基于因子模型的基数约束投资组合选择

显然，在小型网络中，模型之间的时间差很小。在基数为20和30的情况下，由于我们施加了这些基数参数，当CCMV-SF问题的最优解仅选择16个资产时，EW CCMV-SF模型在20和30个资产的情况下获得了非常糟糕的解决方案。从这个意义上讲，算法2通过从解决方案中移除资产来改进解决方案，从而获得该实例的最大基数为9个资产。为了简单起见，我们现在只讨论最大的实例，即表11，但可以从表9和表10中报告的其他两组实例中得出类似的结论。我们的首要观察是，对于所有实例，解决问题的计算时间（CCMV SF）（即通过简单使用CPLEX产生的原始问题）都很高（在我们的实验中，1小时是允许的计算时间）。另一方面，线性近似（CCMV SFLA）只需几秒钟即可获得一个解，而在最坏的情况下，偏差仅为0.28%（基数K=30的实例），在某些情况下提供了比CCMV SF问题获得的解更好的结果。现在比较从EW CCM V SF模型获得的结果，在所有情况下，EW CCMV SF问题花费的时间都少于三秒，这是第3节中命题3的结果。此外，从（EW CCMV）获得的解决方案的质量很高，在最坏的情况下偏差为4.35%，在（CCMV SF）问题的解决方案中选择了50个资产中的48个，偏差为0.31。在标准偏差SD a比率SR中也观察到了良好的溶液质量，所有溶液彼此接近。J、 F。

Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择从实用的角度出发，我们评估了本文中提出的模型的有效性。我们相信，这些模型，尤其是平等加权模型，有助于实践者评估要考虑的最佳资产，并在后验分析中应用其他更复杂的技术。最后，从表8-11可以看出，当K增加时，所有测量值都采用相似的值。4.3. 一个特殊实例为了在更困难的问题中测试模型和算法，我们构建了以下实例，称为indtrack5678。对于单因素模型，我们添加了所有βi和σ从数据集INTRACK5、INTRACK6、INTRACK7和INTRACK8。此新数据集包含4151个资产。在图1中，我们为每个资产i绘制一个点∈ 一、 表示系统（βI）和非系统（σi） 每个人的风险。在原始数据集中（左图），点云位于所有图形区域周围。理想情况下，人们希望在代表低风险（系统性和非系统性）的坐标交叉点附近设置点。另一方面，不靠近轴交点的定位点对其余点占主导地位，希望这些点不会出现在CCMVFM问题的解决方案中。数据集中的这一特性使实例在计算上更易于处理。我们称之为特殊实例，即indtrack5678中的实例，其中资产已按系统风险β值（从最低到最高）排序，并将每个β值与非系统风险（σ）匹配i） 按相反顺序排序。这个特殊实例在它们之间提供了非支配资产，在帕累托意义上是非支配的。特设实例的点云（右图）是结构化的，因为所有点都是非支配的。

同样的考虑在这里也是有效的，最好的资产位于相交轴附近，但现在这些点在这些点中并不占主导地位。因此，对于factor modelsproblem，这个新实例比前面的示例更困难。在表12中，我们报告了该结构化数据集的结果。首先，我们可以看到，该算法在6个实例中的3个实例中没有提供最优解。结果中的另一个重要特征是EW CCMV模型获得最佳J。F、 Monge：在6个实例中的4个实例中，通过因子模型求解基数约束的投资组合选择，参数K的值正好等于5、10、20和40。CMV SF模型对于其余实例来说是最好的，但需要一小时的计算时间。获得的解决方案建议了资产的多种选择。例如，在基数为30的情况下，CCMV SF和EW CCMV SF的目标解值非常相似（只有0.01%的偏差），但从质量上讲，它们非常不同，只有11个共同点。结论在本文中，我们提出并分析了两个备选模型，通过因子模型获得基数约束最小方差投资组合。这两个模型的目的是获得一个线性模型，与文献中的二次因子模型相比。当这些因素不相关时，就达到了这个目标。这一假设在财务方面没有太大限制。关于模型的比较，等式加权基数约束的投资组合问题提供了最有希望的结果，获得了商品解。就计算时间而言，所有实例都需要不到三秒钟的时间来求解它们。

另一方面，本文提出的启发式算法在考虑单个因素的情况下，除生成的自组织实例外，可以在所有实例中获得最优解。因此，EWCCMFmodel和启发式方法在可用性方面可以被视为优于经典因素模型；它以较少的计算时间获得高质量的解。此外，由于这项工作中提出的模型提供了良好的结果，我们还计划扩展这些模型，例如，当目标是最小化权衡功能风险/回报时。致谢该项工作得到了西班牙经济和竞争力部、国家研究局和欧洲区域发展基金MTM201679765-P（AEI/FEDER，UE）的部分支持。J、 F.Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择Pendix。EWCCMVSF问题能否在多项式时间内解决？定义4。如果每对行i<j和每对列k<l满足M onge属性mik+Mjl，则矩阵M是M onge矩阵≤Mil+Mjk。（24）定义5。如果矩阵M满足逆MongepropertyMik+Mjl，则称其为逆M长矩阵≥Mil+Mjk，对于所有i<j，k<l.（25）注意，对称Monge矩阵称为Supnick矩阵。Monge矩阵在组合优化问题中有许多应用，参见（Pferschy等人1994、Woeginger 2003、Burkard等人1996、Rudolf和Woeginger 1995）。例如，如果基础距离矩阵是Monge矩阵，则旅行推销员问题（TSP）可以在线性时间内解决，请参见（Park 1991）。提案5。（EW CCMV SF（20））中的基础矩阵是逆Monge矩阵。证据EW CCM V SF模型的目标函数可以表示为minkxi，j∈Iσi+σj2K+σfβiβj！xixjwherePi∈Ixi=K。

问题（20）由矩阵Mij给出=σi+σj2K+σfβiβjij。如果我们考虑有序集I，即β≤ β, ··· ≤ βn，很容易证明Mik+Mjl≥ Mil+Mjk，对于所有i<j y k<l。σi+σk2K+σfβiβk+σj+σl2K+σfβjβl！≥σi+σl2K+σfβiβl+σj+σk2K+σfβjβk！σi+σk2K+σfβiβk+σj+σl2K+σfβjβl！-σi+σl2K+σfβiβl-σj+σk2K+σfβjβk==σf（βi-βj）（βk-βl）≥0J、 F.Monge：通过因子模型进行基数约束投资组合选择。此外，对于单因子模型，寻找等式加权基数约束投资组合减少到在矩阵中查找K列/行σi+σi2K+σfβiβjij，成本更低。一个开放的问题如下：EW CCM V SF问题能否在多项式时间内解决？我没有找到上述问题的答案，我建议读者尝试回答这个问题。参考B。Alidaee、F.Glover、G.Kochenberger和H.Wang。用无约束二次规划求解最大边权团问题。《欧洲运筹学杂志》，181:592–5972007。K、 P.Anagnostopoulos和G.Mamanis。均值方差基数约束投资组合优化问题：五种多目标进化算法的实验评估。《专家系统与应用》，38:14208–142172011。D、 Bertsimas和R.Shioda。基数约束二次优化算法。《计算优化与应用》，43:1–22，2009年。J、 E.Beasley、N.Meade和T.J.Chang。索引跟踪问题的进化启发式算法。《欧洲运筹学杂志》，148:621–6432003。J、 E.比斯利。或库：通过电子邮件分发测试问题。运营研究学会杂志41:1069–107219990。D、 比恩斯托克。一类混合整数二次规划问题的计算研究。数学规划，74:121–140，1996年。N、 A.Canakgoz和J.E.Beasley。

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CFM；相关因子模型稳定1分类模型模型n01 nc mCCMV FM N N N+2CCMV FMLAN·| Sw·+NF·| Sβ·-N+2NF+2EW CCM V F M N-1EW CCM V F MLAN+NF··| Sβ·-2NF+2 | Sw·=4·K+1，和| Sβ|=500表2尺寸模型0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025βσ20.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.000 0.005 0.015 0.020 0.025βσ2图1 INTRACK5,6,7,8：系统（βi）和非系统（βii） 风险J。F、 Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择n=225解决方案模型时间目标%desv K | | w- w*||SD%desv SRK=5 CCM V F M 0.11 0.01939 5 0.01971 0.00000CCM V F MLA0.90 0.01941 0.10%5-5 0.21 0.02024 2.73%0.00419EW CCM V F M 0.03 0.01967 1.37%5-5 0.24 0.02006 1.78%0.00315EW CCM V F MLA0.04 0.01968 1.40%5-5 0.24 0.02006 1.78%0.00315K=10 CCM V F M 0.12 0.01886 10 0.01945 0.01633CCM V F MLA0.82 0.01897 0.61%10-8 0.39 0.01998 2.74%0.00942EW CCM V F M 0.07 0.019674.30%10-8 0.71 0.02029 4.30%-0.00263EW CCM V F MLA0.09 0.01967 4.32%10-8 0.71 0.02029 4.30%-0.00263K=20 CCM V F M 0.06 0.01882 13 0.01938 0.01180CCM V F MLA1.45 0.01887 0.26%15-13 0.17 0.01970 1.62%0.00855EW CCM V F M M 0.31 0.02064 9.63%20-13 0.98 0.02112 8.97%-0.00513EW CCM V F MLA0.20 0.02064 9.66%20-13 0.98 0.02112 8.97%-0.00513K=30 CCM V F M 0.03 0.01882 130.01938 0.01180CCM V F MLA1.66 0.01887 0.25%15-13 0.17 0.01958 1.04%0.00874EW CCM V F M 0.36 0.02170 15.31%30-13 1.22 0.02200 13.52%0.00376EW CCM V F MLA0.20 0.02171 15.32%30-13 1.22 0.02200 13.52%0.00376时限3600秒。表3 INTRACK5。txt日经225指数。

N=225N=457解决方案模型时间目标%设计K | | w- w*||SD%desv SRK=5 CCM V F M 653.98 0.02030 5 0.02272 0.13508CCM V F MLA4.90 0.02043 0.66%5-3 1.15 0.02308 1.59%0.13842EW CCM V F M 0.28 0.02174 7.09%5-2 1.20 0.02240-1.40%0.14915EW CCM V F MLA0.27 0.02175 7.14%5-2 1.20 0.02240-1.40%0.14915K=10 CCM V F M 3600.00 0.01703 10 0.01830 0.13563CCM V F MLA1.33 0.01712 0.51%10-8 0.51 0.01948 6.45%0.16445EW CCM V F M 1.23 0.018136.46%10-6 0.80 0.01914 4.54%0.14137EW CCM V F MLA0.30 0.01814 6.48%10-5 1.00 0.01942 6.08%0.15028K=20 CCM V F M 3600.00 0.0155 20 0.01681 0.1636CCM V F MLA3.06 0.01553 0.17%20-18 0.29 0.01769 5.26%0.16235EW CCM V F M 0.76 0.01603 3.42%20-16 0.57 0.01799 0 6.50%0.14760EW CCM V F MLA0.13 0.01604 3.49%20-16 0.57 0.01790 6.50%0.14760K=30 CCM V F M 2.93 0.01510 300.01718 0.15862cm V F MLA5.41 0.01525 0.95%30-30 0.22 0.01757 2.31%0.15265EW CCM V F M 0.26 0.01564 3.53%30-26 0.48 0.01782 3.73%0.17109EW CCM V F MLA0.18 0.01565 3.65%30-25 0.54 0.01781 3.70%0.16706时限3600秒。表4 INTRACK6。txt标准普尔500指数。N=457J。F

Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择n=1318解决方案模型时间目标%desv K | | w- w*||SD%desv SRK=5 CCM V F M 3600.00 0.01134 5 0.01298 0.10390CCM V F MLA33.96 0.01205 6.24%5-3 0.85 0.01446 11.45%0.09846EW CCM V F M 0.87 0.01149 1.30%5-4 0.46 0.01235-4.83%0.10731EW CCM V F MLA0.16 0.01150 1.42%5-5 0.12 0.01299 0.10%0.10520K=10 CCM V F M M 3600.00 0.00904 10 0.01124 0.11999CCM V F MLA13.63 0.00931 2.98%10-8 0.37 0.01128 0.33%0.12247EW CCM V F M 0.580.00918 1.49%10-8 0.48 0.01102-1.94%0.15623 EW CCM V F MLA0.15 0.00924 2.14%10-9 0.29 0.01068-5.01%0.13644K=20 CCM V F M 3600.00 0.00729 20 0.00982 0.13600CCM V F MLA45.96 0.00765 4.89%20-15 0.58 0.00968-1.45%0.17680EW CCM V F M 0.55 0.00741 1.54%20-18 0.31 0.00978-0.47%0.12624EW CCM V F MLA0.15 0.00753 3.30%20-19 0.26 0.01018 3.61%0.13306K=30 CCM V F M3600.00 0.00656 30 0.00914 0.16385cm V F MLA155.05 0.00697 6.36%30-22 0.61 0.00943 3.13%0.21373EW CCM V F M 0.89 0.00676 3.11%30-25 0.40 0.00950 3.93%0.15389 EW CCM V F MLA0.19 0.00686 4.65%30-25 0.41 0.00923 0.94%0.15019K=40 CCM V F M 3600.00 0.00621 40 0.00849 0.19668CCM V F MLA195.53 0.00660 6.26%40-31 0.50 0.00895 5.34%0.22163EW CCM V F M 0.75 0.00650 4.71%40-330.48 0.00915 7.75%0.16893EW CCM V F MLA0.33 0.00659 6.11%40-34 0.41 0.00874 2.92%0.18297K=50 CCM V F M 3600.00 0.00603 50 0.00867 0.19824CCM V F MLA183.74 0.00642 6.50%50-41 0.40 0.00863-0.36%0.19161EW CCM V F M 0.60 0.00643 6.65%50-42 0.53 0.00903 4.15%0.20117EW CCM V F MLA0.13 0.00654 8.37%50-42 0.52 0.00911 5.11%0.19687时限3600秒。表5 INTRACK7。txt Russel 2000索引。N=1318J。F