高频下超前-滞后关系的多尺度分析

假设也是这样→ ∞ 和（LτN）γlog L→ 0作为N→ ∞ 如果序列vN>0满足τ-1NvN→ ∞ 作为N→ ∞, thenmaxθ∈GN：|θ-θj|≥vN | bρN-j+1（θ）|→pas编号→ ∞.（b） 设（θN）为实数序列，使得∈ GNandτ-1N（θN- θj）→ b作为N→ ∞ 对于某些b∈ R、 ThenbρN-j+1（θN）→pj∑T（θj）RjZ∧-jD（λ）cos（bλ）dλas N→ ∞, 式中，∑T（θ）=（RTσsσs+θds ifθ≥ 0，RTσs-θσsds，否则。下一个定理涉及估计量的一致性bθjand可以看作是[26]中第1项定理2的对应项。设j为正整数。假设假设1-2满足。也假设→ ∞ 和（LτN）γlog L→ 0作为N→ ∞ 对于每个N，（ΓN+Lj）τN<δ。如果序列vN>0满足τ-1NvN→ ∞ 作为N→ ∞, 然后-1N（bθj- θj）→pas编号→ ∞, 假设Rj6=0，∑T（θj）6=0 a.s.特别是，我们有bθj→pθjas N→ ∞ .定理2表明，所提出的估计量bθjenjoy与[26]中的leadlag估计量具有相似的渐近性质。值得注意的是，我们的估计值达到了与Hoffmann等人[26]的估计值相同的收敛速度，因此我们在设置中没有成本来分离多个超前-滞后关系。备注3。我们的结果中给出的收敛速度比[21，定理2]中给出的收敛速度要好，后者给出了θj的不同估计量的收敛速度。这种改进不是由于我们对估计量的新构造，而是由于Daubechies小波（在卷积a.1中给出）的一个特殊性质的增益，这在[21]中被忽略。备注4。对于非同步数据，我们的估计器的性能预计优于[21]的估计器。为了看到这一点，让我们考虑命题1中考虑的Lo MacKinlay抽样方案，a=1。那么，bρN-j+1（θj）概率收敛到ρ[1]j：=2j∑T（θj）RjR∧-jD（λ）dλ为N→ ∞, 式中，d（λ）由（4）给出。

同时，bρN的对应物-[21]中的j+1（θj）概率收敛到ρ[2]j：=j∑T（θj）RjR∧-jD（λ）Dλ为N→ ∞, 式中▄D（λ）=2πe-√-1λ- 1λ<(1 - π)(1 - π)(1 - πe-√-1λ)(1 - πe-√-1λ).参见[21]中的定理1（注意bρN-j+1（θj）基本上是由[0，T+|θj |]上的观测值构造而成。一个简单的计算显示|ρ[1]j |- |ρ[2]j |=（1- π)(1 - π)(π+ π- 2ππ）×2j∑T（θj）| Rj | Z∧-jsinλπλ| 1- πe-√-1λ||1 - πe-√-1λ| dλ，当∑T（θj）| Rj |>0和π时，始终为非负且严格为正∧ π> 0. 因此，我们可以预期，当观测不同步时，我们的互协方差估计器可以更好地识别真实相关图的峰值。在下一节中，我们将提供数字证据来支持这一论点。5模拟研究在本节中，我们通过蒙特卡洛研究评估了拟议估计量bθjb的有限样本准确性。我们设定N=14，T=Nτnw，N=30000。我们用以下两种波动过程场景模拟模型（3）：场景1恒定波动。σν≡ 1表示ν=1，2。情景2具有杠杆效应的随机波动率。采用Heston模型生成每个ν=1，2的波动过程σνt：过程vνt=（σνt）是以下随机微分方程的解：dvνt=κ（η- vνt）dt+ξpvνt（ρdBνt+p1- ρdWνt），其中Wν是标准维纳过程，初始值vν是从过程vνtin的平稳分布中随机抽取的，即vν~ γ（2κη/ξ，2κ/ξ）。我们假设过程B和W是相互独立的。参数κ、η、ξ和ρ在[7]中选择：κ=5、η=0.04、ξ=0.5和ρ=-0.5.光谱密度（2）的参数如表1所示。以与[21]中相同的方式对过程B的路径进行模拟。即，我们模拟了二元平稳高斯序列kB：=B（k+1）τN- BkτN（k=0，1，…）。

n- 1） 通过[5]的多元循环嵌入方法，近似值如下：[kBk+磅]≈ τNJ+1Xj=1J-j+1RjψLP（2J-j+1（lτN- θj））。请注意，第1221页（共[21]页）中显示的第一个和第二个方程式中存在拼写错误：其右侧的第j个总和应乘以2j。自版本1.10.2起，该模拟方案已在R包yuima中作为函数SimbMillag实现。R包yuima还包含函数wllag，通过scalelead滞后时间估计器Bθj实现我们的尺度。表1：谱密度参数（2）j 1 2 3 4 5 6 7 8 9–15Rj0.3 0.5 0.7 0.5 0.5 0.5 0θj/τN-1.-1.-2.-2.-3.-5.-7.-10 0我们使用第4节中a=1的Lo MacKinlay采样方案来生成采样时间（ti）ni=0和（ti）ni=0。我们将πx为π=1/4，将π变为π∈ {1/4, 1/2, 3/4}. 回想一下，πν是第ν个资产Xν发生观测缺失的可能性。π值越大，观察到的Xν越少，使得非同步程度越高。我们使用L=20作为Daubechies小波滤波器的长度，并设置GN={LτN:L∈ Z、 | l |≤ 100}. 为了进行比较，我们还计算了[21]中提出的θj的估值器，其中每一个都被定义为基于插值同步数据的相应所谓小波互协方差估值器的最大化器（我们称之为“WCCF”）。这里，计算小波互协方差估值器需要指定Daubechies小波，我们使用长度为20的最小不对称小波。我们在每个场景的三个实验条件中分别运行1000次蒙特卡罗迭代。表2报告了情景1中每个实验估计值的样本中值和中间溶质偏差（MAD）。从表2中我们可以看出，在π=1/4的情况下，两个估计器在j级准确估计真实值≤ 7.

从理论上讲，由于对比度函数| bρN，估计量的精度随着j的增加而下降，这是自然而然的-j+1（θ）|，θ∈ GNgets FLatter为Lj=（2j-1） （L）-1） +1增加。在π=1/2和π=3/4的情况下，WCCF估计量明显偏向于j水平≥ 3，估计量bθjstill保持良好的精度。因此，我们的新估计器可以处理具有相当高程度非同步性的高频数据，这在理论上可以从备注3中的论证中预期。表3显示了场景2中的模拟结果。

如表所示，波动率中存在的时间变化和杠杆效应不会影响拟议估计量的性能，这与获得的渐近理论一致。表2：场景1j 1 2 3 4 5 6 7 8中的模拟结果为真-1.-1.-2.-2.-3.-5.-7.-10π=1/4bθj-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）WCCF-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）π=1/2bθj-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）WCCF-1 (0) -1 (0) -1 (0) -1 (0) -2 (0) -4 (1) -6 (3) -8（9）π=3/4bθj-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）WCCF-1 (0) -1 (0) -1 (0) 0 (0) 0 (0) -2 (1) -4 (3) -7（9）该表报告了情景1中估计值的中位数和中位数绝对偏差（括号内）（除以τN）。表3：场景2j中的模拟结果1 2 3 4 5 6 7 8正确-1.-1.-2.-2.-3.-5.-7.-10π=1/4bθj-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）WCCF-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）π=1/2bθj-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）WCCF-1 (0) -1 (0) -1 (0) -1 (0) -2 (0) -4 (1) -6 (3) -8（9）π=3/4bθj-1 (0) -1 (0) -2 (0) -2 (0) -3 (0) -5 (1) -7 (3) -9（9）WCCF-1 (0) -1 (0) -1 (0) 0 (0) 0 (0) -2 (1) -4 (3) -6（9）该表报告了情景2中估计值的中位数和中位数绝对偏差（括号内）（除以τN）。6实证应用在本节中，我们将所提出的方法应用于美国股市的实际高频数据。我们研究在多个交易所同时交易的单个资产的报价更新之间的超前-滞后关系。当前分析选择的交易所是纳斯达克和BATS。2015年，我们重点关注纳斯达克100指数成份股，共有108项资产。源是每日TAQdatabase，其时间精度为一微秒。

样本期为2015年8月的整个月份，包括21个交易日。我们使用9:45至15:45之间记录的报价数据。也就是说，我们会公布开盘后的第一分钟和最后15分钟，以避免交易日开始和结束时经常观察到的异常行为。为了从报价数据构建对数价格过程，我们计算微观价格的对数（参见[13]中的等式（2.2））。如[3，20]所述，每日TAQ数据库为每条记录提供两种时间戳。一个表示交易所匹配引擎记录报价更新的时间，另一个表示证券信息处理器（SIP）处理报价更新的时间。此后，我们将前面的时间戳称为参与者时间戳，将后面的时间戳称为SIP时间戳，如下所示[3]。在本分析中，我们主要关注SIP时间戳，因为它是由NASDAQ管理的单个SIP（“NASDAQ SIP”）分配的，因此不会导致时钟同步问题。然而，我们稍后将考虑超前-滞后时间的年龄效应。为此，我们需要考虑纳斯达克SIP和各交易所之间的报告延迟，要求我们处理参与者时间戳。由于每个hexchange都有义务将其时钟与UTC同步到100us以内，因此我们将下一次的时间分辨率设置为τN=100us。然后我们取gn={-10.0ms，-9.9ms，-0.1ms，0.0ms，0.1ms，9.9ms，10.0ms}作为搜索网格。我们使用L=20作为Daubechies小波滤波器的长度。为了进行比较，我们还计算了以下两种超前-滞后时间估计值Hoffmann-Rosenbaum-Yoshida（HRY）估计器【26】：该估计器被定义为网格GN上的un（θ）的最大化器：bθHRY=arg maxθ∈GN | bUN（θ）|.oDobrev Schaumburg（DS）估计量【12】：该估计量的构造如下。对于每个ν=1、2和每个t≥ 0，如果t，则设置Iνt=1∈ {tνi:i=0，1。

. , nν}，否则Iνt=0。然后我们定义（θ）=min{n，n}∞Xk=1IkτNIkτN+θ这与确定资产价格发现实际发生的特定交易所的问题密切相关。这一问题是金融计量经济学的基本问题之一，在文献中得到了广泛的研究；见。g、 [17,18,20,34,38]。还可以合理地假设市场参与者在100us或更慢的时间尺度上作出反应，因为在此处考虑的交易所之间传输信息至少需要100us左右；参见【39】中的表2。对于每个θ∈ R、 现在，DS估计器bθDS被定义为网格GN上X（θ）的最大化器：bθDS=arg maxθ∈GNX（θ）。6.1结果图1显示了bθHRY、bθj（1）的超前滞后时间估计直方图≤ j≤ 7） 和Bθds108项资产，每个交易日进行评估。这里，横轴以毫秒表示，正值表示纳斯达克领先蝙蝠，反之亦然。我们看到，j=1、2、3级的BθJat估计值在小正值处有尖锐的峰值，而j=4、5、6、7级的估计值有两个峰值，分别位于正值和负值处。bθhry的估计值在0左右有一个峰值，但呈负偏态。BθdS的估计值在一个很小的正值处有一个非常尖锐的峰值，这表明纳斯达克在交易活动中对蝙蝠的领导是一致的。这些观察结果表明，较低水平j=1、2、3（对应于0.1ms和0.8ms之间的时间尺度）的Bθja估计值可能与BθDS的估计值有关，而较粗水平j=4、5、6、7（对应于0.8ms和12.8ms之间的时间尺度）的Bθja负估计值可能与BθHRY的估计值有一定联系。为了证实第一项索赔，我们计算了表4左面板中j=1、2、3和Bθd的Bθj估计值的汇总统计数据。

如表所示，BθDs的估计值集中在θ=0.3ms，其他估计值主要分布在这个提前期滞后时间附近。现在，根据[12]，我们认为0.3ms的值来自地理原因。首先，我们注意到，我们的分析基于纳斯达克SIP设置的时间戳，它们包含从每家交易所传输报价更新时的报告延迟：有关更多详细信息，请参见[3，20]。特别是表A。[3]中的1表示，由于BAT的报告延迟不同，其SIP报价更新将基本滞后于NASDAQ的报价更新，超前滞后时间约为0.2ms。为了验证这一点，我们使用参与者时间戳而不是SIP时间戳来重新评估j=1、2、3和bθds的EBθj1。结果报告在表4的右面板中。该表显示，BθDs的估计值集中在θ=0.1ms，支持上述讨论。我们推测，0.1ms的值源自纳斯达克和BATS交易所匹配引擎之间的传输时间：前者位于新泽西州卡特雷特，而后者位于新泽西州塞考克斯的Equinix数据中心。Carteret和Secaucus之间的最快传输时间估计约为0.1ms；参见【39】中的表2。现在我们来谈谈第二个要求。表5的面板A显示了j=4、5、6、7时Bθj的正负估计以及BθHRY的整体估计的汇总统计数据。在这里，表中的“斯皮尔曼”行表示斯皮尔曼的秩相关系数与BθHRY的估计值。皮尔曼秩相关系数的这些值表明，j=5、6、7时Bθj的负估计值与BθHRY的负估计值有一定的关系。

如果我们将重点放在基于更大样本量的估计上，这一点会更加明显：表5的面板B显示了根据超过50000个报价更新的样本计算的上述估计汇总统计数据。综上所述，我们从上述分析中推断出纳斯达克和巴特斯交易所对纳斯达克100指数资产的超前-滞后关系如下：一方面，最快的交易员对Bθdscapture跨市场交易活动的超前-滞后时间估计及其值来自两个交易所数据中心之间的地理距离。在这个最新的时间尺度上，纳斯达克交易所通常将BATS交易所置于首位。另一方面，Bθhry的超前-滞后时间估计基本上捕获了以毫秒为单位的时间尺度上相对较慢的交易者的交易活动。在这个相对粗糙的时间尺度上，蝙蝠队领先纳斯达克，尽管蝙蝠队落后纳斯达克的情况不容忽视。我们的新估计量在一定程度上成功地在不同的时间尺度上分离了这两种类型的超前-滞后关系。

据我们所知，这一经验观察在文献中是新的，这是我们提出的多重滞后时间估计方法首次得出的。图1:NASDAQ-100资产的每日超前滞后时间估计直方图0 50 150j=1θ（ms）-10-7.1-4.-1.4 1 3 5.6 8.80 100 200j=2θ（ms）-9.8-6.7-4.-1.4 1 3 5.4 8.90 100 200 300j=3θ（ms）-9.9-7.-4.4-1.3 1 3 5 7.1 9.60 100 250j=4θ（ms）-10-7.-4.4-1.3 1 3 5.3 7.90 100 200j=5θ（ms）-10-6.7-4.-1.4 1 3 5 7 90 50 100 150j=6θ（ms）-10-7.1-4.-1.4 1 3 5.1 7.6 100 20 60j=7θ（ms）-10-7.1-4.-1.4 1 3 5 7 90 40 80 140 HRYθ（ms）-10-7.1-4.-1.4 1 3 5.4 8.20 400 800DSθ（ms）-9.9-6.7-3.2-0.1 4.2 6.9 9.4该图显示了每日超前-滞后时间估计的直方图bθj（1≤ j≤ 8） ，bθHRYandbθDSofquote在纳斯达克和BATS交易所之间的更新，计算了2015年8月纳斯达克-100的所有组成股票。通过计算微观价格构建价格过程。横轴以毫秒表示。虚线表示0毫秒。正超前滞后时间估计意味着纳斯达克领先蝙蝠，反之亦然。表4:j=1、2、1、2时的bθj估计值汇总统计，3和BθDSSIP时间戳参与者时间戳j=1 j=2 j=3 DS j=1 j=2 j=3 DS1st四分位数-0.20 0.00 0.00 0.20-0.10-0.20-0.20-0.20-0.10 Median 0.20 0.30 0.20 0.30 0.10 0.00 0.103rd四分位数0.60 0.50 0.60 0.30 0.20 0.30 0.30 0.40 0.40 0.40 0.00 0.30 0.30-0.10 0.10此表报告了四分位数和每日超前-滞后时间估计的模式Bθj（j=1，2，3）和BθDS（DS）NASDAQ和BATS交易所之间的报价更新，2015年8月计算NASDAQ-100的所有组成股票。这些值以毫秒表示。正的超前-滞后时间估计意味着纳斯达克领先蝙蝠，反之亦然。