G]EQ十、- 等式[X]十、≤ F-1X，Q（α（Q））,它通过表示规则期望值和尾部期望值之间的距离，与尾部平均值（ES）偏差直接相关。此外，当Q=Q时，我们可能最终处于G和L为常数的情况。尽管如此，对于qc可以是Q的任何严格子集的一般情况（一个特殊的例子是单态Q={Q}），我们不一定局限于toG和L常量。例如，让A，B∈ F应确保Q（A∩ B） =Q（A）Q（B），对于任何Q，0<Q（A），Q（B）<1∈ Q、 同样，对于somek，设X：=1a，G：=L：=1B+k>0∈ (0, ∞). 然后，关于任何Q∈ Q、 X独立于G和L，而G和L不是常数。关于歧义集，可以选择Q 根据一些先验建立的风险规避参数，在特别意义上Q。另一种可能性是考虑那些概率度量，这些概率度量表示在距离非标称度量P一定距离内绝对连续的信念，如Shapiro（2017）所述。很容易注意到Q Q Q同时包含两个RQ≤ RQ和RDQ≤ RDQ。现在，我们为Qlinked提供了一种特殊的选择，即一致风险度量的双重表示（Sun和Ji（2017）中的次线性预期）。这类泛函具有单调性、平移不变性、正齐性和凸性。现在，我们给出了一个形式化结果，它保证了L中一致风险度量的对偶表示∞.定理1（Artzner等人（1999），Delbaen（2002））。A泛函ρ：L∞→ R是P中的lowersemi连续- a、 s。

有界序列相干风险测度的意义当且仅当它可以表示为ρ（Y）=supQ∈QρEQ[-Y]， Y∈ L∞,其中Qρ Q是一个闭的凸非空集，称为ρ的对偶集。如果Ohm 是有限的，则P中无下半连续性时也是如此- a、 美国感觉。示例1。ρ的可能但不限于以下选择：o预期损失（EL）：该风险度量定义为EL（Y）=E[-Y）]。它是最重要的一个，表示损失的预期值（平均值）。它的对偶集是一个单音qρ={P}，即只考虑基本信念平均值加半偏差（MSD）：该风险度量定义为MSDβ（Y）=-E[Y]+βpE[（（Y- E[Y]）-)], 0≤ β ≤ 1、该风险度量的优点在于其简单性和财务意义。QMSDβ=nQ∈ Q:dQdP=1+β（V- E【V】、V≥ 0，E[| V |]=1表示其对偶集。o预期缺口（ES）：该风险度量定义为ESα（Y）=-αRαF-1X（s）ds，0<α<1。它表示损失的预期值，因为它超出了感兴趣的α-分位数。其对偶集为QESα=nQ∈ Q：dQdP≤αo.ES是使用最多的一致风险度量，是该领域许多表示定理的基础预期风险值（EVaR）：该指标与预期值的概念相联系，由EV aRα（Y）=- arg minx∈RE[α（（X- x） +）+（1- α） （（X）- x）-)], 0 < α ≤ 0.5. 其对偶集为QEV aRα=nQ∈ 问题： a>0，a≤dQdP≤ a1级-ααo.EVaR是唯一的一致性风险度量，除EL外，还具有可引出性最大损失（ML）：这是一个极端风险度量，具有双重集QML=Q，即所有考虑的信念。我们将其定义为M L（Y）=- ess inf Y。自ML（Y）以来，这种风险措施导致了更具保护性的情况≥ ρ（Y）对于任何一致风险度量ρ。公式（1）和（2）可以在Q=Qρ的情况下考虑，其中ρ是一致风险度量。

我们定义了RQρ：=Rρ和RDQρ：=RDρ，以便于记法。下一个命题为RD命题3提供了一个备选公式。设Q=Qρ，其中ρ：L∞→ R是P中的下半连续- a、 s.sensefor有界序列一致风险测度。那么：RDρ（X）=minx∈Rρ(-（十）- x） +克- （十）- x）-五十） ，则， 十、∈ L∞. （5） 证明。结果来自于锡安的极大极小定理，参见锡安（1958），因为映射（x，Q）→ 公式[（X- x） +克+（x- x）-五十] 具有所需的连续性和拟凸性，Qρ是凸的，且x上的优化∈ R可以在一个紧凑的时间间隔内完成，因为X∈ L∞.由于我们将负面结果视为损失，因此需要更正ρ（·）内的符号。3个主要属性我们现在探讨风险和偏差度量的主要属性。我们从与位置X相关的thosein开始，这是风险和偏差度量文献中的实践。提案4。让R：L∞→ R如（1）所示。然后它具有以下性质：（i）单调性：如果X≤ Y，然后R（X）≥ R（Y）， 十、 Y型∈ L∞.（ii）平移不变性：R（X+C）=R（X）- C 十、∈ L∞,  C∈ R、 （iii）正同质性：R（λX）=λR（X）， 十、∈ L∞,  λ ≥ 0.（iv）Lipschitz连续性。（v） 关于P的下半连续性- a、 如果G，L独立于任何X，则s.sense∈ L∞对于任何Q∈ Q、 如果加法Q是一个单态，那么它在P中是连续的- a、 美国感觉。（vi）验收集：R（X）=inf{m∈ R： X+m∈ AR}， 十、∈ L∞, 其中r={X∈ L∞: R（X）≤ 0}=十、∈ L∞: 十、∈ CQ（x） x<0 Q∈ Q=\\Q∈Q\\x<0CQ（x），带CQ（x）=十、∈ L∞: 等式[（G+L）1{X≤x} ]≥ 等式【G】≥ 等式[（G+L）1{X<X}]cProof公司。（i） 修复Q∈ Qand let g，h:L∞×R→ R be为g（X，X）=等式[G1{X≥x}-L1{X<X}]和H（X，X）=等式[G1{X>X}- L1{X≤x} 】。从指标函数的定义来看，h和g在第一个参数中没有减少，在第二个参数中没有增加。现在，让X，Y∈ L∞带X≤ Y然后h（X，X）≤ 任意x的h（Y，x）∈ R

此外，请注意，如果g（X，y）<0且g（X，z）≥ 0，然后是z≤ y、 Thusinf{x∈ R： h（X，X）≤ 0}=inf{x∈ R:g（X，X）≥ 0，h（X，X）≤ 0}.然后，我们从命题1的一阶条件得到thatx*= 最小值arg minx∈需求[（X- x） +克+（x- x）-L]= inf{x∈ R： h（X，X）≤ 0}，y*= 最小值arg minx∈需求[（Y- x） +克+（Y- x）-L]= inf{x∈ R： h（Y，x）≤ 0}.请注意，这些表达式定义得很好，因为根据命题1，argmin集是一个闭合区间。我们必须有x*≤ y*自{x∈ R:h（Y，x）≤ 0}  {x∈R:h（X，X）≤ 0}. 将两侧乘以-1并将最高法院置于Qweget索赔之上。（ii）通过变量变化直接从（1）中的定义中获得。（iii）类似于（ii）。请注意，R（0）=0。（iv）单调性加上平移不变性意味着L的Lipschitz连续性∞例如，参见Delbaen（2012）的推论2。特别是，1是一个有效的Lipschitzconstant。因此，对于任何X∈ L∞即| R（X）|=| R（X）-R（0）|≤ ess sup | X-0 |=ess sup | X |<∞. 因此，R是明确且定义良好的。（v） 设α=EQ[G]EQ[G+L]。命题2意味着R（X）=- infQ公司∈QF公司-在这种情况下，为1X，Q（α）。福林→∞Xn=X，{Xn} L∞我们有F-1X，Q（α）=limn→∞F-1Xn，Q（α）。然后我们得到r（X）=- infQ公司∈Qlimn公司→∞F-1Xn，Q（α）≤ - 画→∞infQ公司∈QF公司-1Xn，Q（α）≤ lim信息→∞R（Xn）。当Q={Q}时，我们有r（X）=- 画→∞F-1Xn，Q（α）=limn→∞R（Xn）。（vi）根据R的性质，我们可以通过AR={X∈ L∞: R（X）≤例如，参见F¨ollmer and Schied（2016）的命题4.6。然后我们就有了thatAR=十、∈ L∞: 最小值arg minx∈需求[（X- x） +克+（x- x）-L]≥ 0,  Q∈ Q=\\Q∈Q十、∈ L∞: 等式[（G+L）1{X≤x} ]≥ 等式【G】≥ 等式[（G+L）1{X<X}]=> x个≥ 0=十、∈ L∞: 十、∈ CQ（x） x<0 Q∈ Q=\\Q∈Q（x）单调性要求，如果一个位置产生的结果比另一个位置更差，那么其风险将更大。

平移不变性确保，如果一个头寸增加了一定的收益，那么其风险将减少相同的数量。正同质性表明风险随头寸大小成比例增加。在这种情况下，ARis是一个包含L∞+And与{X没有交集∈ L∞: X<0}。在命题2的上下文中，我们有thatAR=十、∈ L∞: Q（X<0）≤等式[G]等式[G+L]， Q∈ Q.该集合在Koch-Medina等人（2017）的意义上是剩余不变的，即X∈ ARandX公司-≥ Y-在Y中暗示∈ AR.要看到这一点，请注意Q（Y≤ 0）=Q（Y-≥ 0）≤ Q（X）-≥ 0）=Q（X≤ 0）≤等式[G]等式[G+L]， Q∈ Q、 因此Y∈ AR.备注5。关于P- a、 s.下半连续性，如果argmin设置为任何X的单态，则可以获得∈ L∞. 关于argmin集的这种收敛性，请参见Rockafellar和Wets（2009）中的定理7.33。我们还发现，argmin的最大值集在X中是单音的。其推理与（i）中的推理相似，但考虑了g:L∞×R→ R asg（X，X）=等式[G1{X≥x}- L1{X<X}]和sup{X∈ R:g（X，X）≥ 0}.提案5。让RD：L∞→ R+be如（2）所示。然后它具有以下性质：（i）翻译不敏感：RD（X+C）=RD（X）， 十、∈ L∞,  C∈ R、 （ii）正同质性：RD（λX）=λRD（X）， 十、∈ L∞,  λ ≥ 0.（iii）非负性：适用于所有X∈ L∞, 对于常数X，RD（X）=0，对于非常数X，RD（X）>0。（iv）凸性：RD（λX+（1- λ） Y）≤ λRD（X）+（1- λ） RD（Y）， 十、 Y型∈ L∞,  λ ∈ [0, 1].（v） Lipschitz连续性。（vi）关于P的下半连续性- a、 s.有界序列的意义。如果加法q是一个单态，那么它在P中是连续的- a、 s。

有界序列的意义。（vii）范围优势：o如果G≤ 1，然后是RD（X）≤ supQ公司∈QEQ【X】- ess inf X， 十、∈ L∞.o 如果L≤ 1，然后是RD（X）≤ ess sup X- supQ公司∈QEQ【X】， 十、∈ L∞.o 如果G，L≤ 1，然后是RD（X）≤ess sup X- ess inf X， 十、∈ L∞.（viii）双重表示：RD（X）=supZ∈ZQE[XZ]，其中ZQis是∪Q∈QZ∈ 五十： E【Z】=0，E【XZ】≤ 公式[（X- x） +克+（x- x）-L] x个∈ R 十、∈ L∞.证据（i） 通过改变最小化变量直接得到。（ii）类似于（i）。（iii）自R（C）=-C C∈ R、 我们得到RD（C）=0。如果X不是常数，用abuseof表示法，我们得到 ω∈ Ohm X（ω）6=-R（X）。然后我们得到（X（ω）+R（X））+或（X（ω）+R（X））之间的至少一个-绝对是积极的。因此，RD（X）>0。（iv）考虑任意一对X、Y∈ L∞和任意x∈ R、 然后我们得到每个Q∈ Qthatminx+x∈要求（X+Y- （x+x））+G+（x+Y- （x+x））-L≤ minx，x∈R均衡器（十）- x） +克+（x- x）-L+（Y- x） +克+（Y- x）-L= minx公司∈要求（十）- x） +克+（x- x）-L+ minx公司∈要求（Y）- x） +克+（x- x）-L.通过取Q的上确界∈ Qon在结果不等式的两边，从实线的线性度，我们得到RD（X+Y）≤ RD（X）+RD（Y）， 十、 Y型∈ L∞. 与正同质性（第（ii）项）一起，它意味着RD是一个凸泛函。（v） 对于Lipschitz连续性，请注意RD是有界的，因为对于任何X∈ L∞我们有| RD（X）|≤ supQ公司∈量化宽松X+G+X-L≤ ess supP（最大（G，L））ess supP | X |<∞.此外，从凸性和正齐性两方面来看，我们都知道RD是次线性的，即RD（X+Y）≤ RD（X）+RD（Y））， 十、 Y型∈ L∞.

因此，RD（X）- RD（Y）≤ RD（X- Y）≤ ess supP（最大（G，L））ess supP | X- Y |。通过颠倒X和Y的角色，我们得到| RD（X）- RD（Y）|≤ ess supP（最大（G，L））ess supP | X- Y |。自G，L∈ L∞++确定后，我们得到索赔。（vi）对于任何x∈ R和任意Q∈ Qby主导的收敛我们有一个limn→∞Xn=X，{Xn} L∞有界暗示，对于任何有界序列{xn} R这样limn→∞xn=x，inEQ[（x- x） +克+（x- x）-五十] =limn→∞公式[（Xn- xn）+G+（xn- xn）-五十] 。设{x*Q、 n}是一个序列，其中每个成员都来自Xnunder Q的argmin集。由于{Xn}是有界的，因此也有界{x*Q、 n}对于任意Q∈ Q、 根据Bolzano-Weierstrass定理，如果需要，通过取一个子序列，我们得到了x*Q=limn→∞x个*Q、 nis定义明确。然后我们得到thard（X）≤ supQ公司∈QEQ[（X- x个*Q） +克+（X- x个*Q）-五十] =supQ∈Qlimn公司→∞公式[（Xn- x个*Q、 n）+G+（Xn- x个*Q、 n）-L]≤ lim信息→∞supQ公司∈QEQ[（Xn- x个*Q、 n）+G+（Xn- x个*Q、 n）-五十] =lim infn→∞RD（Xn）。当Q={Q}时，我们还有thatRD（X）=minx∈Rlimn公司→∞公式[（Xn- x） +克+（Xn- x）-L]≥ lim支持→∞minx公司∈需求[（Xn- x） +克+（Xn- x）-五十] =lim supn→∞RD（Xn）。因此RD（X）=limn→∞RD（Xn）。（vii）对于G≤ 1我们有任何X∈ L∞thatRD（X）≤ supQ公司∈量化宽松十、- ess infPXG≤ supQ公司∈QEQ【X】- ess infPX。对于L≤ 1推理类似于（ess supQX-十） L而不是（X-ess infQX）G≤ 1上限是直接结果。（viii）设RDQ（X）=minx∈需求[（X- x） +克+（x- x）-五十] ，则， Q∈ Q、 例如，根据RD的性质、Rockafellar et al.（2006）的定理1和P flug（2006）的主要定理，我们有以下对偶表示：RD（X）=supZ∈ZQE【XZ】，其中ZQ=Z∈ 五十： E【Z】=0，E【XZ】≤ RD（X）， 十、∈ L∞=Z∈ 五十： E[Z]=0， Q∈ Qs。t。

E【XZ】≤ RDQ（X）， 十、∈ L∞= ∪Q∈QZ∈ 五十： E【Z】=0，E【XZ】≤ RDQ（X）， 十、∈ L∞.考虑闭凸包不会改变上确界的事实是由于RD的凸性和下半连续性，可以在Righi（2019b）的命题4.14中验证。翻译不敏感表明，如果我们添加一个常量值，与预期值相关的偏差不会改变。与多元化原则相关的凸性意味着组合头寸的风险小于单个风险的组合。非负性确保仅对非恒定位置存在色散。范围优势对函数使用锐利边界。这些特性使RD成为Rockafellar等人（2006）和P flug and R¨omisch（2007）意义上的广义偏差度量。在命题2的特殊条件下，我们得到了ZQis是∪Q∈QZQ，其中zq=（Z∈ 五十： Z=1-dQdQ！E[G]，Q Q、 dQdQ≤等式[G]等式[G+L]-1).风险/偏差度量文献中的其他非常相关的属性包括∞→ R、 定律不变性：如果FX=FY，则f（X）=f（Y）；共单调可加性：f（X+Y）=f（X）+f（Y），对于X，Y共单调，即（X（ω）- X（ω））（Y（ω）- Y（ω））≥ 0,  ω, ω∈ Ohm. 例如，此类属性与光谱和失真风险/偏差度量的概念直接相关，参见Acerbi（2002）和Grechuk et al.（2009）。直觉是，函数仅取决于随机变量的分布，在极端正关联的情况下，没有差异收益。关于共单调可加性，当Q={Q}是一个单态且X与G和L无关时，它可以被R和Rd满足，因为VaR和ES都具有这一性质。关于定律不变性，由于R和RD都依赖于对X、G和X、L的联合分布，因此我们的方法通常不能令人满意。

事实上，我们必须将联合定律不变性的性质改为FX，G=FY，Gand FX，L=FY，limping intof（X）=f（Y），其中FX，yi是X和Y的联合分布。命题2中的独立情况是一个例外。此外，我们在一组概率测度下的方法与Wang和Ziegel（2018）以及Righi（2019b）的Q定律不变性（基于Q）有关，其中，如果FX，Q=FY，Q， Q∈ Q、 那么f（X）=f（Y）。尽管如此，即使在这种情况下，我们也必须适应联合分配问题。由于这超出了本文的范围，我们将继续进行这方面的研究。我们现在将重点放在风险和偏差度量中成本G和L的影响上。这一点非常重要，因为最小化程序直接取决于此类成本，而非财务状况X。请注意，我们实际上正在考虑定义为G的地图→ RG，L，Q（X），L→ RG、L、Q（X）、G→ RDG、L、Q（X）和L→ RDG、L、Q（X），对于某些固定X∈ L∞.提案6。设R：=RG，L，Q:L∞→ R如（1）所示。那么，对于任何X，它都具有以下属性∈ L∞:（i） G不增L不减。（ii）G和L的有界性。（iii）范数和P的下半连续性-a、 如果FX连续且FX，则G和L的s感官对任何Q都是严格增加的∈ Q、 如果Qi是一个单态，那么它在范数和P上都是连续的- a、 美国感觉。证据考虑功能fQ、gQ、hQ:L∞×L∞×R→ R、 分别定义为fQ（G，L，x）=等式[G1{x≥x}-L1{X≤x} ]，gQ（G，L，x）=等式[G1{x≥x}-L1{X<X}]和hQ（G，L，X）=等式[G1{X>X}-L1{X≤x} 】。然后我们有：（i）类似于命题4中X（项（i））的单调性，注意到，对于任何Q∈ Q、 函数gQ（G，L，x）和hQ（G，L，x）在目标函数中均为非递减函数，在第二和第三个参数中均为非递增函数。（ii）对于固定X∈ L∞我们有RG，L，Q（X）∈ [ess inf X，ess sup X]对于任何G，L∈ L∞++.