基于时间分解的CGMY过程序贯抽样

然后对流程X进行模拟-L'evy密度νX-（x） 如下所示。因此，CGMY过程X由X+和X之间的差异给出-.由于L'evy过程具有平稳增量的性质，在没有一般性的情况下，我们只需要考虑t＞0时变量X+（t）的模拟。X+（t）的分布是单向倾斜稳定的，即X+（t）d=λ1/YSY，Mλ1/Y，其中λ：=tCΓ（1-Y）/Y和SY，Mλ1/Y是一个指数倾斜的稳定随机变量，具有密度函数myλ-Mλ1/YxgY（x），x>0，其中gY（x）是具有拉普拉斯变换z的单侧Y稳定随机变量的密度∞e-uxgY（x）dx=e-uY，u>0。[10] 提出了一种精确模拟指数倾斜稳定随机变量的双拒绝方法，该随机变量可以在所有参数范围内均匀分布。基于[10]，A.1.4节给出了生成随机变量X+（t）的双重拒绝算法。Y的主要结果∈ （0，2）我们现在转向一般情况，其中CGMY过程可以是有限变量。4.1. 对CGMY时间变化的分解[23]表明，CGMY过程可以表示为一个时间变化的布朗运动，如下所示：X（t）=θt（t）+W（t（t）），（6），其中θ=（G- M） /2，a和W={W（t），t≥ 0}是一个标准的布朗运动，它独立于时间变化从属或t={t（t），t≥ 0 }. [23]确定T的L'evydensity如下：νT（x）=CY/2-1Γ（Y/2）Γ（Y）e-(~θ-θ） x/2x1+Y/2E“扩展-θxγY/2γ1/2！#，（7） 式中，θ=（G+M）/2，γY/2和γ1/2分别是独立的γrando M变量，单位标度和形状分别为Y/2和1/2。以下定理提供了时间变化T的分解，有助于有限和有限变量CGMY过程的路径模拟。定理1。

对于L>0且x ed t>0，在（6）中的时间变化从属项t（t）具有以下分解：t（t）=TL（t）+L（t），（8）其中TL（t）和L（t）是独立的，并具有以下分布特性：（i）TL（t）是具有拉普拉斯指数的广义伽马卷积随机变量-日志Ee-uTL（t）=eCLY/2YE[对数（1+uR）]，其中u>0，eC：=tC2Y/2-1/Γ（Y），随机变量R由R：=GM+～θR+Z给出，其中R：=γY/2/γ1/2独立于Z，其具有概率密度函数fZ（Z）=Y l-2012年2月2日-1, 0 ≤ z≤ L（ii）标准化L（t）具有标准正态极限分布，如L→ ∞, i、 e.，L（t）- E（L（t））pVar（L（t））d→ N（0，1）。特别是，E[L（t）]≤eC（1- 是/2）L2-Y+eC（2- 是/2）L2-是/2。（9） 从（9）中，我们可以看到L（t）=Op（1/L1-Y/2）和L是控制误差大小的误差参数。因此，我们可以选择一些大的L，使得L（t）可以忽略不计。然后，我们可以使用TL（t）的样本来近似t（t）的样本，因为我们可以完美地模拟TL（t）。在第5.1节中，我们证明了TL（t）的精确模拟是可能的。在介绍模拟方法之前，我们首先在下一节中提供定理1的证明。4.2. 定理1的证明如下：在定理1中，为了清楚起见，我们删除：=tC2Y/2-1/Γ（Y）和R：=γY/2/γ1/2，其中γY/2和γ1/2是独立的γ随机变量，如（7）所示。对于u>0，设ДT（T）（u）：=-日志（E[E-uT（T）]）表示T（T）的L面指数。

我们有φT（T）（u）=tCY/2-1Γ（Y/2）Γ（Y）Z∞(1 - e-ux）e-(~θ-θ） x/2x1+Y/2HE-θRx/2idx=tCY/2-1Γ（Y/2）Γ（Y）E“Z∞(1 - e-ux）e-(~θ-θ+～θR）x/2x1+Y/2dx#=eCEZ∞(1 - e-ux）xZ∞e-~θ-θ+～θR+zxzY/2-1dz dx=eCZ公司∞E“log1+uИθ-θ+～θR+z#z1级-Y/2dz。对于L>0，可将ДT（T）（u）写为：ДT（T）（u）=eCZLE“log1+uмθ-θ+～θR+z#z1级-Y/2dz |{z}ДL，1（u）+eCZ∞LE“log1+uИθ-θ+～θR+z#z1级-Y/2dz |{z}ДL，2（u）。这意味着T（T）可以分解如下：T（T）=TL（T）+L（T），其中TL（T）独立于L（T）。ДL，1（u）和ДL，2（u）分别是TL（t）和L（t）的拉普拉斯指数。首先，对于一些代数，可以将ДL，1（u）重写为ДL，1（u）=eCLY/2YE（E“log1+uИθ-θ+～θR+Z！Z#）=eCLY/2YE[对数（1+uR）]，其中Z与R无关，概率密度函数fZ（Z）=Y L-2012年2月2日-1, 0 ≤z≤ 五十、 andR=°θ-θ+￠θR+Z=GM+￠θR+Z，其中第二个等式来自￠θ-θ=GM。R分布的支持度为[0，2/（GM）]，因此随机变量R以2/（GM）为界。例如，根据[17]第354页的等式（25），拉普拉斯指数为1（u）的随机变量TL（t）是广义伽马卷积随机变量。第二，定义uL：=eCEZ∞LGM+￠θR+zz1-Y/2dz！和σL：=eCEZ∞LGM+￠θR+zz1级-Y/2dz.（10） uLandσLare fL（t）的平均值和方差。uLandσ的精确评估非常困难。然而，我们可以很容易地找到它们的上限：uL≤eCZ公司∞LzY/2-2dz=eC（1- 是/2）L1-Y/2，同样，eCEGM+～θR+L是/2-22- 是/2≤ σL≤eC（2- 是/2）L2-是/2。因此，我们有LσL→ ∞ 作为L→ ∞.因为LσL→ ∞ 作为L→ ∞, 拉普拉斯指数为ДL，2（u）的随机变量L（t）可以用平均uLand方差σL的正态随机变量来近似。要看到这一点，回想一下，ДL，2（u）=eCZ∞LE“log1+uИθ-θ+～θR+z#z1级-Y/2dz。因此，标准的拉普拉斯指数为（t），即（t）- uL）/σL，由下式得出-uLσL+ДL，2（u/σL）=-uLσL+eCZ∞LE公司日志1 +u~θ-θ+～θR+zσLz1级-Y/2dz。

（11） 通过余数中值形式的泰勒定理，并通过|θ-θ=GM，方程式（11）右侧的第二项可以写成如下ecz∞LE公司日志1 +uGM+￠θR+zσLz1级-Y/2dz=eCZ∞LE公司uGM+￠θR+zσL-uGM+￠θR+zσLz1级-Y/2dz+eCZ∞LE公司3（1+x*)uGM+￠θR+zσLz1级-Y/2dz=uσLeCEZ∞LGM+￠θR+zz1-Y/2dz！-u2σLeCEZ∞LGM+￠θR+zz1级-Y/2dz+eCZ公司∞LE公司3（1+x*)uGM+￠θR+zσLz1级-Y/2dz |{z}余数=uLσL-u+OLσL, （12） 其中x*是介于0和u/（（GM+|θR）/2+z）σL之间的变量，最后一个等式遵循（10）中的定义和以下余数项的近似值ecz∞LE公司3（1+x*)uGM+￠θR+zσLz1级-Y/2dz≤u3σLeCEZ∞LGM+￠θR+zz1级-Y/2dz×LσL=OLσL.用（12）代替（11）中的最后一项，得出以下拉普拉斯指数（L（t）-uL）/σL，-u+OLσL,收敛到-u/2作为L→ ∞, 自LσL→ ∞. 因此，我们证明了L（t）- E（L（t））pVar（L（t））d→ N（0，1），完成定理1的证明。4.3. 误差项L（t）在本节中，我们研究定理1分解（8）中的误差项L（t）。为方便起见，我们在此回顾不等式（9）：E[L（t）]≤eC（1- 是/2）L2-Y+eC（2- 是/2）L2-Y/2，其中EC：=tC2Y/2-1/15英寸（Y）。这个不等式提供了第二个动量fL（t）的上界。请注意，此错误Bound允许使用闭合形式表达式作为错误参数L和模型参数的函数。在保持模型参数和t不变的情况下，对于任何预先规定的小误差公差水平ε>0，可以选择L，以使（9）钻机右侧的两项均小于或等于ε/2。满足此要求的最小（最佳）L由最小值=最大值给出eCε（1- 是/2）！1/(2-Y），eCε（2- 是/2）！1/(2-是/2）.

（13） 如果像（13）中那样选择L，那么根据Jensen不等式，我们得到了| L（t）|≤ ε.因此，要使L（t）可忽略，只需规定误差容限ε，然后选择上面的L=Lminas。当然，ε越小，lmin越大，因此，正如我们将在第5.1节中看到的那样，在使用双CFTP方案模拟TL（t）时，计算效率越高。此外，当ε、t和其他模型参数固定时，Lmin随Y增加，因此，为了达到相同的精度，对于较大的Y，双CFTP方法比对于较小的Y更耗时。当Y接近2.4.4时，情况可能具有挑战性。明确限定逼近CGMY增量的误差，即CGMY增量具有时变表示n（6），即X（t）=θt（t）+W（t（t）），并且根据定理1，时变具有分解t（t）=TL（t）+L（t）。因此，我们可以将CGMY增量写为：X（t）d=θTL（t）+pTL（t）W（1）{z}X（t）+θL（t）+pL（t）W（1）{z}X（t），其中W（1）和W（1）是两个独立的标准正态随机变量，与上述等式右侧的其余随机变量无关。因此，从X（t）进行采样相当于从两个独立变量X（t）和X（t）之和进行采样。基于这一观察结果，我们建议用X（t）的分布来近似X（t）的分布，从中我们可以完美地模拟，因为我们可以完美地从TL（t）的分布中取样，我们将在第5.1节中看到。那么X（t）可以被视为用X（t）近似X（t）的误差（或残差）。通过简单计算，该误差的Lmean（即近似变量X（t）与目标CGMYincrement X（t）之间的距离）如下（| X（t）|）≤ |θE（L（t））+pE（L（t））≤ |θ|ε +√ε、 （14）前提是按照（13）中的方法选择t L。

（14）中的不等式表明，近似变量X（t）和目标CGMY增量X（t）之间的距离上限可以用闭合形式明确表示为模拟时间变化所涉及误差的预先规定公差水平ε的函数。对于需要近似的现有方法，不存在此类闭合形式关系，这些关系对于确定模拟方法不同步骤中涉及的特定误差的公差水平（或等效误差参数）的正确（最佳）选择至关重要，以避免大的模拟偏差或额外的计算成本。从这个意义上讲，与现有方法相比，我们的方法中涉及的错误具有更透明的解释（另请参见（21）之后的讨论）。5、TL（t）的模拟在本节中，我们介绍了两种模拟时间变化的有限广义g amma卷积分量的方法，即TL（t）。一种方法是精确的，另一种方法是近似的。我们证明了近似方案是准确的，并且可以比精确方法更快。这些现有的采样算法在计算复杂度方面决不是最优的，在降低计算成本方面还需要进一步研究。然而，这并不具有前瞻性，也超出了本文的范围，本文的重点是理论概率结果。5.1。完美模拟我们首先解释如何精确采样TL（t）。设τ：=eCLY/2Y。我们在定理1中已经证明，TL（t）是一个广义gamma卷积随机变量，具有Laplace指数τE[log（1+uR）]。

（15） 根据文献[15]，具有拉普拉斯指数（15）的广义伽马卷积随机变量TL（t）具有以下表示（另见文献[17]）：TL（t）d=γτ·dτ（FR），（16）其中γτ独立于dτ（FR），γτ是具有形状τ和单位标度的伽马随机变量，Dτ（FR）（FR表示随机变量R的累积分布函数）是aDirichlet平均随机变量，在以下随机方程中求解随机变量D（见【16】）：Dd=β1，τR+（1- β1，τ）D，（17），其中β1，τ是具有参数值（1，τ）的β随机变量，（17）右侧的随机变量相互独立。在（16）中，TL（t）的模拟简化为ga mma随机变量γτ的模拟，这在大多数标准数值库中都可用，并简化为Dirichlet平均随机变量Dτ（FR）的模拟，我们将在下面详细说明。[11] 设计了一种称为双CFTP（“过去的耦合”）的精确取样器，用于从由以下一般随机方程确定的稳态马尔可夫链分布（D）生成随机数：Dd=BQ+（1- B） D，（18）其中，双CFTP要求可以精确计算随机变量B的密度函数h（·），并且由常数ch>0，0<Q从m到m在[0，1]上限定≤ cQ<∞,Cq为常数，上述方程右侧的随机变量彼此独立。第A.2节给出了从（18）中的D生成随机数的双CFTP算法。在（18）中，当B=β1，τ和Q=R时，我们恢复（17），D的解就是Dirichlet平均随机变量Dτ（FR）。

由于β1的密度函数，τ的形式为h（x）=τ（1-x） τ-1对于x∈ [0，1]和R≤ 2/（GM），在Dirichlet平均情况下，双CFTP格式的要求，即可以精确计算随机变量Bc的密度函数h（·），并从下到[0，1]以常数ch>0和tha t0<Q为界≤ cQ<∞, 当0<τ时，满足cQ=2/（GM）和ch=τ≤ 1、实际上，0<τ≤ 1是双重CFTP方案适用的严格限制。然而，当τ>1时，我们总是可以分解Dτ（FR）asDτ（FR）D=JXj=1γjDτj（FR）γ，其中j是一个整数，τj>0时τ=PJj=1τj，γ=PJj=1γj，γjare独立gammarandom变量具有τjand公共单位标度，Dτj（FR）是具有τjand公共标度变量R形状的独立Dirichletmean随机变量，γjare独立于τj（FR）。[19] 提供J和τjas J=τ+ 1和τj≡ τ/J。因此，要求0<τ≤ 双CFTP中的1对Dirichletmean随机变量和有界尺度随机变量R的模拟没有困难。可以关注τ的范围对使用双CFTP采样器模拟的计算复杂性的影响，因为lar gerτ意味着需要生成更多的随机数。回想一下，τ=2eCLY/2/Y=（2LY/2）tC2Y/2-1/（Γ（Y）Y）。对于固定的t、C和L，τ的分母，即Γ（Y）Y，从下方以Y的严格正常数为界∈ [0，2]，表明τ不会随Y爆炸。因此，模拟的计算复杂性主要取决于L。准确地说，当t和参数C和Y保持不变时，τ随L增加。L通常很大，因为这是确保（8）中的误差项L（t）可以忽略不计所必需的。很容易看出，在保持其余参数不变的情况下，当Y较大时，τ随L增加得更快。5.2.

从第5.1节最后一段和第4.3节的讨论中，我们注意到，对于某些参数，第5.1节中建议的双重CFTP方案可能很耗时，例如，当Y接近2时，而其他参数保持不变。因此，我们需要找到一种替代方法，与双CFTP采样器提供的TL（t）精确模拟相比，该方法可以在几乎不损失精度的情况下显著节省模拟成本。在本小节中，我们将介绍一种用于此目的的近似方法。为了理解近似方案，我们需要注意，（16）中的Dirichlet平均随机变量Dτ（FR）具有以下级数表示：Dτ（FR）D=∞Xi=1BiRi，（19），其中B=频带Bi=Bii-1Yj=1（1- Bj），i≥ 2，Bi，i=1，2，i.i.d.随机变量在分布上是否等于β随机变量β1，τin（17），以及独立的Ri，i=1，2，是i.i.d.随机变量，其分布与定理1中定义的随机变量相同。序列表示法（19）可以看作是【7】中定义Dirichlet平均随机变量和【14】中研究的断条随机概率测度的结果，我们引用了这些概念的完整历史。现在我们准备好介绍近似方案。因为∞i=1Bi=1，随机变量R以2/（GM）为界，例如，在nterms之后截断（19）产生的误差以2/（GM）1为界-nXi=1Bi！。因此，模拟Dτ（FR）的一种解决方案是[12]中的停止时间方法。具体而言，letN：=明尼苏达州（n:2/（GM）1-nXi=1Bi！<|ε，n=1，2，…），（20） 这是一个停止时间，指示（19）f的尾部何时低于一个小阈值（即误差公差水平）～ε。

因此，Dτ（FR）的近似变量DNτ（FR）由DNτ（FR）决定：=NXi=1BiRi。采样DNτ（FR）中的随机数生成非常简单。停止规则（2 0）导致以下距离界限，即exac t而不是Lsense中的距离界限：| DNτ（FR）- Dτ（FR）|≤ ~ε. （21）也就是说，预先规定的误差容限水平|ε精确地给出了用DNτ（FR）近似Dτ（FR）的误差的精确上界。此外，根据（16）中TL（t）的分解，上述近似引入了一个额外的误差，类似于第4.4节中的X（t），用于模拟CGMY增量X（t）。通过与（14）中使用的参数类似的参数，此附加误差可以在Lsense中以|θ|τε为界+√τ ~ε.该方法的计算复杂度取决于（19）尾部的上界，即2/（GM）（1-Pni=1Bi），它与ε一起确定N。通过简单计算，我们发现（19）尾部上界的期望值为2/（GM）1-nXi=1Bi=转基因的τ1 + τn、 （22）意味着平均而言，序列（19）的尾部以指数形式快速减小到零（即，序列以指数形式快速收敛），提供了2/（GM）和τ取中等大小的值。备注1。当我们考虑小时间间隔上增量的模拟时，它与定价（近）连续监测的路径相关期权特别相关，τ通常会产生中等大小的值。在这种情况下，此处描述的近似方法在计算复杂性方面优于双CFTP方法（例如，参见第5.1节和第5.2节，尤其是[19]的注释5.3]）。6、模拟研究在本节中，我们展示了通过模拟了解模拟偏差边界与方法不同步骤中涉及的各种特定误差（或公差水平）边界之间闭合关系的重要性。