资本确定误差的稳健风险度量方法研究

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英文标题：
《On a robust risk measurement approach for capital determination errors
  minimization》
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作者：
Marcelo Brutti Righi, Fernanda Maria M\\\"uller and Marlon Ruoso Moresco
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We propose a robust risk measurement approach that minimizes the expectation of overestimation plus underestimation costs. We consider uncertainty by taking the supremum over a collection of probability measures, relating our approach to dual sets in the representation of coherent risk measures. We provide results that guarantee the existence of a solution and explore the properties of minimizer and minimum as risk and deviation measures, respectively. An empirical illustration is carried out to demonstrate the use of our approach in capital determination.
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中文摘要：
我们提出了一种稳健的风险度量方法，将高估和低估成本的预期降至最低。我们通过对一组概率测度取上确界来考虑不确定性，将我们的方法与一致风险测度表示中的对偶集相关联。我们给出了保证解存在的结果，并分别探讨了极小值和极小值作为风险和偏差度量的性质。本文通过一个实证例子来说明我们的方法在资本确定中的应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> On_a_robust_risk_measurement_approach_for_capital_determination_errors_minimization.pdf (934.81 KB)

2022-6-1 04:54:39 上传

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关键词：度量方法 风险度量 方法研究 风险度 Presentation

关于资本决策误差最小化的稳健风险度量方法Marcelo Brutti Righia*马塞洛。righi@ufrgs.brFernanda玛丽亚·穆勒拉·费尔南达。muller@ufrgs.brMarlonRuoso Morescoamarlon。moresco@ufrgs.braBusiness华盛顿路易斯安那州南里奥格兰德联邦大学商学院，855，巴西阿雷格里港，邮编：90010-460AbstractWe提出了一种稳健的风险衡量方法，可将高估和低估成本的预期降至最低。我们通过对一组概率测度取上界来考虑不确定性，将我们的方法与一致风险测度表示中的对偶集相关联。我们给出了保证解存在的结果，并分别探讨了最小值和最小值作为风险和偏差度量的性质。本文通过一个实证例子来说明我们的方法在资本确定中的应用。关键词：不确定性建模；风险措施；偏差措施；资本确定。1简介自Artzner等人（1999）发表开创性论文以来，数学金融和保险界就提出了从理论角度将风险度量解释为资本确定的兴趣。从那以后，整个文献流都提出并讨论了不同的特征，包括公理集、对偶表示、数学和统计特性。我们建议F¨ollmer and Weber（2015）和F¨ollmer and Schied（2016）最近对这一理论进行回顾。参见Emmer等人（2015）对常见风险度量属性的讨论和比较，包括方差、风险价值（VaR）、预期短缺（ES）和预期风险价值（EVaR）。*通讯作者。

我们要感谢编辑、匿名副编辑和评论员提出的建设性意见和建议，这些意见和建议对提高手册的技术质量非常有用。我们感谢FAPERGS（南里奥格兰德州研究委员会）项目编号17/2551-0000862-6和CNPq（巴西研究委员会）项目编号302369/2018-0和407556/2018-4的财政支持。尽管在这方面进行了调查，但对于一套明确的房地产或实际问题的最佳风险度量，仍然没有达成共识。在这种情况下，可以提出新的风险度量方法，如Righi和Ceretta（2016）、Furman等人（2017）、Righi（2019a）、Bellini等人（2019）和Pichler和Schlotter（2020）。一个可能有趣的风险度量过程可以寻求将资本确定误差最小化，以降低与之相关的成本。从监管的角度来看，风险低估以及由此导致的资本确定低估是主要问题。在这种情况下，资本费用是为了避免意外和未覆盖损失带来的成本。然而，从机构的角度来看，减少风险高估带来的后悔成本也是可取的，因为风险高估会降低盈利能力。基于这一观点，我们提出了一个风险衡量程序，该程序代表了财务状况X的资本确定，该程序将风险高估（对较低收益表示遗憾）和低估（未弥补损失）成本之和的预期值降至最低。在我们的框架中，我们通过正随机变量G（收益）和L（损失）来衡量这两种成本。例如，这些成本可能是指市场上交易的金融利率，甚至是利率变量的函数。

通常，这些成本可以被解释为机会成本，在G的情况下，以类似投资的比率甚至超额资本的无风险比率来衡量；在L的情况下，如果低估以弥补意外损失，则以从银行或其他债务来源借款来筹集资金的成本来衡量。更具体地说，我们的目标是最大限度地减少x∈ R（X）的期望值- x） +克+（x- x）-五十、 项（X（ω）-x） +G（ω）表示x的实现结果优于资本要求，盈余可按成本G投资。类似地，（x（ω）- x）-L（ω）与资本储备不足以弥补损失的情况有关，其中差异必须以成本L提高。因此，在本文中，我们对学术文献和金融业都有四点贡献：（i）我们考虑的损失函数类型没有考虑到这一目的。从这个意义上讲，Laeven和Goovaerts（2004）以及Goovaerts et al.（2005）探讨了一种更类似于-xG+（X- x）-. Dhaene et al.（2003）、Goovaerts et al.（2005）和Goovaerts et al.（2010）提出的损失函数与-xG+（X- x）-五十、 值得一提的还有Zaks等人（2006年）、Dhaene等人（2012年）、Xu andHu（2012年）和Xu and Mao（2013年）的著作，以及其他关于这一主题的研究。这类研究还侧重于最小化上述成本，以获得最佳资本额。术语-xG是指将初始资本x放在一边，而不是投资于具有回报的金融工具的成本，在这些研究中，这不是一个随机变量。这与我们的框架中的遗憾或高估成本不同，因为（X- x） +G的实现不是先验的。在我们的案例中，我们只惩罚超过资本决定的超额价值的后悔成本。

因此，我们更关注风险度量错误。如果确定的资本（风险度量）正是我们弥补损失所需的货币价值，那么就没有理由处罚。另一方面，这些工作大多侧重于从其业务部门确定金融公司总资本的最佳构成。我们强调，最初提出这种方法是为了确定保险分析的经济资本。（ii）我们提供的结果保证了与我们的风险度量相关的优化问题的解决方案，开发了它所能满足的属性，并将由此产生的最低成本描述为Rockafellar等人（2006）意义上的偏差度量。从这个意义上说，我们的方法考虑了一个风险度量，它以随机变量，成本G和L作为参数。除了极少数例外，如最大相关风险度量inR–uschendorf（2006），风险度量的参数是实数。例如，VaR和ES的情况就是这样，其中分位数的重要性水平α∈ （0，1）是参数。实际上，当G=α，L=1时- α、 我们的风险度量与VaR一致，其相关最小值是与预期的标度ES偏差。这种泛化导致了我们所处理的技术难题，如财务状况X与成本G和L之间的依赖性。Rockafellar和Uryasev（2013）的论文涉及由常见优化问题关联的风险和偏差度量，但没有将随机变量作为参数。Bellini et al.（2014）通过最小化不对称损失函数，将广义分位数作为风险度量进行研究，但也不考虑随机变量作为参数。（iii）我们的方法是稳健的，因为我们认为概率测度的上确界是优化问题的上确界。

这是一种最坏情况下的方法，其中泛函对某些特定概率度量的选择不敏感，这些度量表示对世界的特定信念。从这个意义上说，我们与Shapiro（2017）、Righi（2019b）、Bellini等人（2018）以及Guo和Xu（2019）的观点一致。尽管如此，它们中没有一个考虑到我们在研究中提到的相同特征，例如随机变量作为参数，最小值作为偏差。此外，我们将我们的方法与一致风险度量的双重表示联系起来，因为我们基于对概率的最高期望。出于模型风险的目的，Cont（2006）使用这种双重表示方案对未定权益定价进行稳健预期。（iv）我们提供了一个考虑真实财务数据的示例，目的是展示我们方法的实用性。从这个意义上讲，我们对常见的离散概率空间的对偶表示进行了调整。然后，我们考虑由我们的风险度量确定的资本要求与为此目的应用的常规风险度量。

结果表明，基于巴塞尔协议和偿付能力协议所建议的典型尾部风险衡量标准，以及基于侧重于最小化过于惩罚性的资本成本的风险衡量标准的资本确定，会导致与我们的方法所获得的风险衡量标准相关的更多成本。关于结构，本文的其余部分分为以下内容：在第2节中，我们展示了我们所提出方法中存在的优化问题解决方案的定义和结果；在第3节中，我们证明了与财务状况和资本确定错误成本相关的风险和偏差度量属性的结果；在第4节中，我们展示了我们的资本确定方法的实证说明；在第五节中，我们对本文进行了总结和总结。2拟定方法内容基于以下符号。考虑任何资产的实值随机结果X（X≥ 0为增益，X<0为损失），在概率空间中定义(Ohm, F、 P）。在P中几乎可以肯定地考虑所有等式和不等式。我们定义X+=最大值（X，0），X-= 最大值(-十、 0）和1作为事件A的指示函数。我们让Q表示由定义的概率度量Q组成的集合(Ohm, F） 该区域相对于P绝对连续，具有Radon-Nikodym导数dQ/dP和Q Qa非空集。此外，等式[X]=ROhmXdQ，FX，Q（x）=Q（x≤ x） 和F-1X，Q（α）=inf{x∈R:FX，Q（x）≥ α} 分别是Q下X的期望值、分布函数和（左）分位数。当下标与P有关时，我们去掉下标∞（Q） ：=L∞(Ohm, F、 Q）是（等价类）Q的向量空间- a、 s.边界随机变量。我们写L∞:= L∞（P） 。我们有我∞+和L∞++分别是非负元素和正元素的圆锥体。

我们用Xn表示→ L中的X收敛∞本质上确界范数，而limn→∞Xn=X表示P-a.s.收敛。对于任何Q，我们反复使用以下事实∈ Q未进一步提及：oL∞(Ohm, F、 P） L∞(Ohm, F、 Q）。oess支持≥ ess supQX和ess infPX≤ ess infQX， 十、∈ L∞.o 如果FX是连续的，那么FX，Q， 十、∈ L∞.o 如果Xn→ X或limn→∞Xn=关于P的X，那么对于任何{Xn}的Q也是如此 L∞和X∈ L∞.我们现在将我们的风险计量方法定义为最小化问题的上限，即资本确定错误带来的成本。定义1。让G，L∈ L∞++. 然后：（i）我们的风险度量是一个函数R:L∞→ 定义为：R（X）：=RG，L，Q（X）=supQ∈Q- 最小值arg minx∈需求[（X- x） +克+（x- x）-L]. （1） （ii）我们的偏差度量是功能性的RD:L∞→ R+定义为：RD（X）：=RDG，L，Q（X）=supQ∈Qminx公司∈需求[（X- x） +克+（x- x）-L]. （2） R的负号是保持损失模式。此外，在命题4和命题5中，我们证明了我们的两个泛函事实上是有限的，因此定义良好。将我们的结果推广到一般损失函数f（（X- x） +）G+f（（x- x）-)五十、 与Bellini et al.（2014）中的身份功能相同。我们不追求这一目标，因为我们希望保持特定损失函数的直观含义。备注1。最近强调的一个统计特性是可引出性，它可以在风险预测中对竞争模型进行比较。更多详情请参见Ziegel（2016）及其参考文献。如果函数是某个scorefunction的期望值的argmin，则该函数是可引出的：R→ R+和满足某些属性。例如，平均值和α-分位数在分数以下（x- y） 和α（x- y） ++（1- α） （十）- y）-, 分别地然而，我们的泛函不属于这一类，因为成本G和L是随机变量，不一定是位置X的函数。

可以考虑将分数函数定义为S（x，y）=（x- y） +克（x）+（x- y）-l（x）带g，l:R→ R持有某些财产。然而，我们不追求这样的框架，因为我们的重点正是把G和L看作不严格依赖于X的一般随机变量。很简单，（X- x） +克+（x- x）-L∈ L∞对于任何X∈ L∞和anyx∈ R、 通过将R和rd的域看作P-可积随机变量的Lvector空间，可以发展我们的理论，因为这是一个更大的空间。在这种情况下，我们必须将自己限制在概率测度qp和P-a.s.有界RadonNikodym导数，即dQ/dP∈ L∞. 这样的技术性是为了保证可积性，因为在这些条件下，对于任何Q，我们都可以从H¨older不等式得到等式[（X- x） +克+（x- x）-L]≤E[（X- x） +]ess sup G+E[（x- x）-] ess sup L公司ess sup dQ/dP，这是有限的。我们公开的大多数结果很容易适应这样的框架。现在，我们公开了一个正式的结果，确保最小化问题有一个解决方案。注意（X- x）+≥ （十）- ess inf X）+对于X<ess inf X，和（X- x）-≥ （十）- ess sup X）-forx>ess sup X。因此，当我们在紧致区间[ess inf X，ess sup X]而不是整条实线上进行优化时，最小化问题不会改变，因为我们在∞.提案1。在定义1的符号下，设BQ：=arg minx∈需求[（X-x） +克+（x-x）-五十] 。然后针对每个Q∈ Q： （i）Bq是一个闭合区间。（二）x∈ BQif且仅当x满足以下条件给出的一阶条件等式[G1{X≥x} ]≥ 等式[L1{X<X}]等式[G1{X>X}]≤ 公式[L1{X≤x} 】。（iii）如果FX，Qis在BQ中连续，那么BQ是一个单态当且仅当FX，Qis在BQ中严格递增。证据修复Q∈ Q、 然后：（i）让fX，Q:R→ R定义为fX，Q（x）：=等式[（x- x） +克+（x- x）-五十] 。

很明显，fX，qi是有限的，由于备注2，是凸的，因此是一个连续函数。请注意，fX、Qisproper和level有界。因此，infx∈RfX，Q（x）是有限的，并且设置参数minx∈RfX，Q（x）是非空且紧凑的。此外，由于fX，Qis是凸的，bq是一个区间。（ii）我们必须解决x的一阶条件，以获得使表达式最小化的参数。注意，fX，Qis是凸的。然后是y∈ R是极小值当且仅当0∈-外汇，Qx（y），+外汇，Qx（y）.因此，我们从主导趋同的角度来看-外汇，Qx=等式-[（X- x） +克+（x- x）-L]x个= 均衡器[-G1{X≥x} +L1{x<x}]，和+外汇，Qx=等式+[（X- x） +克+（x- x）-L]x个= 均衡器[-G1{X>X}+L1{X≤x} 】。通过采取-外汇，Qx个≤ 0和+外汇，Qx个≥ 0，我们得到索赔。（iii）注意，当FX时，Qis在x中连续∈ R我们有Q（X=X）=0。然后，（ii）的一阶条件等价于等式G1{X≥x} ]=等式[L1{x≤x} ，可以重写为EQ[G]=EQ[（G+L）1{x≤x} 】。对于if部分，假设存在x，y∈ b随机<y，即bq不是单态。由于FX，Qis在BQ中严格增加，我们得到了Q（y≥ X>X）>0，因此Q（1{y≥十> X}>0）>0。现在，从G，L>0，我们有eq[（G+L）1{y≥十> X}]>0。因此，EQ[G]=EQ[（G+L）1{X≤x} ]=等式[（G+L）（1{x≤y}- 1{y≥十> X}）<等式[（G+L）1{X≤y} 】。因此，y不能满足一阶条件，这是一个矛盾。推理类似于y<x。因此，根据需要，bq是一个单态。对于only if部分，让x∈ BQandFX，Qbe在BQ中是连续的，但在半径r围绕x的半球[x，x+r）中是常数，即FX，Qis在BQ中不严格增加。然后，对于任何x<y<x+r，我们有{x≤x} =1{x≤y} 。因此，EQ[G]=EQ[（G+L）1{X是直接的≤x} ]=等式[（G+L）1{x≤y} 】。因此，y也完全符合一阶条件，BQ不是单态。备注3。第（ii）项一阶条件的等效形式可用，如asEQ[（G+L）1{X≤x} ]≥ 等式【G】≥ 公式[（G+L）1{X<X}]。