向量值多元条件风险值

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英文标题：
《Vector-Valued Multivariate Conditional Value-at-Risk》
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作者：
Merve Merakli, Simge Kucukyavuz
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this study, we propose a new definition of multivariate conditional value-at-risk (MCVaR) as a set of vectors for discrete probability spaces. We explore the properties of the vector-valued MCVaR (VMCVaR) and show the advantages of VMCVaR over the existing definitions given for continuous random variables when adapted to the discrete case.
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中文摘要：
在本研究中，我们提出了多元条件风险值（MCVaR）的一个新定义，作为离散概率空间的一组向量。我们研究了向量值MCVaR（VMCVaR）的性质，并展示了VMCVaR在适用于离散情况时，相对于现有的连续随机变量定义的优势。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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2022-6-1 05:09:00 上传

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关键词：风险值 Multivariate Optimization Quantitative Applications

美国华盛顿大学西雅图分校Simge K¨u¨ukyavuzIndustrial and Systems Engineering，RiskMerve Merakli的向量值多元条件值。merakli@uw.edu, simge@uw.eduJuly23，2018摘要：在这项研究中，我们提出了多元条件风险值（MCVaR）的新定义，作为离散概率空间的一组向量。我们探讨了向量值MCVaR（VMCVaR）的性质，并展示了VMCVaR在适用于离散情况的连续随机变量的现有定义上的优势。关键词：条件风险价值；多元风险；风险价值1。引言：条件风险价值（CVaR）是一种广泛使用的工具，尤其是在财务优化中，用于评估与特定决策相关的风险。不确定水平的CVaR值是预期结果，因为与至少100%的可能性相比，CVaR值是不利的。阈值对应于p分位数，也称为风险值（VaR）。对于目标是以高概率避免不利结果的情况，VaR是一种合适的风险度量。然而，它并不能衡量不利结果的程度。为了解决这一问题，引入了CVaR来量化意外结果的预期值，并将VaR作为副产品进行计算【16】。CVaR首次作为单变量随机变量的风险度量引入。由于CVaR具有相干性和定律不变性等理想特性，因此它被广泛地应用于优化问题中，以最小化或限制相应决策的风险（参见[16]、[17]、[7]）。然而，在许多现实问题中，决策者感兴趣的是衡量由多个因素而非单一结果引起的风险。

将VaR和CVaR的单变量定义扩展到多变量情况的一种方法是使用标量化向量将随机结果向量转换为标量。然而，标准的相对重要性通常是模糊的。标准之间的权重并不总是可以作为唯一的向量进行量化，因为它们可能会受到决策者群体的不同意见的影响。为了解决这一问题，最近的工作考虑了一种稳健的方法，其中假设可能的尺度化向量集是已知的，并且通常假设为多面体或凸的，并且使用该集中的最坏尺度化向量来尺度化多元随机向量[8、10、11、12、13]。这些论文不仅定义了有限离散分布的多面体多元CVaR的概念，而且给出了当多元随机结果向量是决策函数时的优化模型和求解方法。对于这些风险度量的可计算性，解决方法依赖于真实分布的抽样。在这种情况下，自然会考虑有限的离散分布，并用有限数量的场景进行描述。在本文中，我们引入了向量值风险度量，而无需指定描述可能权重的模糊集，而不是多变量CVaR的标量化实值表示。确定多元CVaR的第一个挑战是确定p分位数（multivariateVaR）。虽然p-分位数对应于单变量设置中的单个实值，但随机向量的p-分位数可能指向多变量上下文中的多个向量。有几项研究解决了这个问题。Pr'ekopa【14】提出了VaR的多元定义，将其作为一组向量，称为pLevel efficient Points（PLEP），而不是任意多元分布的单一值。

Cousinand Di Bernardino[3]提出了一种连续分布情况下的替代方法，即计算单个向量作为多元分位数函数边界面的期望值。另一方面，Torreset等人[18]引入一个方向参数，并计算该方向的多元VaR向量。Di Bernardino等人【6】和Adrian和Brunnermeier【1】还通过对特定标准信息的条件化，提供了多元VaR的单一向量值定义。与单变量情况一样，这些多变量VaR定义只关注产生有利结果的可能性，而不是不利结果的大小。Merakli，K¨u¨c¨ukyavuz：向量值多变量CVaR 2定义多变量CVaR的第二个挑战与多变量情况下不良结果表征的模糊性有关。Lee和Pr’ekopa【9】提供了多元CVaR的单一andreal值定义，如果向量不优于或等于【14】中定义的任何pLEP，则将其归类为不需要的向量。Counse和Di Bernardino[4]提出了一个单一的向量值VaR定义，这样就每个标准而言，至少比一个pLEP更差的实现被认为是不可取的。第3节将讨论这些研究的细节，为多元CVaR提供定义。本研究致力于定义一个向量值多元CVaR，该CVaR专门针对离散变量，而无需描述一组预先描述标准相对重要性的特征。在整个论文中，较小的随机变量值以及较小的风险度量值被认为是可取的。我们提出了多元CVaR的新定义，并在第2节中探讨了其性质。

在第3节中，我们回顾了现有的定义，并说明了它们在有限离散分布情况下的不足。我们表明，我们的新定义克服了这些问题，从而为多元CVaR提供了一个统一的背景。2、多元CVaR我们使用【14】中的多元VaR定义作为多元CVaR定义的p分位数函数。Pr'ekopa【14】使用离散分布情况下的PLEP定义多元VaR。定义2.1（Pr'ekopa【14】）Let X∈Rdbe是一个随机向量，F是它的c.d.F。向量s∈如果F（s），则X的分布的Rdisa pLEP（或有效点）≥ p没有y≤ s、 y 6=s，如F（y）≥ p、 在多变量环境中，可能有多个向量（PLEP）满足上述条件。因此，MVaRp（X）对应于这样的向量集。Dentcheva等人[5]表明，如果X具有有限离散分布，则集MVaRp（X）是有限的。MVaRp（X）元素的查找问题可以看作以下多目标优化问题：VaRp（X）=min v（1a）s.t.P（X≤ 五）≥ p、 （1b）MVaRp（X）中的元素对应于问题（1）的帕累托有效点和联合信道约束。除非P=NP，否则没有多项式时间算法可解（1）。Pr’ekopa【15】回顾了几种枚举指数集MVaRp（X）的算法。如前所述，MVaRp（X）只涉及多变量风险的P分位数。测量与（1）相关的风险程度- p） 多个风险因素的100%最差结果，需要CVaR的多变量模拟。接下来，我们将多元CVaR定义为一组向量，每个向量都与MVaR中的apLEP相关。

在我们的定义中，至少在一个标准上超过pLEP的结果被认为是该pLEP的不可取结果。定义2.2（向量值多元条件风险值）假设X∈RDI是一个随机向量，在置信水平p上有一组pLEPs MVaRp（X）。在水平p上向量值为X的多元CVaR，表示为VMCVaRp（X），定义为，VMCVaRp（X）=Min{MCVaRp（X，η）：η∈ MVaRp（X）}，（2）其中mcvarp（X，η）=η+1- pE[（X- η） +]和[（X- η） +]i=最大值（0，Xi- ηi）对于所有i∈ [d] ：={1，…，d}。定义2.2中的最小运算符确保VMCVaRp（X）的一个元素不受该集合中另一个元素的支配，即VMCVaRp（X）的元素构成有效边界。（在上下文Merakli，K¨u¨ukyavuz：向量值多元CVaR 3中，值越小越好，向量x∈Rdis不受向量y支配∈Rdif yi>xi for somei∈ [d] 。此外，如果yi，x支配y≥ XI所有i∈ [d] .）注意，如果X是一个具有有限离散分布的单变量随机变量，则η=VaRp（X）有一个唯一的元素MCVaRp（X，η），因此不需要Min运算符。为了了解为什么在多元情况下需要此运算符，我们接下来提供一个示例。示例2.1设X为支持向量X的二元随机向量∈ {（4，1.5），（1，3），（2，5），（2，3），（3，1）}，这样每个实现的可能性相等。在置信水平p=0.6时，MVaRp（X）={（3，3），（2，5）}。利用这些信息，我们计算MCVaRp（X，（3，3））=（3.5，4）和MCVaRp（X，（2，5））=（3.5，5）。很明显，MCVaRp（X，（3，3））≤ MCVaRp（X，（2，5）），因此我们让VMCVaR（X）={（3.5，4）}。VMCVaR的定义类似于CVARP（V）=min{η+1给出的单变量随机变量V的单变量CVaR定义- pE（V- η)+}.假设V遵循有限离散分布。

换句话说，有一定数量的场景n，其中vire表示在场景i下实现V∈ [n] 概率qi。然后用线性规划（LP）CVaRp（V）=min{η+1给出了一元CVaR的等价表示- pXi∈[n] qiwi：wi≥ 不及物动词- η,  我∈ [n] ，w∈Rn+，η∈R} 。（3） 众所周知，在该LP的最优解下，η=VaRp（V）。现在我们考虑VMCVaRp（X）的类似表示。设xs=（xs，…，xsd）是场景s下X的实现，概率为qss∈ [n] 。那么，VMCVaRp（X）=最小η+1- pE[（X- η） +]（4a）s.t.P（X≤ η) ≥ p、 （4b）或等效yminη+1- pXs∈[n] qsws（5a）s.t.wsi≥ 南印第安湖- ηi，i∈ [d] ，s∈ [n] ，（5b）ws≥ 0，s∈ [n] ，（5c）Xs∈[n] qsβs≤ 1.- p、 （5d）xsi≤ ηi+Misβs，i∈ [d] ，s∈ [n] ，（5e）βs∈ {0，1}，s∈ [n] 。（5f）这里η在集合MVaRp（X）中，如果在场景s下我们有xs，则βs=0≤ η和Mis，i∈ [d] ，s∈ [n] 是一个很大的数字，因此当βs=1时，约束（5e）可以满足。通过比较单变量和多变量情况下的公式，可以明显看出多变量CVA定义的复杂性；前者是LP（3），而后者是多目标混合整数规划（5）或chanceconstrained规划（4）。然而，主要困难在于确定MVaR值。

一旦确定这些参数，比如使用【15】中回顾的方法，计算每个η的MCVaRp（X，η）∈ MVaRp（X）是场景数n的多项式。在下一个命题中，我们为p（X，η）的情况提供了更直观的MCVaRp（X，η）定义≤ η） =p.随机变量X的命题2.1∈Rd和η∈ MVaRp（X）使得P（X≤ η） =p，以下等式成立，MCVaRp（X，η）=η+1- pE[（X- η） +]=E[最大值（X，η）| X η] （6）Merakli，K¨u¨c¨ukyavuz：向量值多元CVaR 4，其中X η表示分量关系，使得至少一个i的Xi>ηi∈ [d] ，max（X，η）表示其分量等于max（Xi，ηi）的向量。证据对于标准i∈ [d] ，MCVaRp（X，η）的Ith分量等于（MCVaRp（X，η））i=ηi+1- pE[（Xi- ηi）+]=ηi+P（X η） E[（Xi）- ηi）+]=ηi+E[（Xi）- ηi）+X η] =E[ηi | X η] +E[（最大值（Xi，ηi）- ηi）| X η] =E[（ηi+最大值（Xi，ηi）- ηi）| X η] =E[最大值（Xi，ηi）| X η].这也类似于CVaR的单变量定义，因为对于单变量随机变量V suchthatP（V≤ VaRp（V））=p，CVaRp（V）=E（V | V>VaRp（V））=E（max（V，VaRp（V））| V>VaRp（V））=E（max（V，VaRp（V））| V VaRp（V））。（7） 所提出的多元风险度量应该满足一些期望的性质，以便成为评估随机向量风险的有用工具。Artzner等人[2]在相干概念下对单变量风险度量的期望属性进行了公理化。一个一致的单变量风险度量是标准化的、正同质的、平移等变的、单调的和次加的。

本研究中感兴趣的风险度量VMCVaRp（X）是从一个d维随机向量到一组d维向量的映射。因此，我们的目的是证明集值多元风险测度的这些性质的类似形式。注意，对于相同有限概率空间的两个随机向量X和Y，X≤ Y表示XSI≤ 每个场景的YSIS∈ [n] 和标准i∈ [d] 。命题2.2对于d维随机向量X，VMCVaRp（X）满足以下性质：（i）归一化：VMCVaRp（0）={0}。（ii）正均质：θ ∈ VMCVaRp（X），kθ∈ k的VMCVaRp（kX）∈R+。（iii）翻译等效变量：θ ∈ VMCVaRp（X），θ+k∈ k的VMCVaRp（X+k）∈Rd.（iv）单调：X≤ Y=> θ∈ VMCVaRp（X），θ∈ VMCVaRp（Y）s.t.θ≥ θ.证据很容易看出，VMCVaRp（X）是归一化的。我们将使用以下事实来证明剩余属性：∈ VMCVaRp（X），θ=某些η的MCVaRp（X，η）∈ MVaRp（X）。（ii）从[9]中，我们知道η∈ MVaRp（X），然后kη∈ k的MVaRp（kX）∈R+。因此，k MCVaRp（X，η）=kη +1 - pE[（X- η)+]= kη+1- pE[（kX- kη）+]=MCVaRp（kX，kη）。（iii）Lee和Pr’ekopa【9】表明η+k∈ k的MVaRp（X+k）∈Rdwhenη∈ MVaRp（X）。使用该公式，MCVaRp（X，η）+k=η+1- pE[（X- η） +]+k=η+k+1- pE[（X+k- η - k） +]=MCVaRp（X+k，η+k）。Merakli，K¨u¨c¨ukyavuz：向量值多元CVaR 5（iv），根据文献[9]中给出的MVaR的单调性，X≤ Y意味着对于所有η∈ MVaRp（X）存在η∈ MVaRp（Y），使η≥ η，没有η∈ MVaRp（Y），使得对于某些η，η<η∈ MVaRp（X）。考虑X的一组不需要的场景，用s表示：={s∈ [n] ：xs η} 分为两个子集：S={S∈ [n] ：xs η、 ys<η}，andS={s∈ [n] ：xs η、 ys公司≮ η}.

使用该定义，θ=MCVaRp（X，η）=η+1- pXs∈[n] E（X- η)+= η+1 - pXs∈Sqs（xs- η)+= η+1 - pXs∈Sqs（xs- η)++1 - pXs∈Sqs（xs- η)+(8)≤ η+1 - pXs∈Sqs（η- η) +1 - pXs∈Sqs（xs- η+ η- η)+(9)≤ η+1 - pXs∈Sqs（η- η) +1 - pXs∈Sqs（xs- η)+(10)≤ η+1 - pXs∈[n] qs（ys- η） +=MCVaRp（Y，η）=θ，（11），其中等式（8）来自集合S，S的定义；不等式（9）源于s∈ S、 xs型≤ ys<η；不等式（10）源自（a+b）的事实+≤ （a） ++（b）+用于b≥ 0（此处b取η- η≥ 0); 不平等（10）源于以下事实：∈Sqs公司≤ 1.- p和xs≤ ys公司。请注意，Lee和Pr'ekopa【9】表明，提案2.2中的房地产适用于其对MCVAR的定义（我们将在第3节中详细介绍这一定义）。虽然我们使用了与[9]相同的MVaR定义，但我们对MCVaR的定义不同，因此需要证明这些属性以用于我们的定义。Lee和Pr’ekopa【9】还表明，单变量风险度量的一致性定义中包含的次加性属性的多变量模拟，其MCVaR定义并不满足。我们接下来考虑这个属性。备注2.1风险度量MCVaR不满足以下类似的次加性属性：MCVaRp（X，ηX）+MCVaRp（Y，ηY）≥ MCVaRp（X+Y，ηX+Y），ηx∈ VMCVaRp（X），ηy∈ VMCVaRp（Y），ηx+Y∈ VMCVaRp（X+Y）。证据考虑以下反例。设X和Y是支持sx的二元随机向量∈ {（1，5），（3，2），（2，1），（1，4），（5，5）}和Y∈ {（4，1.5），（1，3），（2，5），（2，3），（3，1）}，这样每个实现的可能性相等。在置信水平p=0.6时，MVaRp（X）={（3，4），（2，5）}，MVaRp（Y）={（3，3），（2，5）}和MVaRp（X+Y）={（4，7），（8，6）}。利用这些信息，我们计算VMCVaRp（X）={（4，5）}，VMCVaRp（Y）={（3.5，4）}和VMCVaRp（X+Y）={（6.5，7），（8，6.75）}。可以看出，（4，5）+（3.5，4） （8，6.75），因此违反了次可加性属性。