评级转换的稀疏结构方法

观察每个这种转变的可能性可以很容易地通过相应CDF的差值获得：       （20） 特殊情况下：（21）然后，最大似然相当于在所有观察到的跃迁中最大化这些跃迁概率的乘积，或者相当于最大化这些概率相对于参数的对数之和,  以及分布参数 （a8单 t分布的参数）。同样，如果可观察的过渡数据（活投资组合）中未包含违约，则要最大化的表达式保持不变。这方面的另外两个特殊情况是条件  和.  具有, 表达式（20）简化为：     （22）从这里开始，通过设置, 我们可以得到PD降低的概率为：   （23）特别是对于对称分布, 在平衡点达到PD减少概率等于50%： （24）由此，PD的均值回复模式也变得明显。像  增加时，PD降低的概率变得更高（对于), 在平衡点达到50%。

第二种特殊情况, 表达式（20）简化为：   （25）从这里开始，通过设置, 我们可以获得PD增加的概率（达到非违约PD最大值），如下所示：  （26）从离散PDs到离散PDs（评级）的转换第三类可用数据包括每个债务人的离散PDs之间的转换, i、 e.从间隔  到某个时间间隔.  在这种情况下，很难精确计算转移概率。首先，分布（未知连续） 间隔时间过长 必须说明原因。其次，这种分配还取决于债务人之前观察到的PD间隔, …, 因此，严格地说，这里的过渡是非马尔可夫的。然而，对于大多数实际目的，可以应用简单的近似值。特别是，对于足够窄的PD间隔，假设 可以制作，并且可以相应地应用（20）。巴塞尔评级体系中可用的过渡数据可能显示出一些特殊特征。在巴塞尔IRB法规（银行资本充足率的内部基于评级的9模型）内开发的评级系统通常通过PD离散化来构建。具体而言，PD空间分为 间隔（通常为10-20）根据评级“主尺度”。每个等级 然后由相应的PD间隔定义, 带额定值  如果连续评级模型PD输出介于 和.

此外，还有一个固定的“分配”PD, 具有, 通常在每个评级级别的主量表中定义（并用于巴塞尔资本要求的实际计算）。过渡数据通常由经验评级过渡矩阵组成。利用这些数据，可以观察到累积计数用于从初始额定值过渡 （在一段时间内)  达到额定值 （下一期） ) 各种义务人。我们使用 对于具有初始评级的债务人 接收评级 在下一个时期。然后，观察计数的可能性可以使用多项式分布计算。特别是对于每个初始评级, 观察计数的概率为：   （27）然后，观察计数（所有初始评级）的总体对数可能性可计算如下：       （28）由于第一和第三条款不取决于, 最大化对数似然等于最大化项. 跃迁概率 可以使用上述结论指定从连续PD到PD间隔的过渡。特别是，指定的额定PD可以用作初始PD，其结果是：     （29）如果指定的PDs 不可用，中值  可以改为应用。这两种特殊情况是过渡到最佳评级级别, 并过渡到最差等级. 这里，（22）和（25）可以相应地应用。

因此，使用经验评级转移矩阵，可以最大化关于参数的对数可能性 和, 以及收益分布的参数. 实际问题和使用典型参数估计我们在许多实际评级转换数据集上估计了拟议模型（包括大约50到1000个评级转换）。从技术上讲，SAS程序NLMIXED用于可能性最大化。这些估计得出了合理的结果。特别是自回归系数 取0.7到0.95的实际值，证实了债务人信誉的均值回复特征的预期。自由度估计器  t分布的平均值在2到5之间，这清楚地表明了隐含回报分布中的厚尾。理论推导的均衡PD（见（24））接近平均投资组合PD。对于所检查的投资组合，MLE收敛速度快且无问题。一年一次的正则化转移矩阵,  和 据估计，可以利用（3）-（5）中的工艺规范，根据已知的当前PD，利用未来PD的分布。对于一年预测, 这种分布很简单，与用于参数估计方程的似然函数等价。特别是，对于评级数据，债务人在一年内属于评级的正则化一年概率 鉴于其当前额定值 可以很容易地按照（29）进行计算：    （30）类似地，最好和最差评级等级的特殊情况。

与观察到的过渡计数不同或观察到的过渡频率,  正则化转移概率提供一些重要的优势：结构稳健性、完整性（正/非零转移概率）和单调衰减概率（水平和垂直）。后一个属性是连续情况下的属性（18）和（19）的结果；在离散化为典型评级区间后，这些属性通常仍然有效。多年预测的多年预测（具有预测范围),  未来违约概率分布的闭式表达式 不存在。原则上，它可以通过确定未来支付能力的分布直接从过程（3）中得出。特别是未来的支付能力可以从当前的支付能力推断  随后的回报为：     （31）因此，它取决于  和 . 假设每个收益的t分布，则该总和的分析分布未知；只能通过模拟进行估计。此外，由于假定的违约吸收性质，债务人将在   （即。)  可能性为 低于0，也无法通过分析得出。由于这些复杂性，也可以建议结构方法采用通过一年过渡矩阵的矩阵幂/指数推导多年信贷指标的常规程序（如引言所述）。

然而，此处使用的一年矩阵应为根据上述（30）所示估计参数得出的正则化矩阵。注意，（30）中的转换矩阵可能具有评级类的任意粒度，可能不同于（29）中用于参数估计的评级转换数据的粒度。事实上，（30）中的11粒度越细，连续过程（31）的多年动态近似值就越精确。最后，从（31）中可以明显看出一些重要性质。特别是, 电流越大  平均来说，未来  是的。由于单调的关系 , 此属性还扩展到PDs。这导致了该过程产生的非交叉远期PD（以及由此产生的非交叉累积PD）的一个重要特性：债务人的初始PD越高，其远期PD越高。宏观经济调整大多数评级模型是混合的，通过周期和时间点特征相结合。IFRS 9通常要求在使用终身PDs时考虑当前和未来的宏观经济状况。自回归参数 在过程中，规范是反映宏观经济形势的自然选择。通过（23）和（26），它直接影响评级上调（PD下调）和评级下调（PD上调）率，这通常被视为衡量宏观经济状况的指标，适用于评级系统。根据几年的混合评级过渡数据，估计参数大致相当于宏观经济状况的长期平均水平。为了说明具体的宏观经济发展，可能需要调整这一参数。可以这样做，例如。

利用（23）和（26）中的关系，通过考虑在这种宏观经济形势下预期的升级/降级率。另一种解释宏观经济状况的可能性是将收益分成两半 作为系统（宏观经济）回报的总和 以及特殊的（特定于债务人的）回报. 经典的基于资产的信贷组合模型（例如，见Vasicek[2002]）使用这种方法，假设回报率分布为正态。然而，对于t分布，分割要困难得多，因为t分布的总和是一个非标准分布（因此，不包括在标准统计数据包中），并且没有分析表示。绩效和附加值：模拟研究与使用经验转移矩阵的天真方法相比，在IFRS 9背景下提出的方法的优势的最终证明在于改进了对小投资组合长期（终身）PD的预测。考虑到这一目的，我们进行了以下模拟研究。首先，生成了一个具有约0.5%中值PD和对数正态PD分布的债务人的大型现实信贷组合，并根据其PD，使用对数构建的评级主量表（20个评级）为这些债务人分配了初始评级。然后，使用流程规范（3）和（5）以及参数，对投资组合中的每个债务人在10年期间的PDs和评级转换以及违约情况进行独立模拟  和使用模拟违约，计算每个初始评级类别的累积10年违约率，并作为其“真实”10年累积PD。然后，预测结构与。

针对观察到的100万个评级转换的大型投资组合，对经验方法进行了比较。特别是，经验评级转换（频率）矩阵首先像往常一样使用队列方法构建。然后，基于该经验矩阵，使用（29）中所述的MLE估计对过程（3）进行拟合。然后，根据估计参数计算结构/正则化的一年过渡矩阵，因为假设一年过渡到默认状态的频率已知，并且等于评级类别的指定PD。12  (30). 然后，从两个一年过渡矩阵（经验和正则化），通过引言中描述的矩阵运算，计算20个初始评级类别中每一个的预测期长达10年的远期PD。下图描述了该大型投资组合的结构/正则化与经验/天真矩阵产生的这些正向概率。经验方法与结构方法产生的一年期远期违约概率预测。X轴：预测期（年），Y轴：由20个初始评级类别的经验转移矩阵产生的前向PD（对数10标度）。经验方法与结构方法产生的一年期远期违约概率预测。X轴：预测水平（年），Y轴下部数字：由20个初始评级等级的结构转换矩阵产生的正向PD（对数10标度）。COL1-6-5-4-3-2-10T1 2 3 4 5 6 7 8 9 10COL1-6-5-4-3-2-10T1 2 3 4 5 6 7 8 9 1013很明显，对于这个大型投资组合，这两种方法通常会产生非常相似的多年PDs。只有在最佳（最低PD）评级级别上才有细微差别。现在，实证与。

对小型投资组合的结构方法进行了比较。为了实现这一目标，从上述大量人群中随机抽取了100个小样本，每个小样本只包含100个为期一年的评级转换。每个样本应代表在小投资组合中观察到的评级转换。对于每个样本，首先构建经验/天真的一年评级转换（频率）矩阵和结构/正规化的一年转换矩阵，类似于大型投资组合。再次，从每个样本的两个转移矩阵中得出多年指标。正如预期的那样，经验方法与结构方法在小型投资组合中表现出显著不同的表现。下图将“真实”10年累积PD与其经验预测值和结构预测值进行了比较，汇总了20个初始评级类别中每个类别抽取的所有100个样本。结构与经验评级转换矩阵在预测10年累积PD方面的表现。X轴：初始评级等级的编号，Y轴：10年PD（对数10标度）。黑线：“真实”（模拟）PD。红色“o”、“+”和“-”线：经验PD预测的平均值、中值和第25/75百分位。绿色“o”、“+”和“-”线：结构PD预测的平均值、中值和第25/75百分位。特别是，对于中等初始评级等级（10-18），这两种方法都是无偏的，因为它们平均产生的PD非常接近“真正的”10年PD。然而，通过100个样本中预测因子的第75和第25百分位之间的距离来衡量，结构预测因子在这里证明更有效（波动性更小）。因此，即使对于中等评级阶层，结构预测值也以更高的概率接近“真实”PDs。

对于更极端的初始评级（5-10、19-20），天真的经验估计员表现出显著的波动性上升以及相当大的预测偏差。结构估计在这里保持无偏和有效。对于抽取的样本中不存在的（初始）评级，假设对角线元素等于100%减去PD，其他元素（违约概率除外）设置为0。PD\\U LOG10-4-3-2-10No5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 19 2014这表明，在小型投资组合中，与天真计算的经验预测值相比，结构正则化预测值具有明显的优势。对于更好的收视率来说，优势似乎尤为明显。直观地说，这些评级的多年PDs主要取决于向更差评级类别过渡的概率，从而取决于评级过渡矩阵的质量。模型扩展可以扩展所提出的模型和估计过程。下面描述了两种可能的扩展。第一个扩展涉及在评级转换中更精确地分配初始评级类别的PD，如果评级类别覆盖较宽的PD间隔，这可能特别有利。第二个扩展修改了流程规范，以应用许多基础简化型PD评级模型（如logit）中使用的链接函数，这也将流程参数的数量增加了一个，因此可能为某些数据提供更大的灵活性。提高评级转换中初始PD的精度本文在（29）中提出了指定评级PD的使用 或中等评级PD  作为PD在额定值之间转换的情况下，初始额定值为R。