近似因子模型中结构稳定性的序贯检验

它认为（i）R+∞-∞|u | 4+2δdFψ（u）<∞;（ii）m1/2+W-1+W“hRel（N，m，R）#-2+“hRel（N，m，R）#-1.→ 0，对于某些>0。假设8与Horv'ath等人[38]中的等式（1.12）相同，它本质上要求监控持续足够长的时间，比初始培训周期m更长。特别是，我们需要监控多个至少为m1/2的周期。假设9加强了假设6（ii），需要为序列{t}Tt=m提供一个动量条件，这将使中心极限理论成立。我们的主要结果如下。定理3。假设1-9成立。Under-Hit认为，作为min（N，m，R，W）→ ∞P+最大值1≤k≤*****（k；m）ν*（k；m）≤ x个→ Psup0≤t型≤1 | B（t）| tη≤ x个, 对于η∈0,, （26）P+最大值1≤k≤*****（k；m）ν*（k；m）≤x+DmAm→ e-e-x、 对于η=，（27）对于{Xi，t，1的几乎所有实现≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T}和{ξj（T），1≤ j≤ R、 m级≤ t型≤T}和x∈ R+。在HA，1和HA，2下，作为最小值（N，m，R，W）→ ∞, 对于给定的显著水平α，我认为C-1α，mmax1≤k≤*****（k；m）ν*（k；m）P+→ ∞, 对于所有η∈0,, （28）对于{Xi，t，1的几乎所有实现≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T}和{ξj（T），1≤ j≤ R、 m级≤ t型≤T}，其中，当η<时，cα在（24）中定义错误，当η=，在（25）中定义错误。以下结果总结了Th eorem 3的主要含义（回想一下T=Tm- m） ：推论1。在定理3的假设下，它认为，作为min（N，m，R，W）→ ∞P+（bτm<T）≤ α、 H以下，（29）P+t型*N、 m级≤ bτm<t**N、 m级= 1，根据HA，1（30）P+t型*N、 m级≤ bτm≤ T= 1，在HA下，2，（31）对于{Xi，t，1的几乎所有实现≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T}和{ξj（T），1≤ j≤ R、 m级≤ t型≤T}。在这种情况下，（29）所暗示的尺寸概念与文献中通常考虑的尺寸概念非常不同。

该程序的目的是使错误拒绝概率尽可能小，因此（至少）低于阈值α，而不是使其接近α。这使得监测程序不同于标准的内曼-皮尔逊p-arad igm（一般来说，也不同于多重检测）：鉴于监测范围不断扩大，cα、mis的目的是确保错误突破检测的可能性尽可能小——另请参见Hov\'ath等人的类似评论【38】。3.3. 变化点检测的延迟我们的方法的结果是，结构变化的监测（尽管处于高维设置中）可以被视为经典的时间序列框架。特别是，除了程序的一致性之外，一个自然的问题是，在检测br eak时，延迟会如何。为了正式解决这个问题，可以直接使用Aue and Horv\'ath的结果[4]；此后，我们将对设置中的延迟大小进行启发式讨论。考虑符号an=Ohm （bn）表明层序的大小不小于bn的大小，即。an>Cbn>0。然后，通过构造，{t}Tt=mhas，在替代方案下，t之后的平均值出现“大”偏移*N、 m，其中t*N、 使（回忆（14））t*N、 m级- τ = OhmmN1-δ. （32）定义β，使N=mβ，并使用（12），可以分析（32）m和N传递到单位时的不同相对发散率。当β>时，我们得到δ=1-2β+表示的任意小值。因此，通过（32）t*N、 m=τ+Ohmmmβ（1-δ)= τ + Ohmm1/2+′,其中′>0是任意小的。因此，当N不远小于m或甚至更大时，以延迟t检测变化点*N、 m级-τ、 wh ich的顺序至少为m1/2。同样，只要β≤, i、 e。

N比m小得多，对于任意小的值，我们有δ=，所以t*N、 m=τ+Ohmm1级-β(1-δ),通过基本参数，可以得出m1-β(1-δ)= Ohm（m1/2+′）：在这种情况下，延迟可能更大。这符合这样一种直觉，即断裂将导致Γt（以及检测器）以与N一样快的速度发散：N越低，发散度越低，对断裂检测的影响越小。最后，考虑超高维情况很有趣，N=exp（m）。通过（12），它认为δ=1-(1 -）ln m2mf的值非常小。因此，（32）y IELDS*N、 m=τ+Ohmmexp（（1-δ） m）= τ + Ohmm1/2+′,再一次本质上，在所有考虑的情况下，都存在大于Cm1/2但小于Cm的中断检测延迟，也就是说，通过样本大小重新调整延迟，这种延迟消失。4、在一般情况下应用测试本节的目的是讨论如何在与上述假设稍有不同的假设下应用测试，以及在何种程度上可以放宽这些假设。第7.4.1节的结束语简要讨论了涉及测试修改的更实质性扩展。弱因素和局部替代本文发展的理论——从假设2开始——隐含地要求，当一个新因素因中断而出现时，这应该是一个渗透因子。事实上，假设的第（i）部分要求峰值特征值必须大于速率N，即“强”因子模型。然而，文献也考虑了一个或多个公共因子可能不太普遍的情况，从而导致协方差矩阵，其中一些特征值以Nκ的速率传递到完整性，对于κ∈ (0, 1).

联合考虑不同国家的宏观经济数据时，可能会出现一个弱因素的例子：全球因素很强，因为它们可能影响所有国家；然而，国家因素虽然在一个国家内很强，但只会影响所考虑的所有变量的一小部分，并且可以被视为很弱——例如，见Moenchet al.【50】中的实证研究。在存在此类“弱”或“局部”因子的情况下，因子模型的估计受到了文献的极大关注——参见De Mol等人【27】，Onatski【53】，在与我们相同的背景下，以及在略有不同的背景下，Lam和Yao【46】。弱因素的概念与局部替代假设的概念交织在一起，在局部替代假设中，断裂确实发生，但“很小”，例如，当断裂仅由部分而非全部荷载的变化引起时。我们关注HA的（代数s impler）情况，2。与关于弱因子的文献一致，我们允许第（r+1）个特征值表现为λ（r+1）（t）=CNκ，对于τ≤ t型≤ T、 （33）对于κ∈ （0，1），而它对于t的所有其他值都是有界的。我们现在试探性地讨论在哪些条件下可以检测到如此小的中断；为了简单起见，我们考虑η<的情况。我们知道，根据定理2，第（r+1）大特征值中的一个中断进入序列ce{t}Tt=mas其平均值的移动：这本质上是监控程序检测中断存在的方式。特别是，通过分析定理1的证明并使用中值参数，可以得出≈ RZ公司+∞-∞Gφuφ-1N，m（t）-Gφ（0）dFφ（u）≈ CRφ-2N，m（t），（34）对于任何t≥ t型*N、 M适用于HA，2。然后，从（19）开始，对于相同的t值≥ t型*N、 我们拥有≈ WZ公司+∞-∞Gψuψ-1N、m、R（t）- Gψ（0）dFψ（u）≈ CWψ-2N，m，R（t）。

（35）现在考虑（13）中的g（·）和（17）中的h（·）都是恒等式函数的情况。回顾符号N=mβ，注意到（33）我们有φN，m（t）≈ Nκ-δ、 到（17）、（34）和（35），我们已经≈ CW R-2（ln N）8+（ln R）4+N4（κ-δ)= N、 R，W。在检查定理3的证明时，为了f或检测断裂的程序，要求m1/2N、 R、W→ ∞, 最小值（m、N、R、W）→ ∞. 因此，如果N、 R、W→ ∞br eak总是可以检测到的。如果相反N、 R、W→ 0，我们遇到收缩断裂。根据假设7，收缩断裂的有效条件是κ≤ δ、 （36）可检测到断裂的必要条件是κ>δ-8β. （37）首先考虑N>m1/2的情况。那么，通过δ的定义，每当κ≤ 1.-2β，并且如果至少κ>1，则检测到一个新的弱因子-8β.这意味着，只有当β<，我们才有希望检测出任何κ>0的新的弱因子；相反，对于较大的β值，我们可以检测到新因子的κ值范围减小，例如，对于N=m，我们必须至少有κ>。关于这个案子≤ m1/2，因为我们可以选择δ非常小，（36）永远不会满足，但（37）总是满足，一般来说，我们无法更多地说明我们的程序检测出一个湿泡的能力。然而，我们注意到，在N=R=W的情况下，如下文第5节和第6节所述，收缩和检测破裂的必要和有效条件是δ+-8β<κ<δ+，当N≤ 无论κ如何，总是检测到m1/2a新因子。4.2. 异质成分中的异质性本文中的主要假设是关于Xi，t的，避免对ui，t的性质作任何评论。我们现在讨论了异方差存在时的测试行为，假设2没有明确考虑（虽然不是规则）。

为了简单起见，我们考虑协方差矩阵{ui，t}Ni=1突然变化的情况，尽管也可以考虑更一般形式的异方差。为了说明这一点，我们考虑一个协方差矩阵E（utu′t）发生大小突变的简单示例u在一个时间点之后，比如τ*:Eutu′t=∑u∑u+uform公司≤ t<τ*,τ*≤ t型≤ T、 在哪里影响部分甚至所有协方差。为了使我们的测试适用，我们需要的唯一条件是ω（1）m级-1Ptk=t-m+1E（utu′t）≤ C每个t≥ m、 式中，旋转ω（1）（A）表示矩阵A的最大特征值。当t<τ*, 只要ω（1）（∑u）≤ C、 当t≥ τ*, 利用Weyl不等式得出ω（1）mtXk=t-m+1Eutu′t!≤ ω（1）（∑u）+ω（1）(u） ，（38）有界于ω（1）（∑u）≤ 坎德ω（1）(u）≤ C、 本质上，只要pertu rbation矩阵uis不太大，因此只要特质的卵巢结构变化不太大，我们的测试仍然可以应用。条件（38）具有有趣的含义。考虑休息，以便u=诊断{di}，0≤ di公司≤ C全部1≤ 我≤ N、 在这种情况下，如果误差项的方差都发生了变化（可能），但协方差结构没有变化，那么ω（1）(u）≤ C： 通过引入虚假的尖峰特征值，即使是特质成分方差的较大（但大小有限）突破也不会改变e（XtX′t）特征值的结构。因此，关于我们程序的鲁棒性，一个有趣的问题是：什么时候特质成分的断裂足够强，足以与因子结构的断裂混淆？通过与上述相同的（heur-istic）标记，如果为了论证，ω（1），E（XtX′t）的特征值结构将发生变化m级-1Ptk=t-m+1E（utu′t）= CNε与ε∈ (0, 1].

通过Weyl不等式，假设因子分量ω（1）中没有中断，则mtXk=t-m+1Eutu′t!≥ ω（N）（∑u）+ω（1）(u）≥ ω(1)(u） 。（39）因此，有效条件为ω（1）(u） =CNε。此外，假设ω（1）(u）≥N-1PNi=1PNj=1{u} i，j，then（39）认为，ich的突变“非常普遍”，因此它不仅影响特质成分的方差，而且影响它们的方差（不一定很大），可能引入尖峰特征值inE（XtX′t）。在这种情况下，我们的程序可能会检测到τ*作为一个变化点，即使信号组件没有变化，也可以参见Barigozzi等人在Offf-linecase中记录的相同现象。4.3. 考虑进一步替代假设的扩展到目前为止，我们将注意力集中在两种经验相关但非常特殊的替代假设形式上：负荷的可能变化-HA，1-和因子数量的可能增加-HA，2。然而，我们的方法非常通用，可以适应（稍加修改）其他情况。一个主要的例子是q≥ 1因素消失，即。HA，3：（Xi，t=Prj=1aijfjt+ui，tXi，t=Pr）-qj=1eaijfjt+ui，tfor1≤ t<τ≤ t型≤ T、 （40）注意，在（40）中，我们可以考虑非消失因子的载荷也可能会发生变化，尽管这不是必需的。对于简单考虑的情况，q=1，则在（40）下，可以注意到Xi的协方差矩阵的第r个特征值在τ之前尖峰，然后有界。这表明（40）的测试可以基于bλ（r）（T）。

因为在null下（本质上，由于引理2）N-δbλ（r）（t）→ ∞, 而在备选方案N下-δbλ（r）（t）→ 0，一轮随机化足以产生一系列测试统计量，其行为类似于{t}Tt=munder thenull-th at is，其（以样本为条件）为i.i.d.，具有高达任意阶的矩，并且具有不对称的卡方分布，其均值和方差可近似为多项式消失误差。因此，可以按照第3.5节的建议再次进行监测。蒙特卡罗模拟根据稳定因子模型（4）在Hwe下模拟数据：Xi，t=a′ift+ui，t，1≤ 我≤ N、 1个≤ t型≤ T、 特别是，我们假设N=100，我们考虑r∈ {1，2，3，4}因子。就时间维度而言，我们考虑了周期内的b urn，从而考虑了维度m的样本量∈ {50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250}. 我们监控模型1000个周期（即，我们设置T=1000）。我们模拟了载荷向量aias i.i.d.N（0，1）的每个元素；我们通过因果VAR（1）过程Ft=Hft，假设公共因子存在一定的时间依赖性-1+et，1≤ t型≤ T、 其中et~ i、 i.d.N（0，Ir），矩阵H的最大绝对值为特征值Sequal至0.7。特殊成分u的N×T矩阵生成为u=DεG，其中ε的叠加列的N T×1向量为i.i.D.N（0，INT），D和G是两个N×N和T×T Toeplitz矩阵，在第k对角线处有条目，由0.3k给出-1和0.5公里-1分别。最后，我们将所有1的信噪比设置为V ar（Xi，t）V ar（ui，t）=2≤ 我≤ N在替代方案下，我们考虑在两种方案下，在变化点τ=500处发生断裂：Xi，t=a′iftI[t<τ]+ea′iftI[t≥ τ] +用户界面，t，1≤ 我≤ N、 1个≤ t型≤ T、 （41）Xi，T=a′ift+bigtI[T≥ τ] +用户界面，t，1≤ 我≤ N、 1个≤ t型≤ T

（42）在（41）中，我们考虑了所有荷载发生变化的情况，即HA，1；A和E的所有元素都生成为i.i.d.N（0，1）。方案（42）是指由于出现了新的公因子gt，即HA，2，而导致的损失；荷载BIA生成为i.i.d.N（0，1），我们模拟GTA为因果AR（1）gt=Дgt-1+vt，1≤ t型≤ T、 带vt~ i、 内径（0，1）和φ=0.7。这些特殊的组件像以前一样生成。当η=0.45和η=0.5时，计算所有试验结果。η=0.45时使用的临界值取自Horv\'ath等人【37】；特别是，当显著性水平为α=0.05时，临界值为c0.05=2.7992，当α=0.1时，临界值为c0.1=2.5437。