量子巴罗——货币经济学中的戈登博弈

在博弈中，政策制定者[公共]使用概率为p（1）的操作符I和C- p） ，[q，（1- q） 】。该系统的最终密度矩阵如下：ρf=pqh（IM IU）ρi（i+M I+U）I+p（1- q） h（IM CU）ρi（i+M C+U）i+（1- p） qh（厘米 IU）ρi（C+M I+U）I+（1- p） （1）- q） h（厘米 CU）ρi（C+M C+U）i（5）和两个payoff操作符如下所示：PM=0 | LLi h LL |- 2 | LHi h LH |+| HLi h HL |- |HHi h HH |（6）PU=0 | LLi h LL |- | LHi h LH |- |HLi h HL |+0 | HHi h HH |。（7） 最后，Payoff函数根据：\'$M（p，q）=T r（PMρf）（8）\'$U（p，q）=T r（PUρf）计算。（9） 这可以写为：\'$M（p，q）=ΦOhmγTM（10）\'$U（p，q）=ΦOhmγTU（11），其中Φ=[pq，p（1- q） ，（1- p） q，（1- p） （1）- q） ]（12）Ohm =αγδβδβαγγαβδβδγαγM=[0，-2, 1, -1] γU=[0，-1.-1, 0].因此，决策者和公众的支付函数计算为：\'$M（p，q）=2p（α- β+ δ- γ） +q（δ- α- γ+ β) - α+ γ- 2δ（13）\'$U（p，q）=（1- 2（δ+γ））（q（2p- （1）- p）- （δ+γ）（14）为了纳什均衡的存在，需要实现以下条件【12】：百万美元（p*, q*) -\'\'百万美元（p，q*) ≥ 0, p∈ [0，1]（15）\'$U（p*, q*) -\'$U（p*, q）≥ 0, q∈ [0，1]（16），在我们的案例中，这导致：2（p*- p） （α- β+ δ- γ) ≥ 0 (17)(1 - 2（δ+γ））（q*- q） （2p*- （1）≥ 0 . （18） 4.2博弈方程（1 3-14）和（17-18）的分析是我们的主要结果。按照MW的方法，我们考虑以下三种可能情况的有效性：（a）p*= q*= 1在这种情况下，支付如下：\'$M（1，1）=-β- 2γ+δ（19）\'$U（1，1）=-γ- δ（20）和纳什均衡条件为：2（1- p） （α- β+ δ- γ) ≥ 0 (21)(1 - 2(δ+ γ))(1 - q）≥ 0=> γ+ δ≤ 1/2. （22）如果α+δ>β+γ，那么第一个纳什均衡条件将得到满足。事实上，对于我们在这里考虑的弱势政策制定者来说，这一条件最有可能得到满足，因为根据表（1），他更喜欢（L，L）或（H，L）策略，而不是（H，H）或（L，H）策略。

因此，我们假设对于弱决策者，α+δ>β+γ的条件总是成立的。第二个纳什均衡条件是否满足取决于量子策略的选择。我们稍后将在本文中回到这一点。（b） p*= q*= 0在这种情况下，支付如下：\'$M（0，0）=-α+ γ- 2δ（23）\'$U（0，0）=-γ- δ（24）和纳什均衡条件计算如下：- 2p（α- β+ δ- γ) ≥ 0 (25)(1 - 2（δ+γ））q≥ 0=> γ+ δ≤ 1/2（26）在这种情况下，如果α+δ<β+γ与前一种情况正好相反，则满足纳什均衡。同样，由于我们正在考虑aweak决策者（见上文），我们将认为这种情况是不可接受的。因此，我们不认为在p*= q*= 0.（c）p*= q*= 1/2在这种情况下，支付如下：\'$M（1/2，1/2）=-1/2（27）\'$U（1/2，1/2）=-1/2（28）和纳什均衡条件计算为：2（1/2- p） （α- β+ δ- γ) ≥ 0 (29)(1 - 2(δ+ γ))(1/2 - q） （1）- 1） =0（30）第二个纳什均衡条件基本满足。然而，对于弱决策者（即α- β+ δ- γ> 0). 但由于在这种情况下，两个参与者都有负的回报，所以这种均衡并不可取。因此，在我们上面考虑的三种可能性中，第二种情况（b）无法满足，因为不存在纳什均衡，而第三种情况（c）包括主导策略。因此，我们选择仅考虑第一种情况（a）。然而，第一种情况可以满足量子策略的选择，即α、β、δ、γ的选择。在下文中，我们考虑了弱势决策者可能存在纳什均衡的两种不同量子策略：（i）支持公众对通货膨胀的错误预测。

这意味着，量子策略是两种策略的叠加，（L，H）和（H，L），其中α=β=0：|ψii=γ| LHi+δ| HLi。（31）因此，支付函数如下：\'$M（1，1）=-2γ+δ（32）\'$U（1，1）=-γ- δ= -1（33）和纳什均衡条件：2（1- p） （δ- γ) ≥ 0 (34)γ+ δ≤ 1/2（35）在这种情况下，公众总是会因为错误的期望而失败，即等式（33）。然而，如果δ>2γ，弱势决策者可以获得更好的回报。然而，由于等式（35），这种情况并不意味着稳定的情况，因为等式（35）表明，由于γ+δ=1，因此永远无法获得纳什均衡。这一结果是经典游戏的显著结果，在经典游戏中，弱势政策制定者可以通过欺骗公众一个周期来获得积极回报。之后，公众将惩罚他并纠正他们的期望。在这里，我们证明了错误预测策略叠加的量子策略不是纳什均衡。换句话说，这不是一种可持续的平衡。（ii）假设公众对通货膨胀有正确的预测。因此，量子策略是两种策略的叠加，（L，L）和（H，H），其中γ=δ=0：|ψii=α| LLi+β| HHi（36）(R)M（1，1）=-β（37）\'$U（1，1）=0（38），因此，这种情况下的纳什均衡条件为：2（1- p） （α- β) ≥ 0 (39)(1 - q）≥ 0（40）第二个纳什均衡条件（等式40）始终为真。然而，第一个（公式39）将满足α>β的要求，这是弱势决策者可以接受的条件。这表明，选择（L，L）策略的份额越大（α），决策者的负收益就越小（β）。这里重要的一点是，弱政策制定者存在一个纳什均衡，在这个均衡中，可以保证公众不会输，并且可以通过减少β来最小化政策制定者的损失。

事实上，在极端情况下β→ 0，其中量子策略转化为（非叠加）单一策略（L，L），两个参与者的报酬将为零，与经典情况相同（见表（1））。然而，重要的区别在于，纳什均衡在这里是满足的，而在经典版本中则不是。因此，在这种情况下，游戏的量子版本提供了时间一致的纳什均衡。这是我们的主要成果。5结论性评论Barro和Gordon提出了基于时间不一致理论的公众和政策制定者之间的博弈。在这个游戏中，一个软弱的政策制定者可以在短期内通过欺骗公众来获得一些好处。然而，公众将在下一个时期惩罚他。因此，通货膨胀增加，政策制定者将失去其利益。因此，在这一经典的BG博弈中，弱势政策制定者实施低通货膨胀并不是一种纳什均衡。本文根据Marinatto和Weber提出的量子博弈方案，对BG博弈进行了推广。我们将量子博弈视为四种经典策略的叠加，并随后计算了纳什均衡条件。结果表明，在我们考虑的三种可能性中，第一种情况更容易接受。然后，我们考虑了可能存在纳什均衡的弱决策者的两种不同量子策略：（i）公众有公平预测，（ii）公众有正确预测。结果表明，当公众有虚假预测时，纳什均衡并不令人满意。然而，我们获得了一个纳什均衡，该均衡在第二种情景中是时间一致的，其中公众对通货膨胀有正确的预测。

我们的结果很重要，因为它表明，在BG游戏的量子版本中，与经典版本不同，当公众期望通胀缓慢时，低通胀政策是一种纳什均衡，从而消除了时间不一致性，从而解决了游戏。我们强调，叠加纠缠态的纯量子效应是解决游戏和消除经典版本中存在的时间不一致性的关键因素。接下来，我们将简要评论与我们的结果有关的一些问题。量子游戏的相关性乍看起来可能有点奇怪，尽管在上面的引言（第1节）中提供了一些动机。自从1935年，当斯奇罗丁格（Schrodinger）介绍了现在所知的薛定谔猫（Schrodinger cat）以来，宏观叠加态的可能性在文献中一直存在争议。然而，量子技术为宏观叠加态提供了条件[41]，可以想象，有了足够先进的技术，未来机器可以采用从量子博弈论中获益的策略。此外，有人可能会问，如果我们在游戏量化中使用了MW以外的其他方法，我们的结果是否会有所不同。Ar fi【17】已经表明，无论采用何种量化方法，人们都可以获得与普雷森纳两难博弈相同的结果。我们选择MW方法，因为它更直接地适合我们的游戏。然而，可以想象，使用EWL方法将导致基本相同的结果。大多数游戏量化的共同点似乎是，量子游戏比经典游戏更具优势，因为量子游戏采用叠加原理，因此能够解决经典游戏中存在的矛盾。

我们在这里也得到了相同的基本结果，并怀疑我们的结果与量子化方法无关。我们在这里的目的是提供一个量子博弈论非经济学的例子，以及量子力学的规则如何在这方面发挥优势。然而，人们可能会考虑沿着这里介绍的同一条线进行进一步的工作。例如，除了此处所考虑的一个（纯粹是受先前研究的推动）之外，还可以考虑其他平衡的可能性，这可能存在于p和q的各种其他选择的情况下。另一个有趣的途径是考虑一个哈密顿公式，并考虑各种算符的时间演化，沿着[31,34,35]的直线。这可能很有趣，因为动力学演化将成为量子力学，人们可能会考虑初始（量子）叠加态与混合态经典模拟的不同演化。不承认——西拉大学研究委员会的拨款得到了善意的承认。本文还得益于对受人尊敬的（匿名）裁判的建设性批评。参考文献[1]F.Carmich ael，《博弈论指南》，英国《金融时报》Prentice Hall，2005年。[2] R.Gibbons，《应用经济学家理论》，普林斯顿大学出版社，1992年。[3] P.Borm H.J.Peters，《纪念Stef Tijs的博弈论章节》，KluwerAcademic出版社，2002年。[4] F.Vega Redondo，《经济学与博弈论》，剑桥大学出版社，2003年。[5] K.Binmore，P laying for Real，《博弈论》，牛津大学出版社，2007年。[6] J.冯·诺依曼和O.摩根斯坦，《博弈论与经济行为》。纽约：威利出版社，1944年（1964年再版）。[7] 纳什，《谈判问题》，计量经济学。18 (1950) 155.[8] 纳什，《二人合作博弈》，经济计量学。21 (1953) 128.[9] D.J。

Griffiths，《量子力学导论》，第二版，新泽西州UpperSaddle River：Pearson，2005年。[10] P.A.M.Dirac，《量子力学原理》，牛津大学出版社，2012年。[11] J.Eisert、M.Wilkens、M.Lewenstein，《量子游戏与量子策略》，物理评论快报83（1999）3077。[12] L.Marinatto，T.Weber，《完全信息静态博弈的量子方法》，《物理快报》A.272（2000）291。[13] T.Cheon，I.Tsutsui，《希尔伯特空间可解博弈论的经典和量子内容》，物理学通讯A.348（2006）147。[14] A.P.Fliteny，L.C.L.Hollenberg，《广义双参数策略量子博弈中的纳什均衡》，《物理快报》A.363（2007）381。[15] M.Makowski，《决策过程中的传递性与不传递性——量子博弈论中的一个例子》，《物理快报》A.373（2009）2125。[16] S.Landsburg，《量子游戏中的纳什均衡》，美国数学学会学报139（2011）4423。[17] B.Ar fi，《量子社会博弈论》，Physica A 374（2007）794。[18] X.Deng、Y.Deng、Q.Liu和Zh。王，基于Marinatto Weber量子游戏方案的观点信息量子游戏，EurophysicsLetters 114（2016）50012。[19] P.Frackiewicz，《正规形式游戏的新量子方案》，QuantumInformation Processing 14（2015）1809。[20] R.N.Mantegna和H.E.Stanley，《经济物理学导论》，剑桥大学出版社，2000年。[21]F.E.Kydland，E.C.Prescott，《规则而非自由裁量权：最优计划的不一致性》，政治经济学85（1977）473。【22】R.J.Barro，D.B.Gordon，《货币政策模型中的规则、自由裁量权和声誉》，货币经济学12（1983）101。[23]R.E.Lucas和N.L.Stokey，《无资本经济中的最优财政和货币政策》，货币经济学12（1983）55。【24】S.Albanesi、V.V.Chari和L。

Christiano，《预期陷阱与货币政策》，经济研究评论70（2003）715。[25]R.G.King和R.L.Wolman，《货币贴现，定价互补和动态多重均衡》，经济学季刊，199（2004）1513。[26]U.D.Demirel，《不完全财政可信度下货币政策承诺的价值》，《经济动力学与控制》36（2012）813。【27】K.Adam和R.M.Billi，《历史财政政策和货币政策目标》，《经济学快报》122（2014）1。[28]P.D.Bruza，Zh。Wang和J.R.Busemeyer，《量子认知：心理学的新理论方法》，专题评论19（2015）383。【29】R.F.Bordley，《量子力学与人类对复合概率原理的违反：迈向广义海森伯rg测不准原理》，运筹学研究46（1998）923。【30】D.Bleh，T.Calarco，S.Montangero，《生命的量子游戏》，欧洲物理学快报97（2012）20012。[31]F.Bagarello，R.Di。Salvo，F.Gargano和F.Oliveri，（H；ρ）-诱导动力学和生命的量子游戏，应用数学建模43（2017）15。【32】F.Bagarello，E.Haven，《将非线性效应形式主义应用于政党联盟和买卖动态的第一个结果》，Physica a 444（2016）403。【33】E.Haven，A.Khrennikov，《认知和决策的类量子模型中概率的统计和主观解释》，数学心理学杂志74（2016）82。【34】F.Bagarello、F.Gargano和F.Oliveri，《现象学操作员描述人群动力学：逃避策略》，应用数学模型39（2015）2276。【35】F.Bagarello，《广义两人博弈的量子观点》，《国际理论物理杂志》，54（2015）3。【36】尼尔森文学硕士和我。五十、 庄，量子计算与量子信息，剑桥大学出版社，2010年。【37】R.H。

Strotz，《动态效用最大化中的近视与不一致》，《经济研究评论》第23期（1955-1956年）165。[38]D.Backus，J.Drill，《通货膨胀与声誉》，美国经济评论75（1985）530。[39]J.Storger，《时间一致性问题，货币政策模型》，Seminaron动态财政政策，曼海姆大学（2007）。【40】X.Deng、Y.Deng、Q.Liu、S.Chang和Z.Wang，《检验游戏的量子扩展》，欧元。物理。J、 B 89（2016）162。【41】J.R。Friedman，V.Patel，W.Chen，S.K.Tolpygo，J.E.L ukens，《不同宏观状态的量子叠加》，《自然》46（2000）43。