波动溢出和重尾：一个大t向量自回归模型

预测范围越高，与高斯套索相比，t套索的性能越好：例如，对于h=20，我们的估计值提高了14%。图5报告了t-Lasso（蓝色实线）、GaussianLasso（红色虚线）和最小二乘（绿色虚线）的MAFEt（h=20）随时间窗口终点t的变化。在除时间窗口外的所有时间窗口中，t型套索的平均绝对预测误差均低于高斯套索，Diebold-Mariano检验证实，在所有这些时间窗口中，预测精度的差异都是显著的。总的来说，我们发现，无论预测期限或是否存在较大的波动溢出，t-Lasso都比Gaussian Lasso和LS具有更好的预测性能。7讨论本文研究了向量自回归（VAR）模型中的波动溢出，该模型解释了其创新的胖病性。我们扩展了Diebold和Yilmaz（2015）的工作，并提出了一个多元t分布后的VAR模型的惩罚目标，其中包括自由度的估计。我们强调，对于ν=∞. 即使对于大量相对较短的时间序列，我们的估计也是可计算的。我们的仿真研究表明，所提出的t-Lasso在估计精度方面比高斯Lasso或最小二乘法有更好的性能。即使对于包含相对于时间序列长度的大量时间序列的VAR模型，惩罚估计器也能确保良好的估计精度。误差的t分布更好地捕捉到商品波动的典型峰值。我们使用滚动窗口方法研究了J=10能源、生物燃料和农产品之间的波动溢出动态。

我们的发现强调了VAR模型的对数挥发率和残差的分布是厚尾的。此外，我们使用基于预测误差方差分解的网络来可视化波动溢出。我们发现了能源和农产品之间双向波动溢出的证据，无论是否为生物燃料作物（Rezitis，2015）。我们的分析基于Diebold和Yilmaz（2014）的波动性溢出定义，并依赖于2013 2014 2015 20161.5 2.0 2.5 3.0 3.5TimeMAFEFigure 5：220天滚动窗口的平均绝对预测误差和预测地平线h=20的套索（实心）、高斯套索（虚线）和最小二乘（虚线）。x轴表示每个窗口的结束日期。广义预测误差方差分解。然而，也可以使用其他定义。例如，我们使用Cholesky分解（Diebold和Yilmaz，2015年，第14页）和光谱分解（Hafner和Herwartz，2006年）重新进行了分析。在这两种情况下，我们得到的结果与所报告的结果相当，波动性溢出的幅度只有微小变化。使用其他波动性溢出定义时也是如此。例如，我们将波动溢出定义为广义脉冲响应的平方和，并得出可比较的结论。详细结果可根据要求从作者处获得。进一步的研究可能遵循几个轨迹。一方面，可以研究VAR误差中不对称性的存在，例如通过考虑多元偏态t分布（Kotzand Nadarajah，2004，p98）或通过研究Barun'ik等人（2015）中的已实现半方差。另一方面，使用其他数据和波动性度量可能很有趣（McAleer和Medeiros，2008）。

对于商品期货，与日内高频回报率相比，开盘、最低和最高日价格的数据更容易获得，这促使我们选择研究每日实现范围。然而，根据资产类型和/或波动性度量，创新分布可能会有更少或更多的厚尾分布，这可能会对风险管理产生不同的影响（例如，参见Brownlees和Gallo，2010年纽约证券交易所股票不同已实现波动性度量之间的风险价值比较）。最后，提出的t-VAR方法可用于其他研究大量时间序列中的滞后效应的研究，以解释厚尾误差。其中，系统性风险分析，即单个企业违约可能威胁整个市场稳定的风险（Hautsch et al.，2015），似乎是一种自然的应用。2007-09年之后，作为系统性风险的衡量标准，企业间溢出的建模变得非常重要：通常，人们会研究大量企业（Hautsch等人，2015），并对股票市场极端低迷导致的非正态创新分布进行建模（Engle等人，2015）。拟议的t-VAR方法将明确解决这两个问题，其结果将以风险网络的形式进行高度解释。确认。这项工作得到了FWO（法兰德斯研究基金会，合同编号12M8217N）和库鲁汶研究基金会GOA/12/014项目的支持。我们感谢PietSercu和Kris Boudt的有用评论，这些评论极大地改进了手稿。附录A：高斯套索算法用于计算高斯套索的算法在算法A中给出。首先，我们在逆误差协方差矩阵的条件下求解自回归参数BOhm 使用坐标描述算法，如Friedman et al.（2007）。

其次，我们解决Ohm 以B为条件，使用Friedman et al.（2008）的图形Lassoalgorithm。这两个步骤分别使用grplasso和glassopackages在R中实现。我们反复重复这两个步骤，直到目标函数收敛。正则化参数的选择。求解B时|Ohm, 我们使用正则化参数λ的网格，并搜索最小化贝叶斯信息准则（BIC）BICλ=-2logLλ+dfλlog（N），其中logLλ是使用正则化参数λ估计的可能性，即（3）中的第一项，dfλ是bbλ的非零分量数。同样，在解决Ohm|B我们使用正则化参数γ的网格，并搜索使BICBICγ=-2logγ+dfγlog（N），其中dfγ是b的非零下对角线元素数Ohm.算法A高斯套索：高斯误差输入Y、X和期望精度ε的惩罚估计。初始化BOhm（0）=IJ。迭代对m=0、1、2、…，重复以下步骤：求解B|Ohm. 计算B（m+1）：bB（m+1）=argminB2Ntr（Y）- XB）bOhm（m） （Y）- XB）+ λJXi，j=1ppp=1 | Bp，ij |。正在解决Ohm|B、 计算机Ohm（m+1）：bOhm（m+1）=argminOhm第2次（Y）- XbB（m+1））Ohm（Y）- XbB（m+1））-日志|Ohm| + γJXi6=j |ωij |。收敛迭代，直到（3）中目标函数值在两次连续迭代中的相对变化小于ε。输出bB=bB（m+1）和BOhm =bOhm（m+1）。附录B：波动性度量在帕金森（1980）之后，我们使用高低日变化估计量获得了未来合约波动性的度量。考虑关于开盘价Ot，j，最高价Ht，Jan和最低价Lt，Jat的每日信息，日期1≤ t型≤ 商品1的T≤ j≤ J

日方差的高低范围估计量为vt，j=4 log（2）（ht，j- lt，j），其中ht，j=对数（ht，j）-log（Ot，j）和lt，j=log（lt，j）-log（Ot，j）分别是最大和最小日收益。关于波动性的已实现范围度量，请参见Shu和Zhang（2006）或Martens和van Dick（2007）。进入方程（1）VAR的时间序列是时间t时商品j的实现范围bvt，jof的对数变换，即yt=[log（bvt，j），…，log（bvt，j）]。原始波动率序列可以通过对inBauer和Vorkink（2011）的再变换偏差进行指数变换和校正来获得。参考Sandersen，T.G。；Bollerslev，T。；Diebold，F.X.和Heiko，E.（2001），“已实现股票收益波动率的分布”，《金融经济学杂志》，61（1），43–76。Barigozzi，M.和Hallin，M.（2017），“高维金融系列波动性的网络分析”，《皇家统计学会期刊：C系列（应用统计）》，66（3），581–605。Barndor Off-Nielsen，O.E.和Shephard，N.（2002），“已实现波动率的计量经济学分析及其在估计随机波动率模型中的应用”，《皇家统计学会期刊：B辑（统计方法学）》，64（2），253-280。巴伦克，J。；Koˇcenda，E.和V'acha，L.（2015），“石油市场波动性溢出”，《能源杂志》，36（3），309–330。Basu，S.和Michailidis，G.（2015），“稀疏高维时间序列模型中的正则化估计”，《统计年鉴》，43（4），1535–1567。Bauer，G.H.和Vorkink，K.（2011），“预测多变量已实现股票市场波动”，经济计量学杂志，160（1），93–101。Brownlees，C.T.和Gallo，G.M.（2010），“波动性度量的比较：风险管理视角”，《金融计量经济学杂志》，8（1），29–56。Bub\'ak，V。；科森达，E.和齐克，F。

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