线性模型的非线性价格影响

TIM1的收益几乎与IM2相同，HDIM2结合了所有型号中最好的（未显示）。图2显示了非常大的滴答声仪器（η=0.03）的动力学示例。在这里，价格变化很少见。因此，TIM2可以很好地跟踪穷人和CIM2。-101（n=50）0 300 600 900个交易-12012r（n=50）[bp]图1。上图：2013年AAPL订单流量的简短摘录，η=0.7。灰色实线：平均订单号‘ N=50个交易的箱子（因果关系）。标记：每个标记的交易位置。下图：以三角形开始的灰色线：以基点表示的真实50笔交易回报。以菱形开始的蓝线：TIM2根据实际订单流量预测的回报。模型被校准到全年。以恒星开始的红线：CIM2的预测。标记展开以获得可见性，并连接到时间序列，时间序列从t=0开始。与真实回报的互相关：TIM2为0.77，CIM2为0.74（相对估计误差≈ 0.05%，季度变化≈ 2%).-101（n=50）0 500 1000 1500个交易-1.20.01.2r（n=50）[bp]图2。2013年SCHATZ订单流量（顶部）和退货（底部）的简短摘录，η=0.03。方法参考图1。与真实回报的互相关：TIM2为0.51，CIM2为0.94（相对估计误差≈ 0.05%，季度变化≈ 1%).B、 系统性能比较为了更系统地比较模型的短期性能，N=50的实际和预测总回报之间的相关系数为0.0 0.2 0.4 0.6 0.8微结构参数η0.000.250.500.751.00xcorr（r，*)TIM1TIM2HDIM2CIM2IG。3、经验N-tradereturns（N=50）与模型预测之间的相互关系，基于样本中所有仪器的trueorder Flow，根据相应的微观结构参数绘制（见等式1）。

对于每个模型，一个点对应一个仪器。对样本中所有可用的1年期进行模型拟合和互相关计算，如果可用时间超过1年，则取平均值。交易如图3所示。显示了我们数据集中的所有仪器，按其微观结构参数η排序（见第二节）。对于η的所有值，HDIM2的结果最好。平均而言，HDIM2比CIM2提高了2%，CIM2比TIM2好13%，TIM2本身比TIM1好82%。然而，请注意，对于大型刻度仪器，CIM2和HDIM2型号的性能几乎完美，而TIMs的性能明显不佳。对于最小的刻度大小，所有模型的相关性约为60%。定性结果对于箱子大小N的变化是稳健的，但所有模型的互相关随着N的增加缓慢下降。C、 解释影响比例函数我们现在关注的是[1]中考虑的主要数量，即条件聚合影响rn（X）：=*log m（t+N）- 对数m（t）X=N-1Xi=0xt+i+，（8），其中x=q，单笔交易的签署量，或x=, 订单的标志。相应的聚合等式分别为X=Q或X=E。Q通过每日总体积进行归一化，每日总体积仅产生少量影响。图4显示了N=50和amedium tick size股票（η=0.61）的RN（Q）和RN（E）。所有模型都能很好地再现RN（Q）的S形，但HDIM2和CIM2优于TIMs。另一方面，TIM1完全忽略了RN（E）的正弦形状，这导致了几乎线性的函数。TIM2表现更好，而HDIM2和CIM2几乎完美地生成了经验曲线。这些结果取决于所考虑的工具；另见附录D。对于小刻度，除TIM1外的所有模型都能很好地再现数据。

对于非常大的记号工具，evenTIM2产生一个线性符号影响函数。为了定量比较模型再现聚集符号碰撞曲线形状的能力，我们量化了区间x上曲线f（x）的曲率度量∈ [-a、 a]as：χ（f）：=-R-a/2f（x）dxR-a/2-af（x）dx+Ra/2f（x）dxRaa/2f（x）dx. （9） 该指标背后的直觉是，穿过原点0和a/2之间的直线下的面积是a/2和a之间面积的三分之一，在这种情况下χ=0。对于理想正弦函数或十字形函数，χ=-2/3. 作为一种基于积分的相对度量，即使在有噪声的数据中，它的性能也相当稳定。所有仪器的χ平均值结果如图5左侧面板所示。如文献[1]所述，经验符号冲击曲线RN（E）具有很强的负曲率hχi≈ -0.35，而对于TIM1，χ基本上为零，而对于TIM2，χ仅略为负。另一方面，HDIM2和CIM2不仅再现了平均曲率，还再现了曲率在仪器中分布的标准偏差。图5的右侧面板显示了所有仪器中RN（E）的预测曲率和真实曲率之间的相关性。正如预期的那样，HDIM2和CIM2产生了最高的互相关，接近HDIM2的90%。D、 差异性和特征图【1】中的另一个发现是，总冲击曲线的x轴和y轴比例大体上与分别为符号时间序列和返回时间序列的赫斯特指数H一致。

由于我们使用前者作为模型的输入，因此我们仅使用线性插值作为中间处理步骤，以便能够在四个间隔上进行积分，尽管数据点间隔不规则。请注意，互相关的平方也可以解释为具有截距的线性回归的确定系数。-0.005 0.000 0.005 0.01体积不平衡Q-50510聚合冲击R50【bp】TrueTIM1TIM2HDIM2CIM2-30 0 30符号不平衡E-20-1001020图。4、预期收益Rn取决于N=50个交易的仓位中的总量不平衡Q（左）和总量符号不平衡E（右）。Q是以总日体积和四分位数的分数来衡量的。基本点的影响。交叉：2015-2016年MSFT的测量。彩色线：对不同模型预测的相同顺序流量的回报的总影响。HDIM2和CIM2的曲线几乎相同。TrueTIM1TIM2HDIM2CIM2-0.60-0.45-0.30-0.150.00曲率±stdTIM1TIM2HDIM2CIM20.300.450.600.750.90xcorr±seFIG。所有仪器N=50时符号冲击曲线RN（E）的曲率χ（等式9）统计。左：平均曲率（点）和色散（线）。右图：模型和真实冲击曲线之间曲率的相互关系。误差线：标准误差。模型和数据之间可能存在的差异可能源于输出返回的缩放特性。之前的工作研究了一种非常精确的区分度偏差测量方法，即“特征图”D（`）=`h（对数m（t+`）- 对数m（t））i，（10）独立于“完美扩散”（H=0.5），随“次扩散”（H<0.5）衰减，随“超扩散”（H>0.5）增长。在这里，我们通过减去低频扩散常数Dlfs来跟踪文献，因为我们只对与完全扩散行为相关的偏差感兴趣。

我们通过将校准模型模拟为动态系统，以样本外真实顺序流作为输入（之前的工作使用样本内核和相关矩阵的D（`）中间的闭合形式表达式），获得了EDD（`）。图6中显示了一些示例。对于小蜱虫工具，所有传播模型的表现都相似，而对于大蜱虫，它们表现出更多的差异。对于短滞后，TIM1通常表现出一些超差，而TIM2对大型蜱类具有强烈的亚效应。CIM2100102103103103LAG l[交易]-0.2-0.10.00.10.20.30.4扩散异常（l）- DLF【bp2】CIM2HDIM2HDIM2*TIM2TIM1TRUE100101102103 LAG l【交易】-0.4-0.20.00.20.40.6扩散异常（l）- DLF【bp2】图6。2015-2016年AAPL（顶部）和MSFT（底部）的签名图。交叉：真实回报。彩色线：在相同的顺序流下，不同模型预测的回报的总影响。对于HDIM2*而言，使用了与例[9]中相同的两点近似值。正如预期的那样，显示了长滞后的超差，这是顺序符号长记忆的直接结果。正如引言中所解释的，这就是为什么首先引入Propagator模型的原因。对于小刻度和大刻度，HDIM2都能最好地再现D（`）的详细形状。这很有趣，因为之前的工作使用基于三点相关性两点因式分解的近似校准HDIMS，在小刻度的情况下报告了令人失望的HDIM2结果【8–10】。同样的效果见图6，其中我们显示了HDIM2的近似校准结果，我们称之为HDIM2*。我们现在看到，HDIM2的精确校准解决了这个问题，并且能够准确再现signatureplot和完整响应函数，比TIM2好得多（参见附录C）。图7显示了标度指数的更系统的比较。

左上面板显示了靠近原点的冲击曲线斜率的标度指数κ在仪器之间的分布，其表现为N-κ。HDIM2再次表现最佳。TIMs倾向于高估κ，而CIM2则低估了κ。HDIM2的完整重标冲击曲线见附录D。返回时间序列的相应全局Hurst指数显示在同一图的左下角。真实回报率略为次受影响（以H衡量），而TIM2和HDIM2则几乎不受影响。CIM2显然是一种超高效的产品，这是从签名图和贸易符号的长期记忆中可以看出的，尤其是对于小型滴答工具。然而，请注意，唯一的赫斯特指数无法描述签名图的全部行为，见图6。图7的右栏显示了斜率标度指数和模型返回的Hurstexponents与实际值的互相关。HDIM2几乎完美地再现了两种测量仪器的变化。CIM2在这方面的表现稍差，但TIMs完全失败。尽管它们的平均值（左栏）与真实值相似，但它们的长期差异性在不同工具之间的相对变化往往与真实回报的相同衡量标准相反。五、 讨论这项工作的主要目的是测试基本冲击模型是否能够再现[1]中最近报道的集料冲击函数的强非线性凹面形状。特别是，假设非价格变化的市场订单起着至关重要的作用，我们通过比较以不同方式或根本不以不同方式整合它们的模型来检验这一点。从经验上看，价格变化不太可能导致更有偏向的订单流。因此，当订单流在一个方向上强烈极化时，骨料影响消失【1】。

这一明显违反直觉的结果似乎反映了市场条件，即流动性接受者和提供者有选择地表现得更加偏向，因为它们抵消了彼此的影响。我们回顾了文献中提出的几个“传播者”模型，发现依赖历史的影响模型HDIM2能够准确再现价格动态的所有考虑方面，从聚合影响函数到价格的扩散特性。HDIM2将下一次价格变化表示为之前订单符号的线性组合，其权重取决于各自的订单类型标签–价格变化与非价格变化。其他模型表现较差，尤其是瞬态冲击模型。TIM2收到相同的输入。对于聚合设计影响（未显示）0.000.150.300.450.60缩放指数κ，差异似乎不太明显-1-0.50.00.51.0xcorr，带真κTrueTIM1TIM2HDIM2CIM20.400.450.500.550.600.65Hurst指数HrTIM1TIM2HDIM2CIM2-1-0.50.00.51.0xcorr与真实HrFIG。左上：冲击曲线斜率相关性的标度指数κRN（Q）/Q | Q=0∝ N-k关于仓位大小N.标记：表示所有工具的真实回报（最左边的标记）或四个模型从真实订单流量预测的回报。垂直线：各自的标准偏差。右上：真实κ与模型各自预测（标记）的仪器间的互相关。误差条表示标准误差。左下角：Hurst指数与上面板中使用的实际和预测回报率相同。通过仪器再次计算平均值和标准偏差。

右下角：实际人力资源各工具与模型各自预测的互相关。误差线：标准误差。。与HDIM2一样，但它仅平均考虑了两种订单类型的不同影响，而不是针对每个事件。TIM1不区分订单类型，只考虑过去的订单标志。这些结果使我们研究了仅基于订单号以及每个时间点价格变动订单和非价格变动订单之间的一致性差异，而不考虑之前的订单流，各种观察结果的再现程度。为此，我们引入了恒定影响模型CIM2，其中价格变化事件在订单符号方向上具有恒定的非零影响，而非价格变化事件具有零影响。尽管该模型有缺点，如长期的超分散价格是由于市场秩序信号的长期记忆造成的，但它再现了总体影响函数的凹度以及HDIM2。此外，非价格变动指令的影响很小的假设通过对应核的弱振幅得到验证（见图8）。这表明，非价格变动订单（可能是由于流动性低于可用流动性和估计的再融资造成的）确实是偏颇订单流的总符号影响消失的主要原因——很简单，因为主要是买入（或卖出）市场订单的长序列也是非价格变动事件的长序列。它还表明，非线性冲击曲线再现了通常被视为线性模型的HDIM2【10】，因为关键的非线性在于区分一个阶数是否会改变价格。

从这个意义上讲，它是一个带有预分类输入的线性模型。与之前的工作相比，我们的结果是通过更严格的模型校准和样本外测试技术获得的。例如，我们开发了一种新的有效方法来校准多事件HDIMS，因为使用文献中的现有方法校准的HDIM2*有时比其无记忆极限CIM2（如图3所示，未显示更多数据）和不一致极限TIM2（见图6；之前曾报告过类似问题[9]）更差。此外，我们通过实际将模型作为动态系统运行，然后像真实回报一样分析其输出来测试模型。这使得我们的测试比常用的闭式表达式更加敏感。后者有时可以隐藏模型差异，因为它们无法显示不一致模型（如TIM2）的校准偏差。如附录C所示，不一定保证无偏差校准，但可以通过测量模型输入与其预测误差之间的互相关来验证。综上所述，我们在方法上的改进也解决了一个长期存在的问题，即为什么以前发现的DIM模型往往不如理论上依据不充分且有时不一致的TIM模型[8-10]）。还有几个问题有待于今后的工作。本文并未涉及艺术订单流的生成。这包括预测非变动价格，而不使用此信息作为输入（最近的一次尝试见[14]）。然而，最重要的问题可能是关闭循环，使有序流动和流动性动态从循环的动态过程中出现。致谢感谢M.Benzaquen、G.Bormetti、Z.Eisler、S.Hardiman、C.A.Lehalle、I.Mastromatteo、D.Taranto和B.Toth进行的鼓舞人心的讨论。我们也感谢G.博尔顿和J。

Lafaye在数据准备期间提供支持。[1] 菲利克斯·帕特泽尔和让·菲利普·布沙德。金融市场中总价格影响的普遍尺度和非线性。arXiv预印本arXiv:1706.04163【q fin.TR】，2017年。[2] 阿尔伯特·S·凯尔。持续的拍卖和内幕交易。《计量经济学》，53（6）：1315–13351985。[3] 尤金·法玛。有效资本市场：对理论和实证工作的回顾。《金融杂志》，25（2）：383–4171970。[4] 理查德·莱昂斯。汇率的微观结构方法，第1章。麻省理工学院出版社剑桥，2000年。[5] 卡尔·霍普曼。供求关系会推动股价吗？《定量金融》，7（1）：37–532007年。[6] Jean-PhilippeBouchaud、J.Doyne Farmer和FabrizioLillo。市场如何缓慢消化供求变化。托尔斯滕·亨斯（ThorstenHens）和克劳斯·雷纳·申霍普（KlausReinerSchenkhoppe），编辑，《金融市场手册：动力学和进化》。北荷兰，爱思唯尔，2009年。[7] Bence T’oth、Yves Lemperiere、Cyril Deremble、JoachimDe Lataillade、Julien Kockelkoren和J-P Bouchaud。异常价格影响和金融市场流动性的关键性质。物理评论X，1（2）：0210062011。[8] Zolt\'an Eisler、Jean-Philippe Bouchaud和Julien Kockelkoren。所有订单簿事件影响的模型。InF.Abergel、J.P.Bouchaud、T.Foucault、C.Lehalle和M。Rosenbaum，《市场微观结构：面对许多观点》，编辑，第113-135页。Wiley OnlineLibrary，2012年。[9] Zoltan Eisler、Jean-Philippe Bouchaud和Julien Kockelkoren。订单簿事件的价格影响：市场订单、限价订单和取消。《定量金融》，12（9）：1395–14192012。[10] 达米安·爱德华多·塔兰托（DamianEduardoTaranto）、贾科莫·博梅蒂（GiacomoBormeti）、让·菲利普·布沙德（JeanPhilippeBouchaud）、法布里齐奥·利洛（FabrizioLillo）和本斯·托特（BenceToth。订单流量对价格影响的线性模型i.传播因素：瞬态与历史相关影响。