关于Levy风险过程的最优周期红利策略

在本文的其余部分中，我们假设如下。假设3.1。对偶过程的L'evy测度∏-X具有完全单调的密度。也就是说，π有一个密度π，其n阶导数π（n）对于所有n都存在≥ 1和满意度(-1） nπ（n）（x）≥ 0，x>0。已知该假设是Loeffen（22）提出的经典光谱负性酶和Loeffen（19）提出的绝对连续性酶最优性的充分条件。备注3.2。根据假设3.1，我们有以下内容。（1） 如【23】的定理2所示，标度函数W（q）（x）是完全可微的，可以写为W（q）（x）=Φ（q）eΦ（q）x-Z∞e-xtu（q）（dt），x>0，对于某些特定测量u（q）。（2） 正如在[22]定理3的证明中，对于所有x>0，我们有W（q）000（x）>0，因此存在'b∈ [0, ∞) 使W（q）00<0 on（0，’b）和W（q）00>0 on（’b），∞).（3） 如Loeffen【22】所示，经典情况下的最佳解决方案是从上方的“b”处反映（在经典意义上）；值函数由（3.17）(R)v（x）：=supπ给出∈A.∞前任Z[0，σπ]e-qtdLπ（t）=（W（q）（x）W（q）0（(R)b）x≤\'b，W（q）（\'b）W（q）0（\'b）+x-\'b x>\'b，其中A∞是一组非减量、右连续和F-适应过程，作为Ar的松弛。关于L'EVY风险过程的最优周期红利策略94。最佳屏障b的选择*在本节中，我们将重点讨论上述周期性障碍策略，并选择候选载体b*, 并显示其存在。4.1. 平滑。受许多相关研究的推动，我们选择屏障b*使vb的平滑度*在b*增加1（如果b*> 0). 与[7]和[22]中的经典模型不同，我们在我们的模型中看到vb*变为C（0，∞) （分别为C（0，∞)) 对于X为有界（分别为。

无限制）变化。这里，我们将表明，在（4.1）Cb:W（q）0（b）=Φ（q+r）rZ（q）0（b，Φ（q+r）），其中Z（q）0（b，Φ（q+r））如（3.14）所示的条件下，满足b>0时的所需平滑度。为此，我们首先计算（3.15）的导数。回忆一下备注3.2中比例函数的平滑度。引理4.1。对于b>0和x∈ (0, ∞)\\{b} ，vb（x）=rW（q）0（x）+rRx-bW（q+r）（y）W（q）0（x）-y） dyΦ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r））- W（q+r）（x）-b） ！，（4.2）vb（x）=rW（q）00（x）+rW（q+r）（x-b） W（q）0（b）+rRx-bW（q+r）（y）W（q）00（x）-y） dyΦ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r））- W（q+r）（x）-b） ！，（4.3）vb（x）=rΦ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r））W（q）000（x）+rW（q+r）0（x-b） W（q）0（b）（4.4）+rW（q+r）（x-b） W（q）00（b）+rZx-bW（q+r）（y）W（q）000（x）-y） dy公司- rW（q+r）0（x-b） 。证据（i） ByRx公司-bW（q+r）（x- b- y） W（q）（y+b）dy=Rx-bW（q+r）（y）W（q）（x）- y） dy和支配收敛，我们有x个W（q）（x）+rZx-bW（q+r）（y）W（q）（x）-y） dy公司- rW（q）（b）W（q+r）（x）-（b）= W（q）0（x）+r lim→0Rx+-bW（q+r）（y）W（q）（x+ -y） dy公司-接收-bW（q+r）（y）W（q）（x）-y） dy公司- rW（q+r）（x）-b） W（q）（b）=W（q）0（x）+rZx-bW（q+r）（y）W（q）0（x）-y） dy.（4.5）10 K.NOBA、J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和K.YANOHence，通过微分（3.15），我们得到（4.2）。（ii）通过微分（4.5），支配收敛定理给出x个W（q）（x）+rZx-bW（q+r）（x-b-y） W（q）（y+b）dy- rW（q）（b）W（q+r）（x）-（b）= W（q）00（x）+rW（q+r）（x）-b） W（q）0（b）+rZx-bW（q+r）（y）W（q）00（x）-y） 因此，通过微分（4.2）和使用（4.6），我们得到（4.3）。（iii）通过进一步微分（4.6），支配收敛定理给出x个W（q）（x）+rZx-bW（q+r）（x-b-y） W（q）（y+b）dy- rW（q）（b）W（q+r）（x）-（b）= W（q）000（x）+rW（q+r）0（x-b） W（q）0（b）+rW（q+r）（x）-b） W（q）00（b）+rZx-bW（q+r）（y）W（q）000（x）-y） 因此，通过使用上述恒等式和微分（4.3），我们得到（4.4）。通过R{0}上尺度函数的光滑性，如备注3.2所示，导数（4.2）、（4.3）和（4.4）在（0）上是连续的，∞)\\{b} 。

现在，我们分析它们在有界和无界变化情况下在b的连续性。回想一下零附近标度函数的行为，如备注3.1所示。根据（3.15）和（4.2），我们确定Vb和Vb是（0，∞) 无论b的选择如何。此外，我们注意到VB（b+）-vb（b-) = rW（q+r）（0）rW（q）0（b）Φ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r））- 1..（4.7）a）假设X具有有界变化路径。根据（4.7）和（3.9）中W（q+r）（0）>0的事实，Vb在（0）上连续，∞) 当且仅当Cbin（4.1）成立。b） 另一方面，让我们假设X有无界的变化路径。然后在（4.7）中使用W（q+r）（0）=0的事实，如在（3.9）中，Vb在（0）上连续，∞) 无论b的选择如何。此外，如果Cb满足要求，我们通过（4.4）注意到Vb（x）=rΦ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r））W（q）000（x）+rW（q+r）（x）-b） W（q）00（b）+rZx-bW（q+r）（y）W（q）000（x）-y） dy公司,因此vb在（0，∞). 下面，我们总结了获得的结果。引理4.2。假设b>0满足Cbin（4.1）。然后，vbis C（0，∞) 对于情况X是boundedvariation，而它是C（0，∞) 对于X是无界变化的情况。关于L'EVY风险过程的最优周期红利策略11备注4.1。验证引理（引理5.1）只需要C（0，∞) 和C（0，∞) 分别适用于有界和无界变化情况的条件。EMMA 4.2中获得的额外平滑度不会直接用于证明最优性。然而，在命题5.1中可以看出，由该平滑度标准选择的屏障满足值函数的期望斜率条件。4.2. b的存在*.

这里我们追求b的存在*> 0，使得条件Cbfor b=b*持有。定义，对于b>0，h（b）：=e-Φ（q+r）brW（q）0（b）-Φ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r））= e-Φ（q+r）brW（q）0（b）-Φ（q+r）Φ（q+r）Z（q）（b，Φ（q+r））- rW（q）（b）,（4.8）初始值H（0+）=r[W（q）0（0+）+Φ（q+r）W（q）（0）]-Φ（q+r）。很明显，当且仅当h（b）=0时，Cbis满足。通过微分（4.8），我们得到（b）=re-Φ（q+r）bW（q）00（b），b>0。（4.9）此外，通过（3.10）、（3.11）和（3.13）以及-Φ（q+r）zW（q）（z）dzb↑∞--→R∞e-Φ（q+r）zW（q）（z）dz=r-1从（3.5）来看，h（b）=re-Φ（q+r）bW（q）0（b）-Φ（q+r）Φ（q+r）1.-rZbe公司-Φ（q+r）zW（q）（z）dz- 重新-Φ（q+r）bW（q）（b）b↑∞--→ 因此，我们可以写出（4.11）h（b）=-rZ公司∞是-Φ（q+r）yW（q）00（y）dy，b>0。根据（4.9）和（4.11）以及备注3.2（2），函数h在（0，\'b）上减小，h（\'b）<0。然后在（(R)b）上增加，∞) 并收敛到0。（参见第7节图1中的曲线图。）上述参数和h（b）的连续性意味着存在0<b*<\'b使得h（b*) = 0（或b=b的等效cb*) 当且仅当H（0+）大于0时<==> rW（q）0（0++Φ（q+r）W（q）（0）> Φ（q+r）。（4.12）对于情况h（0+）≤ 0，我们设置b*= 我们将结果总结在以下命题中。12 K.NOBA、J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和K.YANOProposition 4.1。（i） 如果（4.12）成立，则存在s0<b*<(R)b（4.13），使Cbfor b=b*满足且h（b）≥ 0当且仅当b∈ （0，b*].（ii）否则，h（b）≤ 0表示所有b>0。备注4.2。使用（3.9），b*= 0当且仅当下列条件之一成立：（i）η>0且r≤ηΦ（q+r）或（ii）η=0，π(-∞, 0) < ∞, 和Φ（q+r）≥ rq+π(-∞, 0）c+Φ（q+r）c.备注4.3。根据备注4.2的（i），并使用（2.1），r-ηΦ（q+r）=-q+Φ（q+r）γ+Z(-∞,0）（eΦ（q+r）z- 1.- Φ（q+r）z1{z>-1} ）π（dz）。对于η>0的情况，我们有Φ（q+r）~√2r/η为r→ ∞.

因此，η√2r级r-ηΦ（q+r）=η√2r级- q+Φ（q+r）γ+Z(-∞,0）（eΦ（q+r）z- 1.- Φ（q+r）z1{z>-1} ）π（dz）r↑∞--→ γ -Z(-∞,0）z1{z>-1} π（dz）=c。因此，我们得到b*> 对于足够大的r，如果c>0，则为0。这与文献[23]中定理1给出的经典情况一致。用b验证最佳性*≥ 0如上所述，我们现在展示了获得的周期势垒策略πb的最优性*.对于案例b*> 0，因为Cbholds表示b=b*, 预期NPV（3.15）可以简洁地写为VB*（x） =W（q）（x）+rRx-b*W（q+r）（x）-b*- y） W（q）（y+b*)dy公司- rW（q）（b）*)W（q+r）（x）-b*)W（q）0（b*)- rW（q+r）（x）-b*), 对于x∈ R、 （5.1）其中，特别是对于x<b*,vb*（x） =W（q）（x）W（q）0（b）*).（5.2）相反，对于案例b*= 0，预期净现值由（3.16）给出。关于L'EVY风险过程的最优周期红利策略135.1。验证引理。设L为与应用于C（resp.C）函数f的过程X相关的最小生成器，当X为有界（resp.unbounded）变化时：Lf（X）：=γf（X）+ηf（X）+Z(-∞,0）f（x+z）-f（x）- f（x）z1{-1<z<0}π（dz），x>0。（5.3）我们现在提供了一个验证引理。该证明本质上与文献[25]中的引理4.3相同（该引理处理具有最终回报/惩罚的光谱正案例），因此被省略。引理5.1（验证引理）。假设^π∈ A是这样的，v^π是C（0，∞) （分别为C（0，∞)) 对于案例X，变量为有界（或无界），满足（L-q） v^π（x）+r最大值0≤l≤x{l+v^π（x-l）- v^π（x）}≤ 0，x>0。（5.4）那么，对于所有x，v^π（x）=v（x）≥ 0，因此^π是最佳策略。注意，W（q）在（0，∞), 如备注3.2所述。

根据[7]中的定理4的证明，对于任何B>0，（e-q（t∧τ-∧τ+B）W（q）（X（t∧ τ-∧ τ+B））；t型≥ 0）是鞅，因此（L-q） W（q）（y）=0，y>0。（5.5）类似地，根据[7]的命题2，（L-q） Z（q）（y）=0，y>0。（5.6）注意，当q被q+r替换时，这些恒等式也成立。通过使用这些恒等式，我们展示了以下内容。引理5.2。对于y>0，（L-q） W（q+r）（y）=rW（q+r）（y），（5.7）（L-q） W（q+r）（y）=1+rW（q+r）（y），（5.8）（L-q） W（q+r）（y）=y+rW（q+r）（y）。（5.9）证明。（i） 到（5.5），我们有（L- q） W（q+r）（y）=（L-q- r） W（q+r）（y）+rW（q+r）（y）=rW（q+r）（y）。（ii）通过使用（5.6），我们有（L-q） W（q+r）（y）=r+q（L-q）Z（q+r）（y）- 1.=rr+qZ（q+r）（y）+qr+q=1+rW（q+r）（y）。（iii）通过分部积分和[13]中引理4.5的证明，我们得到（L-q- r） W（q+r）（y）=（L-q- r） ZyzW（q+r）（y）- z） dz=y。因此，我们有（5.9）。14 K.NOBA、J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和K.YANOLemma 5.3。对于b*≥ 0，我们有（5.10）（L-q） vb*（十）=如果x，则为0∈ （0，b*],-r{（x- b*) + vb*（b）*) -vb*（x） }如果x∈ （b）*, ∞).证据（i） 假设b*> 0。对于0<x<b*, 根据（5.2）和（5.5），我们有（L-q） vb*（x） =W（q）0（b*)（L）-q） W（q）（x）=0。现在假设x>b*. 通过[13]中引理4.5的证明，我们得到（L-（q+r））Zx-b*W（q+r）（x）-b*- y） W（q）（y+b*)dy=（L- （q+r））Zxb*W（q+r）（x）-u） W（q）（u）du=W（q）（x），与（5.5）一起表示（L-q）W（q）（x）+rZx-b*W（q+r）（x）-b*- y） W（q）（y+b*)dy公司= rW（q）（x）+rZx-b*W（q+r）（x）-b*- y） W（q）（y+b*)dy公司.（5.11）因此，通过在（5.1）中应用（5.8）、（5.9）和（5.11），我们得到（L-q） vb*（x） =rW（q）0（b*)W（q）（x）+rZx-b*W（q+r）（x）-b*- y） W（q）（y+b*)dy公司- rW（q）（b）*)W（q）0（b*)rW（q+r）（x）-b*) + 1.- r（十）-b*) + rW（q+r）（x）-b*)= -r（十）-b*) +W（q）（b）*)W（q）0（b*)- vb*（十）= -r{（x-b*) + vb*（b）*) -vb*（x） }。最后，这可以扩展到x=b的情况*将极限取为x→ b*.（ii）假设b*= 0

通过应用（3.16）中的（5.7）、（5.8）和（5.9），我们得到（L-q） v（x）=r（L-q） W（q+r）（x）-rW（q）（0）（L）-q） W（q+r）（x）Φ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0））- r（L-q） W（q+r）（x）=rhrW（q+r）（x）-rW（q）（0）（1+rW（q+r）（x））Φ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0））-x+rW（q+r）（x）i、 等于-r（x+v（0）-v（x））根据需要。我们现在证明以下内容。提案5.1。对于b*≥ 0，我们有vb*（十）≥ 1代表x∈ （0，b*) 和0≤ vb*（十）≤ 1代表x∈ （b）*, ∞).关于L'EVY风险过程的最优周期红利策略15为了证明这一命题，我们首先使用备注3.2（1）中给出的尺度函数分解重写了导数（4.2）。引理5.4。对于x≥ b≥ 0，我们有Vb（x）=K+rR∞e-txg（t，b）u（q+r）（dt）Φ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r）），其中k：=rΦ（q+r）Φ（q+r）+rZ∞u（q+r）（dt）t，g（t，b）：=t+rW（q）（0）+rZbeutW（q）0（u）du-etbtΦ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r））=t+rW（q）（0）+rZbeutW（q）0（u）-Φ（q+r）rZ（q）0（b，Φ（q+r））杜邦-Φ（q+r）tZ（q）0（b，Φ（q+r））。请注意∞e-xtu（q+r）（dt）作为-X atx>0，如[17]的定理2.7（iv）所示，q+r>P（X（eq+r）<0）q+r=Z∞Z∞e-xtu（q+r）（dt）dx=Z∞Z∞e-xtdxu（q+r）（dt）=Z∞u（q+r）（dt）t.证明。通过区分（3.12）的两侧，对于x>0，W（q+r）0（x）-rW（q+r）（x）W（q）（0）-rZbW（q+r）（x）-u） W（q）0（u）du=W（q）0（x）+rZxbW（q+r）（x-u） W（q）0（u）du=W（q）0（x）+rZx-bW（q+r）（y）W（q）0（x）-y） 因此，当b>0时，等式（4.2）减少了torvb（x）=W（q+r）0（x）-rW（q+r）（x）W（q）（0）-rRbW（q+r）（x-u） W（q）0（u）duΦ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r））- W（q+r）（x）-b） 。（5.12）通过微分（3.16）得到b=0的相同表达式。此外，通过使用备注3.2（1），我们可以写出rVB（x）=Φ（q+r）Φ（q+r）eΦ（q+r）x- reΦ（q+r）xW（q）（0）-rRbeΦ（q+r）（x）-u） W（q）0（u）duΦ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r））（5.13）- Φ（q+r）Zx-beΦ（q+r）udu+Zx-bZ公司∞e-tuu（q+r）（dt）du+r∞te公司-txu（q+r）（dt）+rR∞e-txW（q）（0）u（q+r）（dt）+rRbR∞e-t（x-u） u（q+r）（dt）W（q）0（u）duΦ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r））。16 K.NOBA，J.L。

P'EREZ、K.YAMAZAKI和K.Yanoointegration按零件给定Φ（q+r）（x-u） W（q）0（u）du=eΦ（q+r）xhe-Φ（q+r）bW（q）（b）-W（q）（0）+Φ（q+r）Zbe-Φ（q+r）uW（q）（u）dui，因此Φ（q+r）eΦ（q+r）x- reΦ（q+r）xW（q）（0）-rZbeΦ（q+r）（x-u） W（q）0（u）du=eΦ（q+r）（x-（b）eΦ（q+r）bΦ（q+r）1.-rZbe公司-Φ（q+r）uW（q）（u）du- rW（q）（b）= eΦ（q+r）（x-b） Z（q）0（b，Φ（q+r））。现在，通过使用（5.13）中的上述表达式，我们得到RVB（x）=Φ（q+r）Φ（q+r）eΦ（q+r）（x-（b）- （eΦ（q+r）（x）-（b）- 1)+Zx公司-bZ公司∞e-tuu（q+r）（dt）du+r∞te公司-txu（q+r）（dt）+rR∞e-txW（q）（0）u（q+r）（dt）+rRbR∞e-t（x-u） u（q+r）（dt）W（q）0（u）duΦ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r））=Φ（q+r）Φ（q+r）+Z∞u（q+r）（dt）t-Z∞e-t（x-b） tu（q+r）（dt）+r∞te公司-txu（q+r）（dt）+rR∞e-txW（q）（0）u（q+r）（dt）+rRbR∞e-t（x-u） u（q+r）（dt）W（q）0（u）duΦ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r））。因此，得到了结果。我们现在准备证明这一主张。命题5.1的证明。（i） 假设b*> 0。（1）假设x≤ b*. 因为b*≤如备注3.2（2），vb中所述，b和W（q）0在（0，\'b）上递减*（x） =W（q）0（x）W（q）0（b*)≥ 1.（2）假设x>b*. 首先，因为策略πb*将进程推到b*在第一个指数时间t（1）=过程高于b的时间*, 我们可以写*（x） =Ehe-qer[（X（er）+X-b*) ∨0]1{X（er）+X≥0}i+Ehe-qervb*（（X（er）+X）∧b*)1{X（er）+X≥0}i，（5.14），其中X是X的运行极限过程。因为vb*为非负且在（0，b）上递增*)根据（1），这在x>b中增加*.

这表明vb*（十）≥ 引理5.4，因为条件Cbholds for b=b*,vb*（x） =K+R∞e-txg（t，b*)u（q+r）（dt）W（q）0（b*),（5.15）关于L'EVY风险过程的最优定期股息策略，其中Cbfor b=b*,g（t，b*) = t+rW（q）（0）+rZb*eut（W（q）0（u）-W（q）0（b*))杜邦-rtW（q）0（b*).我们有g（0+，b*) = -∞ 因为（4.13）和备注3.2（2）给出了W（q）0（u）≥ W（q）0（b*) 福鲁≤ b*,tg（t，b*) = 1+rZb*ueut（W（q）0（u）-W（q）0（b*))du+rtW（q）0（b*) > 因此，存在p>0，使得g（t，b*) ≤ 0<==> t型≤ p、 （5.16）通过单调收敛，Z∞e-txg（t，b*)u（q+r）（dt）=-Zpe公司-tx | g（t，b*)|u（q+r）（dt）+Z∞体育课-txg（t，b*)u（q+r）（dt）x↑∞--→ 因此，鉴于（5.15），limx→∞vb*（x） =K。表示0≤ K≤ 1、（5.17）使用（5.14）和表示X作为X的运行上确界过程，vb*（十）≤ Ehe公司-qer（x+x（er）-b*)i+Exhe-qerisup0≤y≤b*vb*（y）≤ xEhe公司-qeri+Φ（r）-1+Ehe-qerisup0≤y≤b*vb*（y） ，在上一个不等式中，我们使用了E[E-qerX（er）]≤ E[X（er）]=Φ（r）-1< ∞ （见练习3.6in【18】）。因此，K=limx→∞vb*（x） /x个≤ Ehe公司-qeri<1。此外，基于vb*是不减损的，我们必须有K≥ 0.因为vb*（b）*) = 1根据（5.2）和b处的平滑度*如引理4.2所述，1=vb*（b）*) = K+R∞e-tb*g（t，b*)u（q+r）（dt）W（q）0（b*).此外，（5.16）给出了e-（十）-b*)pg（t，b*) ≥ e-（十）-b*)tg（t，b*) 对于所有t>0。因此，通过使用这些和（5.17），vb*（x） =K+R∞e-（十）-b*)te公司-tb*g（t，b*)u（q+r）（dt）W（q）0（b*)≤ K+e-（十）-b*)公共关系∞e-tb*g（t，b*)u（q+r）（dt）W（q）0（b*)= K+e-（十）-b*)p（1-K）≤ 1.18 K.NOBA、J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和K.YANO（ii）假设b*= 0

首先，我们可以写ev（x）=Ehe-qer（X（er）+X）1{X（er）+X≥0}i+Ehe-qerv（0）1{X（er）+X≥因为vis非负，这在x中增加，表明v（x）≥ 通过引理5.4和Z（q）0（0，Φ（q+r））=Φ（q+r）- rW（q）（0），我们有v（x）=K+rR∞e-txg（t，0）u（q+r）（dt）Φ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0）），（5.18），其中g（t，0）=t+rW（q）（0）-tΦ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0））。回想一下b*= 0当且仅当备注4.2的（i）或（ii）成立时。对于情况（i），我们有Φ（q+r）-rW（q）（0）=Φ（q+r）>0乘以（3.9），而在情况（ii）中，根据备注4.2（ii），我们得到Φ（q+r）- rW（q）（0）=Φ（q+r）-钢筋混凝土≥ rq+π(-∞, 0）cΦ（q+r）>0。这意味着g（0+，0）=-∞ 和tg（t，0）=1+Φ（q+r）t（Φ（q+r）- rW（q）（0））>1。因此，存在p>0，使得g在（0，p）上为负，在（p，∞). 然后，e-xpg（t）≥e-xtg（t）表示所有t>0。按（5.12），v（0+）=rW（q+r）0（0+）-rW（q+r）（0）W（q）（0）Φ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0））=rW（q）0（0+）Φ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0）），其中，根据备注4.2的（ii），第二个等式由（3.9）决定。注意到b*= 0当且仅当Φ（q+r）≥ rW（q）0（0+）+rΦ（q+r）W（q）（0）（鉴于（4.12）和命题4.1），我们有v（0+）=rW（q）0（0+）Φ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0））≤ 1、另一方面，（5.18）给定SV（0+）=K+rR∞g（t，0）u（q+r）（dt）Φ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0）），和hencerR∞g（t，0）u（q+r）（dt）Φ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0））≤ 1.- K、 关于L'EVY风险过程的最优周期红利策略19使用这些和（5.17），对于x>0，v（x）=K+rR∞e-xtg（t，0）u（q+r）（dt）Φ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0））≤ K+e-xprR∞g（t，0）u（q+r）（dt）Φ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0））≤ K+e-xp（1-K）≤ 1.接下来，通过应用命题5.1，可以立即得到以下结果。引理5.5。对于b*≥ 0我们有Max0≤l≤x{l+vb*（十）-l）- vb*（x） }=如果x，则为0∈ [0，b*],x个-b*+ vb*（b）*) -vb*（x） 如果x∈ （b）*, ∞).通过引理5.3和5.5，vb*满足变分不等式（5.4）。