资本确定误差的稳健风险度量方法研究

因此，| RG，L，Q（X）|≤ ess sup | X |<∞.（iii）我们关注G的证明。关于L，推理是类似的。在这种情况下，我们从命题1得到argmin集是单态的。我们从P中的lowersemi连续性开始- a、 美国感觉。设AG，Q={x∈ R:fQ（G，L，x）=0}，来自命题1，它是一个单态，因为FX是连续的，FX，Qis严格按照假设递增。此外，我们有{Gn} L∞++和limn→∞Gn=G，表示inlimn→∞AGn，Q=AG，Q。例如，Rockafellar和Wets（2009）中的Theorem7.33保证了arg最小集的这种收敛性。然后我们得到thatg，L，Q（X）=supQ∈Qn公司- minnlimn公司→∞AGn，Qoo≤ lim信息→∞supQ公司∈Q{- 最小AGn，Q}=lim infn→∞RGn，L，Q（X）。当Q={Q}时，我们有thatRG，L，Q（X）=- minnlimn公司→∞AGn，Qo=- 画→∞AGn，Q=limn→∞RGn，L，Q（X）。自L收敛以来∞范数表示P中的收敛性- a、 我们有权利要求。G和L的单调行为是这样一个事实的结果，即或多或少的权重分别被高估或低估。当argmin集为单态时，连续性属性意味着R（X）↑ - G时ess inf X↓ 0表示X的最差可能损失。另一方面，我们假设值R（X）↓ - ess sup X当L↓ 0表示X的最佳可能损失，证实了已确定的单调行为。提案7。设RD：=RDG，L，Q:L∞→ R如（2）所示。那么它对于任何X都具有以下属性∈ L∞:（i） G和L均不递减。（ii）如果QI为单态，G和L均为凹度。此外，我们还得到了（λG+（1-λ） G）、L、Q（X）≥ 最大u∈[0,1]uλRDG，L，Q（X）+（1- u)(1 - λ） RDG、L、Q（X）,RDG，（λL+（1-λ） L），Q（X）≥ 最大u∈[0,1]uλRDG，L，Q（X）+（1- u)(1 - λ） RDG、L、Q（X）, λ ∈ [0，1]，如果Qis是凸集。（三）定额和P- a、 s.G和L中有界序列的下半连续性。如果附加QI是单态，则它在范数和P中是连续的- a、 s。

检测边界序列。证据我们总是把重点放在G上。L的推理非常相似。然后我们有：（i）如果G≥ G、 G，G∈ L∞++, thenEQ[（X- x） +克+（x- x）-L]≥ 公式[（X- x） +克+（x- x）-五十] ，则， x个∈ R Q∈ Q、 由于最小值和上最大值都是单调函数，所以我们有非递减行为。（ii）设G=λG+（1- λ） G对于G，G∈ L∞++, λ ∈ [0，1]和Q={Q}。那么我们就得到了这个rdg，L，Q（X）≥λminx∈要求（十）- x） +克+（x- x）-L+ (1 - λ） minx公司∈要求（十）- x） +克+（x- x）-L=λRDG，L，Q（X）+（1- λ） RDG，L，Q（X）。设q是凸的。我们有f:L∞×Q→ 定义的asf（G，Q）=最小值∈要求（十）- x） +克+（x- x）-L是一个双凹函数（两个参数均为凹函数）。因此，我们得到G=λG+（1-λ） G带G，G∈ L∞++和λ∈ [0，1]Thardg，L，Q（X）≥ λuf（G，Q）+λ（1- u）f（G，Q）+（1- λ） uf（G，Q）+（1- λ)(1 - u）f（G，Q）， Q、 Q∈ Q u ∈ [0, 1]≥ λuf（G，Q）+（1- λ)(1 - u）f（G，Q）， Q、 Q∈ Q u ∈ [0, 1].因此，通过对Q，Q取上确界∈ Qwe getRDG，L，Q（X）≥ λu[RDG，L，Q（X）+（1- λ)(1 - u）RDG、L、Q（X）， u ∈ [0, 1].通过取u的上确界∈ [0，1]，这实际上已经实现，我们得到了索赔。（iii）关于P的下半连续性- a、 通过考虑{Gn}而不是{Xn}，s.sense遵循与命题5中第（vi）项类似的步骤。自L收敛以来∞P中的范数意味着收敛- a、 我们有权利要求。对于RD，由于G和Lare都是惩罚性的，当两种成本都上升时，我们可以观察到更大的值。凹形行为直观地意味着边际成本是不增加的，这在实际问题中听起来很好。关于连续性，当两个极值都是G时↓ 0和L↓ 0发生在RD（X）处↓ 0，与R.4实证说明的模式一致，在本节中，我们展示了考虑真实财务数据的资本确定问题拟议方法的实证说明。我们考虑Q=Qρ，其中ρ指EL、MSD、ES、EVaR和ML。

示例1中描述了这些措施。对于MSD，我们选择β=1来包含所有偏差项。对于ES，α值为0.025；对于EVaR，α值为0.00145。银行监管委员会的最新修订建议将此α用于ES（见巴塞尔银行监管委员会（2013）），对于EVaR，此值与正态分布X的ES0.025非常相似（见Bellini和Di Bernardino（2017））。对于财务状况X，我们考虑标准普尔500美国市场指数乘以100的对数回报率，这是学术研究中使用的金融资产的典型示例。考虑到风险高估（G）和低估（L）的成本，我们考虑了美国的收益率。S、 三个月到期的国库券和美国隔夜伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）。这些利率分别代表一种高流动性的无风险投资，在这种投资中，资本要求的盈余可以安全地使用，而在资本要求不足时，则代表公积金贷款。我们考虑2001年1月至2018年5月的每日数据，N=4376次观察。我们将两种收益率转换为每日频率。在风险度量的估计过程中，我们在一些离散概率空间中定义了对数收益Ohm = （ω，···，ωn），X（ωi）=Xi，i=1，···，n，其中n是观测次数。对于这种方法，我们考虑P（X=Xi）=P（ωi）=n。这导致经验分布和预期分别定义为：FX（X）=nnXi=1{Xi≤x} ，E[x]=nnXi=1Xi。这种经验估计方法称为历史模拟（HS），是一种非参数方法，几乎不对数据进行任何假设。请注意，考虑Qρ是因为在Righi和Borenstein（2018）中使用了β的相似值来估计损失偏差风险度量。

他们的结果显示，与没有偏差的对手相比，偏差惩罚的风险度量表现更好。我们强调，这里我们的目的只是说明我们的方法的适用性。这样，可以考虑风险高估（G）和低估（L）的不同成本。例如，在更不稳定的时期，更激进的利率可以被用作低估的成本。ρ的每个选择如示例1所示。在这种情况下，dQ/dP∈ RnwithdQdP（ωi）=nQ（ωi），i=1，···，n。注意，在这种情况下，任何概率Q相对于P都是绝对连续的。例如，我们有QESα=x=（x，···，xn）∈ [0，1]n:Pni=1xi=1，xi≤nα 我∈ {1，···，n}.根据该规范，我们采用（1）并计算Rρ为：Rρ（X）=maxQ∈Qρ(- 最小值（arg minx∈RNXi=1{[（Xi- x） +Gi+（Xi- x）-Li]Q（ωi）}）。（6） 在这种情况下，由于Qρ是紧致的，因此获得了Qρ上的上确界，因为Ohm 具有精确的尺寸。我们使用以下损失函数将风险度量的结果与风险度量的结果进行比较-xG+（X-x）-和-xG+（X-x）-五十、 我们分别将其命名为Rbρ和Rcρ。这些措施在我们的示例中，因为它们旨在确定最佳资本量，最大限度地减少与风险低估和高估相关的成本。虽然Rbρ没有明确考虑L，但它是-xG+（X-x）-L=1时为L。我们通过公式（6）中的程序计算Rbρ和Rcρ，改变损失函数。我们还将我们的风险度量与资本要求通常考虑的风险度量（aR0.01和ES0.025）以及ML进行了比较。

虽然VaR不是一个连贯的风险度量，但它是目前文献和行业中使用的最常见的风险度量。在图1中，我们展示了所述序列的图解，以及X的分位数概率，表示为Rρ的gg+lf，表示为Rbρ的G，表示为Rcρ的gl，其中ρ=EL。对于此类损失函数，此类数量将以命题2的方式分别作为解决方案，并可考虑用于基准测试。我们分别将它们命名为分位数、分位数和分位数。我们可以注意到，该样本包含动荡期和平静期，如对数收益率波动率集群、价格序列的峰值和底部所示。关于收益率，2008年底其动态发生了巨大变化，可能是由于次贷危机带来的经济变化。为了分离成本的两种不同模式，我们将样本分为两个时期（2001-2008年和2009-2018年）。因此，我们展示了整个样本和两个子样本的结果。我们考虑250个观察值（大约一年的营业日）的滚动估计窗口来计算风险度量，不包括2001年的样本外预测活动。从这个意义上讲，对于样本期内的每一天，我们使用最后250个观察值来计算经验分布和风险度量。在分析图形说明时，还可以观察到成本动态的变化。读者不应混淆我们在ES和ML、QESα和QML（分别产生RES（X）和RML（X）以及预期短缺和最大损失X、ESα（X）和ML（X）下计算的风险度量。概率分布。关于分位数，在第一个子样本中，有一个约46%的稳定演化，接近分布函数的中间。

在第二个子样本中，存在很大的变化，其值代表与更极端损失相关的较小概率，这会影响我们的风险度量值，但不一定影响VaR和ES。因此，我们所做的样本分割是我们分析的一个有趣特征。因为分位数进化与G的日变化率一致，G的值小于1%，即用于计算VaR的分位数。因此，对于这些度量，我们预计与VaR和ES计算的值相比，会有更多的极端损失。关于分位数的概率分布，我们注意到一些特殊性。在第一个子样本中，概率变化约为89%，而在第二个子样本中，概率变化约为57%。然而，在两个子样本中都有大于100%的值，这与概率的预期值相矛盾。我们之所以识别这些值，是因为我们的结构不强制G≤ 五十、 出于保险目的，最初提出的Rcρ成为一个有趣的替代方案，因为其概率分布值更接近上尾而不是下尾。然而，我们感兴趣的是一种风险衡量程序，该程序可以最大限度地降低上述资本确定成本。我们在图2中展示了与对数收益负相关的所有估计风险度量的时间序列图。我们进行符号转换是因为风险度量在损失方面有其价值。结果表明，正如预期的那样，风险度量估计遵循财务状况损失的演变。波动性和损失较高的时期，风险度量值较大。

作为补充，在表1中，我们展示了这些系列的一些描述性统计数据，以及与风险度量相关的成本标准（样本中每日成本的总和），我们通过以下方式获得：成本=TXt=1[（Xt- xt）+Gt+（xt- xt）-Lt]，成本B=TXt=1[-xtGt+（Xt- xt）-],成本C=TXt=1[-xtGt+（Xt- xt）-Lt]，（7）式中，XT是确定的风险度量值在周期t内的预测值，带有修正的负号，t是观察值的样本外数量。Cost，Costband Costcrefer从用于分别计算Rρ、Rbρ和Rcρ的损失函数中获得的模型选择的度量。如表1所示，基于更具攻击性的风险度量的Rρ，即假设ES和ML等值的风险度量，往往显示更高的值。我们的风险度量是很低的VaR和ES，表现出更平滑的行为，这由标准偏差和范围表示，超出了成本标准的较小值。我们之所以能够解释这一点，是因为我们的方法除了考虑过去对财务状况的观察之外，还考虑了低估和高估的成本，而VaR和ES只处理历史状况。关于Rbρ，当使用不同的风险度量时，它们的平均值不会改变，并且与最大损失一致，其中我们通过最坏情况的值量化风险。例如，在整个样本中，ML的平均值=RbEL=RbMSD=RbEV aR=RbML=3.80。还验证了通过三个指标计算的成本标准Rbρ通常与ML的估计值一致。该模式仍保留在子样本中。我们可以通过概率分布中观察到的极值来证明这一点，如描述性统计和分位数的图形说明。我们还观察到，由CostBand Costc计算的成本标准可以采用负值，即不完全填充非负性公理，即使对于收益序列，它们的值也不是零。

我们证明这一点，因为Rbρ和Rcρ考虑了[-xG]比如后悔成本。对于我们的风险度量，这不会发生，因为我们只惩罚与实现结果高于资本要求的金额相关的后悔成本，而不是其总价值。关于我们的子样本，我们保留了结果，但出现了一些差异。我们在第一个子样本中观察到，对数收益率具有高波动性的正趋势。然而，相对于整个样本，风险度量显示出较小且波动性较小的值。与第二个子样本相比，总成本更高。这种模式与产量率有关，在这一时期具有更大的价值，并具有稳定的演变。在第二个子样本中，weinverse处理了所有模式。同样，收益率似乎是主要的决定因素。关于措施的性能，就成本和成本成本而言，除了在双重集合下计算的EL和MSD外，我们的风险措施的结果最好。对于成本B，我们按照预期通过Rbρ获得了较低的成本标准，通常通过Rcρ获得了最高的成本标准。综上所述，这些发现证实了使用整个样本时获得的结果，证明我们的风险措施导致对监管机构建议的风险措施和与我们类似的目的提出的措施的资本决定更加节俭和不那么苛刻。之所以这样解释，是因为他们不仅考虑了所考虑的损失，还考虑了获得机会。5结论在本文中，我们提出了一种风险度量方法，该方法可以从资本确定的高估和低估中最佳地平衡成本。目标是获得使两个成本之和的期望值最小化的真实值。

我们采用了一个robustframework，其中我们考虑了基于一组概率测度的此类极小值和极小值的上确界。我们将我们的方法与一致风险度量的双重表示联系起来，因为我们基于对概率的期望上限。我们对常见的离散概率空间的对偶表示进行了自适应。我们开发了一些理论结果来保证这个问题的解决方案，开发了我们的风险衡量设施，并将由此产生的最低成本描述为偏差衡量。在一个实证例子中，我们使用我们的方法估计资本确定，与同样关注最小化成本的风险度量以及巴塞尔协议和偿付能力协议VaR0.01和ES0.025所暗示的通常资本要求确定相比。结果表明，我们的方法可以降低成本，节省费用。我们的风险度量反映了数据的时间演变，表明了它们的实际效用。我们的结果对其他领域的风险管理有效，例如可靠性、周围环境和健康。在这些领域，正如风险管理日益受到关注和研究的许多其他领域一样，有必要制定衡量程序，平衡过度保护和缺乏保障的成本。考虑将这样一个稳健的优化问题在一组概率上扩展到其他环境中，例如投资组合策略和外部融资，这是有效的。我们还建议将我们提出的方法推广到动态和多元框架。参考Acerbi，C.，2002年。风险谱度量：主观风险厌恶的一致表示。《银行与金融杂志》第26期，第1505–1518页。Artzner，P.，Delbaen，F.，Eber，J.M.，Heath，D.，1999年。一致的风险度量。

MathematicalFinance 9203–228。巴塞尔银行监管委员会，2013年。交易账簿的基本审查：经修订的市场风险框架。咨询文件URL：https://www.bis.org/publ/bcbs265.pdf.Bellini，F.，Di Bernardino，E.，2017年。带预期的风险管理。《欧洲金融杂志》23487–506。Bellini，F.、Klar，B.、M¨uller，A.、Rosazza Gianin，E.，2014年。广义分位数作为风险度量。保险：数学与经济学54，41–48。Bellini，F.，Laeven，R.J.A.，Gianin，E.R.，2019年。动态稳健的Orlicz premia和Haezendonck–Goovaerts风险度量。欧洲运筹学杂志。Bellini，F.，Laeven，R.J.A.，Rosazza Gianin，E.，2018年。稳健的回报风险措施。数学和金融经济学12，5–32。Cont，R.，2006年。模型不确定性及其对衍生工具定价的影响。数学金融16519–547。Delbaen，F.，2002年。一般概率空间上的一致风险测度。金融学和随机学的进展，1-37。Delbaen，F.，2012年。货币效用函数。大阪大学出版社。Dhaene，J.，Goovaerts，M.J.，Kaas，R.，2003年。来自风险度量的经济资本配置。《北美精算杂志》7，44–56。Dhaene，J.、Tsanakas，A.、Valdez，E.A.、Vandu Offel，S.，2012年。最优资本配置原则。《风险与保险杂志》79，1–28。Emmer，S.，Kratz，M.，Tasche，D.，2015年。实践中最好的风险度量是什么？标准措施的比较。风险杂志18，31–60。F¨ollmer，H.，Schied，A.，2016年。随机金融：离散时间导论。第4版，deGruyter。F¨ollmer，H.，Weber，S.，2015年。资本确定风险度量的公理化方法。《金融经济学年鉴》7，301–337。Furman，E.、Wang，R.、Zitikis，R.，2017年。基尼型风险和可变性指标：基尼下跌、资本配置和重尾风险。