高频下超前-滞后关系的多尺度分析

左面板用于基于SIP时间戳的估计。右面板用于基于参与者时间戳的估计。表5：j=4、5、6、6时的Bθj估计值汇总统计，7和bθHRYPanel A：所有估计值负值j=4 j=5 j=6 j=7 j=4 j=5 j=6 j=7 hry1第一个四分位数-0.40-0.70-1.60-3.50 0.30 0.60 1.80 4.10-1.30 median-0.30-0.60-1.30-3.00 0.80 1.30 2.60 4.70-0.403rd四分位数-0.20-0.40-0.90-2.20 1.00 1.70 3.20 5.60 0.10模式-0.20-0.70-1.60-3.20 0.10 1.40 2.60 4.80 0.00Spearman 0.22 0.45 0.52 0.51-0.13-0.10-0.09-0.00 1.00#样本1188 1543 1634 1560 897 634 618 700 2268 B组：基于NASDAQ中50000多个报价更新的估计负值正值j=4 j=5 j=6 j=7 j=4 j=5 j=6 j=7 HRY1第一个四分位数-0.30-0.70-1.60-3.40 0.10 0.20 2.40 4.40-1.00 EDIAN-0.20-0.50-1.30-2.90 0.40 1.30 2.70 4.80-0.403rd四分位数Ile-0.10-0.30-0.80-2.10 0.90 1.60 3.10 5.730.00Mode-0.20-0.60-1.40-3.20 0.10 0.10 2.50 4.80 0.00Spearman 0.44 0.69 0.73 0.75-0.35-0.36-0.04 0.05 1.00#样本667 913 990 977 415 251 220 244 1223此表报告了对Bθj（j=4、5、6、7）的负估计和正估计，以及对纳斯达克和BATS交易所之间报价更新的BθHRY（HRY）的整体估计，计算2015年8月纳斯达克100指数所有成份股。正超前-滞后时间估计意味着纳斯达克领先BAT，反之亦然。四分位数和模式的值以毫秒表示。“斯皮尔曼”一行报告了斯皮尔曼的秩相关系数和BθHRY的估计值。行“#of estimates”（估计数）报告为其评估汇总统计数据的超前滞后时间估计数。面板A中的值使用所有估计值进行评估。

面板B中的值基于NASDAQexchange中超过50000个报价更新的样本的估计值。7结论在本文中，我们提出了一种新的估计方法，用于基于两个资产在非同步观测时的高频观测数据，对两个资产之间的超前-滞后关系进行多尺度分析。关键思想是我们新构造了逐尺度互协方差函数的估计量，我们将小波变换应用于经验互协方差函数，而不是原始观测数据。我们还发展了一个相关的渐近理论，以获得在我们之前工作中提出的建模框架中建议的估计量的一致性[21]。与文献[21]中提出的估计方法相比，新提出的方法本质上采用了与小波文献中传统方法相同的方法，因为它可以更有效地处理整个数据，所以更适合应用于不规则空间的高频金融数据。仿真研究确实表明，所提出的估计器对于非同步观测数据的性能要比之前的估计器好得多。实证结果表明，新方法可以让adeep深入了解金融市场中的高频超前-滞后关系。特别是，我们分别在较短和（相对）较粗的时间尺度上确定了两种类型的超前-滞后关系。8证明8.1命题的证明1我们首先证明一些引理。让我们设置∧∏νN=∏νN∪ {（0，tν]，（tνn，t+δ]}对于ν=1，2和￠rN=（supI∈∏N | I |）∨ （supJ∈∏N | J |）。我们用P∏（对应E∏）表示给定（ti）ni=0的条件概率（对应条件期望）。引理1。出租$∈ （0，1）并设置q=d$N e。假设θN≥ 0表示所有N。

然后，在命题1的假设下，有一个常数C>0，只依赖于T，π，这样E∏2πτmτNXJ∈∏N（F1I）（λ/τN）（F1J）-θN）(-λ/τN）K（I，J）-θN）-τNπτmλ<1.- e-√-1λτ-1N | I|1.- π1 - πe-√-1λ/年≤ Cτ-1mτ-τqτ处的1N | I |π-1对于任何N∈ N、 任意λ∈ R和任意I∈∏确保Tτq≤ I<I≤ T（1- τq）。证据固定λ∈ R和I∈∏n满足Tτq≤ I<I≤ T（1- τq）任意。SetJI=[J∈∏N:K（I，J-θN）=1J-θN，那么我们有2πτmτNXJ∈∏N（F1I）（λ/τN）（F1J）-θN）(-λ/τN）K（I，J）-θN）=2πτmτN（F1I）（λ/τN）N（F1[JI，I））(-λ/τN）+（F1I）(-λ/τN）+（F1[I，JI））(-λ/τN）o=：I+II+III。首先我们考虑I。我们可以将其重写为I=τN2πτmλe-√-1λτ-1N | I|- 1.1.- e-√-1λτ-1N（I-JI）.（ti）ni=0，aτ条件下-1N（I- JI）遵循几何分布，成功概率为1- π从上方被aτ截断-1镍。更精确地说，我们有p∏（aτ-1N（I- JI）=k）（πk（1- π） 如果k=0，1，aτ-1NI- 1，πaτ-1NIif k=aτ-1镍。因此，我们得到∏h1- e-√-1λτ-1N（I-JI）i=1- (1 -π） aτ-1NI-1Xk=0πke-√-1λk/a- πaτ-1NIe公司-√-1λτ-1NI=1- πaτ-1NI-(1 - π)(1 - πaτ-1NIe公司-√-1λτ-1NI）1- πe-√-1λ/a+πaτ-1NI（1- e-√-1λτ-1NI）=π（1- e√-1λ/a）1- πe-√-1λ/年- πaτ-1NI1- e-√-1λτ-1NI- π（e-√-1λ/年- e-√-1λτ-1NI）1- πe-√-1λ/a+πaτ-1NI（1- e-√-1λτ-1NI）。因此，存在一个常数C>0，仅取决于T，π，因此E∏[I]-τN2πτmλe-√-1λτ-1N | I|- 1.π(1 - e-√-1λ/a）1- πe-√-1λ/年≤ Cτ-1mτ-τqτ处的1N | I |π-1N。这里，我们使用不等式| 1- e-√-1x |≤ |x |保持所有x∈ R、 接下来我们考虑III。我们可以将其重写为asIII=τN2πτmλ1.- e√-1λτ-1N | I|e√-1λτ-1N（JI-（一）- 1..现在，一个与上述类似的论点得出E∏[Ⅲ]-τN2πτmλ1.- e√-1λτ-1N | I|π（e√-1λ/年- 1)1 - πe√-1λ/年≤ Cτ-1mτ-τqτ处的1N | I |π-1N，其中C>0是一个常数，仅取决于T，π。

因此我们有E∏[Ⅲ]- E∏[I]≤ （C+C）τ-1mτ-τqτ处的1N | I |π-1N。最后，我们得到e∏[II]=II=τNπτmλ1.- <他-√-1λτ-1N | I | I.因此，只需简单的计算即可得到所需的结果。命题1的证明。首先，类似于等式（36）形式[8]的证明，我们可以证明任何p>0时，[rpN]=O（τpN | logτN | p）（5）。特别是，假设2（i）成立。接下来，取一个常数β∈ （0，1）任意。我们用这个β证明了存在常数α，Q>1，这样假设2（ii）就成立了。为便于说明，我们假设θN≥ 0表示所有N（此假设可以轻松删除）。设置▄DNk（λ，θ）=2πτmτNXI∈∏N，J∈∏N:I∈Im（k）（F1I）（λ/τN）（F1J-θ)(-λ/τN）K（I，J）-θ).可以很容易地检查τmdTτ-1me-1Xk=0Zπ-πEhDNk（λ，θN）-DNk（λ，θN）pidλ=O（τpNτ-pm）作为N→ ∞ 对于任何p>1。因此，有必要证明存在常数α，Q>1，使得τmdTτ-1me-1Xk=0Zπ-πEDNk（λ，θN）- D（λ）Qdλ=O（ταN）（6）作为N→ ∞. 对于证明，我们采用了与[8]中命题6的证明类似的策略。设$bea数，使β<$<1，并设置q=dN$e。设e为区间Iq+2（u）至少包含{ti:i=0，1，…，n}的一个点，以及{ti:i=0，1，…，n}的一个点的事件，对于everyu=0，1，bTτ-1q+2c- 1、我们有P（Ec）≤ Tτ-1q+2（πaτ-1Nτq+2+πaτ-1Nτq+2）。（7） 在下文中，我们用eat表示给定事件A的条件期望∈ Z+和λ∈ R、 我们设置ηNu（λ）=2πτmτNXI∈∏N，J∈∏N:I∈Iq（u）（F1I）（λ/τN）（F1J-θ)(-λ/τN）K（I，J）-θ).然后，我们分解∧DNk（λ，θN）- D（λ）为▄DNk（λ，θN）- D（λ）=EE公司（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qηNu（λ）- D（λ）+（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qu是奇数ηNu（λ）- EE[ηNu（λ）]+（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qu为偶数ηNu（λ）- EE[ηNu（λ）]=: INk（λ）+IINk（λ）+IIINk（λ）。首先我们考虑墨水（λ）。

使用不等式| e√-1台- 1| ≤ |x |保持x∈ R、 我们有ηNu（λ）|≤ 3(2π)-1τ-1mτN（τ-1NrN）{I∈∏N:I∈ 智商（u）}。因此，注意到ti- ti公司-1.≥ τN/a，每i=1，n- 1，我们得到|ηNu（λ）|≤ 3(2π)-1aτ-1mτq（τ-1NrN）。（8） 因此，我们有（5）和（7）EE公司（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qηNu（λ）- E（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qηNu（λ）= Oτmτ-1季度E[τ-1mτq（τ-1NrN）]P（Ec）+E[τ-1mτq（τ-1NrN）Ec]= OτNE【rN】P（Ec）+qE【rN】pP（Ec）= O|对数τN |τ-1q+2qπaτ-1Nτq+2+πaτ-1Nτq+2作为N→ ∞ 在λ和k中一致。此外，引理1，（5）和（8）表示（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qηNu（λ）=τNπτmλ<EXI∈∏N:I∈Im（k）1.- e-√-1λτ-1N | I|1.- π1 - πe-√-1λ/年+ O（τ$-βN | logτN |）在λ和k中均匀分布。因为aτ-1N（ti- ti公司-1） 是i.i.d.变量，其分布为成功概率为1的几何分布- π、 瓦尔德认同感（k+1）τmτ-1季度-1Xu=kτmτ-1qηNu（λ）=τNπτmλ<“Eh#{I∈∏N:I∈ Im（k）}i（1- π)(1 - e-√-1λ/a）（1- πe-√-1λ/a）（1- πe-√-1λ/a）#+O（τ$-βN | logτN |）=D（λ）+O（τ$-βN | logτN |）在λ和k中均匀分布。因此，我们得到|墨水（λ）| p= |油墨（λ）| p=O（τ($-β） pN | logτN | 2p）在λ和k中均匀分布，对于任何p>1。接下来我们考虑IInk（λ）。通过构造（ηNu（λ））u:oddis有条件地独立于E。因此，Burkholder-Davis-Gundy不等式，（5）和（7）–（8）yieldehIINk（λ）pi=O（τmτ-1季度）p/2小时τ-1mτq（τ-1NrN）圆周率= O(τ-1mτq）p/2 | logτN | 2p对于任何p>1，在λ和k中一致。此外，（7）–（5）表示EEc[| IINk（λ）| p]=O（（τ-1mτq）p/2 | logτN | 2p）在λ和k中，对于任何p>1。因此，我们得到E[| IINk（λ）| p]=O（（τ-1mτq）p/2 | logτN | 2p）在λ和k中，对于任何p>1。一个类似的参数产生E[| iink（λ）| p]=O（（τ-1mτq）p/2 | logτN | 2p）在λ和k中，对于任何p>1。毕竟，我们有τmdTτ-1me-1Xk=0Zπ-πEhDNk（λ，θN）- D（λ）pidλ=O（τ($-β） p/2N | logτN | 2p）对于任何p>1。现在我们取Q>1，这样（$- β） Q>4并设置α=（$- β） 问题4。

然后（6）保持。8.2定理1的证明首先，我们注意到，例如在[21]第7.3节开头提出的标准本地化程序允许我们假设存在一个常数K>0，使得|σt |+|σt |≤ K、 |σt- σs |+|σt- σs |≤ K | t- s |γ（9）对于任何t，s≥ 在整个验证过程中为0。接下来我们介绍一些符号。对于每个k∈ Z+和θ∈ (-δ、 δ），we setbUNk（θ）=（PI，J:I∈Im（k）X（I）X（J）k（I，J）-θ） 如果θ≥ 0，PI，J:J∈Im（k）X（I）X（J）k（Iθ，J）如果θ<0且Cnk（θ）=（σkτmσ（kτm+θ-rN）+ifθ≥ 0，σ（kτm-θ-rN）+σkτmifθ<0andeUNk（θ）=（PI，J:I∈Im（k）B（I）B（J）k（I，J）-θ） 如果θ≥ 0，PI，J:J∈Im（k）B（I）B（J）k（Iθ，J）如果θ<0且Unk（θ）=（PI，J:I∈Im（k）E∏B（I）B（J）K（I，J-θ） 如果θ≥ 0，PI，J:J∈Im（k）E∏B（I）B（J）K（Iθ，J）如果θ<0，其中E∏表示给定的条件期望（ti）ni=0和（tj）nj=0。对于随机变量Y和p>0，我们设置kY kp，π=（E∏[| Y | p]）1/p。此外，我们还用kY kψ表示，基于函数ψ（x）=ex-1关于给定的条件概率∏：kY kψ，∏：=infC>0:E∏ψ|Y | C≤ 1..在本小节中，我们编写了一个。b对于两个实数a，b如果a≤ Cb对于某些常数C>0，仅依赖于K引理2。在定理1的假设下，存在一个常数C>0，仅依赖于K，这样铺位（θ）- cNk（θ）eUNk（θ）ψ,Π≤ C（τm+rN）1+γ，对于任何N∈ N、 k级∈ Z+和θ∈ (-δ, δ).证据根据对称性，考虑θ的情况就足够了≥ 0.首先，我们将[24，25]中使用的所谓简化程序应用于（I）I的每一个实现∈πNand（J-θ） J∈πN（另见文献[8]中引理2的证明）。我们定义了一个新的分区∏Nas如下：I∈∏Nif且仅当I∈ 与∏有非空交点，与∏有两个不同的间隔，也没有J∈ πn确保I是包含在J中的∏n的所有区间的并集。

我们还定义了一个新的分区∏Nas，如下所示：J∈∏Nif且仅当J∈ ∏与J-θ与∏有两个不同区间的非空交点，也没有I∈ ∏确保J是J的所有间隔的并集∈ ∏确保J-θ包含在I中。由于双线性，在这个过程中，bunk（θ）和bunk（θ）都是不变的。由于其定义，此应用程序也会更改RNI。此外，通过构造，我们得到了maxj∈∏NXI∈∏NK（I，J-θ) ≤ 3，最大值∈∏NXJ∈∏NK（I，J-θ) ≤ 3、因此，为了证明，我们可以将（∏N，πN）替换为（∏N，∏N）。这允许我们假设Maxj∈∏NXI∈∏NK（I，J-θ) ≤ 3，最大值∈∏NXJ∈∏NK（I，J-θ) ≤ 3.（10）在整个证明过程中，不丧失一般性。我们转向证据的主体。我们将目标量分解为bunk（θ）- cNk（θ）eUNk（θ）=XI，J:I∈Im（k）ZI（σs- σkτm）dBsX（J）+σkτmB（I）ZJ（σs- σ（kτm+θ-rN）+）dBsK（I，J-θ） =：AN+BN。让我们考虑一个。对于每个p≥ 1，Minkovski和Schwarz不等式yieldkANkp，∏≤十一、 J：我∈Im（k）ZI（σs- σkτm）dBsX（J）p、 ∏K（I，J-θ)≤十一、 J：我∈Im（k）ZI（σs- σkτm）dBs2p，πX（J）2p，∏K（I，J-θ).因此，[2]和（9）中的命题4.2暗示Kankp∏。pXI，J:I∈Im（k）supkτm≤s≤（k+1）τm+rN |σs- σkτm|2p，∏p | I | J | K（I，J-θ). p（τm+rN）γXI，J:I∈Im（k）（| I |+| J |）k（I，J-θ).因此，我们得到了kANkp，π。p（τm+rN）1+γ乘以（10）。因此，我们得出kANkψ，π。（τm+rN）1+γ，根据[41]中的命题2.7.1。根据对称性，我们也有kBNkψ，π。（τm+rN）1+γ。这就完成了预防。引理3。对于任何I∈ ∏与J∈ πN，| E∏[B（I）B（J）]|≤N+1Xj=1N-j+1（| I |∧ |J |）ZI-J+θjI-J+θJ |ψLP（2N-j+1t）| dt。证据由于B具有交叉谱密度fN，因此e∏[B（I）B（J）]=2πZ∞-∞（F1I）（λ）（F1J）(-λ） fN（λ）dλ=2πN+1Xj=1RjZ∞-∞（F1I）（λ）（F1J）(-λ） e类-√-1θjλ∧N-j+1（λ）dλ=2πN+1Xj=1RjZ∞-∞（F[1I* 1.-J] ）（λ）e-√-1θjλ∧（λ/2N-j+1）dλ，其中* 表示卷积。

因此，Parseval的恒等式yieldsE∏[B（I）B（J）]=N+1Xj=1Rj·2N-j+1Z∞-∞（1I* 1.-J） （t- θj）ψLP（2N-j+1t）dt=N+1Xj=1Rj·2N-j+1Z∞-∞|我∩ （J）- θj+t）|ψLP（2N-j+1t）dt。自| I起∩ （J）- θj+t）|≤ |I |∧ |J |和I∩ （J）- θj+t）6= 除非我- J+θJ≤ t型≤ 我- J+θJ，我们得到了期望的结果。引理4。在定理1的假设下，有一个普适常数C，使得eUNk（θ）- UNk（θ）ψ,Π≤ Cφ，对于任意N∈ N、 k级∈ Z+和θ∈ (-δ、 δ），式中φN：=qrN（τm+rN）1+rNτ-1N |对数τN|.证据同样，根据对称性，有必要考虑θ的情况≥ 此外，在引理2的证明中，我们可以假设（10），而不丧失一般性。设置ZN：=（B（I））I∈∏N:I∈Im（k），B（J））J∈∏N:J∈Im（k））>，andAN=0 KNK>N！，KN=（K（I，J-θ） /2）（I，J）∈∏N×∏N:I∈Im（k），J∈Im（k），其中▄Im（k）=Im（k）+θ-注册护士。那么我们有了unk（θ）-UNk（θ）=Z>NANZN-E∏[Z>NANZN]。因此，通过[21]中的引理13，有一个普适常数c>0，使得keunk（θ）- UNk（θ）kψ，π≤ cqE∏[| eUNk（θ）- UNk（θ）|]。设∑Nbe为zn的∏条件协方差矩阵，设CN=∑1/2NAN∑1/2N。那么我们有e∏[| eUNk（θ）- UNk（θ）|]=2kCNkF，其中k·kf表示矩阵的Frobenius范数。因此，一旦我们证明KCNKF≤ cφN（11），对于某些普适常数c＞0。根据[27]和（10）中的定理5.6.9，我们得到了kANksp≤. 因此，[9]yieldkCNkF附录ii中的不等式（ii）–（iii）≤k∑NkF=XI∈∏N:I∈Im（k）E∏B（一）+XJ公司∈∏N:J∈Im（k）E∏B（J）+X（I，J）∈∏N×∏N:I∈Im（k），J∈Im（k）E∏B（I）B（J）≤rN（τm+rN）+X（I，J）∈∏N×∏N:I∈Im（k），J∈Im（k）E∏B（I）B（J）.通过引理3和两次使用Schwarz不等式，我们得到E∏B（I）B（J）≤ （N+1）N+1Xj=1N-j+1（| I |∧ |J |）（| I |+| J |）ZI-J+θjI-J+θJψLP（2N-j+1t）dt≤ 2（N+1）rNN+1Xj=1N-j+1 | I | ZI-J+θjI-J+θJψLP（2N-j+1t）dt。因此我们有x（I，J）：I∈Im（k），J∈Im（k）E∏B（I）B（J）≤ 2（N+1）rN（τm+rN）N+1Xj=1N-j+1≤ 8（N+1）rN（τm+rN）τ-1N。这就完成了（11）的证明。引理5。

在定理1的假设下，我们有UNk（θ）≤ 6（τm+rN）对于任何N∈ N、 k级∈ Z+和θ∈ (-δ, δ).证据与上述证明类似，我们可以假设θ≥ 0和（10）成立，不损失一般性。那么我们有UNk（θ）=十一、 J：我∈Im（k），J∈Im（k）E∏B（I）B（J）K（I，J-θ)≤十一、 J：我∈Im（k），J∈Im（k）E∏B（一）+ EB（J）K（I，J-θ)≤ 3.十一： 我∈Im（k）| I |+XI：J∈Im（k）| J|≤ 3·2（τm+rN）。这就完成了证明。引理6。在定理1的假设下，我们有maxθ∈GN公司bρN-j+1（θ）- τmbTτ-1mc-1Xk=0cNk（θ）Zπ-πD（λ）Hj，L（λ）e√-1λθτ-1NfN（λ/τN）dλ→pas编号→ ∞.证据我们将目标量分解为bρN-j+1（θ）- τmbTτ-1mc-1Xk=0cNk（θ）Zπ-πD（λ）Hj，L（λ）e√-1λθτ-1NfN（λ/τN）dλ=bρN-j+1（θ）-Lj公司-1Xl码=-Lj公司-1ψj（l）bTτ-1mc-1Xk=0cNk（θ- lτN）eUNk（θ- lτN）+Lj公司-1Xl码=-Lj+1ψj（l）bTτ-1mc-1Xk=0cNk（θ- lτN）neUNk（θ- lτN）- UNk（θ- lτN）o+Lj-1Xl码=-Lj+1ψj（l）bTτ-1mc-1Xk=0cNk（θ- lτN）- cNk（θ）UNk（θ- lτN）+bTτ-1mc-1Xk=0cNk（θ）Lj公司-1Xl码=-Lj+1ψj（l）UNk（θ- lτN）- τmZπ-πD（λ）Hj，L（λ）e√-1λθτ-1NfN（λ/τN）dλ=: IN（θ）+IIN（θ）+IIN（θ）+IVN（θ）。我们有| IN（θ）|≤Lj公司-1Xl码=-Lj公司-1 |ψj（l）|bTτ-1mc-1Xk=0铺位（θ- lτN）- cNk（θ- lτN）eUNk（θ- lτN）+bUNbTτ-1mc（θ- lτN）.因此，我们通过引理2和4–5kIN（θ）kψ，π得到。{（τm+rN）γ+φN}Lj-1Xl码=-Lj公司-1 |ψj（l）|。所以引理2.2.2在[40]中产生最大θ∈GN | IN（θ）|ψ,Π. |对数τN |{（τm+rN）γ+φN}Lj-1Xl码=-Lj公司-1 |ψj（l）|。现在，我们有by（A.2）和推论A.2Lj-1Xl码=-Lj公司-1 |ψj（l）|=O（log l）（12）作为l→ ∞. 因此我们得出maxθ∈GN | IN（θ）|→假设p0。接下来，引理4 yieldsmaxθ∈GNkIIN（θ）kψ，π。τ-1mφNLj-1Xl码=-Lj公司-1 |ψj（l）|，因此我们通过引理2.2.2在[40]中获得最大θ∈GN | IIN（θ）|ψ,Π. |对数τN |τ-1mφNLj-1Xl码=-Lj公司-1 |ψj（l）|。自τ起-1mφN=Op（τaN），对于某些a>0且L=O（τ-1N）通过假设，我们得出maxθ∈GN | IIN（θ）|→p0来自（12）。现在我们证明maxθ∈GN | IIIN（θ）|→p0。

我们有maxθ∈GN | IIIN（θ）|≤ 最大θ∈GNmaxl∈Z： | l |<Ljmaxk=0,1，。。。，bTτ-1mc-1.cNk（θ- lτN）- cNk（θ）Lj公司-1Xl码=-Lj公司-1 |ψj（l）|bTτ-1mc-1Xk=0maxθ∈GN公司UNk（θ）.通过σ，σ和（12）的H¨older连续性，我们得到了maxθ∈GNmaxl∈Z： | l |<Ljmaxk=0,1，。。。，bTτ-1mc-1.cNk（θ- lτN）- cNk（θ）Lj公司-1Xl码=-Lj公司-1 |ψj（l）|= Op（（LτN）γlog L）作为N→ ∞, 而引理5 yieldsPbTτ-1mc-1k=0maxθ∈GN公司UNk（θ）= Op（1）。因此，我们通过假设得到期望的结果。最后证明了maxθ∈GN | IVN（θ）|→p0，注意zπ-πD（λ）Hj，L（λ）e√-1λθτ-1NfN（λ/τN）dλ=Lj-1Xl码=-Lj公司-1ψj（l）Zπ-πD（λ）e√-1λ(θ-lτN）τ-1NfN（λ/τN）dλ，对于任何ε>0P最大θ∈GN | IVN（θ）|>ε≤Xθ∈国民生产总值τmLj-1Xl码=-Lj+1 |ψj（l）| bTτ-1mc-1Xk=0τ-1mUNk（θ- lτN）-Zπ-πD（λ）e√-1λ(θ-lτN）τ-1NfN（λ/τN）dλ>εK按（9）。因为我们已经知道（θ- lτN）=τmZπ-πDNk（λ，θ- lτN）e√-1λ(θ-lτN）τ-1NfN（λ/τN）dλ，它认为τmLj-1Xl码=-Lj+1 |ψj（l）| bTτ-1mc-1Xk=0τ-1mUNk（θ- lτN）-Zπ-πD（λ）e√-1λ(θ-lτN）fN（λ/τN）dλQ≤2πTLj-1Xl码=-Lj+1 |ψj（l）|Q-1τmbTτ-1mc-1Xk=0Zπ-πEhDNk（λ，θ- lτN）- D（λ）由Jensen不等式得到的Qidλ。因此，通过马尔可夫不等式，我们得到最大θ∈GN | IVN（θ）|>ε≤KεQτ-1N2πTLj-1Xl码=-Lj+1 |ψj（l）|Q-1最大θ∈GNτmbTτ-1mc-1Xk=0Zπ-πEhDNk（λ，θ）-D（λ）Qidλ。因此，假设2和（12）意味着期望的结果（注意，L=O（τ-1N）根据假设）。这就完成了证明。定理1的证明。（a） 从引理6可以证明maxθ∈GN：|θ-θj|≥越南τmbTτ-1mc-1Xk=0cNk（θ）Zπ-πD（λ）Hj，L（λ）e√-1λθτ-1NfN（λ/τN）dλ→pas编号→ ∞. 一旦我们展示了以下陈述，上述方程如下：IfθN∈ GN（N=1，2，…）满足|θN- θj |≥ Vn对于每N，thenaN：=Zπ-πD（λ）Hj，L（λ）e√-1λθNτ-1NfN（λ/τN）dλ→ 0as N→ ∞.