关于Levy风险过程的最优周期红利策略

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英文标题：
《On optimal periodic dividend strategies for L\\\'evy risk processes》
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作者：
Kei Noba, Jos\\\'e-Luis P\\\'erez, Kazutoshi Yamazaki, Kouji Yano
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we revisit the optimal periodic dividend problem, in which dividend payments can only be made at the jump times of an independent Poisson process. In the dual (spectrally positive L\\\'evy) model, recent results have shown the optimality of a periodic barrier strategy, which pays dividends at Poissonian dividend-decision times, if and only if the surplus is above some level. In this paper, we show the optimality of this strategy for a spectrally negative L\\\'evy process whose dual has a completely monotone L\\\'evy density. The optimal strategies and value functions are concisely written in terms of the scale functions. Numerical results are also provided.
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中文摘要：
在本文中，我们重新讨论了最优周期红利问题，其中红利支付只能在独立泊松过程的跳跃时间进行。在双重（光谱正L拞evy）模型中，最近的结果显示了周期性障碍策略的最优性，当且仅当盈余高于某个水平时，该策略在泊松红利决策时间支付红利。在本文中，我们证明了此策略对于一个具有完全单调Levy密度的谱负Levy过程的最优性。最优策略和价值函数用尺度函数简洁地表示。还提供了数值结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_optimal_periodic_dividend_strategies_for_Lévy_risk_processes.pdf (2.65 MB)

2022-6-1 05:15:37 上传

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关键词：Levy Mathematical Quantitative Applications Optimization

关于L'EVY风险过程的最优周期红利策略Kei NOBA*, JOS'E-LUIS P'EREZ+、山崎和俊'和YANO KOUJI*摘要。在本文中，我们重新讨论了最优周期红利问题，其中红利支付只能在独立泊松过程的跳跃时间进行。在双重（谱正'evy）模型中，最近的结果显示了周期性障碍策略的最优性，当且仅当盈余高于某一水平时，该策略支付股息，并按泊松红利决策时间进行分配。本文讨论了具有完全单调L'evy密度的谱负L'evy过程的该策略的最优性。最优策略和价值函数用尺度函数简洁地表示。还提供了数值结果。AMS 2010主题分类：60G51、93E20、91B30JEL分类：C44、C61、G24、G32、G35关键词：股息；谱负L'evy过程；缩放功能；定期屏障策略。在经典的de Finetti最优股利问题中，累积到破产的预期总贴现股利最大化。为了模拟保险公司的盈余随保费增加而增加，随保险金减少而减少，使用了具有向下跳跃的复合泊松过程或更普遍的负谱L'evy过程。如今，众所周知，波动理论和尺度函数是有用的，尤其是当最优策略被猜测为反映上一个障碍的基础过程的障碍策略时。对于所反映的L'evyprocess，可以进行大量计算，这些计算可以直接用于解决问题。尽管经典的连续时间模型具有分析可处理性，但遗憾的是，屏障策略在实践中无法实施。

另一方面，虽然具有确定离散支付时间的模型是理想的，但它们缺乏分析可处理性，需要数值方法来解决它们。最近，为了开发一个更现实、更易于分析的模型，考虑了随机离散支付时间。例如，在Albrecher等人[1，2]的研究中，本版本：2018年2月27日。* 京都大学科学研究生院数学系，日本京都大学坂洋区，邮编606-8502。电子邮件：knoba@math.kyoto-u、 ac.jp（K.Noba），kyano@math.kyoto-u、 ac.jp（K.Yano）。+墨西哥瓜纳华托，概率与统计部，材料调查中心A.C.Calle Jalisco s/n.C.P.36240。电子邮件：jluis。garmendia@cimat.mx.（通讯作者）日本大阪市Suita shi Yamatecho 3-3-35号关西大学工程科学学院数学系564-8680。电子邮件：kyamazak@kansai-u、 ac.jp。2 K.NOBA、J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和K.Yan若选择了适当的随机时间，则可使用分析方法计算各种利益恒等式。各种经济文献中也提出了随机观测时间。例如，参见《宏观经济学文献》中“理性疏忽”引发的引言中的讨论。关于随机干预时间的实物期权问题，另请参见[20]和[28]中的讨论。在本文中，我们研究了当股息支付只能在独立泊松过程的跳跃时间进行时的周期障碍策略及其最优性。在这种情况下，Avanzi等人[5]解决了正超指数跳跃的情况；后来，P'erez和Yamazaki【25】和Zhao等人【31】将这种情况推广为一般的光谱正L'evy过程。

通过假设区间是独立的指数随机变量，我们仍然可以将其表述为一维马尔可夫问题。我们还知道（例如，参见[21]中的财务），这可以为固定间隔的情况提供近似值。另见Avanzi等人最近考虑的Erlang（2）到达间隔时间案例【6】。我们考虑了光谱负L'evy情况，这适用于保险背景。在频谱负的情况下，盈余过程可以瞬间跳到价值函数突然衰减的清算区域，因此，分析对L’evymeasure的选择很敏感。另一方面，这在频谱利好的情况下永远不会发生，清算区域可以被忽略。由于这些原因，与光谱正模型相比，光谱负模型的最优性证明更为困难。特别地，为了显示变分不等式，可以使用尺度函数上的已知一般结果来处理谱正L'evy情况。另一方面，对于光谱负的情况，这些并不充分，需要考虑仅适用于光谱负L'evy过程子集的标度函数的进一步性质（见[23]中的定理2和推论1）。目前已知的一个充分条件是L'evy密度的完全单调假设，在此条件下，标度函数可以写成指数函数和完全单调函数的差（见备注3.2）。因此，Loeffen【22】（另请参见Yin等人【30】的分析方法）和Kyprianou等人【19】分别显示了经典案例中障碍策略的最优性和股息策略绝对连续假设下阈值策略的最优性。

在本文中，我们证明了在所考虑的问题中，完全单调假设再次是周期屏障策略最优性的充分条件。具有完全单调L’evy密度的L’evy风险过程包括各种重要过程。举几个例子，我们有【16】中使用的光谱负α-稳定过程、【12】中考虑的（单侧）伽马过程、【11】中使用的（单侧）逆高斯过程，以及最终具有重尾Weibull、Pareto和超指数跳跃的Cr'amer-Lundberg过程（见【3】第1.2章）。关于L'EVY风险过程的最优周期红利策略3根据Bernstein定理，完全单调函数的形式为f（t）=Z∞e-txλ（dx），对于可能的有限测量λ。由此可以看出，具有完全单调密度的L'evy测度大致是指数分布的混合，这意味着跳跃越大，频率越低。我们建议读者参考Feldmann和Whitt等[15]，关于使用指数分布的混合近似完全单调分布。[9]中的实证结果表明，金融模型应使用具有完全单调的L'evy密度的L'evy过程建模。在周期势垒策略下，盈余在其高于势垒的每个泊松到达时间被下推到给定势垒。受控过程正是【8，26】中所考虑的巴黎反射L'evyprocess。其波动恒等式可以有效地用于执行以下“猜测和验证”程序：（1）周期性障碍策略下的股息预期净现值（NPV）可以用标度函数的广义表示。

我们称之为候选人障碍*, 选择，以便相应的（候选）值函数，如果b*> 0，在屏障上变得平滑。特别地，选择该候选屏障使其成为C（0，∞) （分别为C（0，∞)) 对于有界（或无界）变化的情况。（2） 然后我们分析b的存在性*使预期NPV满足平滑条件。为此，我们利用了完全单调假设下尺度函数的特殊性质，即其导数先减小后增大。我们将实现b*> 0或b*= 0，其中，对于案例b*= 0，未来前景为负值，应尽快清算。（3） 使用选定的候选屏障b*≥ 0，其最优性通过需要分析调和特性和候选值函数斜率的验证曲线来确认。利用尺度函数的已知性质，可以对其谐波性质进行简单的分析。相比之下，屏障b上方的坡度分析*这是一个巨大的挑战。在Kyprianou等人[19]所用技术的推动下，我们通过将尺度函数分解为指数函数和完全单调函数来实现这一点。为了观察与经典情况的联系，我们还分析了当泊松到达率增加到整数时的收敛性。特别地，我们证明了最佳势垒b*值函数收敛到经典情况下的值函数[7，22]。通过一系列数值实验进一步证实了分析结果。通过使用i.i.d.指数分布跳跃的简单案例，我们验证了最优性，并对描述问题的参数进行了敏感性分析。论文的其余部分组织如下。

在第2节中，我们回顾了光谱负evy过程并给出了数学模型。在第3节中，我们回顾了周期性障碍策略，并使用尺度函数获得了预期的股息NPV。第4节规定了4 K.NOBA、J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和K.YANOthe候选人屏障b的条件*并表明其存在。所选策略的最优性在第5节中得到确认。第6节显示了泊松到达率趋于精确时的收敛分析。最后，第7节用数值结果对本文进行了总结。2、准备工作2.1。光谱负L'evy过程。设X=（X（t）；t型≥ 0）成为概率空间上定义的L'evy过程(Ohm, F、 P）。对于x∈ R、 当X从X开始时，我们用px来表示X定律，为了方便起见，我们用P来代替P。相应地，我们用ex和E来表示相关的期望运算符。在整篇论文中，我们假设X在光谱上是负的，这意味着它没有正跳跃，也不是从属函数的负。我们定义了拉普拉斯指数（2.1）ψ（θ）：=对数EeθX（1）= γθ+ηθ+Z(-∞,0）eθz- 1.- θz1{z>-1}π（dz），θ≥ 0，其中γ∈ R、 η≥ 0，并且∏是(-∞, 0）称为满足z的X的L'evy度量(-∞,0)(1 ∧z） ∏（dz）<∞.众所周知，当且仅当η=0 andR时，X具有有界变差路径(-1,0）| z |∏（dz）是有限的。在这种情况下，其拉普拉斯指数由（2.2）ψ（θ）=cθ+Z给出(-∞,0）eθz- 1.π（dz），θ≥ 0，其中c：=γ-Z(-1,0）z∏（dz）。（2.3）注意，由于我们已经排除了X具有单调路径的情况，因此c必然大于0。2.2. 具有泊松红利决策时间的最优红利问题。我们假设分期付款只能在到达时间Tr：=（T（i）；我≥ 1） 泊松过程的Nr=（Nr（t）；t型≥ 0），强度r>0，与X无关。

设F：=（F（t）；t型≥ 0）是流程产生的过滤（X，Nr）。在此设置中，策略π：=（Lπ（t）；t型≥ 0）是一个非减量、右连续且F-适应的过程，因此股息的累积金额Lπ允许形式Lπ（t）=Z[0，t]νπ（s）dNr（s），t≥ 0，对于一些F自适应的c\'agl\'ad过程νπ。有关该问题的更详细描述，请参阅参考文献[25]中研究的光谱正案例。关于L'EVY风险过程的最优周期红利策略5红利扣除后的盈余过程Uπ为Uπ（t）：=X（t）- Lπ（t）=X（t）-∞Xi=1νπ（T（i））1{T（i）≤t} ，0≤ t型≤ σπ，其中σπ：=inf{t>0：Uπ（t）<0}是相应的（连续监测）破产时间。在这里和整个过程中，让inf = ∞. 如【25】中所述，付款不得超过可用盈余和hence0≤ νπ（s）≤ Uπ（s-), s≥ 0。（2.4）在满足上述所有约束条件的所有可容许策略集上，我们需要最大化q>0时，破产前支付的股息的预期NPV：vπ（x）：=ExZ[0，σπ]e-qtdLπ（t）= 前任Z[0，σπ]e-qtνπ（t）dNr（t）, x个≥ 因此，问题是计算值函数v（x）：=supπ∈Arvπ（x），x≥ 0，得到最优策略π*如果存在这样的战略，这就可以实现。此后，我们用ep表示一个指数随机变量，参数p>0，与过程X无关，因此我们可以写出T（1）=er。3、周期障碍策略在光谱正的情况下【25】，我们的目标是显示周期障碍策略的最优性，即πb=（Lbr（t）；t型≥ 0），得到的受控过程为L'evy过程，巴黎反射如上所示。我们有UBR（t）=X（t），0≤ t<t+b（1）（3.1），其中t+b（1）：=inf{t（i）：X（t（i））>b}。（3.2）然后该过程向下跳X（T+b（1））-使得Ubr（T+b（1））=b。

对于T+b（1）≤ t<t+b（2）：=inf{S∈ Tr：S>T+b（1），Ubr（S-) > b} ，我们有Ubr（t）=X（t）- （X（T+b（1））- b） 。通过重复此过程可以构建过程Ubrcanbe。假设Lbr（t）是直到时间t的（巴黎）反射的累积量≥ 那么我们有UBR（t）=X（t）- Lbr（t），t≥ 0,6 K.NOBA、J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和K.YANOwithLbr（t）=XT+b（i）≤t型Ubr（T+b（i）-) -b, t型≥ 0，（3.3），其中（T+b（n）；n≥ 1） 可以使用（3.2）和t+b（n+1）归纳构造：=inf{S∈ Tr：S>T+b（n），Ubr（S-) > b} ，n≥ 1、很明显，策略πb：=（Lbr（t）；t型≥ 0），对于b≥ 0，在νπb（t）=（Ubr（t）时可容许-)-（b）∨0、我们用Vb（x）表示其预期股息净现值：=ExZ[0，σb]e-qtdLbr（t）, x个≥ 0，（3.4），其中σb：=inf{t>0:Ubr（t）<0}。3.1. 预期净现值的计算（3.4）。如（3.4）所示，股息的预期净现值可以使用波动理论直接计算。为此，我们首先回顾了尺度函数。修复q>0。我们使用W（q）：R→ [0, ∞) 对于光谱负L'evy processX的标度函数，它在负半直线上取零，而在正半直线上，它是一个连续且严格递增的函数，因此z∞e-θxW（q）（x）dx=ψ（θ）- q、 θ>Φ（q），（3.5），其中ψ如（2.1）所定义，Φ（q）：=sup{λ≥ 0：ψ（λ）=q}。（3.6）我们还定义了x∈ R、 W（q）（x）：=ZxW（q）（y）dy，W（q）（x）：=ZxW（q）（y）dy，Z（q）（x）：=1+qW（q）（x），Z（q）（x）：=ZxZ（q）（Z）dz=x+QZZZW（q）（W）dwdz。因为W（q）（x）=0-∞ < x<0，我们有W（q）（x）=0，W（q）（x）=0，Z（q）（x）=1，Z（q）（x）=x，x≤ 0。（3.7）关于L'EVY风险过程的最佳定期股息策略7如果我们定义τ-:= inf{t≥ 0:X（t）<0}和τ+b：=inf{t≥ 0:X（t）>b}对于任何b>0的，则为e-qτ+b{τ+b<τ-}=W（q）（x）W（q）（b），Exe-qτ-{τ+b>τ-}= Z（q）（x）-Z（q）（b）W（q）（x）W（q）（b）。（3.8）备注3.1。

关于零附近的渐近行为，如在[17]的引理3.1和3.2中，W（q）（0）=（0如果X是无界变差，cif X是有界变差，W（q）0（0+）：=limx↓0W（q）0（x）=η如果η>0，∞ 如果η=0且∏(-∞, 0) = ∞,q+π(-∞,0）cifη=0和∏(-∞, 0) < ∞.（3.9）此外，根据[17]的引理3.3，e-Φ（q）xW（q）（x）%ψ（Φ（q））-1，作为x↑ ∞.（3.10）对于（3.4）的表达式，我们还使用了分别由（3.5）和（3.6）定义的标度函数W（q+r）和Φ（q+r），q替换为q+r。请注意，Φ（q+r）>Φ（q），r>0（3.11）和来自[24]W（q+r）（x）中的恒等式（5）-W（q）（x）=rZxW（q+r）（u）W（q）（x）-u） du，x∈ R、 （3.12）我们还定义了q、R>0和x∈ R、 Z（q）（x，Φ（q+R））：=eΦ（q+R）x1.-rZxe公司-Φ（q+r）zW（q）（z）dz= rZ公司∞e-Φ（q+r）zW（q）（z+x）dz>0，（3.13），其中第二个等式成立，因为（3.5）给定∞e-Φ（q+r）xW（q）（x）dx=r-1、通过区分第一个参数Z（q）0（x，Φ（q+r））：=xZ（q）（x，Φ（q+r））=Φ（q+r）Z（q）（x，Φ（q+r））- rW（q）（x），x>0。（3.14）以下与b级周期性壁垒策略下预期NPV计算相关的结果是[26]中推论3.1（ii）的直接应用。注意，在[26]的推论3.1（ii）中只发现了b>0的情况，但可以通过采用递减的下交叉时间序列进行单调收敛来扩展到b=0的情况。8 K.NOBA、J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和K.YANOLemma 3.1。对于所有b≥ 0和x∈ R、 vb（x）=rW（q）（x）+rRx-bW（q+r）（x-b-y） W（q）（y+b）dy- rW（q）（b）W（q+r）（x）-b） Φ（q+r）Z（q）0（b，Φ（q+r））- rW（q+r）（x）-b） 。（3.15）注意，表达式（3.15）也适用于-∞ < x个≤ b带vb（x）=rΦ（q+r）W（q）（x）Z（q）0（b，Φ（q+r））。此外，对于b=0的情况，通过（3.12），表达式（3.15）简化如下：v（x）=rW（q+r）（x）-rW（q）（0）W（q+r）（x）Φ（q+r）（Φ（q+r）- rW（q）（0））- rW（q+r）（x）。(3.16)3.2. 完全单调的情况。