近似因子模型中结构稳定性的序贯检验

此后，我们将∑m（t）的k次最大本征值表示为λ（k）（t），将A（t）∑F（t）A（t）′的k次本征值表示为γ（k）（t）；最后，∑u（t）的第k个特征值为ω（k）（t）；同样，我们表示b∑m（t）asbλ（k）（t）的第k大特征值。为了得到关于总体特征值和样本特征值的结果，我们做了以下假设。假设2。它认为（i）Ck（t）N≤ γ（k）（t）≤Ck（t）N适用于所有1≤ k≤ r（t）和0<Ck（t）≤Ck（t）<∞ 对于m≤ t型≤ T（ii）ω（k）（t）≤ C全部1≤ k≤ N和M≤ t型≤ T假设3。它认为（i）E | Xi，t | 4+≤ C全部1≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T和一些>0；（ii）E最大值≤t≤t+m-1.P▄tt=tXh、tXj、t- E（Xh、tXj、t）≤ 所有1的Cm≤ h、 j≤N和1≤ t型≤ T-m+1。假设2是典型的高维因子分析，类似于张伯伦和罗斯柴尔德[19]以及福恩i等人[31]的假设。特别是，就非零γ（k）（t）而言，假设的第（i）部分要求它们向正的单位转移，如N→ ∞, 速率为N。等效地，我们可以遵循Bai和Ng【8】以及Fan等人【29】，并要求更原始的假设，即∑F（t）是正定义（这意味着确定了公因数），而N-1A（t）′A（t）趋向于正定义矩阵。这等于假设γ（k）（t）以N的速率传递到单位。实际上，为了便于记法，考虑恒定载荷的情况，即。A（t）=A，d公共因子的常数协方差矩阵，即。∑F（t）=∑F；然后，使用Merikoski和Kumar[49]Nν（min）（∑F）ν（k）中的定理7阿安≤ ν（k）A∑FA′≤ Nν（max）（∑F）ν（k）阿安,式中，ν（k）（·）表示矩阵的第k大特征值。在出现变化点的相同原因之后，上述结果提供了γ（k）（t）和N的第k大特征值之间的联系-1A′（t）A（t）。

注意，也可以假设γ（k）（t）→ ∞ 作为N→ ∞ 以低于N的速率，N被称为具有“弱因子”；我们将在第4.1节中讨论这种情况。就ω（k）（t）而言，在假设的第（ii）部分中，相同的条件可以从Fan等人[29]的假设中推导出来，也可以参见Bai和Ng[8]。另请注意，我们不要求ω（k）（t）在t上保持不变：原则上允许无条件异方差-另请参见第4节中的注释。假设2决定了∑m（t）总体特征值的行为。特别地，在t=m时，通过Weyl\'sinequality，我们得到λ（k）（m）≥ Ck（m）N f或1≤ k≤ r、 而λ（k）（m）≤ Cforr+1≤ k≤ N、 这个条件imp存在一个本征间隙，它允许我们在预破裂样品中识别r。就假设3而言，第（ii）部分是一个高级条件，从本质上来说，它对一个人在{Xh，tXj，t}Tt=1过程中可能具有的序列相关性的量构成了限制，并且在{Xi，t}Tt=1过程中，尽管间接地，在{Xi，t}Tt=1过程中可以具有序列相关性。一般来说，该假设由任何具有可和第四累积量的线性过程满足（参见Hannan[34]，定理6，第210页）。特拉帕尼[62]报告了wh ich假设3下的一些例子，包括平稳因果过程的情况——见Wu[64]。这一系列过程又包含了几个流行的例子，如Volterra级数和Arch/GARCH过程，因此允许f处理条件异方差的情况。最后，请注意，假设2和3允许在特定组件的总体中存在一定程度的横截面和序列依赖性，{ui，t，1≤ 我≤ N、 1个≤ t型≤ T}；因此，（1）d定义了一个“近似”因子模型，而不是“精确”因子模型，它需要横截面和连续i.i.d。

错误。下面的结果描述了∑m（t）的（r+1）特征值的行为。引理1。在假设1和2下，它认为λ（r+1）（t）≤ C、 m级≤ t型≤ T、 在H.（8）下，进一步认为λ（r+1）（T）≤ 厘米≤ t<τ，≥ Cmin{t-τ+1m，τ+m-t型-1m}Nτ≤ t<τ+m-1.≤ Cτ+m- 1.≤ t型≤ T、 在HA，1，（9）λ（r+1）（T）下≤ 厘米≤ t<τ，≥ 计算机断层扫描-τ+1mNτ≤ t<τ+m- 1.≥ CNτ+m- 1.≤ t型≤ T、 根据HA，2。（10） 引理1的样本对应物是特拉帕尼[62]中得出的以下结果。引理2。在假设1和3下，它认为bλ（r+1）（t）=λ（r+1）（t）+Oa。sNm1/2l（米，牛）, m级≤ t型≤ T、 （11）其中l（m，N）=（ln N）1+（ln m）1+，对于任何>0。引理2为估计误差（bλ（r+1）（t）提供了一个强大的速率- λ（r+1）（t）），它对N和m的任何组合有效，实际上对所有估计的特征值有效，bλ（k）（t）表示1≤ k≤ N、 引理不需要对λ（k）（t）进行任何假设：其中一些可能是非相异的、非良好分离的，甚至等于零。等式（11）表明估计误差可能相当大。然而，对于SpikeDeigenValue来说，它相对较小，根据假设2，其为N阶。相反，对于有界特征值，（11）中的误差项可能相当大；在这种情况下，该比率可能不是最高的，尽管它有助于监测程序的构建。引理2的结果也可以与随机矩阵文献中关于尖峰协方差模型的结果进行比较，然而λ（k）对于所有1≤ k≤ N和N∈ N–参见例如El Karoui【28】、Paul【55】、Johnstone和Lu【39】、Jung和Marron【40】、Benaych Georgesand Nadakuditi【14、15】、Bai和Yao【9】以及Onatski等人【54】。3、测试程序和渐近在本节中，我们提出了一种算法来“规范”特征值SSO的行为，以便能够构建一个监控程序。

由于引理1和引理2的结果，我们无法使用bλ（r+1）（t），因为在零下缺乏已知的极限分布，并且在整个t上缺乏依赖结构。因此，我们提出了一种随机性算法，其输出是一系列具有任意高阶矩的i.i.d.随机变量，在零下，（渐近）卡方分布。我们随后使用（标准化版本的）此类随机变量来构建部分和过程，我们以类似的方式将其作为相关检验统计量asHorv'ath等人【37】和Horv'ath等人【38】。3.1. 随机算法定义δ∈ （0，1）使得δ> 0> 1 -ln mln记录asN≤ m1/2N>m1/2；（12） 注意，δ的选择由N和m共同决定，无需估计。我们考虑统计量φN，m（t）=gN-δbλ（r+1）（t）NPNk=1bλ（k）（t）！，m级≤ t型≤ T、 （13）式中，g（·）是单调递增函数，g（0）=0且limx→∞g（x）=∞;在本文中，我们使用g（a）=a，但也可以使用其他选择。（13）中的分母使g（·）的参数具有不变性。（12）中定义的数量δ在本文的其余部分中起着非常重要的作用。根据引理2，可以预期，即使λ（r+1）（t）有界，bλ（r+1）（t）也可能发散到正整数；在这种情况下，发散率为O纳米-1/2,对数项的模化。另一方面，在备选方案下，bλ（r+1）（t）以更快的速率o（N）发散。δ的目的是消除估计误差：基于（12），可以看出Nδ大于N m-1/2l（m，N）：因此，在nobreak为null的情况下，可以预期N-δbλ（r+1）（t）将裂开至零。在另一种情况下，尽管其传递速度比λ（r+1）（t）本身慢，但它仍然传递到完整性（因为δ<1）。

注意，这也适用于非常大的N值：事实上，在N和m的相对发散率传递到单位时，它们之间不需要限制，也可以允许N=exp（m）；在这种情况下，经过一些代数之后，可以显示δ∈1.-英寸毫米，1,这仍然会产生N-δbλ（r+1）（t）漂移至零或发散至完整，取决于完整或备选方案为真。根据上面的评论，以及引理1和引理2，它认为limn，m→∞φN，m（t）=g（0）=0，w.p.1，当N-Δλ（r+1）（t）→ 0，limN，m→∞φN，m（t）=g(∞) = ∞, w、 第1页，当N-Δλ（r+1）（t）→ ∞.因此，我们有thatlimN，m→∞φN，m（t）=0，m≤ t型≤ T、 在H.下，我们定义*N、 mas时间点，以便*N、 m级≥ τ和Limn，m→∞N1型-δmt型*N、 m级- τ + 1= ∞. （14） 同样，我们定义了时间点t**N、 m级≤ τ+m- 1这样Limn，m→∞φN，m（t）=0米≤ t<τ，∞ t型*N、 m级≤ t<t**N、 m，0τ+m- 1.≤ t型≤ T、 ，根据HA，1。克利里林，m→∞φN，m（t）=0米≤ t<τ，∞ t型*N、 m级≤ t<τ+m- 1，，在HA下，2；HA下，1对于τ≤ t<t*N、 m，φN，m（t）从0增长到∞, 和t的viceversa**N、 m级≤ t<τ+m-1，在HA下，2为τ≤ t<t*N、 m，φN，m（t）从0增长到∞. 因此，t*N、 MRE代表了我们希望检测到变化的第一个时间点，因此检测延迟的范围较低，而在HA下，1（t**N、 m级- 1） 表示我们希望检测到更改的最后一个时间点。根据（14）和下面的结果，我们在下面的第3.3节中显示t*N、 mis至少为m1/2级，等于m和N的值。鉴于上述结果表明，我们只有f或φN，m（t），我们建议ato使用它的随机版本，根据以下步骤构建。步骤A1。在每个给定的t≥ m、 生成i.i.d.样本ξj（t）Rj=1，公共分布Gφ，使得Gφ（0）6=0或1。步骤A2。

对于从分布Fφ（u）中得出的任何u，定义ζj（u；t）=Ihξj（t）≤ uφ-1N，m（t）i.步骤A3。计算θ（u；t）=√RRXj=1ζj（u；t）- Gφ（0）pGφ（0）[1- Gφ（0）]。步骤A4。计算Θt=Z+∞-∞|θ（u；t）| dFφ（u）。尽管稍后将公布Θtunter在null和备选参数下的行为细节，但对主要参数的启发式预览可能会有所帮助。本质上，在替代方案下，伯努利随机变量ζj（u；t）应等于1或0，概率Gφ（0）和1- Gφ（0），因此具有平均Gφ（0）。在这种情况下，当构造θ（u；t）时，中心极限定理成立，因此我们期望Θ具有卡方分布。另一方面，在零ζ下，j（u；t）应（试探性地）为0或1，概率为0或1（取决于u的符号）-因此，其平均值应不同于Gφ（0）（并等于0或1，取决于u的符号），并且大数定律应成立。注意，通过构造，有条件地在样本上，序列{t}Tt=在t上不独立。为了研究yΘt，我们需要以下假设。假设4。认为：（i）Gφ（·）有界密度；（ii）R+∞-∞udFφ（u）<∞;（iii）Fφ（0）<1。假设5。它认为，作为min（N，m，R）→ ∞:（i） R1/2g级N1型-δt- τ+1m-1.→ 0，在HA下，1，表示t*N、 m级≤ t<t**N、 m，在HA下，2，表示t*N、 m级≤ t型≤ T（二）R1/2g级N1型-δ-1.→ HA下为0，τ+m为1- 1.≤ t型≤ T考虑到假设4，Gφ可以选择为标准正态分布，Fφ可以选择为离散均匀分布。假设5为R提供了一个选择规则*表示关于{Xi，t，1的条件概率≤ 我≤ N、 1个≤ t型≤ T}；“D*→” 和“P*→” 根据P分别表示分布和概率上的条件收敛*.定理1。

在假设1-5下，最小值（N、m、R）→ ∞, 它认为ΘtD*→ χ、 在HA下，1表示t*N、 m级≤ t<t**N、 m，在HA下，2，表示t*N、 m级≤ t型≤ T、 （15）对于{Xi，T，1的几乎所有实现≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T}。在假设1-4下，最小值（N、m、R）→ ∞, 它认为RΘtP*→R+∞-∞I[0，∞)（u）-Gφ（0）dFφ（u）Gφ（0）[1-Gφ（0）]，H下，m≤ t型≤ T、 根据HA，1，表示m≤ t<τ，τ+m- 1.≤ t型≤ T、 HA下，2，m≤ t<τ，（16）对于{Xi，t，1的几乎所有实现≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T}。定理1是一个中间结果：为了能够对因子结构没有变化的“经典”零进行检验，必须有一个在零下发散且在备选方案下有界的统计量。特别是，对于确保监控程序的尺寸控制，nu ll下的行为显然非常重要。可以注意到，Θtis在null下有界的原因是因为我们构建了一个基于估计特征值bλ（r+1）（t）随机化的统计量。因此，可以设想，将其倒数随机化将产生所需的行为。

虽然这在理论上是可能的，但我们建议反对：如引理2所示，在这种情况下，在nu ll下，Θtwo的行为将由一个与（N的倒数）成比例的项驱动-δNm1/2：但由于该估计值只是一个上界，因此不明显（与随机bλ（r+1）（t）的情况相反），因此不清楚这种情况下的发散率是多少。因此，我们建议使用基于ψN，m，R（t）=hΘtel（N，m，R）！，的第二次随机化来运行domiseΘt！，m级≤ t型≤ T、 （17）其中，el（N，m，R）=（ln N）2+（ln m）2+（ln R）2+，对于某些>0-在实践中，任何较小的值都可以很好地工作。在（17）中，函数h（·），类似于（13）中的g（·），是一个单调递增的函数，使得h（0）=0且limx→∞h（x）=∞ ; 同样，我们使用h（a）=a。与φN，m（t）的情况类似，定理1包含thatlimN，m，R→∞ψN，m，R（t）=∞, m级≤ t型≤ T、 H、andlimN、m、R下方→∞ψN，m，R（t）=∞ m级≤ t<τ，0 t*N、 m级≤ t<t**N、 m，∞ τ+m- 1.≤ t型≤ T、 ，在HA、1、whilelimN、m、R下→∞ψN，m，R（t）=∞ m级≤ t<τ，0 t*N、 m级≤ t<τ+m- 1，根据HA，2。现在考虑第二个随机分组。步骤B1。在每个给定的t≥ m、 生成i.i.d.示例eξj（t）Wj=1，公共分布Gψ，使得Gψ（0）6=0或1。步骤B2。对于从分布Fψ（u）中得出的任何u，定义ζj（u；t）=Iheξj（t）≤ uψ-1N，m，R（t）i.步骤B3。计算γ（u；t）=√WWXj=1eζj（u；t）-Gψ（0）pGψ（0）[1-Gψ（0）]。步骤B4。计算Γt=Z+∞-∞|γ（u；t）| dFψ（u）。为了研究Γt的不对称行为，需要以下假设；注意它们与假设4和5的相似性。假设6。认为：（i）Gψ（·）有界密度；（ii）R+∞-∞udFψ（u）<∞;（iii）Fψ（0）<1。假设7。它认为，作为min（N，m，R，W）→ ∞W1/2“hRel（N、m、R）#-1.→ 如上所述，在假设6中，我们可以选择Gψ为标准正态分布，Fψ为离散均匀分布。

假设7中的限制为W提供了一个选择规则。设P+表示关于{Xi，t，1的条件概率≤ 我≤ N、 1个≤t型≤ T}和{ξj（T），1≤ j≤ R、 m级≤ t型≤ T}；我们使用符号“D+→” 和“P+→” 根据P+，分别确定分布和概率的条件收敛。定理2。在假设1-7下，最小值（N、m、R、W）→ ∞, 它认为ΓtD+→ χ、 H以下，m≤ t型≤ T、 根据HA，1，表示m≤ t<τ和τ+m- 1.≤ t型≤ T、 HA下，2，m≤ t<τ，（18）对于{Xi，t，1的几乎所有实现≤ 我≤ N、 1个≤ t型≤ T}和{ξj（T），1≤ j≤ R、 m级≤ t型≤T}。在假设1-5下，最小值（N、m、R、W）→ ∞, 它认为WΓtP+→R+∞-∞I[0，∞)（u）- Gψ（0）dFψ（u）Gψ（0）[1-Gψ（0）]，在HA下，1，对于t*N、 m级≤ t<t**N、 m，在HA下，2，表示t*N、 m级≤ t型≤ T、 （19）对于{Xi，T，1的几乎所有实现≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T}和{ξj（T），1≤ j≤ R、 m级≤ t型≤T}。定理2也是一个中间结果。它表明，在零n-o断裂下，Γthas（渐近）阿奇平方分布；此外，通过构建序列ΓtTt=以样本为条件的t之间的不独立性。我们现在讨论如何利用这两个基本事实，以便提出一种在线检测因子结构中断裂的监测方案。3.2. 因子模型的序贯监测我们的序贯监测程序基于Horv'ath等人【37】提出的理论。回想一下，在收集了m个观察结果后，我们在m+1期间监控我们的模型≤ t型≤ T，其尺寸表示为Tm=T- m、 然后，我们考虑基于检测器D（k；m）的监控程序=m+kXt=m+1Γt-1.√, 1.≤ k≤ Tm，（20），涵盖整个监测期。换句话说，我们的检测器是由双随机获得的序列{t}Tt=m的中心和标准化版本的累加和组成的。

也可以建议使用其他探测器，仅在监测期开始时使用不同的表格（20）。特别是，Kirch和Weber[42]建议使用滚动窗口，从而在t=m+k时开始监测程序-h+1对于一些h<h<k，h足够大。这种交替检测器的渐近性质可以用类似于本节证明的结果的方式推导出来，因此本文不讨论。根据定理2，中断意味着检测器（20）的平均值和之前的平均值发生偏移。因此，我们的监控方案寻找d（k；m）与其零分布的较大偏差。考虑到停车规则=inf{1≤ k≤ Tm，使得d（k；m）≥ ν（k；m）}，Tmif上述条件在1中不成立≤ k≤ Tm，（21）我们将估计的变化点位置定义为bτm=bkm+m。（21）中的阈值函数定义为（见Horv\'ath等人[37]和Horv\'ath等人[38]）ν（k；m）=cα，mν*（k；m），（22）ν*（k；m）=m1/21公里以上kk+mη, η ∈0,, （23）式中，cα，mis是与预先规定的α级相对应的临界值。根据η的选择，临界值为asPsup0≤t型≤1 | B（t）| tη≤ cα，m= 1.- α、 对于η∈0,, （24）其中{B（t），0≤ t型≤ 1} 表示标准维纳过程，orcα，m=Dm- ln公司[-ln（1-α） ]Am，f或η=，（25），其中Am=（2 ln ln m）1/2，Dm=2 ln ln m+ln ln ln m-lnπ。注意，在（24）cα中，mdoes n不依赖于m，而在（25）中则依赖于m。另请注意，Chu等人【23】，尽管在不同的背景下，选择η=0。众所周知，基于η=0的测试具有最小的功率，相反，随着η的增加，功率会增加（见Horv\'ath等人[37]中的讨论）。为了推导我们的主要定理，我们还需要以下假设。假设8。它认为（i）Tm=O（mκ）f或某些κ≥ 1.（ii）lim infm→∞Tmm>0；（iii）Tm>τ+Cm1/2+，对于>0，使得n1-δm1/2-→ C、 假设9。