一个具有随机波动率的双因素正演曲线模型

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英文标题：
《A Two Factor Forward Curve Model with Stochastic Volatility for
  Commodity Prices》
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作者：
Mark Higgins
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We describe a model for evolving commodity forward prices that incorporates three important dynamics which appear in many commodity markets: mean reversion in spot prices and the resulting Samuelson effect on volatility term structure, decorrelation of moves in different points on the forward curve, and implied volatility skew and smile.   This model is a \"forward curve model\" - it describes the stochastic evolution of forward prices - rather than a \"spot model\" that models the evolution of the spot commodity price. Two Brownian motions drive moves across the forward curve, with a third Heston-like stochastic volatility process scaling instantaneous volatilities of all forward prices.   In addition to an efficient numerical scheme for calculating European vanilla and early-exercise option prices, we describe an algorithm for Monte Carlo-based pricing of more generic derivative payoffs which involves an efficient approximation for the risk neutral drift that avoids having to simulate drifts for every forward settlement date required for pricing.
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中文摘要：
我们描述了一个商品远期价格演变模型，该模型包含了许多商品市场中出现的三个重要动态：现货价格的均值回归以及由此产生的对波动性期限结构的萨缪尔森效应、远期曲线上不同点的波动解相关以及隐含的波动性倾斜和微笑。该模型是一个“远期曲线模型”，它描述了远期价格的随机演变，而不是一个模拟现货商品价格演变的“现货模型”。两个布朗运动推动远期曲线的移动，第三个类似赫斯顿的随机波动过程缩放所有远期价格的瞬时波动。除了计算欧洲普通期权和提前行使期权价格的有效数值方案外，我们还描述了一种基于蒙特卡罗的更通用衍生工具收益定价算法，该算法涉及对风险中性漂移的有效近似，避免了必须模拟定价所需的每个远期结算日的漂移。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> A_Two_Factor_Forward_Curve_Model_with_Stochastic_Volatility_for_Commodity_Prices.pdf (458.21 KB)

2022-6-1 05:14:09 上传

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关键词：波动率 双因素 Quantitative volatilities correlation

商品价格具有仓促波动性的双因素远期曲线模型Mark Higgins博士-Beacon Platform IncorporatedAugust 10，2017Abstracts我们描述了一个商品远期价格演变模型，该模型包含了许多商品市场中出现的三个重要动态：现货价格的均值回归和由此产生的Samuelson效应波动性期限结构，远期曲线上不同点波动的去相关，以及隐含的波动率倾斜和微笑。该模型是一个“远期曲线模型”，它描述了远期价格的随机演变，而不是一个模拟现货商品价格演变的“现货模型”。两个布朗运动驱动着远期曲线的移动，第三个类似赫斯顿的随机波动过程缩放所有远期价格的瞬时波动。除了计算欧洲普通期权和提前行使期权价格的有效数值方案外，我们还描述了一种基于蒙特卡罗的更通用衍生品支付定价算法，该算法有效地近似了风险中性漂移，避免了必须模拟定价所需的每个远期结算日的漂移。1模型动态大宗商品市场的远期价格动态往往比传统金融市场更为复杂，因为通常的现货对远期套利无法实施。金融市场中公平远期价格的通常表达式是F（t，t）=S（t）e（R-Q） （T-t） （1）式中，F（t，t）是时间t结算的远期价格，如日历时间t所示；S（t）是t时的资产现货价格，R是以货币计价的贴现率，Q是资产收益率。只有当满足两个条件时，这个表达式才成立：资产可以被套牢，资产可以借入和做空——两者的容量都与市场规模相当。

公平、外汇和贵金属等金融市场的情况就是如此，但对于石油、天然气和电力等大多数实物商品市场来说，这种情况并不存在。如果这些条件确实成立，那么不同结算日的远期价格将以接近100%的相关性移动，因为任何偏离公平远期价格的市场远期价格都将被套利回原来的水平。然而，如果这两个条件都不成立，那么远期价格就可以以低于100%的相关性相对移动，因为套利不会迫使它们一起移动。商品价格演变模型通常分为两类：现货价格和便利收益率Q模型（例如[1]和[2]）和远期价格模型本身（例如[3]和[4]）。由于商品市场通常以远期价格进行交易，通过期货市场和柜台远期交易，后一类模型——称为“forwardcurve”模型——通常对衍生品交易员更为直观。远期曲线模型与LIBOR市场模型等利率模型相似【5】。除了远期价格走势的去相关外，缺乏实施现货与远期套利所需的两个条件也意味着商品现货价格的风险中性漂移不会被迫与两种利率的差异相等，风险中性漂移可能具有更复杂的结构。特别是，大宗商品市场的现货价格表现出均值回归[6]，而现实世界中的均值回归可能会导致风险中性定价。

现货价格的均值回归意味着结算时间较长的远期价格的瞬时波动率往往小于结算时间较短的远期价格的瞬时波动率（萨缪尔森效应，见[7]）。远期价格变动的去相关和均值回归是纳入任何商品远期价格演变模型的两个重要动力学。例如，加比隆模型[3]是一个双因素远期曲线模型，它结合了这两种动态，并导致对数正态分布的远期价格，其隐含波动率的期限结构可以与货币市场期权价格紧密匹配。然而，远期价格的对数正态分布给出的隐含波动率作为给定到期日的履约函数是恒定的，而实际大宗商品市场表现出显著的隐含波动率偏斜和微笑。本文定义的模型将单因素随机波动率添加到建模动态中，采用了与著名的赫斯顿-托卡斯蒂克波动率模型类似的方法，该模型概括了具有随机波动率的现货价格模型[8]。

除了波动率期限结构外，这种概括还可以让我们对市场隐含波动率偏斜和微笑建模。2模型定义我们的远期价格演变模型F（t，t）由一组随机微分方程SDF（t，t）F（t，t）=pv（t）σ给出e-β（T-t） dz（t）+Re-β（T-t） dz（t）dv（t）=β（1- v（t））dt+αpv（t）dz（t）E[dz（t）dz（t）]=ρdtE[dz（t）dz（t）]=ρdtE[dz（t）dz（t）]=ρdt（2），也就是说：通过远期曲线的远期价格（给定日历时间t的所有不同TF值）仅由两个布朗运动驱动，并且对于不同的t值，每个布朗运动冲击的影响是不同的，由于模拟观察到的萨缪尔森效应的恒定平均回归β和β，导致瞬时波动率随T下降。两次前向曲线冲击与一个恒定的相关性ρ相关，缺乏完美的相关性意味着T的不同值的前向移动不是100%，这使得我们可以对观察到的前向价格移动的去相关进行建模。最后，所有远期价格的瞬时波动率由theHeston因子v（t）衡量，该因子为无单位且为1阶。我们进一步规定了v（0）=1的初始条件，因此波动率期限结构主要通过常数模型参数σ、β、β、R和ρ来确定。波动率因子β的恒定平均回归速度和波动率参数α的恒定波动率定义了隐含波动率微笑的期限结构。波动率因子与第一个前向曲线因子ρ和第二个前向曲线因子ρ的相关性确定了隐含波动率偏斜的期限结构。3普通和提前行使期权定价“普通”欧洲期权是指期权到期时间Te与基础远期合约结算时间T匹配的期权。

“earlyexercise”期权也是一种欧洲期权，在时间T远期结算，但该期权在时间T提前到期≤ T，在te的资金中行使基础远期合约。由于普通期权是早期行使期权的一个子集，在本节中，我们推导出早期行使期权的定价。该方法类似于原始赫斯顿模型下的普通期权定价方法【8】：首先，我们计算了到期时间上的对数远期价格的特征函数；然后，我们整合一个包含该特征函数的函数来计算期权价格。与标准赫斯顿模型不同，特征函数不能以闭合形式计算：需要一次数值积分。由于我们需要另一个数值积分来获得期权价格，该方法将二维数值积分用于定价早期行使期权，而不是原始赫斯顿模型的一维数值积分。对于期权定价，二维数值积分的计算效率仍然明显高于其他数值技术，例如通过有限差分网格的后向诱导或蒙特卡罗模拟。我们首先将变量改为x（t，t）=ln（F（t，t）/F（0，t））。

然后dx=-v（t）σF（t，t）dt+pv（t）σe-β（T-t） dz（t）+Re-β（T-t） dz（t）（3） 其中σF（t，t）是瞬时波动率的决定部分：σF（t，t）=σe-2β（T-t） +Re-2β（T-t） +2ρRe-（β+β）（T-t）（4） 我们定义了特征函数f asf（x（t，t），v（t）；θ） =E[eiθx（te，T）]（5），其中期望值E[…]在风险中性度量下，t是当前日历时间，t是提前行使期权的到期时间，t是基础远期的结算日期。由于我们在earlyexercise期权定价中只考虑一个结算时间T，因此在本节中，我们将从x（T，T）中删除T，并将其简单地写为x（T）。如果我们将伊藤引理应用于f，并将其漂移设置为零（因为f是风险中性度量中的鞅），我们会得到一个偏微分方程，其值为：vσf（t，t）(fx个-fx） +β（1- 五）fv+αvfv+σαv（e-β（T-t） ρ+Re-β（T-t） ρ）fx个五+ft=0（6）下一步是尝试formf（x（t），v（t）的解决方案；θ） =eiθx（t）+A（t）+B（t）v（t）（7），其中A和B仅是日历时间t的函数。此外，我们将日历时间变量更改为τ=te- t、 因此，τ=0时的边界条件isA=B=0。通常，这会将偏微分方程简化为一对普通微分方程：dAdτ=βbdbdbdτ=-（θ+iθ）σF（t，t）- βB+αB+iθBασ（e-βτe-β（T-te）ρ+Re-βτe-β（T-te）ρ）（8）与标准赫斯顿模型不同，我们知道这对普通微分方程没有闭合形式的解；相反，可以使用标准数值技术对一阶有序微分方程进行数值积分。随着初始条件A（τ=0）=B（τ=0）=0，我们可以计算任意τ的A和B，从而计算特征函数f。下一步是根据特征函数计算普通期权价格。

通常，罢工K的买入价C（K）由C（K）=D（T）（F（0，T）给出-K-KπZ∞θ=0<[f（θ）e-iθln K/F（0，T）θ+iθ]（9），其中D（T）是结算时间T的贴现因子。当然，可以使用看跌/看涨平价从看涨价格中计算看跌价格，因为这是欧式期权。图1显示了普通期权在货币远期隐含波动率随到期时间的函数（波动率的期限结构），其中te=T。请注意，隐含波动率是如何因萨缪尔森效应而随到期时间衰减的，如该模型中的两个平均反转强度β和β所示。在本例中，模型参数为σ=0.4，β=0.1，β=1，R=0.5，ρ=-0.3，β=0.5，α=1，ρ=0.3，ρ=0.3。注意，实际上α≈ 1是许多社区市场中α值的代表性尺度。图2显示了在te=T=1（其他参数如前一示例所示）的固定到期时间内，普通期权隐含波动率作为期权罢工价格（远期=1）的函数，这显示了模型如何创建简化的波动率偏斜。4蒙特卡罗模拟许多奇异的衍生品依赖于不止一个远期价格：即在日历时间t和结算时间t范围内的onF（t，t）。例如，平均价格期权取决于其有效期内的每日远期价格：每个工作日一次期货（对应于t值），通常用于“即时”期货合约（最接近结算日的结算），其中规定了每个结算时间t的结算时间t。

这可能意味着dozensor甚至数百个独立的正向曲线依赖关系。在对数正态双因素模型中，两个独立的随机因素可以在蒙特卡罗模拟中模拟；给定日历时间t的这两个因素的值，可以计算t的任何值的远期价格F（t，t）。这种降维（从T的全套市场价值到两个随机因素）导致许多衍生品的有效数字定价。对于这种随机波动率扩展，情况并非如此。当x（t，t）=lnF（t，t）F（0，t）时，图1：普通期权的货币远期隐含波动率作为到期时间的函数。这些是常规选项，因此te=T。y轴显示百分比隐含波动率，x轴显示到期时间（以年为单位）。图2：一组典型参数的普通隐含波动率与罢工。y轴显示隐含波动率百分比，x轴显示期权交易价格（远期等于1）。dx（t，t）=-v（t）σF（t，t）dt+pv（t）σe-β（T-t） dz（t）+Re-β（T-t） dz（t）（10） 如果我们将因子u（t）和u（t）定义为dui（t）=pv（t）eβitdzi（t）（11），那么我们可以将x（t，t）=-v（t）σF（t，t）dt+σe-βTdu（t）+Re-βTdu（t）（12） 当x（0，T）=0时，通过构造，我们可以将这个tox（T，T）=-Zts=0v（s）σF（s，T）ds+σe-βTu（t）+Re-βTu（t）（13） 在对数正态极限中，v（t）=1时，x（t，t）的值仅由两个因子值u（t）和u（t）指定。

然而，在一般情况下，积分漂移项不再具有确定性：它取决于v（t）的路径。更糟糕的是，漂移项取决于沉降时间T，因此T的每个值都需要一个单独的漂移项。如果定价的支付仅取决于T的一个值，这不是问题；该漂移项可以按照蒙特卡罗路径计算为附加变量，以及两个因子UAN和UAN以及赫斯顿波动率因子v。然而，如果衍生价格取决于N的远期，则这是蒙特卡罗模拟的计算问题 1 T的值，因为我们需要在每条路径上模拟N个单独的漂移项。对于大型N，可能会变得计算效率低下或内存过于密集，无法实际使用。我们用漂移项的近似值来解决这个问题。定义（t，t）asI（t，t）=Zts=0v（s）σF（s，t）ds=Zts=0σF（s，t）ds+Zts=0w（s）σF（s，t）ds（14），其中w（t）=v（t）- 1、第一项是确定性的，因此不能解决上述问题。然而，第二项确实解决了这个问题，这里是近似的地方：我们近似I（t，t）asI（t，t）≈Zts=0σF（s，T）ds+k（T，T）Zts=0w（s）ds（15）我们选择k（T，T）作为确定性函数，以便在近似下I（T，T）的方差与真实方差匹配。