基于因子模型的基数约束投资组合选择

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英文标题：
《Cardinality constrained portfolio selection via factor models》
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作者：
Juan Francisco Monge
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we propose and discuss different 0-1 linear models in order to solve the cardinality constrained portfolio problem by using factor models. Factor models are used to build portfolios to track indexes, together with other objectives, also need a smaller number of parameters to estimate than the classical Markowitz model. The addition of the cardinality constraints limits the number of securities in the portfolio. Restricting the number of securities in the portfolio allows us to obtain a concentrated portfolio, reduce the risk and limit transaction costs. To solve this problem, a pure 0-1 model is presented in this work, the 0-1 model is constructed by means of a piecewise linear approximation. We also present a new quadratic combinatorial problem, called a minimum edge-weighted clique problem, to obtain an equality weighted cardinality constrained portfolio. A piecewise linear approximation for this problem is presented in the context of a multi factor model. For a single factor model, we present a fast heuristic, based on some theoretical results to obtain an equality weighted cardinality constraint portfolio. The consideration of a piecewise linear approximation allow us to reduce significantly the computation time required for the equivalent quadratic problem. Computational results from the 0-1 models are compared to those using a state-of-the-art Quadratic MIP solver.
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中文摘要：
本文提出并讨论了不同的0-1线性模型，以利用因子模型求解基数约束投资组合问题。因子模型用于构建投资组合以跟踪指数，与其他目标一起，也需要比经典的马科维茨模型更少的参数来估计。基数约束的增加限制了投资组合中证券的数量。限制投资组合中证券的数量可以使我们获得集中的投资组合，降低风险并限制交易成本。为了解决这个问题，本文提出了一个纯0-1模型，通过分段线性逼近的方法构造了0-1模型。我们还提出了一个新的二次组合问题，称为最小边加权团问题，以获得一个等式加权基数约束的投资组合。在多因素模型的背景下，给出了该问题的分段线性近似。对于单因素模型，我们基于一些理论结果提出了一种快速启发式方法，以获得一个等式加权基数约束投资组合。考虑分段线性近似可以显著减少等效二次问题所需的计算时间。将0-1模型的计算结果与使用最先进的二次MIP解算器的结果进行比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：投资组合选择 投资组合 Optimization Quantitative concentrated

通过factormodelsJuan Francisco MongeCentro de Investigaci'on Operativa，Miguel Hern'andez de Elche大学（西班牙）的基数约束投资组合选择，monge@umh.esIn本文提出并讨论了不同的0-1线性模型，以利用因子模型解决基数约束的投资组合问题。因子模型用于构建投资组合以跟踪指数以及其他目标，也需要比classicalMarkowitz模型更少的参数来估计。基数约束的增加限制了投资组合中证券的数量。限制投资组合中证券的数量可以使我们获得集中的投资组合，减少风险并限制交易成本。为了解决这个问题，本文提出了一个纯0-1模型，通过分段线性逼近的方法构造了0-1模型。我们还提出了一个新的二次组合问题，称为最小边加权团问题，以获得一个等式加权基数约束投资组合。在多因素模型的背景下，给出了该问题的分段线性近似。对于单因素模型，我们基于一些理论结果提出了一种快速启发式方法，以获得一个等式加权基数约束投资组合。考虑分段线性近似可以显著减少等效二次问题所需的计算时间。将0-1模型的计算结果与使用最先进的二次MIPsolver的结果进行比较。关键词：金融、投资组合选择、因子模型、最小方差投资组合。1.

简介投资组合选择问题涉及根据投资者的风险偏好选择一组金融资产，并按什么比例进行选择，以获得最大的预期回报。分配给投资组合的资产的选择可以使用不同的方法进行管理：最小风险分配、等权重、风险平价、夏普比率等。J、 F.Monge：基于因子模型的基数约束投资组合选择在Markowitz（1952）的研讨会工作中，通过所选资产的预期价值和方差来评估回报和风险。马科维茨引入了效率前沿的概念，并指出存在一组最优投资组合，而不仅仅是一个。classicalMarkowitz模型可以表示为二次线性模型，投资者可以在风险水平w*= argwmax{wTus.t.wT∑w=σ*, wT1=1}，或在回报水平下最小化风险，w*= argwmin{wT∑w s.t.wTu=r*, wT1=1}，其中w表示投资组合中的权重向量，u表示预期回报向量，以及∑预期回报协方差矩阵。当与回报水平相关的约束放松时，会给出一个非常重要的投资组合，从而获得全局最小风险解决方案。此解决方案在文献中很重要。例如，在（DeMiguel et al.2009）中，作者表明，与传统的均值-方差投资组合相比，最小方差投资组合更可靠、更稳健。另一个重要的投资组合是在考虑回报/风险的权衡目标函数时给出的，w*= argwmax{wT∑w-λwT∑w s.t.wT1=1}，其中λ是风险规避系数。

虽然我们在本文中考虑了最小方差组合，但我们将看到结果可以很容易地应用于上述目标函数。因子模型理论通过参数β，将每项资产的预期收益建立为风险因素的线性函数，其中β是单个资产对投资组合的风险贡献的度量。因子模型之父是W.F.Sharpe，其资本资产定价模型（CapitalAsset Pricing Model，CAPM）理论见（Sharpe 1963、1964）。马科维茨均值-方差框架要求估计大量参数。如果有n个资产，我们需要估计n个均值、n个方差和n（n-1） /2协方差，0（n）。因子模型需要估计的参数较少；顺序由因子的数量m给出，即O（m），其中因子的数量m远小于n。基数约束投资组合问题是文献中的经典问题。在（Changet al.2000）中，作者提出了基数J有效前沿的几个性质。F、 Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择经典均值-方差Markowitz模型中的约束问题，给出了解的性质，例如，显示了效率边界的不连续性，也因为传统的目标函数均值/风险交易最小化不能提供所有的有效解。作者还针对这个问题提出了不同的启发式方法，而（Woodside Oriakhi et al.2011）与甲烷启发式方法有关。（Cesarone et al.2013）分析了问题的精确解决方案，其中作者提出了一种适用于中等规模问题的精确算法，为较大问题提供了良好的近似。在（Shaw et al.2008）中，作者提出了基数约束投资组合问题的拉格朗日分解方案。

给出了协方差矩阵在两个矩阵中的分解；一个对角矩阵包含每项资产的风险，另一个非对角矩阵包含各因素之间的协方差。这个想法使他们能够减少要解决的二次问题的维数。有关拉格朗日分解模式在该问题上的另一个应用，请参见（Gao和Li 2013）。参见（Bertsimas 2009）中的一个替代程序，该程序基于将一系列问题转化为树搜索来解决。文献中关于基数约束问题的另一种选择是指成批进行的投资，多余资本流向无风险资产，参见（Li et al.2006）。在（Castro et al.2011）中，作者提出了一种代数算法来解决线性和非线性约束下具有线性目标函数、期望收益的整数问题。以上所有的论文都只涉及经典的马科维茨模型；这些论文没有在因子模型中整合基数约束。据我们所知，文献中不存在结合因子模型和基数约束的论文。这项工作的主要贡献与二次因子模型问题的线性近似有关。本文考虑了两种线性近似；第一种是通过分段线性函数，第二种是在解决方案中施加相等的权重。因子模型协方差矩阵中存在的奇异性使我们能够利用Cplex解算器之上的优势。J、 F.Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择本文的其余部分组织如下。

第2节讨论了因子模型的主要概念，并通过因子模型介绍了基数约束最小方差问题的数学表示法、该问题的分段线性近似以及施加等权约束的模型。第三节研究考虑单一因素的问题；文中还给出了这一新组合问题的理论结果和解决该问题的启发式算法。第4节报告了文献中使用的一组实例的计算结果。最后，第5节总结并概述了未来的计划。2、风险资产因子模型i∈ 一、 因子模型假设资产I的回报率Rio由I=αI+βiF+i、 其中F=（F，…，fm）是称为因子的随机变量向量，其中e（fl）=0，αi∈IR是一个常数，βi∈IRmis是一个常量向量iis a（误差）平均值为零随机变量，与因子E不相关(i） =0和E(i·fl）=0。因子F与协方差矩阵∑F相关。我们使用符号σlm=E（fl·fm）和σi=E(i） 。对于由n项资产组成的投资组合，通过权重wT=（w，w，…，wn）确定，然后通过因子模型确定投资组合，其中收益r=Pi∈Iwiriof the porfolio isr=Xi∈Iwiαi+Xi∈IwiβTiF+Xi∈Iwi公司iIn矩阵形式：r=wT（α+βTF+)其中α∈ IRn，β∈IRm×n，F~N（0，∑F）， ~N（0，∑）)均值-方差参数可根据因子模型直接计算：E（r）=wTα=nXi=1wiαiV（r）=wT∑rw=wT（βT∑Fβ+∑）)w=重量βT∑Fβw+重量∑w==Xi，j∈IXl，m∈Fwiwjβilβjmσlm+Xi∈IwiσiJ。F、 Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择2.1。带因子模型的基数约束最小方差投资组合问题。设K为投资组合中所需的资产数量。

考虑以下决策变量：xi，如果选择资产i，则取值为1的二进制变量，我∈一、 wi，投资组合中资产I的权重，我∈一、 然后，基于因子模型的基数约束最小方差投资组合（CCMVFM）是混合0-1二元二次优化问题的解：（CCMV FM）minw，xXi，j∈IXl，m∈Fβilβjmσrlwiwj+Xi∈Iσiwis。t、 Xi∈Iwi=1，Xi∈Ixi公司≤K、 0个≤wi公司≤xi我∈一、 xi∈{0, 1}, 我∈一、 （1）如果因子不相关（σlm=0，l、 m级∈F：l 6=m），问题的目标函数（CCMV FM（1））可以写成：minw，xXi，j∈IXl公司∈Fβilβjlσllwiwj+Xi∈IσI逐段线性近似为了提高求解CCMV FM模型（1）所需的计算时间，我们提出了一种分段线性近似。考虑Sw，变量wi的s有序不相交段集，即区间[0，1]=[wi=0，wi）中的有序不相交段集∪【wi，wi】∪···∪[ws-1i，wsi=1]；和，Sβ，区间[βmin，βmax]=[β·l=βmin，β·l）的变量β·lin的t有序不相交段集∪[β·l，β·l）∪···∪[βt-1·l，βt·l=βmax]，其中β·l=Pi∈Iwiβil。因此，二次模型（1）可以近似为以下0-1纯二次模型：（CCMV FMLA）minx，yXt，t∈SβXl，m∈Fσlmβt·lβt·mytlytm+Xi∈一、 s∈Swσiwsixsi（2）J.F。

Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择。t、 Xs型∈Swxsi=1，我∈一、 （3）Xt∈Sβytl=1，l∈ F、 （4）Xi∈IXs公司∈开关：s>0xsi≤K、（5）Xi∈IXs公司∈Sw:s>0wsixsi=1，（6）Xi∈IXs公司∈Sw:s>0βilwsixsi≤Xt公司∈Sββt·lytl，l∈F、 （7）xsi∈{0, 1}, 我∈I，s∈Sw，（8）ytl∈{0, 1}, l∈ F、 t型∈Sβ，（9）其中，如果资产i的权重在水平wsi的解决方案中固定，则0-1变量x取值1，如果βt·lis是集合Sβ的β·lin的最小上界，则0-1变量y取值1。如果系数不相关（σlm=0，l、 m级∈ F：l 6=m），则二次模型（2）-（9）变为以下线性纯0-1模型：minx，yXt∈SβXl∈Fσllβt·lytl+Xi∈一、 s∈Swσiwsixsi（10）s.t.（3）-(9).2.2. 等式加权基数约束投资组合问题（CCMV F M（1））的简化模型是施加等式加权约束时的模型，即，如果选择资产i，则资产i的权重wi为1/K，否则为0。找到多因素模型（EWCCMVFM）的最佳等式加权基数约束最小方差投资组合（EWCCMVFM）的问题，即当所选所有资产的权重相同时，CCMVFM问题的解决方案是0-1纯二元二次优化问题的解决方案：J.F.Monge：通过因子模型进行基数约束投资组合选择（EW CCM V F M）KminxXi，J∈IXl，m∈Fβilβjmσlmxixj+Xi∈Iσixis。t、 Xi∈Ixi=K，xi∈{0, 1}, 我∈一、 （11）其中，如果选择了资产I，则xit取值1，否则取值0。约束（Pi∈Iwi=1）在（1）中强制我们精确选择K个资产（Pi∈Ixi=K），即我们需要在基数约束中施加相等。

注意，我们还可以替换termPi∈IσPI的目标函数中的ixiin∈Iσixi，因为xit使值为0或1。问题（11）可以写成{minxPi，j∈Iaijxixj，s.t.Pi∈Ixi=K，xi∈ {0, 1}我∈ 一} ，whereij=KPl，米∈Fβilβjmσlmif i 6=j，KPl，m∈Fβilβimσlm+σiif i=j。文献中一个众所周知的问题是最大边缘Weigted集团问题（MEWCP），参见（Alidaee et al.2007，Macambira and Souza 2000）等。MEWCP问题可以定义如下：给定一个完整的图G=（V，E），其中包含节点和无限制边权重cij，找到一个子群G，其中包含k个节点，使得子群中的权重之和最大化。该问题的非线性公式为：（MEW CP）maxXi，j∈五、 i<jcijxixjs。t、 Xi∈Vxi≤k、 xi∈{0, 1}, 我∈一、 （12）提案1。EWCCMVFM问题的实例可以转换为EWCP的实例。证据设G为larga数，例如G=max{aij，i，j∈ 一} 然后，用cij求解问题（MEW CP）=G-（2 aij+aii+ajjK-1） 如果i<j0如果i≥jis问题解决方案（EW CCM V F M）。J、 F.Monge：通过因子模型的基数约束投资组合选择建议1意味着EWCCMVFM问题继承了MEWCP的所有属性。然而，EWCCMVFM具有显著的矩阵系数，见附录。

这一事实使得这个问题（EWCCMVFM）在计算上更容易处理。文献中存在MEWCP的线性公式，但本研究中不考虑这些公式，因为它们的表现比二次公式（12）差，请参见（Macambira和Souza 2000）和其中的参考文献，以获得MEWCP问题的良好解释。分段线性近似使用（CCMVFM）中使用的相同近似，问题（EWCCMVFM）可近似为以下二次0-1问题：（EW CCM V F MLA）KminXt，t∈SβXl，m∈Fσlmβt·lβt·mytlytm+Xi∈Iσixi（13）s.tXixi=K，（14）KXiβilxi≤Xtβs·lytl，l∈F、 （15）Xt∈Sβytl=1，l∈ F、 （16）xi∈{0, 1}, 我∈一、 （17）ytl∈{0, 1}, l∈ F、 t型∈Sβ。（18） 如果系数不相关（σlm=0，l、 m级∈ F：l 6=m），则二次模型（13）-（18）变为以下线性纯0-1模型：KminXi∈Iσixi+Xt∈SβXl∈Fσllβt·lytl（19）s.t（14）-（18） J.F.Monge：通过因子模型进行基数约束投资组合选择我们提出了通过因子模型进行基数约束投资组合选择的不同模型：CCM V F M问题及其线性近似（CCMV FMLA），以及新CCM V F M问题及其线性近似（EW CCM V F MLA）。所有这些模型在数学规划理论中都有不同的分类，这取决于它们的特征：线性或非线性目标函数、连续或整数变量等。表1显示了上述问题的特征，这取决于模型是否考虑了相关或不相关的因素。