评级转换的稀疏结构方法

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英文标题：
《Sparse Structural Approach for Rating Transitions》
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作者：
Volodymyr Perederiy
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In banking practice, rating transition matrices have become the standard approach of deriving multi-year probabilities of default (PDs) from one-year PDs, the latter normally being available from Basel ratings. Rating transition matrices have gained in importance with the newly adopted IFRS 9 accounting standard. Here, the multi-year PDs can be used to calculate the so-called expected credit losses (ECL) over the entire lifetime of relevant credit assets. A typical approach for estimating the rating transition matrices relies on calculating empirical rating migration counts and frequencies from rating history data. For small portfolios, however, this approach often leads to zero counts and high count volatility, which makes the estimations unreliable and unstable, and can also produce counter-intuitive prediction patterns such as non-parallel/crossing forward PD patterns. This paper proposes a structural model which overcomes these problems. We make a plausible assumption of an underlying autoregressive mean-reverting ability-to-pay process. With only three parameters, this sparse process can well describe an entire typical rating transition matrix, provided the one-year PDs of the rating classes are specified. The transition probabilities produced by the structural approach are well-behaved by design. The approach significantly reduces the statistical degrees of freedom of the estimated transition probabilities, which makes the rating transition matrix more reliable for small portfolios. The approach can be applied to data with as few as 50 observed rating transitions. Moreover, the approach can be efficiently applied to data consisting of continuous PDs (prior to rating discretization). In the IFRS 9 context, the approach offers an additional merit: it can easily account for the macroeconomic adjustments, which are required by the IFRS 9 accounting standard.
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中文摘要：
在银行实践中，评级转换矩阵已成为从一年期违约概率（PDs）推导多年期违约概率（PDs）的标准方法，后者通常可从巴塞尔评级中获得。随着新采用的IFRS 9会计准则，评级转换矩阵变得越来越重要。在此，多年期PDs可用于计算相关信贷资产整个生命周期内的所谓预期信贷损失（ECL）。估计评级转移矩阵的典型方法依赖于根据评级历史数据计算经验评级迁移计数和频率。然而，对于小型投资组合，这种方法通常会导致零计数和高计数波动率，这使得估计不可靠和不稳定，还可能产生反直觉的预测模式，如非平行/交叉前向PD模式。本文提出了一种克服这些问题的结构模型。我们对潜在的自回归均值回复支付能力过程做出了合理的假设。只有三个参数，只要指定了评级类别的一年PDs，该稀疏过程就可以很好地描述整个典型的评级转换矩阵。结构方法产生的转移概率在设计中表现良好。该方法显著降低了估计转移概率的统计自由度，这使得评级转移矩阵对于小型投资组合更加可靠。该方法可应用于观察到的评级转换次数不超过50次的数据。此外，该方法可以有效地应用于由连续PD组成的数据（在评级离散化之前）。在《国际财务报告准则第9号》的背景下，该方法还有一个优点：它可以很容易地解释《国际财务报告准则第9号》会计准则所要求的宏观经济调整。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Sparse_Structural_Approach_for_Rating_Transitions.pdf (582.79 KB)

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关键词：Applications Quantitative Transitions Credit Loss QUANTITATIV

1评级转换的稀疏结构方法Volodymyr Perederiy*2020年1月修订，2017年7月第1稿摘要在银行实践中，评级转换矩阵已成为从一年期PDs推导多年违约概率（PDs）的标准方法，后者通常可从巴塞尔评级获得。随着新采用的IFRS 9会计准则，评级转换矩阵变得越来越重要。在此，多年期PDs可用于计算相关信贷资产整个生命周期内的所谓预期信贷损失（ECL）。估计评级转移矩阵的典型方法依赖于根据评级历史数据计算经验评级迁移计数和频率。然而，对于小型投资组合，这种方法通常会导致零计数和高计数波动率，这使得估计不可靠和不稳定，还可能产生反直觉的预测模式，如非平行/交叉前向PD模式。本文提出了一种克服这些问题的结构模型。我们对潜在的自回归均值回复支付能力过程做出了合理的假设。只有三个参数，这种稀疏过程可以很好地描述整个典型的评级转换矩阵，前提是指定了评级类别的一年PDs（例如，通过评级主量表）。结构方法产生的转移概率在设计中表现良好。该方法显著降低了估计转移概率的统计自由度，这使得评级转移矩阵对于小型投资组合更加可靠。该方法可应用于观察到的评级转换次数不超过50次的数据。

此外，该方法可以有效地应用于由连续PD组成的数据（在评级离散化之前）。在《国际财务报告准则第9号》的背景下，该方法还有一个优点：它可以很容易地解释《国际财务报告准则第9号》会计准则所要求的宏观经济调整。关键词：多年、寿命、违约概率、PD、违约率、评级转换矩阵、IFRS 9、预期信用损失、ECL、整个周期、TTC、时间点、PIT、宏观经济调整、时间序列、自回归、会计、金融工具、最大似然估计*Perederiy Consulting（创始人和顾问），感谢Jan Philipp Hoffmann博士和Gerrit Reher博士为本研究做出的鼓舞人心的贡献。3简介评级转换矩阵目前是在只有短期评级数据可用的情况下建模长期信用风险的标准工具。典型的单期评级转换矩阵采用以下形式：从（初始）评级()至额定值()评级1评级2…评级牵引1…2级…………………评级…D此处 代表债务人转变为评级的可能性 鉴于其初始评级,  超过一段时间（通常为一年），且  非默认评级等级。违约通常被视为特殊的评级类别D。对于非违约评级类别，违约转移概率为评级类别的违约概率（PD）。假设从违约到其他评级类别的转移概率为零（因此，违约状态为“吸收”）。

从数学上讲，矩阵与大小成平方 ,  其所有元素均为非负元素 每行保持（初始评级）. 然后，可以通过简单的矩阵运算将单周期矩阵外推到多个周期。特别是，给出了一个为期一年的评级转换矩阵,  Y年转移矩阵  通过将其提高到: （1） Y年累计PDs对于所有初始评级等级 （直到当年发生违约的概率) 然后可以提取为矩阵的最后一列. 根据这些累积的PD，其他多年信用指标可以很容易地计算如下：-到当年的生存概率:  -  本年度边际（无条件）PD: -  本年度远期（有条件）PD:此类多年指标广泛用于各种风险管理/控制目的，如压力测试和风险调整定价。由于新采用的IFRS 9会计准则，多年期指标的重要性最近有所增加，该准则要求计算某些信贷资产整个生命周期内的预期信贷损失（ECL）（见IFRS Foundation【2014】）。通常，相关信贷风险的ECL在技术上计算如下：（2） 在哪里 表示预期暴露寿命（年）， 违约时的预期终身风险敞口，  默认情况下的预期寿命损失，  折扣系数，以及4  当年违约的边际概率.  因此，ECL计算需要了解多年边际PD，该PD可从上述矩阵中得出。

一年过渡矩阵M通常被估计为信贷组合中所有债务人在几年内观察到的年度评级过渡的经验频率（也称为“队列”方法，参见Gerhold等人【2017年】）。另一种流行且略为先进的方法是尝试估计连续时间（瞬时）评级转换率（也称为“发电机”矩阵），并从这些比率中得出一年的转换概率（见Lando和Skodeberg【2002年】）。然而，对于仅观察到几十次评级转换的小型投资组合，由于转换的潜在概率性质，此类经验估值器具有噪音、波动性，并且经常显示频率上的差距（零频率）和单调反转。一种典型的补救方法是，然后使用多种技术中的一种（例如样条线、正态分位数等）平滑经验过渡频率，并在缺乏经验数据的情况下将其插入/外推到评级类别中。本文提出了一种结构性的方法来处理这些与小型投资组合相关的问题，而不是这种技术平滑。因此，整个经验评级转换矩阵被简化为“支付能力”的基本过程，只需要很少的参数。这个过程是随机的，具有均值回归的自回归，这使得它很好地逼近现实。由于只需要几个参数，结构转移估计量比直接经验转移估计量要少得多。然后，观察到的经验评级转换可以被视为该随机过程的实现，因此可以使用最大似然估计（MLE）来估计其参数。

一旦估计了相应的过程参数，就可以很容易地从过程中导出正则化的一年过渡矩阵（作为过渡概率而不是观察到的频率）。模型通用模型规范我们从债务人支付能力（AP）流程的自回归规范开始：   （3） 具有随机、相同和独立分布的回报  以累积分布函数（cdf）为特征 和期望值. 这相当于假设预期AP变化与当前AP水平呈线性关系：       （4） 因此，AP正在恢复其平均值, 平均回复强度由  . 对于支付能力过程是固定的。如果债务人的支付能力低于0，则视为债务人违约。在这种情况下，支付能力可以解释为债务人资产和负债比率的对数；零阈值thusFurthermore，多年期远期PDs通常在IFRS 9中用作识别信贷质量严重恶化的比较标准，从而触发多年期ECL的应用。更一般而言，从统计角度来看，两种方法（队列和生成器）都存在“过度拟合”问题，因为与估计参数的数量（转移概率）相比，可用数据的数量（转移计数）较低。5对应于负债超过资产。

因此，某个时间点的违约概率 可计算如下：  （5） 上述均值回复规范是对债务人资产负债率的一个现实假设：极高的比率不太可能持续，因为它们损害了企业减税和盈利杠杆的优势。极低的比率也很不利，因为对于信用风险非常高的公司来说，业务开展变得很困难。因此，可以假设存在支付能力的某种长期平均/均衡水平；这一水平可能取决于债务人的行业、法律形式和（可能）规模。从（5）中，可以从已知PD推断出隐含的支付能力水平，如下所示： （6） 现在，为了下一个时间点的PD , 它认为：              （7） 如附录所示，（未来）的条件分布, 已知（当前）, 可以通过分析得出。pdf（概率密度函数）为：  （8） 在哪里 代表报税表的pdf, 和帽子操作员() 表示随机变量的值（实现）。cdf（累积分布函数）为：   （9） 或者（对于具有对称密度的收益分布）：  （10） 违约发生的概率 和  是, 如前所述。我们通过设置. 我们还假设违约是一种吸收状态，即。

一旦违约，债务人将在以下期间保持这种状态。这相当于用特殊情况覆盖上述工艺规范：（11） 应注意的是，本AP流程规范对未违约债务人的PD设定了一个自然上限。最大违约概率在一个时间点上实现了, 如果, 当与（5）组合时，等于：（12） 6需要注意的是，上述模型规范对于非零支付能力阈值和回报比例基本不变。因此，阈值和缩放在本模型规范中不提供额外的拟合优势；它们不需要（也不能）从数据中单独估计。收益分布-收益分布累积/cdf函数的选择 （或者密度/pdf函数)  是一个重要的问题。正态分布被证明是不合适的，在这个模型框架中会导致不切实际的转移概率。厚尾分布可以产生合理的评级转移概率（见L"offler[2002]）。在本文中，我们使用单自由度参数的t分布.  它由以下pdf和cdf分发函数描述：      （13） 在哪里 代表gamma函数， 对于超几何函数，以及  用于“自由度”参数。t分布的优点是尾部脂肪度可以由参数控制, 可以是连续的。存在的平均值（期望值） 等于0。差异存在于 和等于 . 分布是对称的。

此外，作为,  t分布收敛于（标准）正态分布。因此，正态收益率分布可以视为该模型规范的特例。最大似然估计给出解析表达式（8）和（9），可以使用最大似然估计（MLE）方法来估计参数。准确的估计方法取决于可用的数据。特别是，我们将区分未离散（连续）PD与离散（评级）PD作为数据可用的情况。我们还将区分数据中未包含违约事件的情况（活投资组合）。连续PD之间的转换在许多情况下，债务人的连续PD是可见的。例如，在离散化之前，概率（例如logit/probit）评级模型输出就是这种情况。在这种情况下，数据可能包括：。每年从 到 对于, 具有 表示债务人和（可能）年数，默认值编码为. 然后，每个转换的可能性对应于pdf值：  （14） 特别是对于阈值 和比例因子, PD定义为 具有  . 所提供的公式仍然有效，除非 替换为术语  7特殊情况下：（15） 然后，MLE对应于所有过渡期间可能性乘积的最大化：（16） 关于自回归参数,  以及分布参数 （单个  t分布的参数）。

通常，概率（对数似然）的对数之和在技术上是最大的，而不是乘积：      （17） 如果违约未包含在可观察的过渡数据（活投资组合）中，则特例（15）不相关，可能性通常对应于pdf（14）除以生存概率  简化后，其结果与（17）中的表达式相同，对数之和最大化。注意，给定 三个估计参数，似然函数（14）是单峰的(-成型）英寸, 可能性最大值达到： （18） 此外，给定 三个估计参数，似然函数（14）在, 可能性最大值达到： （19） 非常接近。这些属性稍后将证明对模型输出有益。从连续PD到PD间隔的转换在这种情况下，观察到的转换是从连续 在里面 至PD间隔 在里面 .