基于时间分解的CGMY过程序贯抽样

我们将我们的方法与[2 3]和[3]的两种代表性方法（以下分别缩写为MY和BK）进行比较，这两种方法需要各种近似。我们将包含双CFTP方案（见第5.1节）的时变分解方法的版本缩写为TCD，将包含近似方案（见第5.2节）的版本缩写为TCD-app。由于在有限变量情况下，近似是不可避免的，而在有限变量情况下，精确的模拟方法是可用的，因此在下文中，我们将只考虑有限变量CGMY模型。6.1. Prerequ i Sites为了更好地理解以下模拟结果，需要了解两种现有方法MY和BK在不同步骤中涉及的特定错误的更多细节。首先，回顾一下[23]中的模拟方法MY依赖于通过剃须（使用[26]中的拒绝方法）构建CGMY时间变化的近似Y/2稳定过程，此外，建立在Y/2稳定过程的大小低于某个阈值（即MY的ε，采用相同的符号[23]）的截断跳跃上。下面列出了与此方法中涉及的错误相关的一些注释。（我的.i）。MY的ε（一个误差参数）是通过控制Berry-Esseen型上界估计值（见[2]的定理3.1）来确定的，目标和近似Y/2稳定分布函数之间的距离在预先规定的公差水平下小于1%。（ii年款）。我的方法中的剃须（或拒绝采样）步骤依赖于运行函数的评估（见[23]的方程式（18））。（iii年款）。

然而，上述Berry-Esseen型上界和截断函数都不允许闭合形式的表达式作为模型和误差参数的函数。因此，求解最优（最大可能）MYε和计算截断函数必须依赖于数值程序，其计算成本可能很大（见[23]第40页最后一段的讨论）。对于具有一组固定模型参数的模拟场景，预计算和制表可以节省计算时间，但对于基于模拟的模型校准，这种节省计算成本的方法不适用。（第四个车型年款）。最重要的是，我们不知道上述错误是如何明确转化为模拟偏差的，这些偏差是通过目标和近似增量之间的距离来衡量的。也就是说，没有将该距离的界限明确与误差参数（即MY的ε）联系起来的闭合表达式。另请参见[3]导言中的讨论。因此，给定模拟偏差的预先规定公差水平，我们不知道MYε的最佳选择。其次，同样地，下面列出了对[3]方法BK中涉及的特定错误的一些担忧。（BK.i）。方法BK涉及正则化误差、截断误差和离散化误差，误差参数分别为D（确定分布函数域的截断）、L（确定傅立叶变换域的截断）和N（确定离散傅立叶变换的离散化间距），采用了[3]的符号。（BK.ii）。上述三个误差的界限通常不允许从表达式中闭合，作为模型和误差参数的函数。

因此，给定预先规定的误差容限水平，搜索误差参数的最佳选择依赖于数值程序。对于具有一组固定模型参数的模拟场景，可以进行预计算和制表，并有助于减少计算负担（见[3]表II）。然而，在基于仿真的模型校准中，这些数值过程所导致的计算成本可能是巨大的。（BK.iii）。最重要的是，我们没有一个关于模拟偏差界和上述特定误差界之间关系的闭合表达式。因此，鉴于模拟偏差的特定公差水平，我们没有帮助确定BK的D、L和N的最佳选择的指南。本研究的目的是证明在模拟偏差测量（如目标和近似CGMY增量之间的距离）上给定预先规定的公差水平时，对误差参数的最佳选择提供明确指导的相关性。

上述要点（MY.iv）和（BK.iii）清楚地表明，方法MY和BK缺乏此类明确的指导，而我们的方法则没有，如第4节中的讨论所示。4、因为我们没有追求我们的方法或其他方法的最佳编码（事实上，我们只是在Peter Tankov的个人网站上为我的方法使用C++代码，并将BK方法的算法直接翻译成C++），更重要的是，这些方法的编码不符合数字过程Peter Tankov网站的URL为：http://w w.proba。朱西厄。fr/pageperso/tankov/第（iii）点（其中只需为MY的ε和（BK.ii）设置一个特殊值）中所述，不同方法之间的计算速度比较是适当的，应该仔细解释，尽管这些代码是在相同的计算环境中实现的。模拟实验在一台配有IntelrCoreTMi5-8400T CPU、1.70 GHz、1.70 GHz和8.00 GB RAM的desktopPC上进行。所有程序都是用C++编程语言编写的，由Microsoft Visual Studio 2010.6.2编译。仿真结果我们现在准备好介绍仿真研究的详细信息。使用的一组模型参数如下：C=0.42、G=4.37、M=191.2和Y=1.0102，这些参数是通过将校准模型的估计结果与期权价格数据进行比较来选择的，IBM是参考文献[5]第327页表3中的基础资产。在不丧失一般性和易于阐述的情况下，我们比较了四种方法（即MY、BK、TCD和TCD app）在基于模拟的X（t）平均值估计中的性能，其中t=1/52年（或一周）。在这种情况下，很容易获得真实平均值asE（X（t））=-tCΓ（1- Y）戈瑞-1.- 我的-1.= -0.0317757，这有助于评估不同的模拟方法。

假设我们生成B i.i.d.样本（eX（t）i）1≤我≤使用四种模拟方法中的一种，然后通过以下样本均值（X（t））：=BBXi=1eX（t）i，（23）给出e（X（t））的估计量be（X（t）），其估计误差包括采样误差（Var（eX（t））/B）1/2和模拟方法中涉及的各种近似引起的偏差。我们使用ex（t）作为四种模拟方法之一生成的变量的通用表示法。eX（t）在分布上接近于X（t）。通过增加蒙特卡罗试验B的数量，采样误差可以任意小，并通过（dVar（eX（t））/B）1/2进行估计，其中dVar（eX（t））：=BBXi=1eX（t）i-bE（X（t））. （24）与X（t）的平均值类似，其方差也允许公式的闭合形式为Var（X（t））=tCΓ（2-Y）（GY-2个以上车型年款-2). 对于我们的方法，由于Var（eX（t））<Var（X（t）），采样误差由（Var（X（t））/b）1/2确定≈ 在本文模型参数设置下，当B=10000时，为0.0004。然而，增加蒙特卡罗试验B的数量无助于减少偏差。我们的挫折=10000。对于方法MY，我们在MYε的不同选择（即跳跃截断阈值）上报告了基于模拟的估计结果。对于方法BK，在三个误差之和（即正则化误差、截断误差和离散化误差）的公差水平（即BKε）的不同选择中产生平均估计值。请注意，对于模型参数的两个特定集合，给定不同的BKε选择，BK的D、L和N的最佳选择是预先计算的，并在[3]的表II中列出。

然而，这两种方法对于在上述模拟偏差上给定公差水平的正确（最佳）误差参数（即MY的ε、BK的ε或BK的D、L和N）的选择没有提供明确的指导。至于我们的方法，从第4.4节（尤其是第（14）节）和随后的讨论（21）中，我们可以很容易地看到，我们对特定误差的公差水平，即ε和ε，精确地控制了上述模拟偏差的大小。因此，给定该偏差的预先规定公差水平，我们知道ε和ε的Optima l（最大可能）选择。我们只报告了ε=τε=10的方法的估计结果-5，这使得n阶mag nit ude的biases大约为10-3（见以下备注2），我们的目标水平。备注2。在使用我们的方法对E（X（t））进行基于模拟的估计时，可以对估计偏差进行比（14）中给出的更详细的分析，并对紧接着的g（21）进行讨论。以第4.4节中的近似误差X（t）=θL（t）+（L（t））1/2W（1）为例，偏差仅由θL（t）引起，因为（L（t））1/2W（1）h为零。θL（t）引起的偏差以|θ|ε为界≈ 0.0009（见（14）），在本模拟研究设置下。在相同的模拟设置中，（L（t））1/2W（1）产生的采样误差为（ε/B）1/2≈3.162e-05与偏差相比可忽略。然而，通常（例如，在估计Var（X（t）），（L（t））1/2W（1）可能会导致偏差。表1总结了模拟结果，在此基础上，我们作出以下评论：o最重要的是，从上述讨论中，我们提前知道ε=τε=10的最佳选择-5导致目标数量级左右的偏差-3.

也就是说，给定一个预先规定的误差公差水平，我们可以有意而非随机地设置ε和ε的值，避免较大的模拟偏差或额外的计算成本。备注2中给出的偏差和采样误差的量级（另请参见脚注e 4）与表1 B面板中报告的采样误差和估计误差一致相比之下，在给定模拟偏差的预先规定公差水平的情况下，所比较的两种方法并没有为MYε和BKε的最佳选择提供明确的指导。可以随机选择MY/BKε，也可以在表1中进行耗时的预计算和制表。从表1的面板A中，一方面，对于MY/BKε（从10开始）的广泛选择-3至10-12） 在研究模型下，我们的方法在估计误差方面优于MY a和BK方法。另一方面，随着MY/BKε的减小，MY和BK方法的计算时间增加。因此，随机选择MY/BKε会有导致较大偏差或额外计算成本的风险从表1面板B中报告的计算时间可以看出，与TCD方法（计算时间为133.999秒）相比，近似方案TCD-app（计算时间为2.878秒）大大减少了计算负担，而没有实质性损失估计精度（就采样误差和估计误差而言）。为了使MY和BK方法达到与我们的方法相同的估计精度水平，应使用表1中较小的MY/BKεthan，但这将导致较大的计算成本。请注意，对于ε=10，theMY方法的计算时间-12已经是141.541秒，这比TCD方法还要大。

ε=10的BK方法-14（表1中未报告）可以实现与我们的方法完全相同的估计精度，采样误差为0.0004148 4，估计误差为-0.0005505，但它比我们的TCD app方法消耗更长的计算时间（21.744秒）。++在此处插入表1++备注3。虽然我们相信，由于信息技术的进步，不同方法的计算复杂性之间的差异最终将变得微不足道，但目前，为所提出的方法设计一种更有效的算法仍然具有重要的实际意义。由于精确的路径模拟方法无法用于有限变化的CGMY过程，因此需要一种既具有透明可解释的近似误差又具有高效设计算法的方法。然而，从第5节可以看出。1–5.2，在整个参数空间上为我们的方法构造一个具有一致有界复指数的模拟算法并不是一个简单的任务，我们将此作为未来研究的一个专题。7、总结要点我们发现了一种新的易于实现的路径模拟方法，用于具有有限或有限变化的CGMY流程。我们的方法基于CGMY过程的时间变化表示，并将其时间变化分解为有限的基因化伽马卷积子和独立的误差项。

在有限变化的情况下，与[23]和[3]的现有路径模拟方法相比，我们提出的方法更具吸引力，因为其近似误差具有更透明的解释，例如。，近似变量和目标CGMY增量之间的距离上限允许闭合形式的表达式，作为特定误差的预先规定公差水平（ε和ε）的函数，见第4.4节和下面的讨论（21）。这有助于选择正确的（最佳）容错级别，避免其他较大的模拟偏差或额外的计算成本。仿真结果支持上述发现，表明在研究模型下，我们的方法优于[23]和[3]的方法。致谢我们非常感谢主编胡明教授、一位助理编辑和两位匿名推荐人的宝贵意见和建设性建议，这些意见和建议有助于论文的改进。他的作品背后的思想来源于教授兰斯洛特·詹姆斯和第二作者之间的一次对话。张志远的研究得到了国家自然科学基金的资助（71301097和91546202）。附录A.算法SA。1、当0<Y<1时，双回程取样器在引入双回程法之前，我们需要以下说明。回想λ：=tCΓ（1- 第3节中的Y）/Y a s。定义γ：=我的λY（1- Y），ξ：=π-1[(2 +(π/2)1/2)(2γ)1/2+ 1], ψ := π-1exp(-γπ/8）（2+（π/2）1/2）（γπ）1/2，w：=ξ（π/（2γ））1/2，w：=2ψπ1/2，w：=ξπ，b：=（1- Y）/Y。

Zolotarev函数A（u）定义为asA（u）：=（sin（Y u））Y（sin（（1- Y）u））1-赖氨酸（u）1.-Y、 0个≤ u≤ π.此外，定义B（x）：=A（x）-(1-Y），0≤ x个≤ π、 和B（0）：=limx↓0B（x）=Y-Y（1-Y）-(1-Y）。从X+（t）的分布生成随机数的算法如下：如果γ，则重复在[0，1]上均匀生成V和W′≥ 1如果V<ww+W当U← |N |/γ1/2，其中N~ 正常（0,1）否则U← π(1 - W′2）如果V<ww+W，则U← πW′else U← π(1 - W′2）在[0，1]上均匀生成fw，设ζ=（B（U）/B（0））1/2，φ=（γ1/2+Yζ）1/Y，z=φ/φ -γ1/（2Y）,ρ=πe-我的λ（1-ζ-2） ξe-γUI{U≥0,γ≥ 1}+ψ(π-U）1/2I{0<U<π}+ξI{0≤U≤π,γ<1}!（1+（π/2）1/2）γ1/2/ζ+zuntil U<π和Z：=fWρ≤ 1组a=a（U），m=（bMλ1/Y/a）Y，δ=（mY/a）1/2，a=δ（π/2）1/2，a=δa=z/a，s=a+a+在[0，1]上均匀地生成V′，如果V′<a/s，则生成N′~ 法线（0,1）和let X′← m级-δ| N′否则，如果V′<（a+a）/s，则在[m，m+δ]上均匀生成X′，否则生成E′~ 指数（1）和let X′← m+δ+E′alet E=-对数（Z）直到X′≥ 0和a（X′）-m） +mλ1/Y（X′）-b-m级-（b）-N′2I{X′<m}-E′I{X′>m+δ}≤ E返回λ1/Y/X′bA。2、双CFTP采样器我们提出了双CFTP算法（参见[18]），用于根据第5.1节（18）中定义的D分布生成随机数。回想一下，B的密度函数h（·）在[0，1]上从下方以常数ch>0和0<Q为界≤ cQ<∞. Let（Ui）i≥1统一m[0，1]随机变量，Q和Q′具有相同的分布。该算法包括以下步骤（a）–（d）：（a）对于i=-1.-2, . . .:继续生成（Ui、Qi、Q′i）并存储（Qi、Q′i），直到UT≤ |QT- Q′T | ch/（2cQ）；（b） 保持T并设置D=QT∧ Q′T+2夸脱/厘米；（c） 对于i=T+1，T+2。