关于Levy风险过程的最优周期红利策略

因此，通过引理5.1，我们得到了周期势垒策略πb的最优性*, 值函数由v=vb给出*.6、收敛到经典情形在这一节中，我们分析了最优势垒b的行为*和值函数vb*关于参数r，仅在本节中，我们写h（r），b*r、 和v（r）=v（r）b*r、 强调r>0的依赖性。引理6.1。（1） 最佳周期势垒b*ris在r中增加。（2）我们有b*r→\'b作为r→ ∞.（3） 当W（q）0（0+）时<∞, b*当W（q）0（0+）=∞, b*r→ 0 asr→ 0.证明。（1） 对于b>0，应用于（4.11）的部分积分和备注3.2的使用（这意味着-Φ（q+r）yW（q）00（y）y→∞---→ 0）给定（r）（b）=-rΦ（q+r）he-Φ（q+r）bW（q）00（b）+Z∞是-Φ（q+r）yW（q）000（y）dyi。由于三阶导数W（q）000始终为正，如备注3.2（2）所述，h（r）（b）：=Φ（q+r）reΦ（q+r）bh（r）（b）=-hW（q）00（b）+Z∞e-Φ（q+r）yW（q）000（y+b）dyi<-W（q）00（b），b>0。根据备注3.2（2），因为r 7→ Φ（q+r）增加，r 7→对于所有b>0的情况，h（r）（b）都在增加。这直接意味着b*r=sup{b>0：~h（r）（b）>0}（有sup = 0）在r中增加。（2）当'b=0时，收敛立即，因为b*r=0表示所有r>0。因此，我们假设b>0.20 K.NOBA、J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和K.YANOBy考虑（1），并且因为b*对于（4.13）中的所有r>0，存在0≤ b*∞:= limr公司→∞b*r≤\'b.显示b*∞=\'b，假设，为了推导出一个矛盾，b*∞<\'b.这和备注3.2（2）意味着W（q）00（b*∞) < 0.（i）假设b*∞> 通过备注3.2（1）和Fubini定理的应用，我们得到∞e-Φ（q+r）yW（q）000（y+b*∞)dy=Φ（q）Φ（q）Z∞e-Φ（q+r）yeΦ（q）（y+b）*∞)dy+Z∞Z∞te公司-t（y+b*∞)e-Φ（q+r）yu（q）（dt）dy=Φ（q）Φ（q）（Φ（q+r）- Φ（q））eΦ（q）b*∞+Z∞tt+Φ（q+r）e-tb*∞u（dt），对于任何大于0的r都是有限的，并且在极限值内消失为r→ ∞, 因为b*∞∈ (0, ∞) u是一个单位测量值。

因此，我们可以取一个足够大的r，例如▄h（r）（b*∞) = -hW（q）00（b*∞) +Z∞e-Φ（q+r）yW（q）000（y+b*∞)DYIS阳性。然而，这与h（r）（b）相矛盾*∞) ≤ 0表示所有r>0（由b表示*∞≥ b*randProposition 4.1（i））。因此，我们必须有b*∞=案例b的“b”*∞> 0.（ii）假设b*∞= 在这种情况下，根据命题4.1（ii），对于所有大于0的r，h（r）（因此h（r））均为负。然后，假设（0=b*∞<根据注释3.2（2），b）表示W（q）00（x）<0 on（0，’b）。取任意0< <\'b，那么我们就有了▄h（r）() = -hW（q）() +Z∞e-Φ（q+r）yW（q）000（y+)dyi，对于足够大的r可以显示为正，使用与（i）中相同的参数；这与h（r）的一致负性相矛盾。因此，我们必须有“b=0=b”*∞.（3） 在W（q）0（0+）的情况下<∞, 取r→ 0在（4.12）中，我们看到h（r）（0+）小于0，因此b*对于足够小的r>0，r=0。在W（q）0（0+）的情况下=∞, 通过使用（4.10）的第一个等式，我们得到，对于b>0，limr→0h（r）（b）=-Φ（q）<0。因此，对于任何固定的b>0，我们的h（r）（b）<0（因此b*r<b，以h（r）的形式表示），对于充分性，r>0；这表明b*rr（右后）↓0--→ 0我们现在展示了（3.17）中所述的经典情况v（r）对值函数的收敛性。提案6.1。作为r→ ∞, 对于所有x，v（r）（x）收敛到v（x）≥ 关于L'EVY风险过程的最优周期红利策略21Proof。（i） 假设b>0。修复0≤ x<b.因为b*通过引理6.1将r增加到b，我们可以选择一个足够大的r，例如对于所有r>，b*r> x，因此v（r）（x）=W（q）（x）/W（q）0（b*r） 。这通过引理6.1收敛到'v（x）=W（q）（x）/W（q）0（'b），因为W（q）0通过备注3.2是连续的。修正x=(R)b。然后我们有v（r）（b*r） =W（q）（b）*r） /W（q）0（b*r） ，其在r中随b的单调性增加*r（如引理6.1）和映射y 7的r→ W（q）（y）/W（q）0（y）（第（8.22）页，共（18）页）。

这与v（r）在x中的单调性（根据命题5.1）一起给出了sv（r）（\'b）>v（r）（b*r） =W（q）（b）*r） W（q）0（b*r） r↑∞--→W（q）（\'b）W（q）0（\'b）=\'v（\'b）。另一方面，v（r）（\'b）≤ 所有r>0的v（\'b）（因为Ar A.∞), 因此v（r）（\'b）r↑∞--→ ？v（？b）。固定x>b>0和r足够大，以便b*r> 0。首先，我们可以写出（5.1）asv（r）（x）=rA（r）（x，b*r） Φ（q+r）Z（q）0（b*r、 Φ（q+r））+B（r）（x-b*r） =A（r）（x，b）*r） W（q）0（b*r） +B（r）（x）-b*r） 式中（r）（y，b）：=W（q）（y）+rZy-bW（q+r）（y- b-z） W（q）（z+b）dz- rW（q）（b）W（q+r）（y）- （b）-W（q+r）（y）- b） Z（q）0（b，Φ（q+r））Φ（q+r），b（r）（y）：=rΦ（q+r）W（q+r）（y）- W（q+r）（y）.我们还设置了▄A（r）（y，b）：=A（r）（y，b）/W（q）（b）。固定0<b<b<x。通过使用[26]中引理5.1的极限情况（其中该极限可由[26]中的引理b.3和单调收敛轻松获得），我们得到▄A（r）（x，b）=x-b（e）-qer；er<τ-) + 前任-be-（q+r）τ-W（q）（X（τ-) + b） W（q）（b）；τ-< ∞.（6.1）这给出了一个界限：Ex-\'\'b（e-qer；er<τ-) ≤A（r）（x，b）≤ 前任-b（e）-qer；er<τ-) + 前任-\'\'be-（q+r）τ-, 注意，支配收敛定理给出了-qer；er<τ-)r↑∞--→ 1，y>0，（6.2）和Ex-\'\'b（e-（q+r）τ-)r↑∞--→ 二甲苯-\'b（τ-= 0) = 0. 因此，supb≤b≤\'b▄A（r）（x，b）r↑∞--→ 相反，通过[26]中引理5.2的极限情况，它适用于任何光谱负的L'evyprocess，我们有b（r）（x-b） =Ex-be-qerX（er）；er<τ-.22 K.NOBA、J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和K。

YANOThis givesB（r）（x）-（b）-（十）-b） =Ex-be-qer（X（er）-（十）-b） ）；er<τ-- （十）- b） （1）- 前任-be-qer；er<τ-)= Ee-qerX（er）；er<τ--（十）-（b）- （十）- b） （1）- 前任-be-qer；er<τ-).因此，infb≤b≤\'b（b（r）（x-（b）-（十）-b） （）≥ Ee-qerX（er）；X（er）<0，er<τ--（十）-（b）- （十）- b） （1）-前任-\'\'be-qer；er<τ-)r↑∞--→ 0，其中收敛值为（6.2），因为| X（er）|≤ （十）-b） 关于事件{X（er）<0，er<τ--（十）-b） }，这意味着，通过支配收敛e-qerX（er）；X（er）<0，er<τ--（十）-（b）r↑∞--→ 0.另一方面，supb≤b≤\'b（b（r）（x-（b）-（十）-b） （）≤ Ee-qerX（er）；er<τ--（十）-（b）≤ EX（er）r↑∞--→ 0，（6.3），其中最后一个极限保持不变，因为X（er）与参数Φ（r）呈指数分布。因此，supb≤b≤\'b | b（r）（x）-（b）-（十）-b） | r↑∞--→ 现在，将这些一致收敛结果与B*r%’b，v（r）（x）=W（q）（b*r） W（q）0（b*r） A（r）（x，b*r） +B（r）（x）-b*r） r↑∞--→W（q）（\'b）W（q）0（\'b）+x-(R)b，根据需要。（ii）假设b=0。注意，在这种情况下，b*r=0表示所有r>0，因此有必要显示V（r）（x）的（逐点）收敛：=rA（r）（x，0）Φ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0））+B（r）（x）。这里，B（r）（x）r↑∞--→ 当x>0时，x作为（6.3）的特例。这也适用于x=0，因为0≤ B（r）（0）=Ee-qerX（er）；er<τ-≤ EX（er）r↑∞--→ 关于L'EVY风险过程的最优周期红利策略23另一方面，通过使用（3.12），我们得到a（r）（x，0）=W（q）（x）+rZxW（q+r）（x-y） W（q）（y）dy- rW（q）（0）W（q+r）（x）- W（q+r）（x）Φ（q+r）- rW（q）（0）Φ（q+r）=rW（q）（0）- W（q+r）（x）+W（q+r）（x）Φ（q+r）.假设X具有无界变化。那么，A（r）（x，0）=0，因此很明显，v（r）（x）r↑∞--→ x=(R)v（x），根据需要。假设X是有界变化的（那么根据备注4.2，我们有∏）(-∞, 0) < ∞).

因为q+r=ψ（Φ（q+r））=cΦ（q+r）+r(-∞,0）eΦ（q+r）z- 1.π（dz）by（2.2），我们有by单调收敛Φ（q+r）-rc=qc+c-1Z(-∞,0）1.-eΦ（q+r）z∏（dz）r↑∞--→q+π(-∞, 0）c。由于Φ（q+r）c~ r作为r↑ ∞ （另见备注3.1），我们有Φ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0））=rΦ（q+r）（Φ（q+r）-rc））r↑∞--→W（q）0（0+）。（6.4）另一方面，通过注意W（q）（0）>0，将过程在（6.1）中移动b，并取b↓ 0，连同支配收敛定理，giveEx（e-qer；er<τ-) + 前任e-（q+r）τ-肢↓0W（q）（X（τ-b） ）W（q）（0）；τ-< ∞=A（r）（x，0）W（q）（0）。因为X不会向下蠕变（Px（X（τ-) = 0, τ-< ∞) = 0表示所有x≥ 0）对于边界变化的情况（见[18]的练习7.6），左侧的第二个期望值为零。正在进行r→ ∞ 两边都有A（r）（x，0）/W（q）（0）r→∞---→ 总之，我们有v（r）（x）r↑∞--→W（q）（0）/W（q）0（0+）+x=(R)v（x），根据需要。7、数值算例我们用一系列数值实验来总结本文。在这里，为了更好地理解描述基本过程的每个参数的敏感性，我们考虑一个简单的情况，使用i.i.d.指数大小跳跃的（漂移）复合泊松过程，这满足假设3.2。考虑了有布朗运动和无布朗运动的两种情况。更具体地说，我们假设，对于一些c∈ R和σ≥ 0，（7.1）X（t）- X（0）=ct+σB（t）-N（t）Xn=1Zn，0≤ t<∞,24 K.NOBA、J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和K.YANOwhere B=（B（t）；t型≥ 0）是标准布朗运动，N=（N（t）；t型≥ 0）是一个泊松过程，到达率为κ，Z=（Zn；n=1，2，…）是具有参数λ的指数随机变量的i.i.d.序列。假设过程B、N和Z相互独立。这是[4]中相位类型L'evy过程的光谱负版本的特例，它允许标度函数的分析形式，如[14]所示。

我们请读者参考[14，17]了解相应的scalefunction的形式。7.1. 计算值函数。我们首先说明了最佳屏障b的计算方案*值函数v=vb*. 这里，对于（7.1）中的X，我们考虑以下参数集：情况1：σ=0.2，c=1.5，情况2：σ=0.2，c=0.1，情况3：σ=0.2，c=0，情况1：σ=0，c=1.5，情况2：σ=0，c=1.15，情况3：σ=0，c=0.1。对于其他参数，我们设置κ=λ=1，r=0.5，q=0.05。选择这些参数时，B*> 情况1和1为0，0=b*<‘b用于情况2和2’，0=b*=“b用于情况3和3”，其中我们称“b”为经典情况下的最佳屏障，如备注3.2所述。回想一下，最佳屏障b*如果h（0+）>0，则为h=0的唯一根，否则为零。图1绘制了函数h和b处的点*和“b”。对于情况1和1”，h从严格的正值开始，减小到“b”，然后增加到零；b*成为h消失的唯一点。对于情况2和2’（其中‘b＞0），h从负值开始，然后表现出与情况1和1’类似的行为；因为h是一致负的，所以我们设置b*= 对于情况3和3’（其中‘b=0），h从负值开始，单调增加到零；再次设置b*= 0、计算值为b*, 值函数v=vb*对于案例b，使用（5.1）和（3.16）获得*> 0和b*= 分别为0。为了证实最优性，在图2中，我们绘制了vb*以及b 6=b的次优NPV Vb*. 在所有情况下都可以确认vb*控制vb，对于b 6=b*,在x中均匀分布。如命题5.1所示，vb*平滑，当且仅当ifx<b时，其斜率大于1*.关于无界和有界变差情况之间的比较，主要差异包括b处的平滑度*以及vb的行为*在零点附近。

平滑度在视觉上并不清晰，因为在这两种情况下，平滑度至少可以连续区分两次。另一方面，可以观察到零附近的差异：当起始值x减小到零时，对于无界变差情况（情况1、2和3），v收敛到零，但对于有界变差情况（情况1、2和3’）。7.2. 敏感性分析。现在我们数值研究了最佳势垒b的行为*和值函数vb*关于描述问题的参数。在剩余的numericalON最优定期股息策略中，Levy风险流程253 4 5 6 7 8 9 10 11b-3-2-10123h10-43 4 5 6 8 9 10 11b-3-2-10123h10-4案例1\'0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18b-15-10-5051015h0.2 0.6 0.8 1 1 1 1 1 1.4 1.6 1.8b-8-6-4-202468h10-3案例2\'0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1b-40-30-20-10010203040h0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.7 0.8 0.9 1b-80-60-40-20020406080hCase 3案例3\'图1。h和b点的曲线图*和“b”分别用圆圈和正方形表示。结果，除非另有说明，否则我们设置κ=λ=1，c=1.5，r=0.5，q=0.05。考虑了σ=0.2和σ=0的无界和有界变差情况。26 K.NOBA、J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和K.YANO0 1 2 3 4 5x012345678910vb0 1 2 3 4 5x12345678910vbCase 1案例1\'0 0.05 0.1 0.15 0.2x00.020.040.060.080.10.12vb0 0 0.2 0.6 0.8 1.2 1.4x11.522.5vbCase 2\'0.2 0.4 0.6 0.8 1x00.050.10.150.20.250.30.350 40.450.5vb0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x00.10.20.30.40.50.6vbCase 3 Case 3\'图2。对应的值函数vb*（x） （实心）以及b=0，b的次优预期NPV vb（虚线）*/4，b*/2，3b*/4，（b）*+\'b）/2、\'b和\'b+（\'b-b*)/2对于1和1’；对于情况2和2\'，b=\'b/2，\'b和3\'b/2；对于情况3和3’，b=1/3、2/3和1。b处的值*用圆圈表示。

处于次优路障的道路b>b*（分别为b<b*) 当nb 6=\'b和b=\'b处的三角形用正方形表示时，用上指（或下指）三角形表示。关于L'EVY风险过程的最优定期股息策略270 1 2 3 4 5 6 7 8 9X01020304050607080值函数0 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9X01020304050607080值函数σ>0σ=0图3。vb绘图*对于c=1，1.1，4.9和5，σ=0.2（左）和σ=0（右）。b处的值*用圆圈表示。函数vb*在c中均匀增加。图3绘制vb*b点*对于漂移参数c的各种值，valuefunction vb*在x中c均匀增加。还观察到b*= 0表示c值非常小，c值增加到一定限度。0 1 2 3 4 5 6 7X05101520253035值函数0 1 2 3 5 6 7X05101520253035值函数σ>0σ=0图4。vb绘图*对于κ=0.001，0.002。，0.008,0.009,0.01,0.02, . . ., 0.08, 0.09,0.1, 0.2, . . ., 2.9和3，σ=0.2（左）和σ=0（右）。b处的值*用圆圈表示。函数vb*k在x中均匀减小。图4和图5分别绘制了跳跃率k和跳跃大小参数λ不同值的结果。经证实，vb*κ减小，λ增大（x均匀）。有趣的是，b*这些参数不是单调的（与我们在图3中观察到的相反）。当κ足够大时，未来相位为负值，因此b*= 随着κ的减少，b*从零开始递增。然而，κ的值越低，就越容易避免破产。因此，充分利用28 K.NOBA、J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和K.YANOsmallκ，b*可以设置为低。由于这些权衡，b*在κ中不是单调的。

同样的观测也适用于λ的分析。0 1 2 3 4 5 6 7X05101520253035值函数0 1 2 3 5 6 7X05101520253035值函数σ>0σ=0图5。vb绘图*对于λ=0.1，0.2，2.9, 3, 4, . . . , 9, 15, 20, . . . , 95和100，σ=0.2（左）和σ=0（右）。b处的值*用圆圈表示。函数VB*在x.0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3 3.5 4 4.5 5 5.5x012345678910值函数0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4 4.5 5x012345678910值函数σ>0σ=0图6中λ均匀增加。vb绘图*（虚线）对于r=0.001，0.002，0.01, 0.02, . . . , 0.09, 0.1, 0.2,. . . , 0.9, 1, 2, . . . , 99和100以及σ=0.2（左）和σ=0（右）的经典值函数“v（实心）”。vb的值*在b*用圆圈表示，“vat”b用正方形表示。函数vb*在x中r均匀增加。最后，我们研究了vb的行为*和b*关于股息支付率，机会主义者。图6绘制vb*b点*对于不同的r值以及经典情况下的值（3.17）。经证实，vb*与经典情形相比，在r中单调递增（在x中一致）。如引理6.1所研究，b*在r中是单调的，当r时收敛到零↓ 0和到b作为r↑ ∞; Levy风险过程的thisON最优周期红利策略29证实了引理6.1中的结果。虽然收敛到零的速度相对较快，但我们发现收敛到“b”的速度相当缓慢。在[25]中，对于光谱正的情况，得到了相同的数值分析；在他们的案例b中*结果表明，即使对于中等的r值，也能准确地近似经典情况下的最佳屏障。我们推测，这种差异是由于泊松观测时间之间跳跃到破产的可能性造成的（在没有向下跳跃的情况下可以忽略不计）。

向下跳跃，b*对r.Acknowlements的选择更为敏感。作者感谢匿名推荐人提供的有用意见。K、 Noba和K.Yanowere得到了JSPS-MAEDI Sakura项目的支持。K、 Yano由KAKENHI 26800058提供支持，部分由KAKENHI 15H03624和KAKENHI 16KT0020提供支持。J、 L.P'erez得到了CONACYT的支持，项目编号241195。K、 山崎得到了MEXT KAKENHI第17K05377号赠款的支持。参考文献[1]ALBRECHER，H.、B¨AUERLE，N.、THONHAUSER，S.《随机离散时间内的最优股利支付》。统计与风险建模及其在金融和保险领域的应用28（3），251-276，（2011）。[2] ALBRECHER，H.、CHEUNG，E.C.、THONHAUSER，S.复合泊松风险模型的随机观察期：股息。ASTIN公告41（2），645-672，（2011年）。[3] ASMUSSEN，S.《破产概率》。统计科学与应用概率进展系列。2，新泽西州River Edge World Scientic。(2000).[4] ASMUSSEN，S.、AVRAM，F.和PISTORIUS，M.R.指数阶段typeL’evy模型下的俄罗斯和美国看跌期权。随机过程。应用程序。109(1), 79–111, (2004).[5] AVANZI，B.、TU，V.和WONG，B.关于具有扩散的对偶模型中的最优周期红利策略。保险公司。数学经济。55, 210-224, (2014).[6] AVANZI，B.、TU，V.和WONG，B.二郎（2）内部股息决策时间下的最优股息。工作文件（2017年）。[7] AVRAM，F.、PALMOWSKI，Z.和PISTORIUS，M.R.关于谱负L'evyprocess的最优红利问题。安。应用程序。概率。17, 156-180, (2007).[8] AVRAM，F.、P'EREZ，J.L.和YAMAZAKI，K.谱负L'evy过程，下方为巴黎反射，上方为经典反射。随机过程。应用程序。128(1), 255–290, (2018).[9] CARR，P.、GEMAN，H.、MADAN，D.B.和YOR，M.《资产回报的详细结构：一项实证调查》。J