资本成本约束的无差异方法：KVA和

考虑对于固定q，发现P的问题，使得ev（q）=ev（0），其中ev（q）=supθ∈Θ（q）EqY+θT（S- S（1+r+λ））+（C+P（q））（1+r+λ）,Θ（q）=θ∈ R | C=νqθTAθ+2qθTb+σYq.（4） 可以方便地定义u=（S-S（1+r+λ）），u=E[（S-S（1+r+λ））]，它在真实世界度量下的期望值。方程（4）有一个解，由p（q）=1+r+λ给出-量化宽松[年]+χ(0)-χ（q）uTA-1u+qbTA-1u,式中，χ（q）是与问题（4）相关的拉格朗日乘子，其显式表达式见附录中的方程式（7）。此外，如果该交易与银行的体育投资组合相比规模较小（即q较小），则我们有以下情况：P（q）1+r+λ-量化宽松[年]+（σY- bTA公司-1b）qνCpuTA-1u+qbTA-1u.从上述命题中，我们可以看到，将使银行破产的价格近似为三个条件的总和：o一个条件减去现实世界衡量标准下的支付支出o一个由于存在资本约束而进行的修正o一个条件代表对冲组合的预期超额回报，即，套期保值组合在时间1的预期价值与其在时间0的价格之间的差值，应计为1+r+λ。最后，本着上一节的精神，我们希望了解RAROC在获得价格中的作用。我们与最佳策略相关的预期损益为：ev（0）- C类=uTA-12χ(0)u+C（r+λ）=puA-1uCν+C（r+λ）为了简化我们的公式，我们选择了与资本约束相同的ES指标作为RAROC的分母。

因此我们得到：RAROC（θ，0）=puA-1uCν+C（r+λ）C=puA-1uν+r+λ。原则上，我们可以使用V@R和不同的置信水平，这可以通过使用乘法因子轻松地集成到我们的模型中。为便于注释，我们定义：=puA-1uν+r+λ，我们将其插入，得到：P（q）1+r+λ-量化宽松[年]+（σY- bTA公司-1b）qνC（h）- r- λ） +qbTA-1u.该公式明确强调了由于资本约束而需要进行的调整，以使银行能够收支平衡。此外，我们可以看到，我们得到的公式与我们在上一节中得到的简化公式非常相似。4完整的一期模型在上一节中，我们从全行的角度出发，现在我们分析资本约束如何在股东对交易的估值中发挥作用。股东的目标函数不同于整个银行的目标函数，因为在违约的情况下（在我们的模型中时间1为负资产），他们有有限责任。这意味着股东的最佳策略解决了以下优化问题：v（q）=supθ∈Θ（q）E（X（θ，q））+,式中，Θ（q）如前一节所述由方程式（3）定义。为了便于记法，我们指出了银行的默认事件asD（θ，q）={ω∈ Ohm |X（q，θ）6 0}和Dc（θ，q）将表示生存事件。同样在这种情况下，我们想要确定价格P（q），使得v（q）=v（0）。然而，在本节中，我们将重点讨论问题的近似解决方案。更准确地说，我们考虑以下v（q）在0v（q）=v（0）+qdvdq | q=0+qdvdq | q=0+o（q）附近的展开式，并且受命题3.1结果的启发，我们寻找价格P，其在q中是二级多项式，因此qdvdq | q=0+qdvdq | q=0=0。这是文献中通常称为边际价格的二阶延伸。更准确地说，边际价格是P（q）的一阶近似值，这意味着它只需要sdvdq | q=0为空。

有关边际定价的审查，请参见【11】，有关期权定价的应用，请参见【9】，有关融资成本的应用，请参见【2】。在这里，我们关注二阶扩张，因为我们想了解资本建设的影响，在我们的模型中，资本建设由方差约束表示，因此在q中是二阶的。以下命题给出了上述小额交易近似中有限责任问题的解决方案：命题4.1。考虑对于固定q，求P的问题，使得v（q）=v（0），其中v（q）=supθ∈Θ（q）E（qY+θT（S- S（1+r+λ））+（C+P（q））（1+r+λ））+|{z}f（θ，q），Θ（q）=θ∈ R | C=νqθTAθ+2qθTb+σYq |{z}√g（θ，q）.（5） 方程（5）的边际价格（二阶）解由p（q）给出E类[-1DcY]+χ（0）2θTbP[Dc]（1+r+λ）q-ψ(0) - χ（0）2σY- 2χ′（0）（2θTb）+C（0）（1+r+λ）q，其中，如果我们指示Dc（h）=Dc（θ*, q+h）和Dc=Dc（0），我们有ψ（0）=limh→0E（Y+P（0）（1+r+λ））Dc（h）- 1通道andC（0）=dXi=1dXj=1χ(0)g级θiθj | q=0-fθiθj | q=0θ*jq | q=0θ*我q | q=0，其中θ*是（5）的解决方案。同样，在这种情况下，我们可以确定对价格的不同贡献：期望值项E[1DcY]，两个协方差位-qχ（0）2θTb和-2qχ′（0）（2θTb），凸性平差（ψ（0）- C（0））qterm和资本部分-χ（0）2σY.5中位数方法现在我们用中位数而不是期望值来描述我们的问题，包括有限责任。我们这样做是为了将前面章节的结果与我们在优化问题中使用中值作为目标函数的情况进行比较。关于使用分位数函数作为决策和资产定价的目标函数，参见示例【14，21】。定义5.1（中位数）。

我们定义了实值随机变量X asM[X]：=infm的中值M[X]m | P[X 6 m]>在本节中，我们作出合理的假设，即至少存在t aθ∈ Θ（q）=nθ∈ R | C=νpθTAθ+2qθTb+σyqo使得qmy+θT（m- S（1+r+λ））+（C+P（q））（1+r+λ）>0，其中m=E[S]和mY=E[Y]，这相当于说存在一个可接受的投资组合，使得银行在时间1时平均具有偿付能力。使用中值作为目标函数，我们可以得到以下结果。提案5.2。考虑对于固定q，求P的问题，使得w（q）=w（0），其中w（q）=supθ∈Θ（q）M（qY+θT（S- S（1+r+λ））+（C+P（q））（1+r+λ））+,Θ（q）=θ∈ R | C=νqθTAθ+2qθTb+σYq.（6） 方程（6）具有与方程（4）相同的解，因此由p（q）=1+r+λ给出量化宽松[-Y]+χ(0)-χ（q）uTA-1u+2qbTA-1u.因此，我们可以看到，中值法给出了与线性法相同的结果。在实践中，这意味着使用中位数作为绩效指标将使股东作为整个银行站在同一立场上，使他们的利益与债券持有人保持一致，同时也考虑到资本要求对估值过程的影响。6结论和未来工作在本说明中，我们调查了资本建设对衍生合同估值的影响。根据市场的感知，我们展示了由于市场的不完整性，这些成本是如何存在的。此外，我们在不同数量、不同复杂性的模型中精确量化了这些成本。我们表明，就股东/全行观点问题而言，资本成本的形状在一定程度上是稳健的，并且与交易的边际资本要求成比例。作为未来的工作，我们希望将我们所获得的与从业者文献中其他作者所做的比较（[16，1]）。

这就提出了更多与用于计算资本约束影响的度量有关的问题。命题3.1的证明。通过平方约束方程，可以将问题（4）的一阶条件表示为（m- S（1+r+λ））- 2χ（q）（Aθ+qb）=0，其中χ（q）是拉格朗日乘数，m=E[S]。求θ，我们得到θ=A-1u2χ（q）- 质量保证-1b其中u=m- S（1+r+λ）。值得注意的是，最优投资组合由两部分组成：第一部分是交易不相关部分的最优投资组合，第二部分是对冲新政与市场关系的投资组合（例如，见[7，12]）。将解插入约束方程，得到χ（q）：0=uTA-12χ（q）- qbTA公司-1.A.A.-1u2χ（q）- 质量保证-1b级+ 2.uTA-12χ（q）- qbTA公司-1.qb+σYq-Cν=uTA-1u4χ（q）- quTA-1bχ（q）+qbTA-1b+quTA-1bχ（q）- 2qbTA-1b+σYq-Cν=uTA-1u4χ（q）- qbTA公司-1b+σYq-Cν。这意味着0=uTA-1u+χ（q）q（σY- bTA公司-1b）-Cν求χ（q）我们有：χ（q）=puTA-1uqCν- q（σY- bTA公司-1b）（7）这意味着：ev（q）=qE[Y]+uTA-12χ（q）- qbTA公司-1.u+（C+P（q））（1+r+λ），因此要使ev（q）=ev（0），我们需要选择：P（q）=1+r+λ-量化宽松[年]+χ(0)-χ（q）uTA-1u+qbTA-1u1+r+λ-qE[Y]+（σY- bTA公司-1b）qCνpuTA-1u!uTA-1u+qbTA-1u!=1+r+λ-量化宽松[年]+（σY- bTA公司-1b）qνCpuTA-1u+qbTA-1u命题4.1的证明。如第3节所述，我们使用以下近似值：v（q） v（0）+qdvdq | q=0+qdvdq | q=0。（8） 我们从计算dvdq开始。为此，我们假设v（q）在θ点处达到*（q） ，hencev（q）=f（θ*（q） ，q）。然后我们有DVDQ=fq+dXi=1fθiθ*我q、 根据一阶最优性条件，我们知道fθi=χ（q）g级θi，（9），其中χ（q）是拉格朗日乘数。

通过对收缩方程求导，我们还可以得到0=dCdq=dgdq=g级q+dXi=1g级θiθ*我q（10）通过替换，我们获得：dvdq=fq- χ（q）g级q、 要计算术语DVDq，我们使用链规则获取DVDq=fq+dXi=1fθiqθ*我q- χ（q）′g级q- χ（q）g级q+dXi=1g级θiqθ*我q通过对一阶条件q的导数进行分析，我们得到以下等式fθiq+dXj=1fθiθjθ*jq=χ（q）′g级θi+χ（q）g级θiq+dXj=1g级θiθjθ*jq,我们可以插入上面的方程式，得到Vdq的最终表达式：dvdq=fq+dXi=1fθiq- χ（q）g级θiqθ*我q- χ（q）′g级q- χ（q）g级q=fq- χ（q）′g级q- χ（q）g级q+dXi=1χ（q）′g级θi+dXj=1χ（q）g级θiθj-fθiθjθ*jqθ*我q=fq- 2χ（q）′g级q- χ（q）g级q+dXi=1dXj=1χ（q）g级θiθj-fθiθjθ*jqθ*我q{z}C（q）。（11） 因此，为了使用近似值（8），我们必须计算以下导数：fq | q=0，g级q | q=0，fq | q=0，g级q | q=0，C（0）。我们从一阶导数开始（这些计算与[2]中的计算非常相似）：fq=limh→0hE（1Dc（h）- 1Dc）（qY+θT（S- S（1+r+λ））+C（1+r+λ））+ E[1DcY]+limh→0hE（1Dc（h）P（q+h）- 1DcP（q））（1+r+λ））= 林氏→0hE（1Dc（h）- 1Dc）（qY+θT（S- S（1+r+λ））+C（1+r+λ））+ E[1DcY]+limh→0hE（1Dc（h）（P（q+h）+P（q）- P（q））- 1DcP（q））（1+r+λ））= 林氏→0hE（1Dc（h）∩D- 1Dc∩D（h））（qY+θT（S- S（1+r+λ））+（C+P（q））（1+r+λ））+ E[1Dc（Y+P′（q）（1+r+λ））]。此外，我们还有：林→0hE|（1Dc（h）∩D- 1Dc∩D（h））（qY+θT（S- S（1+r+λ））+（C+P（q））（1+r+λ））|6林→0hE（1Dc（h）∩D+1Dc∩D（h））| qY+θT（S- S（1+r+λ））+（C+P（q））（1+r+λ）|6林→0E（1Dc（h）∩D+1Dc∩D（h））| hY+（P（q+h）- P（q））（1+r+λ）h|= 0因此我们得到fq=E[1Dc（Y+P′（q）（1+r+λ））]。

而对于约束，我们有：g级q=2σYq+2bTθ*.关于二阶导数，我们有：dfdq | q=0=limh→0hEDc（h）（Y+P′（h）（1+r+λ））- 1Dc（Y+P′（0）（1+r+λ））= 林氏→0EYDc（小时）- 1通道+ 林氏→0hE（1Dc（h）（P′（h）+P′（0）- P′（0））- 1DcP′（0））（1+r+λ）= 林氏→0E（Y+P（0）（1+r+λ））Dc（h）- 1通道|{z}ψ（0）+P′′（0）（1+r+λ），对于约束：g级q=2σY我们得到的总体结果：v（q）- v（0）E[1Dc（Y+P′（0）（1+r+λ））]- χ（0）2θTbq+ψ（0）+P′（0）（1+r+λ）- χ（0）2σY- 2χ′（0）（2θTb）+C（0）如果我们寻找二阶多项式形式的P，我们得到：P（q）E类[-1DcY]+χ（0）2θTbP[Dc]（1+r+λ）q-ψ(0) - χ（0）2σY- 2χ′（0）（2θTb）+C（0）（1+r+λ）qIt有趣的是，我们得到的结果是否与线性情况，即命题3.1兼容。在这种情况下，我们有χ（q）=puTA-1uqCν- q（σY- bTA公司-1b）和θ（q）=A-1u2χ（q）- 质量保证-1因此χ（0）=puTA-1uCν，χ′（0）=0。和θ*（0）=A-1u2χ（0），如果我们替换C（0）=dXi=1dXj=1χ(0)g级θiθj-fθiθjθ*jqθ*我q=2χ（0）(-A.-1uχ′(0)2χ(0)- A.-1b）TA(-A.-1uχ′(0)2χ(0)- A.-1b）= 2χ(0)(-A.-1b）TA(-A.-1b）=puTA-1uCνbTA公司-1b级（12） we o bta in：P（q）1+r+λ（E[-Y]+uTA-1b）q+puTA-1uνCσY-puTA-1uCνbTA-1b级!q这与命题3.1的结果相对应。命题5.2的证明。对于P[X>0]>0的真值随机变量X，我们有M[（X）+]=（M[X]）+。为了证明这一点，我们可以区分两种情况：o如果M[X]6 0，我们只需证明M[（X）+]=0。显然，对于所有x<0，我们有P[（x）+6 x]=0<，而P[（x）+6 0]>自M[x]6 0以来如果M[X]>0，我们需要证明M[（X）+]=M[X]。ClearlyP[（X）+6 M[X]]=P[（X）+0]+P[0<（X）+6 M[X]]=P[X 6 0]+P[0<X 6 M[X]]=P[X 6 M[X]]>。现在考虑0<x<M[x]，然后我们可以应用相同的推理，我们可以证明P[（x）+6 x]=P[x 6 x]<，因为M[x]是集合{x | P[x 6 x]>的最小值。

通过这种方式，我们已经证明了m[X]是集合{X | P[（X）+6 X]>}上的最小值，我们得到了我们想要的。因此，我们可以wr itew（q）=supθ∈Θ（q）（M）qY+θT（S- S（1+r+λ））+（C+P（q））（1+r+λ）)+.现在如果我们假设我们在第3节的正态性假设下，我们有：w（q）=supθ∈Θ（q）（qmY+θT（m- S（1+r+λ））+（C+P（q））（1+r+λ））+=supθ∈Θ（q）qmY+θT（m- S（1+r+λ））+（C+P（q））（1+r+λ），（13），其中最后一个等式是由于我们在第5节开头所做的假设。从等式（13）可以清楚地看出，我们的问题等价于（4），因此具有相同的解。参考文献【1】C.Albanese、S.Caenazzo和S.Crépey。资本估值调整和资金估值调整。2016年【2】L.B.Andersen、D.Duffee和Y.Song。资金价值调整。20 16.[3] 银行监管基本委员会。资本计量和资本标准的国际趋同。2006年【4】银行监管基本委员会。市场风险的最低资本要求。2016年【5】D.Brigo、M.Francischello和A.Pallavicini。分析是信贷和资金影响下的非线性估值方程。《衍生品市场创新》，第37-52页。Springer，2016年。[6] D.Brigo和A.Pallavicini。CCP清算或CSA双边交易的非线性一致性估值，在信贷、融资和错误方式风险下具有初始保证金。《金融工程杂志》，1（01）：14500012014。[7] J·H·科克伦。资产定价：（修订版）。普林斯顿大学出版社，2009年。[8] R.Cont和E.F.Schaanning。火灾、间接接触和系统压力测试。2017年【9】M.H.Davis。不完全市场中的期权定价。衍生证券数学，15:216–2261997。[10] I.Erel、S.C.Myers和J.A.Read。风险资本理论。《金融经济学杂志》，118（3）：620–6352015。[11] L.折叠。

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