向量值多元条件风险值

除了一致性，从定义（3）来看，很明显，在单变量情况下，CVaR是VaR的保守近似值，如CVaRp（V）≥ 一元随机变量V的VaRp（V）。类似地，预计多元CVaR值不应支配其相应的pLEP，即对于任何η，我们都不应使MCVaRp（X，η）<η∈ 随机向量X的MVaRp（X）∈Rd.根据定义（2），VMCVaRp（X）明显满足该属性。在下一节中，我们将表明，对于一些现有的多元CVaR定义，这可能不是一种情况。3、与本节现有定义的比较，我们简要回顾了文献中的其他多元CVARD定义，并将其与MCVaR的拟议定义进行比较。Merakli，K¨u¨c¨ukyavuz：向量值多变量CVaR 6Pr'ekopa【15】利用定义2.1中给出的MVaR定义作为其多变量VAR定义的基础。使用MVaRp（X）的定义，他们假设结果X是理想的ifX∈[s]∈MVaRp（X）（s+Rd-) （12） 和不需要的ifX∈\\s∈MVaRp（X）（s+Rd-)c、 其中，ACI是集合A的补充。这些定义意味着，如果事件不优于或等于MVaRp（X）中的任何元素，则该事件是不可取的。这里，我们假设setRd-将零向量与VaR的单变量定义包括在同一条线上。假设（12）右侧定义的期望结果集表示为Dp。集合DCPRE表示其补码的结束，这是一组不良结果。定义3.1（Pr'ekopa【15】）随机向量X置信水平p的多变量条件风险值，由MCVaRp（X）表示，定义为asMCVaRp（X）=E【ψ（X）| X∈ Dcp]，其中ψ是一个d变量函数，使得e[ψ（X）]存在。特别是，将[15]中的函数ψ（z）定义为ψ（z）=dPi=1cizi，其中pdi=1ci=1和c≥ 0

这个标量化函数与多准则优化中常用的加权和方法一致，其中ci被解释为准则i的相对权重∈ [d] 。利用条件概率展开式，我们知道E[ψ（X）]=E[ψ（X）| X/∈ Dp]P（X/∈ Dp）+E[ψ（X）| X∈ Dp]P（X∈ Dp），从而得到E[ψ（X）| X/∈ Dp]=P（X/∈ Dp）（E[ψ（X）]-E[ψ（X）| X∈ Dp]P（X∈ Dp））。假设p（X）的概率∈ MVaRp（X））可以忽略不计，该方程可用于估算MCVaRp（X）的值。这种假设在连续分布的情况下是很自然的。对于离散概率分布，它提供了一个近似值。这种定义的一个缺点是，在一些离散的情况下，MCVaRp（X）无法确定与任何p级产出向量相关的风险，我们将在下面介绍。例3.1考虑二元随机变量X∈R支持{（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}。假设所有实现的概率相等，为0.2。对于不同的p值，理想结果集如图1所示为灰色阴影区域。黑色和红色的点分别代表X的实现和PLEP。可以看出，对于每个可能值0.4，X的所有可能实现都是可取的≤ p≤ 0.8. 因此，MCVaRp（X）未定义为0.4级≤ p≤ 0.8.另一个问题是，对于某些η，获得优于ψ（η）的MCVaRp（X）值的可能性∈ MVaRp（X）。考虑以下示例。示例3.2让X∈Rbe支持{（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}的二元随机变量，使得P（X=（1，5））=P（X=（5，1））=0.05，所有其他实现都是同样可能的。在置信水平p=0.9时，我们得到MVaRp（X）={（4，4）}。对于pLEP（4,4），实现（1,5）和（5,1）是不可取的。

对应于该pLEP的MCVaR值为ψ（（3，3）），对于任何递增函数ψ（·），包括【15】中提出的线性函数，该值小于ψ（（4，4））。Merakli，K¨u¨c¨ukyavuz：向量值多变量CVaR 7图1：例3中不同p值的理想结果。据我们所知，Councise和di Bernardino[4]以更低或更高的条件尾部期望（CTE）的名义提出了唯一的向量值替代Pr'ekopa[15]的MCVaR来确定多变量CVaR。给定随机向量X的定义3.2（Cousin和Di Bernardino[4]）∈Rd对于p级的分布函数F，下正态条件尾部期望定义为步骤（X）=E[X | F（X）≥ p] 。（13） 这一定义仅包括在计算多变量CVaR时由pLEP主导或等于pLEP的结果，而Pr'ekopa的MCVaR【15】认为结果至少在一个标准上比所有pLEP更差。这种定义可能存在的一个问题是，它可能会导致一系列保守的不良结果，从而导致风险度量未确定的情况。例如，示例3.1中基于此定义的一组不良结果对于所有置信水平都是空的。我们提出的定义弥补了这一问题，因为在VMCVaR定义中，并非所有但部分标准中超过p分位数的值也被认为是不可取的。接下来，我们将这些风险度量与针对具有单个pLEP的随机变量的简单情况提出的MCVaR定义进行比较。假设我们得到一个随机向量X∈Rdsuchthatη是不确定度水平p下X的唯一pLEP，即MVaRp（X）={η}。

通过这样做，我们确保所有多变量CVaR定义对应于单个向量，因此可以对它们进行比较。此外，我们考虑了用VMCVaRp（X）表示的MCVaRp（X）的向量值适应，其中我们将定义3.1中的标量化函数ψ（X）替换为向量X。特别是，我们定义了MCVaRp（X）=E[X | Xi≥ ηi对于某些i∈ [d] 】。（14） 作为【15】中定义的不良结果的预期向量值。如前所述，这可能导致多元CVaR值占η的主导地位。以下结果也适用于使用相同向量对所有度量进行标量化的情况。我们将定义（13）等效为CTEp（X）=E[X | Xi≥ ηi我∈ [d] 】。注意，在下面的讨论中，当集合VMCVaRp（X）中有一个元素时，我们也将该元素称为VMCVaRp（X）。Merakli，K¨u¨c¨ukyavuz：给定随机向量X的向量值多元CVaR 8命题3.1，使得MVaRp（X）={η}，P（X≤ η） =p，所有s的xs6=η∈ [n] ，其中xsare n<∞ 概率为qs的X的可能实现，以下关系应为VMCVaRp（X）≤ VMCVaRp（X）≤ CTEp（X），当VMCVaRp（X）和CTEp（X）被很好地定义为X证明时。请注意，提案的条件确保风险度量具有可比性。我们考虑的情况是，X的所有风险度量都已明确规定（回想一下，在某些情况下，CTEp（X）和VMCVaRp（X）可能未明确规定）。

由于（14）中定义的VMCVaRp（X）的期望值为X，而VMCVaRp（X）的期望值为max（X，η）（见命题2.1），且命题2.1中给出的条件inVMCVaRp（X）更具限制性，因此我们得到了VMCVaRp（X）≤ VMCVaRp（X）。显示VMCVaRp（X）≤ CTEp（X），我们将CTEp（X）等效为，CTEp（X）=E[最大值（X，η）| Xi≥ ηi我∈ [d] 】。除条件外，两个定义中的第一项是相同的，CTEp（X）条件是用X实现的≥ η、 而VMCVaRp（X）条件是用X实现 η). 因此，这一说法随之而来。总之，我们提出了向量值多元CVaR的新定义，该定义与其单变量CVaR一致。我们将此定义与其他向量值定义进行比较，并显示其优势。然而，我们认识到获取该向量所涉及的计算困难，尤其是在优化设置中使用时。在这种情况下，我们认为[8、10、11、12、13]中的标度化方法提供了对多变量风险的实用而合理的估计。感谢Simge K¨u,c¨ukyavuz和Merve Merakli部分得到国家科学基金会拨款1732364和1733001的支持。参考文献【1】T.Adrian和M.K.Brunnermeier。科瓦尔。《美国经济评论》，106（7）：1705–17412016。[2] P.Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。数学金融，9（3）：203–2281999年。[3] A.堂兄和E.迪贝纳迪诺。风险价值的多元扩展。《多变量分析杂志》，119:32–462013。[4] A.堂兄和E.迪贝纳迪诺。关于条件尾部期望的多元扩张。《保险：数学与经济学》，55:272–2822014。[5] D.Dentcheva、A.Pr\'ekopa和A.Ruszczynski。概率规划中离散分布的凹性和有效点。数学规划，89（1）：55–772000。[6] E。

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