波动溢出和重尾：一个大t向量自回归模型

这里，bτ*（m+）是对角线矩阵，其对角线上的bτ（m+）的平方根，对于t=1，N、 设e（m+1）t为Y的t方向- XbB（m+1）。E-步骤2计算t=1，N权重：bτt（m+1）=bν（m）+Jbν（m）+（e（m+1）t）bOhm（m+1）e（m+1）t.CM-步骤2使用一维搜索最小化（13）计算bν（m+1）。收敛迭代，直到（8）中目标函数值在两次连续迭代中的相对变化小于ε。输出bB=bB（m+1），bOhm =bOhm（m+1）和bν=bν（m+1）。数据生成过程。我们从阶数为P=2的VAR和J=10的时间序列进行模拟。VAR的维度与第5节中讨论的应用程序中的维度一致。数据生成过程为：yt=Byt-1+Byt-2+et，用于P+1≤ t型≤ T=100。自回归系数矩阵以结构化的方式高度稀疏：在主对角线和第一行上，B带具有相同的稀疏结构，非零元素（B带为0.4，B带为0.2）。误差项Et在多元Student tν（0，ψ）之后，带有ν∈{1, 2, 3, 5, 10, ∞}. 在特殊情况下，ν=1，分布为多元Cauchy分布，其中→ ∞ 分布为多元正态分布。ψ的ijthentry为ψi，j=0.1 | i-j |，使得逆误差协方差矩阵Ohm 是带矩阵。我们采用S=1000次模拟运行。表1：四个估计器和不同自由度的平均绝对估计误差ν。νLS Gaussian t-LassoLassoνfixedν估计值1 0.638 0.187 0.088 0.0892 0.135 0.096 0.088 0.0883 0.107 0.090 0.088 0.0895 0.098 0.090 0.088 0.08910 0.095 0.091 0.089 0.090∞ 0.093 0.091 0.091 0.091性能度量。

比较了不同估计量的估计精度。为了评估估计精度，我们使用平均绝对估计误差maee（B，bB）=SP JSXS=1JXi，j=1ppp=1 | bB（s）p，ij- B（s）p，ij |，其中BB（s）p，ij是估算BB（s）引脚模拟运行s的ijthentry。模拟结果。表1报告了四个估计器的MAEE以及真实自由度ν的不同值。ν固定在真值的t型套索总是达到最佳MAEE。紧随其后的是估计出ν的t-套索。在计算ν时，估计精度没有显著损失。两种t-Lasso估值器的表现均明显优于高斯Lasso（估计精度的差异通过配对t检验进行检验，所有p值均<0.01）。例如，对于ν=1和ν=2，估计精度的提高分别为53%和9%。对于较大的自由度，thet Lasso估计优于Gaussian Lasso的幅度会减小。特别是对于ν=∞ t-Lasso估计量和高斯Lasso估计量之间没有显著差异。实际上，作为ν→ ∞, 多元t分布可以看作是多元正态分布的近似值。Lasso估计器在ν的所有值上也显著优于LS：例如，当ν=3时，它们提高了估计精度18%。考虑到时间序列的长度，最小二乘法需要估计大量参数。最后，图1显示了不同设置下t-Lasso估计自由度的频率ν∈ {1, 2, 3, 10}. 估计的自由度以truevalue（垂直红线）为中心。平均（所有模拟运行的平均）估计自由度为0.94（对于ν=1）、2.10（对于ν=2）、3.16（对于ν=3）和11.14（ν=10）。

ν值越大，估计自由度的方差越大。我们的结论是，自由度是相当准确的估计。ν=1估计自由度频率0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.00 0.05 0.10 0.15 0.20ν=2估计自由度频率1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.50.00 0.05 0.10 0.15 0.20ν=3估计自由度频率2 50.0 0 0.1 0.2 0.3ν=10估计自由度频率0 10 20 30 40 500.0 0.1 0.2 0.3 0.4图1：估计自由度的频率，用于在模拟研究中设置ν=1、2、3、10。自由度的真实值由垂直红线（灰阶上的深灰色）表示。表2：汤森路透Eikon对未来延续1商品的变量描述。标签商品描述CRUO原油NYMEX轻质低硫原油（WTI）复合能源GASO汽油RBc1 NYMEX RBOB汽油复合能源天然气NGc1 NYMEX Henry Hub天然气复合能源乙醇CBoT变性燃料乙醇电子能源玉米Cc1 CBoT玉米复合商品小麦Wc1 CBoT小麦复合商品大豆Sc1 CBoT大豆综合商品Suga Sugar ICE-US Sugar No.11 Futures Electronic CommodityCOTT Cotton ICE-US Cotton No.2 Futures Electronic CommodityCoffee KCc1 ICE-US Co ffee C Futures Electronic Commodity5数据和波动性溢出分析在本节中，我们首先展示数据。然后，我们基于预测误差方差分解定义波动溢出。最后，我们提供了一个网络分析工具，用于可视化这些波动溢出。5.1数据我们研究J=10种农业（玉米、小麦、大豆、糖、棉花、玉米）、能源（原油、汽油、天然气）和生物燃料（乙醇）商品。

我们使用有关在相应期货市场交易的最接近到期合约的开盘价、最高价和最低价的每日信息。汤森路透Eikon上有相关数据。时间跨度为2012年1月3日至2016年10月28日，因此T=1070个每日观测值。表2报告了每个变量的标签和描述。我们使用Parkinson（1980）提出的已实现每日高-低范围获得了单变量波动率度量，更多详情请参见附录B。我们使用Levin等人（2002）的单变量单位根检验和汇总单位根检验检查估计波动率的平稳性，并找到支持平稳性的有力证据（p值<0.01）。其次，我们在2012-2016年期间采用滚动窗口，窗口大小W=220天。在每个时间点t=W，T，我们估计了一个VAR（P）模型，其中P是使用贝叶斯信息准则BIC选择的，用于时间窗口T中日期的对数波动率- W+1直到t。我们假设误差项遵循多元t分布，并使用tLasso估计自由度。然后，我们基于预测误差方差分解研究波动溢出，如下小节所述。5.2溢出指标我们通过广义预测误差方差分解计算波动溢出，取代Diebold和Yilmaz（2015）的定义。考虑模型（1）yt中VAR（P）的向量移动平均（VMA）表示=∞Xp=0θpet-p、 其中θpis是滞后p处的移动平均系数矩阵（cfr.Wold表示定理，L¨utkepohl，2005，p25）。Letbyt+hbe在时间t和预测地平线h对时间t+h进行h步超前预测。然后，ytisbyt+h的jthcomponent的h步超前预测误差，j- yt+h，j=h-1Xp=0θp，j1et+h-p、 1+。

+θp，jJet+h-p、 J，（14）式中，et，jis是et的jthcomponent，θp，jk是θp的jkthentry。如果给出了et的脉冲，kof大小为一个标准偏差，则误差项的期望值等于（et | et，k=√σkk）=∑δk√σkk，（15），其中σkk是∑的kkthentry，δkis是长度J的选择向量，单位条目作为其k元素，其他地方为零。方程（15）定义了广义脉冲，如Pesaran和Shin（1998）所述，响应向量θp∑δk/√σkk，对于p=1，P需要注意的是，（15）不仅适用于正态分布，也适用于t分布（如Ding，2016）。如果ν≤ 2且t分布的协方差矩阵不存在，则应将∑in（15）替换为ψ尺度矩阵。然后，将h步超前方差分解矩阵的jkthentry定义为wh，jk=σ-1公里/小时-1p=0（δjθp∑δk）Ph-1p=0δjθp∑θpδj.（16）这是由VAR变量k中的方差所占的h步超前预测误差（14）方差的比例。请注意，（16）的分母等于（14）的方差，（16）的分子是响应向量的平方JTH分量。由于误差项分量不是正交的，一般来说，jk=1wh，jk6=1。我们考虑了归一化方差分解~wh，jk=wh，jkPJk=1wh，jk，其通过构造在区间[0，1]内。上述归一化方差分解对应于Lanne和Nyberg（2016）提出的广义方差分解。商品k对商品j的波动溢出定义为k→j=100* wh，jk。（17） 波动溢出指数由h=JXj6=kj，k=1sh，k给出→j、 （18）作为整体波动性溢出的单一衡量指标和波动性溢出幅度的总体代表。

在其余部分中，我们取h=5，这与一个工作周重合（Bub\'ak等人，2011）。5.3网络分析我们使用网络分析工具（例如Diebold和Yilmaz，2015；Hautschet al.，2015）对波动溢出进行可视化。网络中的节点是不同的商品。如果sh，k，则绘制从商品k到商品j的边→方程式（17）中的j为非零；边缘宽度表示波动溢出的大小。因此，我们的网络是定向和加权的，但不一定是稀疏的。实际上，在估计的VMA系数矩阵Bθ中，B的稀疏性并不一定保持不变。因此，网络将描绘出许多非零波动溢出，因此包含许多边缘，尽管其中许多可能非常小。因此，为了更好地可视化，我们给出了仅代表15%最大波动溢出的网络。6结果在本节中，我们首先介绍了估计自由度和挥发度溢出的时间演变（cfr第5.1节）。其次，我们描绘了显示波动溢出的网络（cfr第5.3节）。最后，我们展示了t-Lasso在预测精度方面的良好性能。6.1滚动窗口分析估计自由度。图2报告了VAR残差在每个时间点t的多变量分布的估计自由度，t是每个时间窗口的终点。bν的平均值为1.57，最大值为1.80，最小值为1.43。总的来说，我们观察到自由度的估计值非常低。这证实了重尾的存在，并证明了t型套索比高斯套索更适合使用。如果我们观察bν随时间的演变，我们会发现在2014年下半年至2015年上半年之间结束的时间窗口内，估计自由度的值较低。

2014年下半年，大宗商品市场波动较大，主要受原油价格下跌近50%的推动（Knittel和Pindyck，2016）。bν值越小，表明变量创新中的极端实现越明显，反映出商品市场的不可预测行为。2013 2014 2015 20161.2 1.4 1.6 1.8 2.0时间估计自由度图2:t-Lassofor 220天滚动窗口下VAR残差多元t分布的估计自由度。x轴表示每个窗口的结束日期。波动溢出指数。图3报告了t-Lasso波动溢出指数（cfr方程（18））随时间t的变化，t是每个时间窗口的终点。我们观察到，波动溢出指数随着时间的推移会经历较大的波动。特别是，2014年下半年，我们发现波动性溢出的总体水平大幅下降。这种下降并非永久性的，2015年期间，波动溢出指数恢复到2014年之前的水平。波动溢出指数的下滑也可能与2014年下半年原油价格的下跌有关。原油价格经历了大幅下跌，原因是（i）欧佩克和非欧佩克国家的供应量增加，以及（ii）由于世界经济放缓，尤其是中国经济放缓，全球需求疲软。能源价格的下跌使生物燃料的竞争力下降，并意味着能源、生物燃料和农产品之间的波动溢出效应减弱。6.2网络分析我们对商品网络中的波动溢出进行了可视化。图4顶部显示了截至2016年10月28日的时间窗口的网络，这是我们数据集中的最后一个时间点。

例如，从汽油（GASO）到原油（CRUO）的直接差异是因为汽油到渣油的波动性溢出不同于零，属于最大的15%波动性溢出。回顾edge width2013 2014 2015 201655 60 65 70时间波动性溢出指数图3：220天滚动窗口的t-Lasso波动性溢出指数。x轴表示每个窗口的结束日期。表示波动性溢出的大小。图4还报告了截至2015年2月5日（左下）和2014年6月17日（右下）的时间窗口的网络。为简单起见，从现在起，我们仅在其windows的结束日期之前提及这三个网络。2015年和2014年的网络对应的时间窗口分别具有最低和最高的波动性Pillover指数值。链接能源生物燃料。在所有网络中，我们发现能源和生物燃料商品之间存在波动溢出。在2015年和2014年的网络中，汽油是唯一通过edge与乙醇相连的能源商品。由于乙醇通常混合在汽油中用于消费（Serra和Zilberman，2013），因此在能源价格高企时期（即network 2014）和能源价格大幅度变化时期（即network 2015），观察到这两种商品之间的波动溢出就不足为奇了。链接能源农业。在所有网络中都检测到能源和农业之间的双向波动溢出，证实了Rezitis（2015）的发现。在2016年的网络中，天然气从农产品中溢出并流向农产品，而在2015年和2014年的网络中，汽油是与农业联系最紧密的能源商品。

天然气和汽油都是农业部门的主要商品：前者是化肥的主要生产成本，而后者是最重要的燃料（与柴油一起）。如果能源价格很高（如network 2014），燃料对农产品的影响很大，这可以解释/togasoline带来的众多波动溢出。相反，由于能源价格低，燃料便宜（如network 2016），肥料价格的变化在很大程度上影响了农产品的波动，这可以解释天然气产生的许多波动溢出。在所有网络中，各种农产品都与能源的波动溢出有关。一般而言，能源的波动性溢出既涉及作为生物燃料生产主要投入的农作物（如小麦、大豆和糖），也涉及与生物燃料没有直接联系的农作物（如二氧化碳），如Rezitis（2015）。链接生物燃料农业。生物燃料和农业之间的波动溢出仅在2016年和2014年的网络中发现。这些波动溢出是双向的，涉及小麦、糖和棉花：这与我们的预期一致，因为这些作物可以用于乙醇生产。在2015年的网络中，我们观察到生物燃料和农业之间没有波动溢出。在此期间，能源价格大幅下跌（Knittel和Pindyck，2016）：这使得生物燃料与其他标准燃料相比缺乏吸引力，并可能导致农业波动溢出较弱。6.3预测准确性我们现在预测商品波动率。对于给定的预测期，我们通过（t）t+h=[通过（t）t+h，1。

，通过（t）t+h，J]基于时间窗[t- W+1，t]，其中t是大小为W的时间窗口的终点，通过（t）t+h，jis是在该终点对时间t+h的系列j进行的h步超前预测。使用（1）中的VAR模型进行预测，自回归系数bb通过估计ν的t-Lasso、高斯Lasso和LS获得。我们通过计算平均绝对预测误差mafe=N来比较这三种估计器的预测精度- h类- W+1N-hXt=WMAFEtwith MAFEt=JJXj=1 | x（t）t+h，j- yt+h，j |。因此，计算每个时间窗口的MAFE，然后对所有时间窗口进行平均。平均绝对预测误差值越小，波动率预测越准确。后果表3报告了不同预测期（即h=1、h=5和h=20天）的三种估计器的MAFE结果。t-Lasso为所有预测者实现了MAFE的最佳价值。我们发现，基于Diebold-Mariano检验（Diebold和Mariano，1995），信息预测精度与其他估计值的差异总是显著的（p值<0.01）。对于预测层位H=1，t-Lasso的MAFE相对改善了1%，比高斯Lasso和Cruogasonatgethacornwheasoybsugacottcoffoctober 2016年6月28日Cruogasonatgethacornwheasoybsugacottcofff2015年6月17日Cruogasonatgethacornwheasoybsugacottcoffoctober 5的MAFE相对改善了23%，2014年图4:220天滚动窗口不同结束时间的波动溢出商品网络：2016年10月28日（上图）、2015年2月5日（左下）和2014年6月17日（右下）。表3:220天滚动窗口中t-Lasso、Gaussian Lasso和LS的预测水平SH=1、5和20的平均绝对预测误差。地平线t-套索高斯套索LSh=1 1 1.871 1.896 2.418h=5 1.959 2.056 2.589h=20 2.280 2.636 2.820 LS。