基于时间分解的CGMY过程序贯抽样

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英文标题：
《Sequential Sampling for CGMY Processes via Decomposition of their Time
  Changes》
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作者：
Chengwei Zhang, Zhiyuan Zhang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We present a new and easy-to-implement sequential sampling method for CGMY processes with either finite or infinite variation, exploiting the time change representation of the CGMY model and a decomposition of its time change. We find that the time change can be decomposed into two independent components. While the first component is a \\emph{finite} \\emph{generalized gamma convolution} process whose increments can be sampled by either the exact double CFTP (\"coupling from the past\") method or an approximation scheme with high speed and accuracy, the second component can easily be made arbitrarily small in the $L^1$ sense. Simulation results show that the proposed method is advantageous over two existing methods under a model calibrated to historical option price data.
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中文摘要：
我们利用CGMY模型的时变表示及其时变分解，提出了一种新的、易于实现的有限或无限变化CGMY过程序贯抽样方法。我们发现时间变化可以分解为两个独立的分量。虽然第一个分量是一个\\emph{有限}\\emph{广义gamma卷积}过程，其增量可以通过精确的双CFTP（“过去的耦合”）方法或一个具有高速和准确度的近似方案进行采样，但第二个分量可以很容易地在1美元的意义上变得任意小。仿真结果表明，在基于历史期权价格数据的模型下，该方法优于现有的两种方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Sequential_Sampling_for_CGMY_Processes_via_Decomposition_of_their_Time_Changes.pdf (311.67 KB)

2022-6-1 04:58:23 上传

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关键词：Presentation Quantitative Applications composition Computation

基于时间变化分解的CGMY过程序贯抽样张志伟，张志远*上海财经大学统计与管理学院，上海，中国。摘要我们利用CGMY模型的时变表示及其时变分解，提出了一种新的、易于实现的连续采样方法，用于具有有限或有限变化的CGMY过程。我们发现，时间变化可以分解为两个独立的组成部分。虽然第一个分量是一个有限的广义gamma卷积过程，其增量可以通过精确的双CFTP（“过去的耦合”）方法或具有高速和准确度的近似方案进行采样，但第二个分量可以很容易地在Lsense中变小。仿真结果表明，在基于历史期权价格数据的模型下，该方法优于现有的两种方法。关键词：序贯抽样；CGMY流程；双CFTP；期权定价*请将信件发送至：中国上海市国定路777号上海财经大学统计与管理学院张志远（邮编：200433）。电话：（+86）021 6590 4159。电子邮箱：zha ng。zhiyuan@mail.shufe.edu.cn.1.简介自[24]的开创性工作以来，跳跃过程在财务建模中越来越流行（参见，例如[21]和[22]）。[9] 全面阐述了跳跃过程在财务建模中的应用。[5]的CGMY模型是最流行的JumpProcess之一。CGMY过程是一种灵活的定价模型，表现出有限的活动，可以是有限的变化（即稳定性指数0<Y<1）或有限的变化（即稳定性指数1≤ Y<2）。自成立以来，CGMY模型在建模资产收益率和期权价格方面取得了成功。

[5] 根据（基础）股票价格和期权价格校准CGMY模型。他们的实证结果表明，大多数被研究股票的价格过程都是纯粹的跳跃和不确定的活动，不确定和不确定的情况都存在，尽管后者发生的频率较低。CGMY模型的建模灵活性可以理解如下。[23]表明，CGMY过程可以表示为一个布朗运动时间，该时间由一个独立的从属项改变，该从属项通常被称为CGMY过程的时间变化。事实上，在20世纪70年代初，在资产价格建模的背景下，[8]已经引入了时间变化的概念，它可以有效地捕捉到诸如观察到的资产回报分布的厚尾性和偏斜性等程式化的经验事实。[1] 后来，在解释观察到的资产回报的正态性时，将这一想法扩展到通过时间变化对市场信息流动进行建模。在操作估值方面，[6]发现，与其他具有随机波动性的L'evy模型相比，具有随机波动性的CGMY模型在再现波动性倾斜模式方面具有明显的优势。尽管如此，这些极具吸引力的跳跃模型的一个挑战性问题是找到与路径依赖定价相关的顺序抽样（或路径模拟）方法。在有限变化情况下（稳定性指数0<Y<1），可以使用精确的模拟方法。在这种情况下，CGMY增量的密度是单侧稳定随机变量的指数倾斜密度，因此可以应用标准拒绝采样方法。然而，在参数空间的某些区域，简单的拒绝采样会产生较低的接受率。

为了克服简单拒绝方法的这一缺点，[10]开发了一种精确的双r弹射方法，在所有参数范围内具有一致有界的复杂性。在有限变化情况下（其中稳定性指数为1≤ Y<2），所有可用的采样方法都需要近似值。利用时间变化r表示法，[23]通过对CGMY模型的时间变化增量进行顺序采样，开发了CGMY模型的顺序模拟方法。该方法包括两个步骤。在第一种情况下，按照[2]的方法，一个截断并近似Y/2-稳定亚序数序列r表示中小跳跃的贡献。其次，在近似Y/2稳定过程的基础上，进一步应用[26]的拒绝方法，从CGMY模型的时间变化过程中获得（近似）样本。[3] 开发了一种基于傅里叶逆变换和快速傅里叶变换（FFT）计算技术的采样方法。该方法涉及三层近似误差，即通过正则化技术近似CGMY（或CGMY时间变化）增量分布的正则化误差（参见[13]）、截断逆傅立叶变换积分的有限积分域的截断误差和应用FFT技术的离散化误差。在衍生工具的模拟定价中，很难量化和限制蒙特卡罗价格估计的偏差，这些偏差是由上述特定近似误差在整个参数空间内引起的。

【25】开发了一种精确的模拟定价方法，该方法不会在价格估计中引入偏差，通过利用以下事实，即在适当的度量变化下，CGMY过程是一个稳定的过程，其增量可以精确采样；但是，他们的方法不提供对CGMY进程的示例路径的直接访问。在对回溯和障碍期权等路径相关期权进行定价时，[20]最近开发了一种桥接抽样方案（尽管仅适用于有限的变化情况），当与自适应抽样技术相结合时，可以节省模拟成本，当与分层抽样技术相结合时，可以减少方差。该桥抽样方法基于相关概率密度函数的鞍点近似，在产生固定数量的观测值时，成本和精度与现有拒收抽样方法具有等同性可比性。然而，将这种桥接抽样模式扩展到有限变化情况是不平凡的，尚未完成。在本文中，我们为具有有限或有限变化的CGMY模型开发了一种新的且易于实现的序贯抽样方法。正如我们将看到的，我们的方法只涉及一个简单的错误项，它有一个透明的解释。具体而言，基于[23]中所述的CGMY过程的时间变化表示，我们发现，时间变化隶属度可以进一步分解为两个独立的分量，即单位化gamma卷积子序数和误差项。对于第一个分量，有限广义伽马卷积子的增量可以用广义伽马卷积定律来表示[27]提出并研究了[4]。

另见e。g、 ，第351–354页，用于全面审查此类分配和流程。伽马随机变量与另一个独立Dirichletmean随机变量乘积的分布（参见，例如，[15，16]）。虽然伽马随机变量可以通过标准程序生成，但Dirichlet均值r和OM变量可以通过[11]的双CFTP方案进行精确采样。就误差项而言，我们证明了它是有界的，并且在Lsense中的误差项非常小。在模拟Dirichlet均值随机变量时，（精确）双CFTP方法可能会在某些参数范围内有过多的计算预算。为了在几乎不损失精度的情况下降低仿真成本，可以采用近似方案代替doubleCFTP方案。这种近似采样方法利用Dirichlet均值随机变量的一种特殊序列表示，该序列以指数形式快速收敛，允许近似误差轻松保持任意小。我们通过总结我们贡献的以下方面来结束这一部分：o本文的贡献更多地位于理论方面，而非计算方面。我们发现了一种新的路径模拟方法，用于具有有限或有限变化的CGMY过程。

该方法基于CGMY时间变化分解的新概率结果该方法的独特之处在于，不同步骤中涉及的规范的上界允许闭合形式表达式作为模型和错误参数的函数（见（9）、（22）、（14）和第4.3节），更重要的是，它与模拟偏差的界明确相关，模拟偏差的界由以下公式测量：。，近似变量和目标CGMY增量之间的距离（见第4.4节和（21）之后的讨论）然而，现有方法必须在有限变量情况下进行近似计算，但不具备我们方法的上述独特特征。也就是说，对于这些方法，尚不清楚模拟偏差的界限如何与各种特定误差的界限明确相关，而且，这些误差不允许闭合形式的表达式我们方法的上述独特特性很重要。一方面，误差界的闭式表达式导致了最佳误差参数的闭式解。我们使用“模拟偏差”来表示最终想要控制的误差。它与方法不同步骤中涉及的其他特定错误不同。以基于模拟的均值估计为例，人们自然会考虑到真实总体均值与近似变量均值之间的差异所产生的偏差。该偏差由targe t和ApproxiaterAndom变量之间的距离控制。给定预先规定的误差容限水平，而无需采用进一步的数值程序（参见第4.2节，共[3]），这会增加计算预算。

另一方面，在模拟偏差的界限和各种特定错误的界限之间缺乏明确的关系，可能会导致设置产生大偏差的过于乐观（大）的容错水平，或者设置导致计算成本过高的过于保守（小）的容错水平。关于这一点的模拟说明，请参见第6节本文件在计算方面的主要信息是，了解模拟偏差和各种特定错误界限之间的明确关系并不比追求计算效率更重要。我们只需采用现有的算法来模拟时间变化的有限广义gamma卷积分量。当然，进一步降低这些算法的计算复杂度本身具有极大的实际意义，值得进一步研究。尽管如此，从第6.2节中的模拟结果可以看出，在所研究的模型下，我们的近似方案方法在计算速度方面优于两种方法，在实现相同水平的估计精度方面，相比之下。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们简要介绍了CGMY模型和相关的衍生品定价问题。第3节提供了有限变化情况下的精确路径模拟方法，与回火稳定过程相比，该方法在GMY过程中不太常见。第4节给出了关于CGMY时变分解及其概率的主要结果。第5节提供了两种方案，用于模拟时间变化的有限广义gamma卷积分量。第6节致力于数值研究，我们将我们的方法与现有方法进行比较。我们在第7节中得出结论。附录中给出了采样算法。2.

CGMY期权估值模型A CGMY过程X={X（t），t≥ 0}是纯跳跃L'evy过程，X（0）=0，L'evydensityνX（X）=Ce-G | x | x | 1+YI{x<0}+e-Mxx1+YI{x>0}, （1） 其中C>0，G≥ 0，M≥ 0和0<Y<2是四个参数。Y通常被称为稳定性指数。当0<Y<1时（分别为1≤ Y<2），CGMY过程是有限的（分别是有限的）变化。X（t）的特征函数（Y 6=1）如下所示eiuX（t）= 经验值tCΓ(-Y）（G+iu）Y- GY+（M- iu）Y-我的. （2） 风险中性资产价格过程S={S（t），t≥ CGMY模型下的0}定义为asS（t）：=S（0）exp{（ω+r- q） t+X（t）}，（3）其中r是（恒定的）无风险利率，q是资产的连续组合可分割收益率，ω的选择使得贴现资产价格是鞅，或者换句话说，E[exp（ωt+X（t））]=1。这个条件和（2）意味着ω=-CΓ(-Y）（G+1）Y-GY+（M- 1） Y型- 我的,其中M≥ 1以确保E[S（t）]<∞ 对于所有t≥ 0、一般支付f（{S（t），0）的衍生工具合同的当前公允价值c≤ t型≤ T}）成熟度T由c=E[E]给出-rTf（{S（t），0≤ t型≤ T}）]。不同形式的支付函数f（·）对应不同的衍生品合同。如果o necan完美生成，例如，I独立且同分布（I.I.d.）样本路径（S（I））1≤我≤如果是S，则衍生价格c的蒙特卡罗估计如下所示：^c=IIXi=1e-rTf（{S（i）（t），0≤ t型≤ T}）。（4） 让0≡ t<t<t<。

<tn≡ T为离散监测时间，K为履约价格，Ba规定的风险水平；然后，以下提供了四个不同衍生合同的支付函数示例：o欧洲平原va nilla call o pt ion：f（{S（t），0≤ t型≤ T}）=（S（T）- K） +；o浮动罢工回溯调用选项：f（{S（t），0≤ t型≤ T}）=（S（T）- 最大值0≤我≤nS（ti））+；o向上和向内看涨期权：f（{S（t），0≤ t型≤ T}）=（S（T）- K） +{max0≤我≤nS（ti）>B}；o具有离散监控的亚洲看涨期权：f（{S（t），0≤ t型≤ T}）=n+1Pni=0S（ti）- K+.在所有情况下，蒙特卡罗模拟定价减少到模拟（3）中日志返回过程X的增量。在以下部分中，我们将介绍新的顺序采样方案，以模拟CGMY日志返回过程的增量。3、Y的精确方法∈ （0，1）值得注意的是，与回火稳定过程相比，CGMY过程中的精确模拟方案不太熟悉。在本节中，我们介绍了回火稳定过程的精确取样方法如何适用于有限变化情况下的CGMY增量取样。从（1）中，X的CGMY表示有以下差异：X（t）=X+（t）- 十、-（t） ，其中X+={X+（t），t≥ 0}和X-= {X-（t） ，t≥ 0}是两个独立的L'evy过程，L'evy密度νX+（X）=Ce-Mxx1+YI{x>0}和νx-（x） =Ce-Gxx1+YI{x>0}，（5）。当0<Y<1时，指数倾斜稳定分布的精确采样方法可适用于CGMY增量的模拟。观察到，0<Y<1的cgmy过程可以表示为两个具有L'evy密度的独立递增L'evy过程的差异（5）。因此，有必要考虑这些递增正过程的模拟问题，即从属过程。我们以用l′evy密度νX+（X）模拟过程X+为例。