线性模型的非线性价格影响

arXiv预印本arXiv:1602.02735【q-fin.TR】，2016年。[11] Khalil Dayri和Mathieu Rosenbaum。大刻度资产：隐式排列和最佳刻度大小。《市场微观结构与流动性》，1（01）：155000320015。[12] 黄卫兵、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒和马蒂厄·罗森鲍姆。如何预测tickvalue变化的后果？东京证券交易所试点项目的证据。《市场微观结构与流动性》，第1750001页，2015年。[13] Jean-Philippe Bouchaud、Yuval Gefen、Marc Potters和Matthieu Wyart。金融市场的波动和反应：“随机”价格变化的微妙性质。定量金融，4（2）：176–190，2004年。[14] 达米安·爱德华多·塔兰托（DamianEduardoTaranto）、贾科莫·博梅蒂（GiacomoBormeti）、让·菲利普·布沙德（JeanPhilippeBouchaud）、法布里齐奥·利洛（FabrizioLillo）和本斯·托特（BenceToth。订单流量对价格影响的线性模型2。混合过渡分布模型。arXiv预印本XIV:1604.07556【q-fin.TR】，2016年。附录附录A：传播子模型校准根据数据校准TIM和HDIM模型需要估计各自的传播子核。这相当于求解一个线性方程组。要看到这一点，请考虑（条件）差异响应π，π（`）：=hΔπ（t）πr（t）Δπ（t-`) π（t-`)i（A1）Sπ（`）：=XπSπ，π（`）（A2）S（`）：=XπSπ（`）（A3），其中S（`）是给定时间t的任何交易时t+`的预期回报率。对于HDIM2，将等式5与等式A2相结合，并引入误差项ν（t）：=r（t）-rHDIM2（t）（A4）屈服强度π（`）：=hr（t）Δπ（t-`) π（t-`)i（A5）=h（rhdim2（t）+ν（t））Δπ（t-`) π（t-`)i（A6）≈ hrhdim2（t）Δπ（t-`) π（t-`)i（A7）=Xπ，π，j≥0hκππ（j）。Δπ（t）πΔπ（t-j） π（t-j） Δπ（t-`)π（t-`)|{z}=：Cππ（`，j）i（A8），三重互相关Cππ（`，j）的简写符号：=Cfgh（`，j），f=Δπ（t）π，g=Δπ（t-`) π（t-`), h=Δπ（t-j） π（t-j） 。当且仅当校准偏差ν（t）Δπ（t-`) π（t-`)i=0。

（A9）我们可以预期，经过适当校准且一致的线性模型在其输入和预测误差之间没有线性相关性。因此，对于格式良好的模型，ν应该非常接近零。我们将在C节中讨论这一点何时成立以及何时出现问题。在以前的工作中，Cππ（`，j）近似为两点互相关Cππ（j）：=hΔπ（t）π（t） Δπ（t-j） π（t- j） i简化校准。这里，我们使用一种新方法来计算附录B 1中介绍的全部三点互相关。式A8是一个线性方程组，可以为k求解，因为S和C是可观测的。实际上，将其重写为formS=Ck很有用<=> （A10）SncScc公司=CNNCCCNCCNCCCCknckcc公司（A11）块矩阵元素SSππ`=Sππ（`）（A12）Cπππ'j=Cππ（`，j）（A13）kππj=κππ（j）。（A14）我们省略了零块Sπ和kπn。因为从未使用过κnc（0），也从未观察到Snc（0）；他们的价值观是任意的。条件κnc（0）！=0可以通过设置S：=0，C0j：=δj0来表示。然后可以使用标准数值解算器获得k。除去各自不必要的条件，我们得到了TIM2的类似系统SncScc公司=CNNCCNCCCCgncgcc公司（A15）Cππ\'j=Cππ（`，j）和gπj=gπ（j）。最后，TIM1的系统减少到S=Cg，其中L=S（`），gj=g（j），标准相关矩阵C`j=hr（t）（t+`-j） i.由于后者是Toeplitzmatrix，因此其他模型可使用更优化的数值解算器。在极少数情况下，我们发现估计的籽粒噪音太大，滞后时间太长。这导致HDIM2表现不佳。为了与现有文献保持一致，C和C的指数顺序不同。请注意，在时间序列分析中，互相关通常被理解为通过信号的方差进行归一化，C将被称为互协方差。CIM2，如图3所示。

因此，对于大于10的滞后，我们使用对数间隔的多重二次径向基函数来平滑估计的核，而不施加特定类型的decay。这显著改善了结果，使得HDIM2的性能永远不会低于CIM2。附录B：二点和三点互相关的谱估计1。三重互相关估计器的证明通常使用卷积定理计算两个函数fand和g at lag\'之间的互相关Cfg（`）：=∞Z-∞\'f（t）g（t+`）dt（B1）=f-1νh'F（ν）G（ν）i（`），（B2），其中F表示傅里叶变换，F-1InverseForier变换，F：=F[F]，G：=F[G]，F表示F的复共轭。类似地，我们获得了三个时域函数F（t），G（t+`）和H（t+j）之间的三重互相关asCfgh（`，j）：=+∞Z-∞dt'f（t）g（t+`）h（t+j）=+∞Z-∞dt公司+∞Z-∞dν′F（ν）e-2πiνt+∞Z-∞dνG（ν）e2πiν（t+`）+∞Z-∞dνH（ν）e2πiν（t+j）=+∞ZZZ公司-∞dνdνdν\'F（ν）G（ν）H（ν）+∞Z-∞dt e2πit（ν+ν）-ν） |{z}=：δ（ν-（ν+ν））e2πi（`ν+jν）=+∞ZZ公司-∞dνdν\'F（ν+ν）G（ν）H（ν）。e2πi（`ν+jν）= F-1ννhBfgh（ν，ν）i（`，j），（B3），其中H：=F[H]，bfgh（ν，ν）=F（ν+ν）G（ν）H（ν）（B4）是交叉双谱。2、平均和零填充有限离散时间信号在实践中，C（`），`=-T+1，T- 1，必须根据T观测的有限样本进行估计。对于两点互相关，这将导致^Cfg（`）：=T- |`|T-1.-sup{0，l}Xt=sup{0，-l} \'f（t）g（t+`）（B5）=iFFTνF（ν）G（ν）（`）（B6）式中，如果f和g是广义平稳的，则^C=hCi。F和G是零填充和FFTed信号F和G。在下面，我们总是用C表示互相关估计，以简化符号。上述总和之前的归一化取决于滞后`，因为总和的数量随着`而减少。

对于` T，允许在许多情况下使用有偏估计量。然而，如果我们对短段进行平均，`可以变成与T相同的顺序。出于同样的原因，我们用T零填充信号，因为未加FFT的输出仅包含T/2正频率和负频率的频率和相位。输出阵列中的频率顺序和奇偶T的处理有一些微妙之处，我们在这里不讨论这些，因为它们依赖于所使用的特定FFT实现。现在考虑三重互相关。由于HBFGH（ν，ν）和Cfgh（`，j）都是T×T矩阵，因此有必要对长信号应用韦尔奇方法的变体。也就是说，计算几个较短时间窗口的平均值。对于长度T的每一段，我们发现Cfgh（`，j）=T- sup（|` |，| j |）iFFTνν[Bfgh（ν，ν）]（`，j），（B7），其中B根据等式B4计算，使用加零FFT计算傅里叶变换信号sf、G和H。在作者的实现中，等式B4中的矩阵积和等式B7中的逆2D FFT是计算复杂性的主要因素。在对某些情况下的所有双谱进行平均后，可以执行iFFT，这样对总体性能来说就可以忽略不计。在上面的符号中，试图平衡精度、可读性和简洁性。在本研究中，由于我们在平均之前计算了给定仪器的每日相关性，因此出现了一些并发症。我们选择了最短的完整交易日（减去1）上的事件数作为我考虑的最长滞后时间。对于这一天，我们计算了用L零填充后的所有变换。因此，要进行Fourier变换的每个段的长度为T=2L。前几天我≤ T事件，我们用T填充- L0。

这导致根据产生的非零和数直接修改上述偏差校正。对于每天有超过个事件的情况，我们计算了长度为T的片段集的平均相关性，这些片段覆盖了当天可能重叠最小的部分。最后，我们平均每天的结果。因此，每一天的最终结果都是一样的，但在非常活跃的日子里，每一个后天事件的贡献都较低。这里的直觉是，否则，极端活动的单日可能会主导结果。附录C：内核和响应图。8显示了不同处理器模型的集成内核。见等式3 ff。以及以下说明，以及附录A和附录B以了解更多详细信息。过去进行过类似的比较【8–10】，但这是第一次在没有近似值的情况下校准HDIM模型。两次校准的HDIM2的非零内核如图8的下箭头所示。近似核（粉色线）与TIM2（蓝色线，上排）更相似，而不是与完全校准（紫色线）更相似。特别是对于近似校准，非价格变化事件（虚线）的影响被强烈高估。影响模型的一致性可以通过考虑价格响应（`）：=h（m（t+`）来检查-m（t））（t） i（C1）或条件反应Rπ（`）=P`-1`=0Sπ（`），如果l>0P`+1`=0Sπ（`），如果l<00，如果l=0（C2），其中S（`），Sπ（`）根据等式定义。A2 ff。和R（`）=PπRπ（`）。以前，基于核和相关性的闭式表达式是传播模型（如[8–10]）计算价格响应（和签名图）的首选方法。

然而，由于正滞后的真实经验响应和相关函数用于获得核，零填充也会在Cf gh（`，j）的每个对角线象限中创建一个“盲点”，其中| `- j |>L。幸运的是，本文中的应用不需要这些值。像这样计算的模型响应与正滞后的测量响应基本相同。在【10】中，研究了负滞后的一致性。然而，在本文撰写时可用的最新版本中，使用了一个近似值，实际上只涉及内核的一个元素来进行一致性检查。图9的上排显示了使用基于全核的理论闭合形式预测的预测响应。根据定义，实证土地模型对正滞后的响应是相同的。因此，这些结果具有潜在的欺骗性，我们仅将其包括在内，因为这种方法（以及上面讨论的更令人敬畏的变化）主要用于文献中。对于AAPL（左列），所有模型也再现了负滞后响应Quiewell。只有TIM1表现出明显更大的差异，在买入（卖出）交易之前，价格上涨（下跌）过快。对于较大的tick-MSFT（右栏），这个问题变得更加明显，如【10】所述，并在一定程度上影响所有模型。HDIM2提供了最佳的整体性能，而近似校准的HDIM2*性能差得多。实际模拟模型时，使用实际订单流量作为输入，然后根据预测收益计算响应函数，会产生不同的结果。如前所述，校准偏差ineq。

只有当模型的输入和预测误差之间没有相关性时，A7才会消失。我们可以预期TIM1和HDIM2会出现这种情况，因为适当的校准将消除所有可以表示为粘贴输入线性组合的错误。如图9下一行所示，模拟TIM1和HDIM2预测的响应与之前的方法基本相同。然而，TIM2明显偏离了正滞后的真实反应。这与内场观察到的超调量和随后的逆转一致。1和6。这种有限校准偏差的原因是TIM2的固有不一致性：其输出不尊重输入中的事件类型标签，因此无法消除所有相关性。我们根据公式A9的左侧测量了偏差，发现在预期情况下，HDIM2的偏差接近于零，而TIM2的偏差不接近零（未显示）。事实上，我们从经验上发现，图9中两行之间的差异正是由这种偏差（也未显示）解释的。不幸的是，只有在实际模拟校准模型后才能计算偏差。因此，它允许验证校准在后验中是无偏差的，但不能先验地消除偏差。HDIM2*模型还表现出许多异常。对于AAPL，使用该方法时，其表现稍差，对于正滞后，其表现稍差。对于MSFT，其表现出与TIM2模型相似的正滞后超调。对于负滞后，令人惊讶的是，它似乎更好地拟合了数据，但这是一个偶然的结果。它通常会产生比使用闭合形式方法预测的更浅的负滞后响应，并且在模拟时也会与其他模型进行比较。

因此，它偶尔也会显著超出其他工具或时间段的真正负面影响（未显示）。CIM2显示了负滞后的典型异常，以及正滞后的一些超差迹象。然而，对于大刻度，它的性能预期与HDIM2非常相似，尤其是对于滞后`∈ [-100, 100].最后，图10显示了通过模拟各个模型获得的条件反应。对于短滞后，TIM2模型的超调主要与非价格变化事件有关（上排）。这与TIM2一致，TIM2即使在非价格变动事件中也会产生价格变动，并在事后对这种变动进行补偿。对于TIM1，预期响应与实际曲线相差甚远，因为不同的事件标签之间没有区别。经过充分校准的HDIM2非常接近真实响应，除了`<-100、附录D：30种仪器的模型影响曲线图11和图12分别显示了总体积和总符号影响曲线，这些曲线是根据所有日内标度的HDIM2模型输出计算得出的。从视觉上看，它们非常接近[1]附录中显示的真实回报曲线。未显示：所有模型均能很好地再现骨料体积冲击曲线。图5也未显示，但量化了：CIM2模型区域的聚合符号曲线与此处所示的基本相同。对于小型滴答器来说，TIM2的线性度更高，甚至是完全线性的。对于TIM1，它们始终是线性的。0.00.20.40.60.8TIM-Kernels[bp]AAPL0.00.61.21.8MSFTGGNGC10010110103LAG[交易]0.00.20.40.60.8HDIM-Kernels[bp]100101102103lag[交易]0.00.61.21.8KnKcK*nK公司*cFIG。8、2015-2016年校准为AAPL（左列）和MSFT（右列）的集成传播函数核。

顶行：TIM1为“裸响应”G，TIM2为条件响应Gπ（`），分别为π=n（非价格变化事件）和π=c（价格变化事件）。底行：使用两点近似K校准的HDIM2集成内核*π（`）和新的完整三点校准Kπ（`）≡ Kπc（`）：=P`=0κπc（l）。-1.5-1-0.50.00.51.01.5Theo。响应【bp】AAPL MSFT-1000-100-10 0 10 100 1000滞后【交易】-1.5-1-0.50.00.51.01.5响应R[bp]-1000-100-10 0 10 100 1000滞后[交易]TrueTIM1TIM2HDIM2*HDIM2CIM2FIG。2015-2016年AAPL（左栏）和MSFT（右栏）的实测（真实）价格响应R和模型预测。上排：根据附录A，根据各自的方程组S=Ck或S=Cg计算模型响应。该方法在文献中常用。下一行：“测量”模型响应，将每个模型作为一个动态系统运行，并将实际的顺序流作为输入。只有这种方法才能揭示正滞后的校准偏差。-1-0.50.00.51.0Rn【bp】AAPL MSFT-1000-100-10 0 10 100 1000滞后【交易】-1-0.50.00.51.0Rc[bp]-1000-100-10 0 10 100 1000Lag[交易]TrueTIM1TIM2HDIM2*HDIM2CIM2FIG。2015-2016年AAPL（左列）和MSFT（右列）的条件价格响应Rπ，以及使用实际订单流量计算的模型的条件价格响应Rπ。上行：非价格变动事件（π=n）。下一行：价格变动事件（π=c）。AAPL ADBE AMZN CMCSA CSCO EBAYGOOG INTC MSFT NFLX QCOM ELUXBFSPAA HMB LMEB MEDAA MEO1V NBHNOK1V NOVO SANDA TLIA VOLVB VWSRE缩放体积不平衡缩放冲击BOBL BUND DAX EUROSTOXX SCHATZ SMI101102103104 BIN尺寸NFIG。11、HDIM2预测的价格影响是真实数量不平衡的函数。原始点云沿不平衡轴进行量化。

因此，曲线具有恒定的噪声水平，但不平衡范围随时间bin大小N而变化。前两行：纳斯达克股票，2012-2016年。第三行和第四行：2012-2016年OMX股票。Lowerstrow：欧洲期货交易所期货（2014年10月-2015年12月）。AAPL ADBE AMZN CMCSA CSCO EBAYGOOG INTC MSFT NFLX QCOM ELUXBFSPAA HMB LMEB MEDAA MEO1V NBHNOK1V NOVO SANDA TLIA VOLVB VWSRECALL标志不平衡比例模型冲击BOBL BUND DAX EUROSTOXX SCHATZ SMI101102103104 BIN尺寸NFIG。HDIM2预测的价格影响是真实订单号不平衡的函数。inFig的仪器和年份。11