近似因子模型中结构稳定性的序贯检验

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英文标题：
《Sequential testing for structural stability in approximate factor models》
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作者：
Matteo Barigozzi, Lorenzo Trapani
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We develop a monitoring procedure to detect changes in a large approximate factor model. Letting $r$ be the number of common factors, we base our statistics on the fact that the $\\left( r+1\\right) $-th eigenvalue of the sample covariance matrix is bounded under the null of no change, whereas it becomes spiked under changes. Given that sample eigenvalues cannot be estimated consistently under the null, we randomise the test statistic, obtaining a sequence of \\textit{i.i.d} statistics, which are used for the monitoring scheme. Numerical evidence shows a very small probability of false detections, and tight detection times of change-points.
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中文摘要：
我们开发了一个监测程序，以检测大近似因子模型中的变化。假设$r$是公因子数，我们的统计数据基于这样一个事实，即样本协方差矩阵的$\\左（r+1 \\右）$-第个特征值在零无变化的情况下有界，而在变化的情况下会变得尖峰。假设样本特征值不能在空值下一致估计，我们将测试统计量随机化，获得一系列用于监测方案的{i.i.d}统计量。数值证据表明，错误检测的概率很小，变化点的检测时间很短。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Sequential_testing_for_structural_stability_in_approximate_factor_models.pdf (443.92 KB)

2022-6-1 05:44:34 上传

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关键词：结构稳定性 稳定性 Quantitative R statistics Econophysics

近似因子模型中结构稳定性的序贯测试Atteo Barigozzi，Lorenzo Trapaniabstract我们开发了一种监测程序，以检测大型近似因子模型中的变化。假设r是公因子的数目，我们的统计数据基于这样一个事实，即样本协方差矩阵的（r+1）第个特征值在无变化的零下有界，而在变化下它会变得尖峰。考虑到样本特征值在空值下无法一致估计，我们将测试统计量随机化，获得用于监测方案的i.i.d统计量序列。数值证据表明，错误检测的概率很小，变化点的检测时间很短。关键词：大因素模型，变化点，序贯检验，随机检验。伦敦经济和政治学院统计系。电子邮件：m。barigozzi@lse.ac.uk（通讯作者）。诺丁汉大学经济学院电子邮件：Lorenzo。Trapani1@nottingham.ac.ukWe感谢卡洛·吉安尼尼国际纪念大会（Bergamo，2016年11月25日至26日）的与会者；2016年CMStatistics会议（2016年12月9日至11日，塞维利亚）；参加ECARES系列研讨会（Bruxelles，2017年2月23日）；致中国社会科学院商学院金融学院研讨会（2017年3月6日，伦敦）；伦敦政治经济学院计量经济学和统计研讨会（伦敦，2017年3月10日）；康涅狄格大学经济系系列研讨会（2017年3月31日）；纽约夏令营计量经济学第十二届会议（锡拉丘兹大学，2017年4月7日至9日）；并出席欧洲统计学家会议（赫尔辛基大学，2017年7月24日至28日）。预印本于20201年3月6日提交给爱思唯尔。

本文研究了一个大因子模型的稳定性检验f的意义：Xi，t=a′ift+ui，t，（1），其中{Xi，t，1≤ 我≤ N、 1个≤ t型≤ T}是在T个周期内观察到的N个时间序列的面板；AIA和FTA分别是载荷和因子的潜在向量，都是维数r<N，并表示数据的“信号”成分，而不是特殊的“噪声”ui，t。特别是，我们重点关注（1）稳定性的顺序监测——也就是说，我们提出了一个测试，以检查（1）是否在新数据出现时出现任何中断。因子模型在几乎所有的应用科学中都受到了极大的关注，因为它可以降低维度，同时保留大型数据集的信息内容。特别是在社会科学和经济学的背景下，张伯伦和罗斯柴尔德的开创性论文推广了因子模型的应用[19]；此后，因子模型在各种应用中得到了广泛的应用，如商业周期分析、资产定价和经济监测与预测——参见Stock和Watson的综述[61]，以获取全面的参考文献列表。模型（1）通常具有如下识别假设，即→ ∞,{Xi，t}Ni=1的协方差矩阵有r个尖峰特征值发散到不完整，而其余的特征值对于任何N保持有界。许多贡献在一般假设下，如误差项ui，t的弱序列和互相关，发展了一个完整的推理理论f或（1）。特别是，在平稳数据的情况下，Bai【6】和Fan等人【29】针对高维（即大N）数据，利用（1）中“信号”部分的主成分分析进行了估计。

该文献还产生了许多关于确定公共因子r数量的结果，特别是参见Bai和Ng【8】、Alessi等人【2】、O natski【52】、Ahn和Horenstein【1】和Trapani【62】。方程（1）中的因素也被证明对预测大型数据集非常有效，克服了维度问题的诅咒——参见Stock和Watson【58】。此外，还研究了公因子FTA明确允许具有线性过程表示的情况的扩展——参见Forni等人【31】。与大量文献相比，（1）的结构稳定性测试问题仍然不完善，但有一些明显的例外。事实上，Stock和Watson【58】和d Bates等人【13】认为，至少在存在“小”中断和恒定数量的因素的情况下，对因素空间的推断是不充分的，这使得变化点问题没有其他情况下那么引人注目。然而，事实证明，在许多应用中，可忽略的脆弱规模和数量稳定的因素的假设通常是不正确的。最重要的是，有人认为，在出现危机的情况下，协同运动会变得更强，这可能表明，与平静时期相比，经济受不同因素的驱动——参见Stock和Watson【60】、Cheng等人【22】和L i等人【47】。在这种情况下，改变点的影响将导致标准引用和后续应用（如预测）失效。最近，文献提出了一系列在样本范围内检测因子结构断裂的测试：例如Breitungand Eikmeier【16】、Chen等人【20】、Han和Inoue【33】、Corradi和Swanson【25】、Yamamoto和Tanaka【65】、Cheng等人【22】、Baltagi等人的作品。

[10] ，Massacci【48】和Barigozziet al【12】。顺序检测（1）中的断裂非常重要，至少有四个原因。首先，Chu等人[23]提出的一般动机在因子模型的背景下是正确的。同样，重要的是要验证一个迄今为止有效的模型是否仍然能够充分近似新数据的行为。其次，上述（实质性的）经验证据表明，要素结构确实会随着时间的推移而变化，特别是在出现危机的情况下，这说明了及时发现此类变化的重要性。第三，因子模型的引用可能会因中断的存在而受到严重破坏（参见Baltagi等人[10]中的评论），这再次表明了实时检测中断的重要性，而不是在进行推理并进行后验后实现这一点，例如为了预测的目的。最后，在经济和金融领域，数据是自动收集和提供的，因此监控成本几乎可以忽略不计，尤其是与使用不再有效的模型的潜在成本相比。已经研究了单变量或小维（即有限N）环境中的连续断裂检测，例如Lai【45】、Chu等人【23】、Aue和Horv\'ath【4】、Horv\'ath等人【37】、Andreou和Ghysels【3】、Horv\'ath等人【38】、Brodsky【17】、Aue等人【5】、Kirch和Tadjuidje Kamgaing【41】以及Groen等人【32】。1.1. 感兴趣的假设和论文的主要结果模型（1）在时间点τ发生变化的可能方式有几种；然而，尽管有如此广泛的变化，在所有情况下，可以认为数据的f因子结构的变化将导致{Xi，t}Ni=1的协方差矩阵的变化。

更具体地说，由于公因子决定了{Xi，t}Ni=1的协方差的存在和尖峰特征值的数量（定义为无边界的特征值，但随数据集的维数而增长），因此很自然地可以通过验证协方差矩阵的频谱是否发生了变化来调查（1）的因子结构是否发生了变化。形式上，在本文中，我们检验了因子结构d不变的完整假设，即：H： Xi，t=rXj=1aijfj，t+ui，t，1≤ t型≤ T、 就备选方案而言，我们关注时间τ点处的两种不同的可能断裂：（1）与一个或多个公因子相关的荷载变化：HA，1：Xi，t=Prj=1aijfj，t+ui，tXi，t=Prj=1aijfj，t+ui，tfor1≤ t<τ≤ t型≤ T、 （2）式中，对于所有i和至少一个j值，eaij6=Aij，以及（2）q的外观≥ 1新因素：HA，2：Xi，t=Prj=1aijfj，t+ui，tXi，t=Prj=1aijfj，t+Pqj=1bijgj，t+ui，tfor1≤ t<τ≤ t型≤ T、 （3）假设HA，1是上述所有关于因子模型变化点的文献中考虑的典型案例。（2）的结果是，在替代方案下，具有r公因数和变化载荷的模型可以重新编写为总因子数在r+1和2r公因数之间的模型，定义为原始公因数乘以中断前和中断后虚拟变量。这一关键属性在文献中被大量挖掘。另一方面，假设HA，2从文献中得到的关注较少——例如，见Cheng等人【22】和Barigozzi等人【12】。

虽然在本报告中，我们主要关注HA，1和HA，2，但其他替代方案，如正在消失的因素或负荷的不太普遍的变化，也可以在我们的框架中进行调整-参见第4节中的讨论。我们表明，在HA，1和HA，2两种情况下，{Xi，t}Ni=1的子午线矩阵的（r+1）第四大特征值在时间τ处有界，传递到单位的速度与样本大小N一样快。相反，它在无中断的零位处保持有界。因此，我们的测试基于使用滚动窗口计算的{Xi，t}Ni=1的样本协方差矩阵的估计（r+1）特征值。虽然使用样本协方差矩阵的样本特征值进行测试在因子模型中并不少见（Onatski[52]，Trapani[62]），但在我们的环境中，这种方法充满了困难。主要问题是，在零无中断的情况下，（r+1）个样本特征值没有未知分布，实际上它甚至无法一致地估计：正如Wang和Fan[63]所解释的，由于N很大，噪声太大，无法识别来自有界特征值的小信号。考虑到我们唯一知道的是第（r+1）个样本特征值可能是有界的或无界的，我们建议使用随机测试来正则化问题。随机化是一种广泛使用的方法，至少可以追溯到皮尔逊（Pearson）[56]；不同的作者采用了不同的方法将随机性引入到统计中，如Corradi和Swanson【24】、Bandi和Corradi【11】和Trapani【62】。我们的方法论基于相同的方法，但范围不同。本质上，我们提出的方法在每个时间点t将（r+1）个样本特征值作为输入，d返回i.i.d作为输出。

序列，具有未知（渐近）分布，一阶和秒阶矩可以用可忽略的误差近似，以及任何阶的单元。然后，在构建监测过程时，使用该序列替换第（r+1）个样本特征值，从而允许我们使用已经为i.i.d.序列的部分和过程开发的标准渐近理论——见Horv'ath等人【37】和Kirch和Tadjuidje Kamgaing【41】。虽然你的结果是有条件地从样本中得出的（参见第3节中关于样本条件下随机化的含义的评论），但我们构建了一个监控程序，该程序可以在零概率下以小于规定水平的概率识别一个中断，并且当出现这种情况时，它可以以概率1识别一个中断。这是序列测试的一个可取特征，因为随着越来越多的数据出现，I型错误的概率可能会增加——例如，见Sen在第9章中的评论【57】。事实上，数字证据表明，我们的程序运行得非常好，在短时间内找到休息时间。在原则上，我们的测试也可以应用于更一般的情况，包括弱因素或不太普遍的负荷变化的存在，异质性特质成分的情况，以及一个或多个因素的消失。第4节和第7节讨论了所有这些扩展。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们阐述了主要假设，并研究了协方差矩阵的（r+1）次特征值的推断。第3节讨论了检验统计量的构造，包括双重随机过程和所有相关的中间结果。

第4节讨论了我们的框架对更一般情况的一些直接扩展。第5节和第6节分别给出了蒙特卡罗实验的数值证据和美国工业生产月数据的实际数据应用。第7节讨论了进一步可能的扩展并得出结论。所有证据都在附录中。符号。我们让C，C。。。注意不依赖于样本大小的一般正常数，其值可能会随着行的变化而变化；“→” 表示理论极限；a.s.收敛序列（如sT）的数量级表示为asOa。s、 （T）和oa。s、 （T）当，对于某些>0和▄T<∞, Ph | T-sT |<所有T≥Ti=1和T-sT→ 分别为0 a.s；IA（x）是集合a的指标函数。最后，在不丧失一般性的情况下，我们假设所有随机变量和过程都是按照公共概率速度定义的(Ohm, F、 P）结果ω∈ Ohm.假设和初步理论考虑（1）中的因素模型，其中我们现在明确了“信号”成分xi随时间变化的可能性，t=a′i（t）ft+ui，t，1≤ 我≤ N、 1个≤ t型≤ T、 （4）我们使用r（T）表示给定时间T的因子数，即载荷Sai（T）和因子Ft的向量具有维数r（T）。还要考虑（4）的矩阵形式：Xt=A（t）ft+ut，1≤ t型≤ T、 （5）式中，A（T）=[A（T）|……| aN（T）]是N×r（T）载荷矩阵，ut=[u1，T，…，uN，T]’是特质分量。根据HA，1和HA，2（另见（2）和（3）），我们定义Ai=（eai，1，…，eai，r）′andeA=[ea |……….eaN]\'，bi=（bi，1，…，bi，q）\'，B=[B |…….bN]\'。

使用这个符号，我们有兴趣测试零假设：A（t）=A，1≤ t型≤ T、 与备选方案相比，1：A（t）=AA（t）=ea，用于1≤ t<τ≤ t型≤ T、 andHA，2：A（t）=AA（t）=[A | B]用于1≤ t<τ≤ t型≤ t将时间t的数据协方差矩阵定义为∑X（t）=E（XtX′t），假设X的均值为零，且不损失一般性。考虑（总体）滚动协方差矩阵∑m（t）=mtXk=t-m+1∑X（k），m≤ t型≤ T、 （6）及其对应方样本B∑m（T）=mtXk=T-m+1XkX′k，m≤ t型≤ T、 （7）基于（6）和（7），在以下情况下，m将表示我们在估计模型时的样本量；因此，我们的渐近性是针对m→ ∞. 我们假设在前m个周期内，不存在变化点，并且所有t的r（t）=r因子≤ m、 此外，对于s im plicity，我们还假设我们的监测程序将持续到T>m。在此之前，观测总数T包括估计值和监测期。注意，在实际应用中，监控可能会独立进行，因此→ ∞.我们从以下假设开始。假设1。它认为（i）E（Xi，t）=0表示所有1≤ 我≤ N和1≤ t型≤ T（ii）对于所有i，j，t，E（fj，tui，t）=0；（iii）r（t）=1的r≤ t型≤ m；（iv）r（t）<N和1的定义≤ t型≤ T和所有N∈ N、 假设的（i）和（ii）部分仅为方便起见，可以放宽。显然，从第（iii）部分可以看出，在出现断裂的情况下，变化点位置τ大于m。最后，第（iv）部分是一个合理的要求，要求任何时间点的系数数量都是有限的。注意，在HA下，1对于所有m，r（t）=r≤ t型≤ T，HA下的while，2r（T）=1的r≤ t<τ，τ的r（t）=（r+q）≤ t型≤ T根据假设1，协方差分解为∑X（t）=A（t）∑F（t）A（t）′＋∑u（t），定义了∑F（t）=E（ftf′t）和∑u（t）=E（utu′t）。